Trabalho, Energia e Potência
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ENERGIA As leis de Newton permitem analisar vários tipos de movimentos. Esta análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis. Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton. vi 0 vf ? ENERGIA Até agora abordamos o movimento dum corpo utilizando grandezas como posição, velocidade, aceleração e força Resolvemos anteriormente vários problemas de mecânica utilizando esses conceitos Investigaremos agora uma nova técnica para a análise dos problemas inclui definições de algumas grandezas conhecidas mas que na física essas grandezas tem significados mais específicos do que na vida diária Começaremos o nosso estudo explorando o conceito de ENERGIA O termo energia é tão amplo que é difícil pensar numa definição concisa Devemos nos restringir a determinadas formas de energia, como a manifestada pelo movimento de um corpo, pela sua posição em relação a outros corpos, pela sua deformação, etc . Energia é um conceito que ultrapassa a mecânica de Newton é relevante também na mecânica quântica, relatividade , electromagnetismo, etc. A conservação da energia total de um sistema isolado é uma lei fundamental da natureza ENERGIA Importância do conceito de energia • • • • Processos geológicos Balanço energético no planeta Terra Reacções químicas Funções biológicas (máquinas nanoscópicas) energia armazenada e energia libertada • Balanço energético no corpo humano SISTEMA Um conceito importante no estudo de energia é o conceito de SISTEMA é um modelo de simplificação, em que focalizamos a nossa atenção numa pequena região do Universo e desprezamos os detalhes sobre o restante do universo fora do sistema TRABALHO Quando empurramos uma caixa ela se desloca nós realizamos um trabalho sobre a caixa a força que exercemos sobre a caixa fez com que ela se movesse F d Trabalho realizado por uma força constante O TRABALHO realizado por um agente ao exercer uma força constante sobre um sistema é F m d x W F d Fd cos O trabalho é uma grandeza escalar A unidade de trabalho no SI é o joule (J) ENERGIA CINÉTICA A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um corpo A energia cinética de uma partícula de massa m em movimento com uma velocidade escalar v é 1 K m v2 2 v A energia cinética é uma grandeza escalar A unidade da energia cinética no SI é o joule (J) TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA v0 m F d Da segunda lei de Newton v x v v 2a x d 2 2 0 1 m (v 2 v02 ) Fx d 2 Fx ma x ax Fx m Fx v v 2 d m 2 2 0 1 1 m v 2 mv 02 Fx d 2 2 O lado esquerdo da expressão representa a variação da energia cinética do corpo e o lado direito é o trabalho realizado pela força sobre o corpo “Realizar trabalho”, portanto, é transferir energia TEOREMA DO TRABALHO E DA ENERGIA CINÉTICA A definição mais geral de trabalho corresponde ao trabalho realizado por uma força variável Seja F F (x) a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m x2 W F ( x)dx x1 Integrando entre o estado inicial e o estado final xf xf xf xf xf 2 dv v W F ( x)dx madx m adx m dx m vdv m 2 xi xi xi xi dt xi 1 m(v 2f vi2 ) 2 vf vi W K esse resultado é conhecido como teorema do trabalho e da energia cinética Quando é feito um trabalho sobre um sistema e a única mudança no sistema é em sua velocidade escalar, o trabalho feito pela força resultante é igual à variação da energia cinética do sistema Exemplo: Trabalho de uma força constante: a força gravitacional na superfície da Terra Se o corpo se eleva duma altura d : v Fg v0 W Fg d Fg d cos d W mgd cos mgd cos 180 0 mgd o sinal negativo indica que a força gravitacional retira a energia mgd da energia cinética do objeto durante a subida. Agora vamos deteminar qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo de 10.2 kg que de cai 1.0 m de altura? Fg W (10 .2 kg) ( 9.8 m/s 2 ) (1.0 m ) 100 J Qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso? K vi 0 1 1 1 1 m v 2f mv i2 m v 2f 0 m v 2f W 2 2 2 2 vf 2W m 2 100 J 4.4 m/s 10.2 kg POTÊNCIA Se uma força externa é aplicada num corpo, e se o trabalho feito por essa força for W no intervalo de tempo t, então a potência média durante esse intervalo de tempo é definida como W P t A potência instantânea P num instante particular é o valor limite da potência média quando t aproxima-se de zero P lim t 0 dr dW P F dt dt W dW t dt Unidade de P no SI: J/s = watt (W) o segundo termo é a velocidade e P F v Unidade de potência HP criada por Watt para fazer o marketing de sua máquina numa sociedade fortemente dependente do (e acostumada ao) trabalho realizado por cavalos. 1a motivação: retirada da água das minas de carvão. A unidade no sistema inglês é o cavalo-vapor: 1 HP = 760 W Uma nova unidade de energia pode agora ser definida em termos da unidade de potência: Um quilowatt-hora é a energia transferida numa hora à taxa constante de 1 kW: 1 kWh (10 3 W)(3600 s) 3.6 10 6 J Exemplo : 100 m RASOS X MARATONA: TRABALHO E POTÊNCIA Trabalho realizado sobre o corredor de 100 m rasos: 2,1 x 104 J Trabalho realizado sobre maratonista (42 142 m): 5,9 x 106J P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995) Potência do corredor de 100 m rasos: Potência do corredor de maratona: 2,110 4 J P100 2100 W 10s 5,910 6 J Pmar 816 W 26060s ENERGIA POTENCIAL A energia potencial U é uma forma de energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo) de um sistema de dois ou mais corpos, que exercem forças uns sobre os outros. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Consideramos que um estudante levanta um livro de massa m de uma altura inicial acima do solo, até a uma altura final y 2 y1 O trabalho feito pelo estudante sobre o sistema livro e Terra é W F d (mg e y ) [( y 2 y1 )e y ] mgy 2 mgy 2 mgy1 O trabalho apresenta uma transferência de energia para o sistema e que agora aparece na forma de energia potencial gravitacional y2 Definimos a grandeza mgy como a energia potencial gravitacional U g mgy1 U g mgy y1 solo A unidade da energia potencial gravitacional no SI é o joule (J) CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA A introdução da energia potencial nos permite gerar um princípio poderoso e aplicável universalmente para a resolução de problemas que são difíceis de resolver utilizando as leis de Newton Do exemplo anterior após termos levantado o livro, se agora soltarmos o livro ele estará sob a influência somente da força gravitacional Quando o livro cai de y 2 para y1 , o trabalho feito pela força gravitacional é mgy 2 Wsobreo livro Fg d (mg e y ) [( y1 y 2 )e y ] mgy 2 mgy1 y2 Pelo teorema do trabalho e da energia cinética, o trabalho feito sobre o livro é Wsobre o livro K livro mgy1 y1 solo K livro mgy 2 mgy1 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA Para o sistema livro-Terra descrito anteriormente, a Terra desloca-se tão lentamente que praticamente a sua velocidade é nula e a energia cinética do sistema, é devido unicamente à energia cinética do livro K K livro K Terra K K livro K assim K livro K mgy 2 mgy1 (mgy1 mgy 2 ) Agora o nossa energia gravitacional final é inicial é mgy 2 U i mgy1 U f e a energia gravitacional Comparando com o sistema livro-Terra que foi onde definimos a energia potencial gravitacional então (mgy1 mgy 2 ) (U f U i ) U g K U g escrevemos a equação na forma ( K f K i ) (U f U i ) 0 K f U f Ki U i K U g 0 ou (1) Definimos a soma das energias potencial e cinética como ENERGIA MECÂNICA E mec K U g Assim a equação (1) é uma formulação da CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA Exemplo : Conservação da energia mecânica E mec K U g FORÇA ELÁSTICA Um sistema físico no qual a força varia com a posição um bloco ligado à uma mola Faplicada 0 x x x0 Fmola Faplicada 0 Fmola F ( x) kx Lei de Hook lei de força para as molas k é uma constante de força (ou constante elástica) Fmola força restauradora o sinal negativo significa que a força exercida pela mola tem sempre direcção oposta ao deslocamento ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA Aplicando W U x x x0 0 para o sistema bloco-mola W F ( x)dx F ( x)dx U [U ( x) U (0)] U ( x) A configuração de referência é x0= 0 e Substituindo a força elástica U (0) 0 F ( x) kx x x U ( x) (kx)dx 0 U ( x) 1 2 kx 2 na integral U ( x) k xdx 0 1 2 kx 2 é a energia potencial elástica A energia mecânica para o sistema bloco-mola Emec K U ( x) constante ou Emec 1 1 2 2 m vbloco m xmola constante 2 2 FORÇA CONSERVATIVA Forças conservativas forças para as quais a energia mecânica é conservada O trabalho feito por uma força conservativa não depende da trajectória, depende apenas das configurações inicial e final Exemplos de forças conservativas • Força gravitacional • Força elástica • Força unidimensional que só dependa da posição: F(x) Conhecendo a energia potencial podemos determinar a força (força conservativa) dW F dr F dx ex Fx dx dU Fx dU dx Exemplo: Para um corpo localizado numa distância y acima de algum ponto de referência, a função energia potencial gravitacional é dada por U g mgy Determinamos a força Fy dU g dy d (mgy ) mg dy que é a expressão correcta para a força gravitacional FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS Forças não-conservativas O trabalho feito por uma força não-conservativa depende da trajectória Exemplos de forças não-conservativas: Força de atrito e Força de arraste Exemplo 1 Watrito ( A B) Fatrito ds Fatrito LAB Watr A B C fatr ds f atr LAB C reta c mgd c mg d / 2 semi-círculo Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o trabalho da força de atrito depende da trajectória descrita pelo corpo Exemplo 2: O bloco de massa m é solto de x = d. Qual é a velocidade do bloco em x = 0? 1 2 K mv 0 2 K U 1 U 0 kd 2 2 a) Sem atrito F d 1 2 1 2 k mv kd v d 2 2 m x=0 b) Com atrito F d x=0 E K U Watr c mgd N fa P mg 1 2 1 2 mv kd c mgd 2 2 kd 2 v 2c gd m
