Funções de mais de uma variável

Funções de mais de uma
variável
Derivadas Parciais
Everton Lopes
Derivadas Parciais
• Dada uma função de duas variáveis
z = f(x,y), podemos, a partir de f, formar duas
funções de uma só variável, bastando para isto
considerarmos a outra variável constante.
• g1(x) = f(x,yo)
• g2(y) = f(xo,y)
Quando isto acontece, dizemos que temos as
derivadas parciais de f em relação a x e y,
respectivamente.
Derivadas Parciais
Seja z = f(x,y). A derivada parcial de f em relação à
variável x é uma função denotada por f , tal que,
x
seu valor num ponto (x,y) do domínio de f é dado por ,
f
f ( x  x, y)  f ( x, y)
( x, y)  lim
x
x
x  0
se esse limite existir
Analogamente, a derivada parcial de f em relação à
variável y é definida como
f
f (x, y  y)  f (x, y)
(x, y)  lim
y
y
y 0
Derivadas Parciais
Observemos que, no primeiro caso, para f
x
, demos um
acréscimo à variável x, mantendo y constante e no
segundo caso, para
f
y
, demos um acréscimo à variável y,
mantendo x constante.
Também são usadas as seguintes notações:
f
( x, y)  D1f ( x, y)  f x ( x, y)
x
f
( x , y)  D 2 f ( x , y)  f y ( x , y)
y
Derivadas Parciais
Podemos usar também as seguintes expressões para as
derivadas parciais num ponto (xo,yo):
f ( x, y o )  f ( x o , y o )
f
( x o , y o )  lim
x
x  xo
xxo
f ( x o , y)  f ( x o , y o )
f
( x o , y o )  lim
y
y  yo
yyo
Exemplo 1: Usando a definição calcule as derivadas
parciais da função f(x, y) = 3x + 2y
Exemplo 2: Usando a definição calcule as derivadas
parciais da função f(x, y) = 4x2 + 5xy
Derivadas Parciais
 Observemos que teríamos o mesmo resultado se
tivéssemos derivado f, supondo y constante para f
x
f
e derivado f supondo x constante para
.
y
• Todas as regras para funções de uma variável se
aplicam nesse caso.
• De maneira análoga, define-se e calcula-se as derivadas
parciais para funções de mais de duas variáveis
• Exercícios no quadro
Derivadas Parciais
Interpretação Geométrica:
• Seja z = f(x,y). O gráfico de f é a superfície de equação
z = f(x,y). Consideremos a curva C1 obtida quando
interceptamos o plano y = yo com a superfície z = f(x,y).
A equação de C1 é dada por :
y  y o
C1 : 
z  f ( x, y o )
zo
C1
11
t
1
yo
xo
Derivadas Parciais
Tomando y = yo temos que z = f(x, yo) = g(x) e z (x o , y o )  g (x o )
x
é o coeficiente angular de t1, reta tangente a C1
no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo ).
Assim, t1 tem as seguintes equações
y  y o


f
z

z

( x o , y o )( x  x o )
o

x

Derivadas Parciais
Consideremos agora a curva que é o traço da superfície
z = f(x,y) sobre o plano x = xo
xx

o
C2 : 
z  f ( x o , y)
Tomando x = xo temos que z = f(xo, y) = g(y) e
z
( x o , y o )  g ( y o )
y
é o coeficiente angular de t2, reta tangente a C2
no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo )
Assim, t2 tem as seguintes equações
x  x o

f

z

z

( x o , y o )(y  y o )
o

y

Derivadas Parciais
Exemplos:
1) Encontre as equações da reta tangente à curva de
intersecção da superfície z = x2 + y2 com o plano
y = 1 no ponto ( 2, 1, 5 ).
2) Determine as equações da reta tangente à curva que é
intersecção da superfície z  10  x 2  2y 2
com o plano x = 2 no ponto em que y = 1.
Derivadas Parciais
Interpretação Física
Uma derivada parcial também pode ser interpretada como
uma taxa de variação.
Se z = f(x,y), temos que a taxa média de variação de f em
relação à variável x, mantendo-se y constante, é dada
por
z f ( x  x, y)  f ( x, y)
x

x
y
x
x+x
Derivadas Parciais
Assim,
z
(x o , y o )
x
dá a taxa instantânea de variação de z = f(x,y)
no ponto Po(xo,yo), por unidade de variação de x, para y
constante, isto é, y = yo.
z
Interpretação análoga é dada para
(x o , y o )
y
Exercícios no quadro
Derivadas Parciais de ordem superior
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida em
D
R2,
tal que
f
x
e
f
y
existam em D.
As derivadas parciais são funções de x e y. Logo, é natural
se pensar nas derivadas parciais dessas funções. Estas
derivadas são chamadas de derivadas parciais de 2a ordem
e são em número de 4
  f   2 f
   2  f xx
x  x  x
( Deriva-se duas vezes em relação a x )
Derivadas Parciais de ordem superior
  f   2 f
  
 f yy
2
y  y  y
  f   2 f
 f xy
 
y  x  yx
  f   2 f
 
 f yx
x  y  xy
( Deriva-se duas vezes em relação a y )
( Deriva-se em relação a x e depois em relação a y )
( Deriva-se em relação a y e depois em relação a x )
Os dois últimos casos são chamados de derivadas parciais de 2a ordem mistas.
Derivadas Parciais de ordem superior
Observações:
•
Analogamente, define-se as derivadas parciais de
2a ordem para funções de mais de duas variáveis
•
Analogamente define-se derivadas parciais de 2a ,3a,
n-ésima ordem.
Exemplo: Encontre as derivadas parciais indicadas
1) f(x,y) = x2 + y3;
fxx; fyy; fxy; fyx
2) f(x,y) = exseny + lnx + lny fxx; fyy; fxy; fyx
3) f(x,y) = ln( cos(x2 – y )) fxx; fyy; fxy; fyx
Derivadas Parciais de ordem superior
• Observação: Vimos nos três exemplos anteriores que
as derivadas fxy e fyx são iguais. Isto nem sempre ocorre
mas, para a maioria das funções com as quais iremos
trabalhar as derivadas mistas são iguais, ou seja, não
importa a ordem de derivação fxy = fyx. Este fato está
expresso num teorema chamado de Teorema de
Schwartz que nos diz que se f for uma função contínua
em determinada região do plano com derivadas parciais
contínuas, então fxy = fyx.
Derivadas Parciais de ordem superior
• As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais
parciais que exprimem leis físicas. Por exemplo, a
equação diferencial parcial é chamada de equação de
Laplace em homenagem ao matemático Pierre Laplace
( 1749 –1827 ). As soluções dessa equação são
chamadas de funções harmônicas e são importantes
no estudo da condução de calor, escoamento de fluidos
e potencial elétrico. No exemplo anterior temos uma
função harmônica u(x,y) =
ln x 2  y2
Derivadas Parciais de ordem superior
• A equação da onda
 2u
 2u
2
a
2
t
x 2
,
sendo a uma
constante, descreve o movimento de uma onda ( onda do
mar, onda de som, onda luminosa, onda de uma corda
vibrante, etc ). Uma solução para a equação da onda é
uma função u(x,t). Por exemplo, se u(x,t) representa o
deslocamento da corda de um violino, no instante t e x a
distância a uma extremidade da corda, então u(x,t)
satisfaz a equação da onda. Neste caso, a constante a
depende da densidade da corda e da tensão aplicada.
u(x,t)
x