Terremotos e criticalidade auto

Terremotos e criticalidade
auto-organizada
Gisele Vieira Rocha
3 de Julho de 2009
Introdução
Terremotos
Vibração brusca e
passageira da superfície da terra.
 Ocorrem na fronteira entre placas
tectônicas ou falhas entre dois blocos.
 Algumas consequências:
 Vibração do solo.
 Abertura de falhas
 Tsunamis

Motivação


Fenômeno de grande e dramático
impacto.
Comportamento complexo que pode
ser estudado a partir de um modelo
simples.
Discussão





O Modelo de Burridge-Knopoff
Transição de Fase
Criticalidade auto-organizada
Lei de Gutemberg-Richter
Caos
Conceitos
Criticalidade
Sistemas complexos
cujas partes interagem de forma nãolinear.
 Criticalidade auto-organizada (SOC)
Caso particular onde o sistema
apresenta grandes eventos .

O Modelo


Baseado no Modelo de BurridgeKnopoff (UBK):
Modelo unidimensional.
O Modelo
Características:
 Energia elástica associada com a
compressibilidade e o cisalhamento.
 Ação entre as placas ao longo da
falha, no início do deslizamento a força
de atrito diminui com o aumento da
velocidade.

O Modelo

Equação que
descreve o modelo:
d 2 xi
mi
 kc ( xi 1  xi 1  2 xi )  k p (v0t  xi )  F f
2
dt
kp
kc
Constante da mola do bloco
e a placa superior
Constante da mola entre os
blocos.
Ff
Força de
atrito
Programa
Método de Euler-Cromer
 A implementação do programa:
 A força de atrito é dada por:

Ff 
 F0 sign (vi )
vi
1
vf
vf
Parâmetro que
determina a
velocidade
dependente da
força
Primeiros Resultados
Velocidade dos três blocos em
função do tempo.
Posição em função do tempo
para três blocos diferentes.
Posição em função do
tempo numa cadeia de
100 blocos
Velocidade em
função do tempo
Transição de fase




Transição de fase de primeira ordem
Modelo:
..

..
U
U  v  U  
 vf





Equação não-linear e manipulada para obter
parâmetros adimensionais:
Valores crítico para v
f
Transição de fase de
primeira ordem

A solução da equação de movimento
apresenta caracterísicas distintas para valores
de v
f


Acima de 0.5 o bloco não sente a parte linear
da equação.
Abaixo de 0.5 o bloco sempre vai sentir a
parte não-linear da equação.
 ..
U

 vf

..

U

  1 v
f


Neste caso:

É possível uma solução analítica.

Caso em que


.
  
1
U 
   
.
 vf  
  1 U

vf









Gráfico do deslocamento
médio em função de v f
Não há solução analítica
Lei de Gutenberg-Richter



Escala logarítmica.
A magnitude de Richter corresponde
ao logaritmo da medida da amplitude
das ondas sísmicas.
A característica SOC é resultado deste
comportamento.
Lei de Gutenberg-Richter

O deslocamento de uma placa é
proporcional ao momento do evento
que por sua vez é proporcional à
energia liberada.
P( )  Ae
P(μ) =
Probabilidade (per unidade
de μ) de ocorrer tremor
μ = ln(M) magnitude
 b
b = fator que pode
variar de 0.8 – 1.5
25 blocos
Gráficos da frequencia
de eventos em função
da magnitude. Os
parâmetros utilizados
foram vf=0.05,
kp=40,kc=250.
100 blocos
Magnitude
<2,0
2.0-3.9
4-4.9
5.0-5.9
6.0-6.9
7.0-8.9
9.0-9.9
Efeitos
Micro tremor
Sentido mas não causa
danos
Causa danos
importantes
Danos em edifícios
Destruidor em zonas
num raio de até
180Km
Danos sérios em
centenas de
quilômetros
*Chile(9.5)
Caos



O modelo pode apresentar uma
característica caótica?
Comportamento caótico em um
sistema simétrico de dois blocos .
 
Modelo: U  v  k (U  U )  U   U 
.
..
1
1
1
2
1
 v 
 f 
Espaço de fase
Espaço de fase
Vf=10
Espaço de
fase vf=0.9
Conclusão



A dinâmica de transição observada
ocorre com variação do parâmetro vf.
A criticalidade auto-organizada é uma
característica do modelo.
O sistema pode apresentar
comportamento caótico.
Referências



Carlson, J.M ,Langer, J.S. , Shaw, B.E.;
Dynamics of earthquake faults; Rev. Mod.
Phys. Vol. 66, Nº 2.
Clancy,Ian,Corcoran,David; Criticality in the
Burridge-Knopoff model; Rev. Mod. Phys. E
71.
Vasconcelos,L.G; First-order Phase transition
in a model Earthquake; Rev. Mod. Phys. Vol.
76, Nº 25.