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Análise diferencial do
escoamento (Equações de
Navier-Stokes)
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior
1:05
Sumário da aula



Revisão
Escoamento
Equações de Navier-Stokes



2:52
Continuidade;
Quantidade de movimento;
Casos Particulares
Introdução



2:52
A análise de um escoamento de fluido pode ser feita de duas
maneiras:
 Análise onde a região de interesse é um volume definido (volume
de controle); análise macroscópica (balanço global de massa);
 As trocas que ocorrem dentro do volume de controle, por cada
elemento diferencial de fluido; análise microscópica (balanço
local de massa dentro do volume de controle);
As expressões resultantes deste tipo de análise microscópica
são equações diferenciais;
A solução destas equações diferenciais dará informações de
natureza diferente da obtida através a análise macroscópica
(campo de velocidade e de pressões dentro do volume de
controle).
Escoamento



Fluido em movimento!
Na natureza existem diversos tipos de
escoamento: superfície do solo, rio, lagos...
O escoamento é regido por diversas leis:





2:52
Equação da continuidade
Equação da quantidade de movimento
2a lei de Newton
1a lei da termodinâmica
2a lei da termodinâmica
Equação da continuidade

Princípio da conservação da massa:
Taxa de
matéria
que entra
2:52
-
Taxa de
matéria
que sai
=
Taxa de
variação
interna
Equação da continuidade
dx
 esq
m
z
k

 j
x i
2:52
y
m cima
dy
dz
m baixo
m dir
Equação da continuidade
Princípio da conservação da massa
Taxa de massa = vazão mássica = VAρ
Taxa de variação interna
2:52

dxdydz
t
Equação da continuidade
As vazões mássicas das faces da
esquerda, de baixo e de trás, são,
respectivamente
 esq  ρvdxdz
m
 baixo  ρwdxdy
m
 trás  ρudydz
m
As restantes se obtém expandindo as
anteriores com a série de Taylor
2:52
Equação da continuidade



 dir  ρv  ρv dy dxdz
m
y


m cima
z
k

 j
x i
2:52



 ρw  ρw dz dxdy
z


m frente
y



ρu dx dydz
 ρu 
x


Equação da continuidade
Substituindo no princípio da conservação
da massa
Taxa de
matéria
que entra
2:52
=
ρvdxdz  ρwdxdy 
 ρudydz
Equação da continuidade
Substituindo no princípio da
conservação da massa
Taxa de
matéria
que sai
2:52
=
 dir  m
 cima  m
 frente
m
Equação da continuidade
Substituindo no princípio da
conservação da massa
Taxa que entra
=
2:52
-
Taxa que sai
=




  ρu   ρv   ρw dxdydz
y
z
 x

Equação da continuidade
Substituindo no princípio da
conservação da massa  com a taxa de
variação interna




  ρu   ρu   ρw dxdydz 
y
z
 x

ρ
 dxdydz
t
2:52
Equação da continuidade
Substituindo no princípio da
conservação da massa  equação da
continuidade para qualquer escoamento
ρ 


ρu   ρv   ρw   0

t x
y
z
 

ρ
   ρV  0
t
2:52
Equação da continuidade
Casos particulares
- Escoamento permanente:
ρ
0
t



ρu   ρv   ρw   0
x
y
z
2:52
Equação da continuidade
Casos particulares
- Fluido incompressível:
  const
u v w
 
0
x y z

 V  0
2:52
Coordenadas cilíndricas
A Equação da continuidade:
 1 rv r  1 v  v z 



0
t r r
r 
z
2:52
Equação da quantidade de movimento

Balanço de forças no elemento infinitesimal

Gravitacionais (forças de campo)


Perpendiculares à superfície (força superficial)


Pressão
Tangenciais à superfície (força superficial)

2:52
Força peso e Força de Coriolis
Viscosas (cisalhamento e compressão)
Equação da quantidade de movimento


dV
 F Elem  dm dt
Elem



dV
FSuperficiais  FCampo  dm
dt Elem






FPr essão  FViscos as  FGravitacionais  Foutras
2:52


dV
m
dt Elem
Da 2ª lei de Newton Para um sistema

infinitesimal de massa dm 
dV
F  dm
dt Elem



 V 
dV DV  

  V V 

dt Dt 
t 
 
2:52





DV V
V
V
V

u
v
w
Dt
t
x
y
z
Aceleração convectiva
Aceleração
local
2:52
Da 2ª lei de Newton Para um sistema

infinitesimal de massa dm 
dV
F  dm
dt Elem



 V 
 
dV
DV
dm
 dxdydz
 dxdydz V   V 

dt
Dt
t 

 
2:52
Força peso


Atua na direção vertical;
Sua componente longitudinal é quem promove o
escoamento.
x1
x2

2:52
Significativa em simulações de rompimento de
barragem;
Força peso


FG  g  dmk


FG  g  dxdydzk
2:52
Força de Coriolis


2:52
A força de Coriolis, embora não possa causar o
movimento da água, é importante porque pode
modificar, significativamente, a direção do
movimento da água, especialmente em lagos e
estuários grandes.
A força de Coriolis é uma força aparente que surge
porque analisamos o escoamento fixando o
referencial à Terra, que está em movimento de
rotação.
Força de Coriolis

2:52
Assim, o resultado é que, no hemisfério Sul,
os fluidos escoando para o Sul são
desviados para Leste e os fluidos escoando
para o Norte são desviados para Oeste, ou
seja, os escoamentos são sempre desviados
para a esquerda no hemisfério Sul.
Força de Coriolis
2:52
Força de Coriolis

Os efeitos da força de Coriolis tornam-se significativos em lagos
maiores do que 5.rc; onde rc é um raio característico que
depende da velocidade média da água e da latitude.
u
u
rc  
f 2    sinl 

2:52
onde rc é o raio característico de circulação inercial (m); u é
velocidade média da água (m.s-1);  é a velocidade angular da
terra (7,29 . 10-5 rad.s-1); e l é a latitude.
Força de Coriolis


2:52
Considerando um lago na latitude de 30o
(latitude aproximada dos lagos do RS), onde
a velocidade da água é de 0,1 m.s-1, o valor
de rc é de 1370 m.
Se o lago for maior do que 7 km,
aproximadamente, a força de Coriolis será
significativa.
Força de pressão


2:52
É necessário um gradiente de pressão para
promover escoamento.
O sentido do escoamento é de um ponto com
maior pressão para um ponto com menor
pressão
Balanço de pressões
2:52
Força de pressão
dy
px 
dx
px  x
dz
z
k

 j
x i
2:52
y
Fpx  yzpx - px  x
Força de pressão
Pela 2ª lei de Newton, têm-se:
Fpx  dydz    px   px  x 

p 

Fpx  dydz    px    px   dx 
x 


p
Fpx   dxdydz
x
Analogamente para as outras direções
2:52
Força de cisalhamento


2:52
Força de atrito entre duas superfícies ou entre duas
camadas;
A nível molecular, as forças de tensão que atua em
um volume de água são produzidas pela
viscosidade do fluido (atrito interno das moléculas
de água) que seria uma força intrínseca do fluido)
Força de cisalhamento

Nos contornos
Vento
Atrito do fundo
2:52
Forças de superfície normais na direção x.
σ xx
dxdydz
x
2:52
Forças de superfície normais na direção x.
σ xx
2:52
u
 
x
Forças de superfície normais na direção x.
σ xx
2:52
u
 
x
Tangenciais na direção x:
 τ yx τzx


x
 x
2:52

dxdydz

Tangenciais na direção x:
2:52
τ yx
u

y
τ zx
u

z
A resultante na direção x é:
 u  u  u
  2  2  2 dxdydz
y
z 
 x
2
2
2
Um resultado análogo é obtido nas
demais direções
2:52
Equação da quantidade de movimento
A EQM se torna, nas 3 direções:
  2u  2u  2u 
 u
u
u
u 
p
   u  v  w   g x     2  2  2 
x
y
z 
x
y
z 
 t
 x
  2v  2v  2v 
 v
v
v
v 
p
   u  v  w   g y     2  2  2 
x
y
z 
y
 t
 x y z 
 2w 2w 2w 
 w
w
w
w 
p
   u  v  w   gz     2  2  2 
x
y
z 
z
y
z 
 t
 x
2:52
Coordenadas cilíndricas
A EQM se torna, nas 3 direções:
 vr
 1   vr  vr 1  2vr 2 v  2vr 
vr v vr v2
vr 
p
    g r   
 
 vr

  vz
 2
 2
r
 2  2
2

t

r
r


r

z

r
r

r

r
r
r


r


z 





v v v v v
v
 v
    vr      r   vz 
r
r 
r
z
 t
 1   v
1 p





g



r


r 

 r r  r
2
2
 v 1  v 2 vr  v 
 2
 2 
 2  2
2
r 
r  z 
 r
 1   vz  1  2vz  2vz 
vz v vz
vz 
p
 vz

 vr

 vz
 2
    g z   
r
 2
2
r r 
z 
z
z 
 t
 r r  r  r 
2:52
Equação da quantidade de movimento
Casos particulares
- Escoamento permanente:
  2u  2u  2u 
 u
u
u 
p
  u  v  w   g x     2  2  2 
y
z 
x
z 
 x
 x y
  2v  2v  2v 
 v
v
v 
p
  u  v  w   g y     2  2  2 
y
z 
y
 x
 x y z 
 2w 2w 2w 
 w
w
w 
p
  u  v  w   gz     2  2  2 
y
z 
z
y
z 
 x
 x
2:52
Equação da quantidade de movimento
Casos particulares
- Escoamento bidimensional (w=0):
  2u  2u 
 u
u 
p
  u  v   g x     2  2 
y 
x
y 
 x
 x
  2v  2v 
 v
v 
p
  u  v   g y     2  2 
y 
y
 x
 x y 
2:52
Equação da quantidade de movimento
Casos particulares
- Escoamento unidimensional (v=w=0):
2

u

p

u


  u   gx    2
x
x
 x 
2:52
Exercício

Lista de exercícios.
y
v(x)
x
h
2:52
h