2 2

ESTATÍSTICA
•MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
•MEDIDAS DE DISPERSÃO
Estatística
• ELEMENTOS TÍPICOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO:
 Medidas de posição
 Medidas de variabilidade ou dispersão
Medidas de Tendência Central
• É um valor calculado para um grupo de dados
• usado para descrever esses dados.
• Tipicamente, desejamos que o valor seja
representativo de todos os valores do grupo
• os dados observados tendem, em geral, a se
agrupar em torno dos valores centrais.
Medidas de Tendência Central
•
São Medidas de Tendência Central:
1. média;
2. mediana;
3. moda
1 - MÉDIA ARITMÉTICA
• definida como a soma dos valores dividida
pelo número de elementos.
• Sua aplicação é seguramente a mais usada
• podem ser:
– Média para dados simples
– Média para dados agrupados
– Média para dados agrupados em classes.
1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLES (X)
Exemplo: Dado um a idade de 5 crianças
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12
média - x = 4 + 6 + 8 + 10 +12
5
X = ∑xi
n
sendo “ n “ o número de elementos
Assim: X = 40 = 8
5
Portanto a idade média dessas 5 crianças é 8 anos.
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS
AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)
• Exemplo: Idade de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3
5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
X = 1+1+1 + 2+2+2 + 3+3+3+3 + 5+5+5+5+5+5 + 6+6+6 + 9
20
X = 1 . 3 + 2 . 3 + 3 . 4 + 5 . 6 + 6 . 3 + 9 .1 = 3+6+12+30+18+9
3+3+4+6+3+1
20
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS
AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)
• Quando o conjunto de dados para os quais
precisamos calcular a média é mais extenso,
temos a necessidade de agrupar os dados.
Assim, a média desse grupo é calculado da
seguinte forma:
X =  (Xi . fi )
 fi
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS
AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)
Xi
1
2
3
5
6
9
fi
3
3
4
6
3
1
20
Fonte: dados fictícios
Xi . fi
3
6
12
30
18
9
78
X =  Xi . fi
 fi
X = 78 = 3,9
20
1.3. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS
AGRUPADOS EM CLASSES
IDADE DE ALUNOS
Xi
0
2..........
2
4..........
4
6..........
6
8..........
8
10..........
total .........
Fonte: Dados fictícios
X =  (PM. Fi )
 fi
PM
1
3
5
7
9
fi
3
7
6
3
1
20
X = 87
20
PM.fi
1.3 = 6
3.7 = 21
5.6 = 30
7.3 = 21
9.1 = 9
87
X = 4,35
2 – MEDIANA ( X )
• É o valor que se localiza no centro da
distribuição
• é obtida a partir de seus valores centrais
• Pode ser:
2.1 MEDIANA PARA DADOS SIMPLES
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM
CLASSES INTERVALARES
~
2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)
Há duas situações:
1) Quando o número de elementos pesquisados é ímpar
Xi
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12
Posição:
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
posição central
“ n “ o número de elementos ímpar
Uma posição central - P
~
P = n +1
P = 5 + 1 = 3ª posição => Xi = 8, portanto X = 8
2
2
~
2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)
2) Quando o número de elementos pesquisados é par
X1
Xi (idade) :
Posição:
X2
4;
6;
8; 10;
1ª
2ª
3ª
4ª
P1
P2
10;
12
5ª
6ª
(2 Posições centrais)
“ n = 6 número PAR de elementos
Duas posições centrais - P1 e P2
P1 = n
P1 = 6 = 3ª posição => X1 = 8,
2
2
P2 = é a próxima P2 = 4ª posição => X2= 10,
~
X = X1 + X2 = 8 + 10
2
2
~
X=9
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
1)Quando o nº de elementos é IMPAR
Xi
fi
fac
nº de elementos =
1
2
2
 fi = 19 (ímpar)
2
3
5
3
4
9
uma posição central
5
6
15
P =  fi +1 = 19+1
6
3
18
2
2
9
1
19
P = 10ª posição
19
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
Xi
1
2
3
5
6
9
Σ
fi
2
3
4
6
3
1
19
fac
2
5
9
15
18
19
Xi
posição
Xi
posição
Xi
posição
1
1ª
1
2ª
3
8ª
3
9ª
5
15ª
6
16ª
2
3ª
2
4ª
5
10ª
5
5
11ª 12ª
6
17ª
2
5ª
6
18ª
9
19ª
3
6ª
3
7ª
5
5
13ª 14ª
2.2. MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
1) Quando o nº de elementos é IMPAR
Xi
1
2
3
Xi = 5
6
9
-
fi
2
3
4
6
3
1
19
fac
2
5
9
15
18
19
P = 10ª posição
~
X=5
2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
2)Quando o nº de elementos é PAR
Xi
1
2
3
5
6
9
-
fi
2
3
4
6
3
2
20
fac
2
5
9
15
18
20
nº de elementos =  fi = 20(par)
duas posição centrais
P1 =  fi = 20 = 10ª posição
2
2
P2 = é a próxima= 11ª posição
2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
2)Quando o nº de elementos é PAR
Xi
1
2
3
X 1= X 2= 5
6
9
-
fi
2
3
4
6
3
2
20
fac
2
5
9
15
18
20
P1 = 10ª posição
P2 = 11ª posição
X = (X 1 + X 2 ) = 5 + 5
2
2
~
X=5
2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM
CLASSES
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P”
P =  Fi
P = 23
P = 11,5º posição
2
2
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE MEDIANA”
2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM
CLASSES
Xi
li
ls
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
faa
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P”
P =  Fi
P = 23
P = 11,5º posição
2
2
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE MEDIANA”
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM
CLASSES
Xi
0
2
4
6
8
PM
fi
fac
2.......... 1
3
3 faa
li
4.......... 3
10
13
ls
6.......... 5
6
19
8.......... 7
3
22
10.......... 9
1
23
total .........
23
Posição central
-> P = 11,5º posição
Limite inferior da classe -> li = 2
Limite superior da classe -> ls = 4
Amplitude da classe
-> h = ls - li = 4 – 2 = 2
Freqüência da classe
-> fi = 10
Freqüência acumulada anterior -> faa = 3
~
X = li + P - faa . h
fi
~
X = 2 + 11,5 - 3 . 2
10
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM
CLASSES
Xi
li
ls
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
faa
~
X = 2 + 8,5
10
.2
~
X = 2 + 0,85 . 2
~
X = 2 + 1,70
~
X = 3,70
^
2 – MODA ( X )
• É o ponto de maior concentração de
ocorrências de uma variável
• Coincide com o conceito vulgar da palavra,
isto é, o que ocorre com maior freqüência
^
2.1 – MODA PARA DADOS SIMPLES ( X )
• Exemplo: Idade de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3
5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
O valor que apareceu maior número de vezes é o 5
^
portanto => X = 5
^
2.2 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS ( X )
Xi
1
2
3
Xi = 5
6
9
-
fi
2
3
4
6
3
1
19
Maior valor de fi
^
Xi = 5
2.3. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM
CLASSES – MODA DE CZUBER - ^
Xcz
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
fmax
1º passo: Achar a classe onde se encontra a maior freqüência -
fmax
^
2.3. MODA DE Czuber - XCZ
Xi
0
2
4
6
8
2..........
li
4..........
ls
6..........
8..........
10..........
total .........
Limite inferior
=>
Limite superior
=>
Amplitude da classe=>
PM
fi
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
fant
fmax
fpos
li = 2
ls = 4
freqüência máxima => fmax = 10
freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
h = ls – li = 4 – 2 = 2
1 = fmax – fant = 10 – 3
2 = fmax – fpost = 10 – 6
=7
= 4
^
2.3. MODA DE Czuber - XCZ
Limite inferior
Limite superior
=>
=>
Amplitude da classe=>
li = 2
ls = 4
freqüência máxima => fmax = 10
freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
h = ls – li = 4 – 2 = 2
1 = fmax – fant = 10 – 3
2 = fmax – fpost = 10 – 6
=7
= 4
Cálculo da moda de Czuber
^
Xcz = li + ___ 1 ___ . h
1 + 2
^
Xcz = 2 + __7__ . 2 = 2 + _7_ . 2 = 2 + 14 = 2 + 1,3 =
7+4
11
11
3,3
2.3. MODA DE KING
Xi
0
2
4
6
8
2..........
li
4..........
ls
6..........
8..........
10..........
total .........
Limite inferior
=>
Limite superior
=>
Amplitude da classe=>
PM
fi
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
li = 2
ls = 4
-
^
Xki
fant
fmax
fpos
freqüência máxima => fmax = 10
freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
h = ls – li = 4 – 2 = 2
2.3. MODA DE KING
Limite inferior
Limite superior
=>
=>
Amplitude da classe=>
-
^
Xki
li = 2
ls = 4
freqüência máxima => fmax = 10
freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
h = ls – li = 4 – 2 = 2
Cálculo da moda de KING
^
Xki = li +
fpost
. h
fant + fpost
^
Xcz = 2 + 6
. 2 = 2 + 6 . 2 = 2 + 12 = 2 + 1,3 =
3+6
9
9
3,3
^
2.3. MODA DE Pearson - Xpe
Cálculo da moda de PEARSON
~
_
^
Xpe = 3. X - 2. X
~
Exemplo: Em um levantamento de dados onde a Mediana = X = 4
Média
A moda de Pearson será:
^
X = 3.4 - 2 . 4,2 = 12 – 8,4
^
X = 3,6
= X = 4,2
Outras separatrizes
• A Mediana divide a distribuição em duas
partes.
• É o atributo que está no meio da
distribuição:
– 50% dos valores acima da mediana
– 50% dos valores abaixo da mediana
Outras separatrizes
QUARTIS ou QUARTILHOS
• o Quartil divide a distribuição em 4 partes
de igual freqüência.
• Seu cálculo é importante para as medidas de
dispersão e variabilidade
• São três:
Outras separatrizes
Quartil
• São três:
• Q1 = quartil inferior ou primeiro quartil.
Tem 25% da distribuição abaixo de si
• Q2 = é a mediana ou quartil mediano
• Q3 = quartil superior ou terceiro quartil.
Tem 75% da distribuição abaixo de si
Quartil
• 1º quartil - Q1 = assume a posição P1q = Σfi
4
• 2º quartil – Q2 = assume a posição P2q = 2. Σfi
4
• 3º quartil - Q3 = assume a posição P3q = 3.Σfi
4
1º QUARTIL – Q1
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO QUARTIL “ P1q ”
P1q =  Fi
P1q = 23
P 1q = 5,75º posição
4
4
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO QUARTIL – Q1”
1º QUARTIL – Q1
Xi
0
2
4
6
8
PM
fi
fac
2.......... 1
3
3 faa
li
4.......... 3
10
13
ls
6.......... 5
6
19
8.......... 7
3
22
10.......... 9
1
23
total .........
23
Posição 1º quartil
-> P 1q= 5,75º posição
Limite inferior da classe -> li = 2
Limite superior da classe -> ls = 4
Amplitude da classe
-> h = ls - li = 4 – 2 = 2
Freqüência da classe
-> fi = 10
Freqüência acumulada anterior -> faa = 3
Q1 = li + P1q - faa . h
fi
Q1 = 2 + 5,75 - 3 . 2
10
1º QUARTIL – Q1
Xi
li
ls
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
faa
Q1 = 2 + 2,75 . 2
10
Q1 = 2 + 0,55
Q1 = 2,55
3º QUARTIL – Q3
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO TERCEIRO QUARTIL “ P3q ”
P3q = 3. Fi
P3q = 3. 23
P 3q = 17,25º posição
4
4
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O TERCEIRO QUARTIL – Q3”
3º QUARTIL – Q3
Xi
0
2
4
6
8
PM
fi
fac
2.......... 1
3
3
4.......... 3
10
13 faa
li
6.......... 5
6
19
ls
8.......... 7
3
22
10.......... 9
1
23
total .........
23
Posição central
-> P 3q= 17,25º posição
Limite inferior da classe -> li = 4
Limite superior da classe -> ls = 6
Amplitude da classe
-> h = ls - li = 6 – 4 = 2
Freqüência da classe
-> fi = 6
Freqüência acumulada anterior -> faa = 13
Q3 = li + P3q - faa . h
fi
Q3 = 4 + 17,25 - 13 .2
6
3º QUARTIL – Q3
Xi
li
ls
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
faa
Q3 = 4 + 4,25 . 2
13
Q3 = 4 + 0,65
Q3 = 4,65
Outras separatrizes
Decil
• Dividem a distribuição em 10 partes de
igual freqüência.
• São nove
• o quinto decil é a mediana.
Decil
• 1º decil • 2º decil –
• 9º decil
Σfi
10
D2 = assume a posição P2d = 2. Σfi
10
D1 = assume a posição P1d=
- D9 = assume a posição P9d = 9.Σfi
10
1º DECIL – D1
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO DECIL “ P1d ”
P1d =  Fi
P1d = 23
P 1d = 2,3º posição
10
10
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO DECIL – D1”
1º DECIL – D1
Xi
li
ls
0
2
4
6
8
PM
fi
fac
2.......... 1
3
3
faa
4.......... 3
10
13
6.......... 5
6
19
8.......... 7
3
22
10.......... 9
1
23
total .........
23
Posição 1º DECIL
-> P 1d= 2,3º posição
Limite inferior da classe -> li = 0
Limite superior da classe -> ls = 2
Amplitude da classe
-> h = ls - li = 2 – 0 = 2
Freqüência da classe
-> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 0
D1 = li + P1d - faa . h
fi
D1 = 0 + 2,3 – 0 . 2
3
1º DECIL – D1
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
D1 = 0 + 2,3 . 2
3
D1 =
1,53
9º DECIL – D9
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONO DECIL “ P9d ”
P9d = 9. Fi
P9d = 9. 23
P9d = 20,70º posição
10
10
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O NONO DECIL – D9”
9º DECIL – D9
Xi
li
ls
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
faa
Posição central
-> P 9d= 20,7º posição
Limite inferior da classe -> li = 6
Limite superior da classe -> ls = 8
Amplitude da classe
-> h = ls - li = 8 – 6 = 2
Freqüência da classe
-> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 19
D9 = li + P9d - faa . h
fi
D9 = 6 + 20,7 - 19 .2
3
9º DECIL – D9
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
fac
3
13
19 faa
22
23
D9 = 6 + 1,7
3
D9 = 6 + 1,13
D9 = 7,13
.2
Outras separatrizes
Centil ou Percentil
• Dividem a distribuição em 100 partes de
igual freqüência.
• São noventa e nove
• o qüinquagésimo centil é a mediana.
Percentil - Ci
• 1º percentil -
C1 = assume a posição P1c= Σfi
100
• 2º percentil – C2 = assume a posição P2c = 2. Σfi
100
• 99ºpercentil - C99 = assume a posição P99c =99.Σfi
100
10º PERCENTIL – C10
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO DÉCIMO PERCENTIL “ P10c ”
P10c = 10 .  Fi
P10c = 10 .23
P 10c = 2,3º posição
100
100
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O Décimo Percentil – C10”
10º PERCENTIL – C10
Xi
PM
fi
fac
2.......... 1
3
3 faa C10 = li + P10c - faa . h
fi
4.......... 3
10
13
6.......... 5
6
19
8.......... 7
3
22
10.......... 9
1
23
total .........
23
C10 = 0 + 2,3 – 0 . 2
Posição 10º percentil -> P 10c= 2,3º posição
3
Limite inferior da classe -> li = 0
Limite superior da classe -> ls = 2
Amplitude da classe
-> h = ls - li = 2 – 0 = 2
Freqüência da classe
-> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 0
li
ls
0
2
4
6
8
10º PERCENTIL – C10
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
C10 = 0 + 2,3 . 2
3
C10 =
1,53
90º percentil – C90
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONAGÉSIMO PERCENTIL “ P90c ”
P90c = 90. Fi
P90c = 9. 23
P90c = 20,70º posição
100
100
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O nonagésimo percentil – C90”
90º PERCENTIL – C90
Xi
li
ls
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
C90 = li + P90c - faa . h
fi
faa
Posição central
-> P 90c= 20,7º posição
Limite inferior da classe -> li = 6
Limite superior da classe -> ls = 8
Amplitude da classe
-> h = ls - li = 8 – 6 = 2
Freqüência da classe
-> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 19
C90 = 6 + 20,7 - 19 .2
3
90º PERCENTIL – C90
Xi
0
2
4
6
8
2..........
4..........
6..........
8..........
10..........
total .........
PM
fi
fac
1
3
5
7
9
3
10
6
3
1
23
3
13
19
22
23
C90 = 6 + 1,7
3
C90 = 6 + 1,13
C90 = 7,13
.2
Relações
Quartil
Q1 =
Q2 =
Q3 =
Decil
D1 =
=
D5 =
=
D9 =
Percentil
C10
C25
C50 =
C75
C90
Mediana
~
X
Outras médias
MÉDIA DE INTERVALO
É a média entre a menor e a maior observação em um
conjunto de dados.
Média de Intevalo =
XMENOR + XMAIOR
2
MÉDIA DAS JUNTAS ou Midhinge
É a média entre o primeiro e o terceiro quartil.
Midhinge =
Q1 + Q3
2
Medidas de Dispersão
• As Medidas de Tendência Central:
– representam de certa forma uma determinada
distribuição de dados
– só elas não são suficientes para caracterizar a
distribuição.
• Para uma análise estatística mais exata é
necessária a verificação da flutuação dos
valores em torno de sua média aritmética
Medidas de Dispersão
• Suponha as notas de 2 grupos de
estudantes, cada qual com 5 alunos.
• GRUPO “A” : 4, 5, 5, 6
• GRUPO “B” : 0, 0, 10, 10
• Média do grupo “A”: 5
• Média do grupo “B”: 5
Medidas de Dispersão
• Os dois grupos apresentam a mesma média
• O comportamento dos 2 grupos são bem
distintos.
GRUPO “A”: valores são mais homogêneos
GRUPO “B”: valores são dispersos em
relação à média
Medidas de Dispersão
• Dentre as medidas de dispersão pode-se citar
algums delas:
– a) Amplitude Total
– b) Amplitude Interquartil
– c) Desvio Quartílico ou
Amplitude Semi-interquartílico
– d)Desvio Médio
– e) Variância
– f) Desvio Padrão
a) Amplitude Total - R
– é a diferença entre o maior e o menor valor
observados.
R = Limite superior - Limite Inferior
• Exemplo 5: Idade de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
R=9–1=8
b) Amplitude Interquartil – AIQ
ou IQR ( InterQuartile Range )
é a diferença entre o terceiro quartil e o
primeiro quartil.
AIQ ou IQR = Q3 - Q1
– Supera a dependência dos valores extremos
– Abrange 50% dos valores centrais,
eliminando os 25% dos valores mais baixos e
os 25% dos valores mais altos
c) Desvio Quartílico ou
Amplitude Semi-interquartílico
é a diferença entre o terceiro quartil e o
primeiro quartil.
Dq = Q3 - Q1
2
d) Desvio Médio - DM
 é a diferença entre o terceiro quartil e o
primeiro quartil.
DM = Σ Xi – X_
n
Sendo:
DM = Desvio Médio
n = nº elementos
X
= média aritmética
Xi = vr. variável
d) Desvio Médio - DM
Exemplo 6: Dado o levantamento:
Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10
a) Calcule a média
Σ Xi
X=
n
b) Montar a tabela a seguir:
40
=10
=4
d) Desvio Médio - DM
Xi
2
2
3
3
3
4
4
4
5
10
Xi - x
2–4= -2
2–4= -2
3–4= -1
3–4= -1
3–4= -1
4–4= 0
4–4= 0
4–4= 0
5–4= 1
10 – 4 = 6
Σ
Xi – x
2
2
1
1
14
Σ Xi – x_
1 DM = n - 1
= 9
0
0 DM = 1,56
0
1
6
14
d) Variância - 2
– é a média dos quadrados dos afastamentos entre
as os valores da variável e sua média aritmética
– Revela a dispersão do conjunto que se estuda
d.1) Variância - 2 – dados simples
Exemplo 7: Dado o levantamento:
Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10
a) Calcule a média
Σ Xi
X=
n
b) Montar a tabela a seguir:
40
=10
=4
d.1) Variância - 2 – dados simples
Xi
2
2
3
3
3
4
4
4
5
10
Xi - x
2–4= -2
2–4= -2
3–4= -1
3–4= -1
3–4= -1
4–4= 0
4–4= 0
4–4= 0
5–4= 1
10 – 4 = 6
Σ
( Xi – x )2
22 = 4
22 = 4
12 = 1
12 = 1
12 = 1
02 = 0
02 = 0
02 = 0
12 = 1
62 = 36
48
2
Σ
(
Xi
–
x
)
2 =
n-1
2 =
48
= 5,33
9
=
d.2) Variância - 2 – dados agrupados
Xi
fi
2
2
3
4
4
3
5
1
10
1
Σ fi = 10
2
Xi . fi
Xi - x
( Xi – x )2 ( Xi – x )2 . fi
2 . 2 = 4 2 – 4 = -2 (-2)2 = 4
4.2= 8
3.3= 9
3 – 4 = -1 (-1)2 = 1
1.3= 3
4 . 3 = 12
4–4=0
02 = 0
0.3= 0
5.1= 5
5–4=1
12 = 1
1.1= 1
10 . 1 = 10 10 - 4 = 6
62 = 36
36 . 1 = 36
Σ fi = 40
Σ fi = 48
2 . fi
Σ
(
Xi
–
x
)
=
Σ fi - 1
2 = 48
9
= 5,33
d.2) Variância - 2 – dados agrupados em
classes
Xi
PM fi PM.fi
0 2..... 1 2 1.2 = 2
2
4..... 3
4 3.4 = 12
4
6..... 5
8 5.8 = 40
6
8..... 7
6 7.6 = 42
8 10.... 9
1 9.1 = 9
total ....
21
105
2 = 4,4
PM-x ( PM–x )2 ( PM–x )2.fi
1-5= -4 (-4)2 = 16
16 . 2 = 32
3-5= -2 (-2)2 = 4
4 . 4 = 16
5-5= 0
02 = 0
0.8= 0
7-5= 2
(2)2 = 4
4 . 6 = 24
9-5= 4
(4)2 = 16
16 . 1 = 16
88
X = Σ ( PM.fi) = 105
Σ fi
21
2
X=5
2 . fi
2 = 88
Σ
(
PM
–
x
)

=
=
20
Σ fi - 1
d) Desvio Padrão - 
– Por definição, é a raiz quadrada da média
aritmética dos quadrados dos desvios
=
2
– É a mais utilizada
– Revela a dispersão do conjunto que se estuda
e) Desvio Padrão - 
– Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão
é nulo.
– quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é
a distribuição, significa que os valores são mais
dispersos em torno da média
– MEDIA ± 1  => 68,26% dos valores
– MEDIA ± 2  => 95,44% dos valores
– MEDIA ± 3  => 99,74% dos valores
f) Coeficiente de Variação - CV
CV =

X
 - desvio padrão
X - média artitmética
– o CV mede o grau de heterogeneidade da
distribuição
– Valor máximo é CV = 1
0 ≤ CV ≤ 1
Coeficiente de Variação - CV
– Quanto mais próximo de 1:
mais heterogênea é a distribuição
Os valores estão mais dispersos
– Quanto mais próximo de 0:
mais homogênea é a distribuição
Os valores da variável estão mais próximos em torno
da média
Coeficiente de Variação - CV
– Ex: Dado 2 estudantes cujas notas bimestrais
foram:
• “a”: 60; 40; 50; 50
• “b”: 70; 70; 30; 30
• Qual foi mais regular ?
f) Coeficiente de Variação - CV
Na comparação de variabilidade de dois
ou mais conjuntos de dados:
1. expressos em diferentes unidades de
medida
2. expressos nas mesmas unidades, mas
com médias diferentes.
f) Coeficiente de Variação - CV
Comparação de valores expressos em
diferentes unidades de medida
Exemplo 8: Deseja-se comparar qual grandeza varia
mais: PESO ou COMPRIMENTO
XPESO = 20 g
XCOMPRIMENTO = 50 metros
PESO = 2 g
COMPRIMENTO = 4 metros
f) Coeficiente de Variação - CV
PESO
CVP =
CVP =
XPESO
CVC =
COMPRIMENTO
XCOMPRIMENTO
CVPESO = 0,10
≥
CVC =
2
20
CVP =
4
50
CVC = 0,08
0,10
CVCOMPRIMENTO = 0,08
PESO varia mais que o comprimento
f) Coeficiente de Variação - CV
expressos nas mesmas unidades, mas
com médias diferentes
Exemplo 9: Deseja-se comparar qual grupo “ A ”
ou “ B “ tem mais variação de rendimento em um
processo:
XA = 80 %
XB = 50 %
A = 2 %
B = 1 %
f) Coeficiente de Variação - CV
CVA =
CVB =
A
XA
B
XB
CVP =
2
80
CVA = 0,025
CVB =
1
50
CVB = 0,020
CVA = 0,025 ≥ CVB = 0,020
O rendimento do Produto A varia mais que o
rendimento do produto B no decorrer do processo
Esquema dos 5 Números
Box – Plot ou
Gráfico Box-and-Whisker
XMENOR
25%
XMAIOR
25% dos dados
25% dos dados
Q1
~X
Q3
3º Quartil
Mediana
3º Quartil
25%
Dados suspeitos ou Outliers
Suspeito
IQR = Q3 - Q1
Q1 - 3 . IQR
Q3 + 3 . IQR
Q1 – 1,5. IQR
Q3 + 1,5. IQR
Possível suspeito