O sistema campo - carga perde energia potencial elétrica quando

POTENCIAL ELÉTRICO
Utilizaremos o conceito de energia no nosso estudo da eletricidade
Em mecânica vimos que força gravítica e a força de mola (força elástica) são ambas
forças conservativas  estão associadas com energia potencial gravítica e energia
potencial da mola (energia potencial elástica), respetivamente
A força eletrostática (dada pela lei de Coulomb) também é uma força conservativa,
então podemos associá-la à uma energia potencial elétrica
Com a energia potencial elétrica, nós podemos definir uma grandeza denominada
potencial elétrico
Obs: Na mecânica definimos também um potencial  é o potencial gravitacional
O potencial elétrico por ser uma grandeza que é uma função escalar da posição 
conduz a um meio mais simples de descrever os fenómenos eletrostáticos comparado
com o método do campo elétrico
1
TRABALHO REALIZADO PELO CAMPO ELÉTRICO
Uma carga de prova q0 colocada num campo elétrico
Sofre a ação de uma força


Fe  q0 E
Trabalho realizado pelo campo elétrico sobre acarga
de prova, num deslocamento infinitesimal ds é

 

WE  Fe  ds  q0 E.ds
É similar ao trabalho feito por um campo
gravitacional sobre um corpo em queda livre
 
W  m0 g  h
2
ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA
.
O trabalho feito por uma força conservativa é igual ao simétrico da variação da energia
potencial
 
dU  dWE  q0 E  ds
Para um deslocamento finito de uma carga de prova q0 entre os pontos A e B, a
variação da energia potencial do sistema campo – carga é
B 
 

U  U B  U A    dWE    q0 E  ds  q0  E  ds
B
B
A
A
A
A integral acima é calculada ao longo da trajetória na qual a partícula se desloca de A
para B  denominada integral da trajetória ou integral de linha.
Como a força é conservativa, essa integral não depende da trajetória entre A e B
3
DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO
Por definição, V  VB  VA , a diferença de potencial entre os pontos A e B e é igual
à variação da energia potencial dividida pela carga de prova q0
VB  VA 
U B U A
q0

B 

U
V 
   E  ds
q0
A
OBSERVAÇÕES
A diferença de potencial não deve ser confundida com a diferença de energia potencial:
Diferença de Potencial ≠ diferença de Energia Potencial
As duas grandezas estão relacionadas por
Temos que :
U  WE  K
U  q0 V
4
POTENCIAL ELÉTRICO NUM PONTO ARBITRÁRIO
Por conveniência, a função V é muitas vezes considerada nula num determinado
ponto (às vezes chamado terra).
Usualmente escolhemos um ponto no infinito (∞)
como o ponto de potencial nulo.
q
Com essa escolha podemos dizer que :
O potencial elétrico num ponto arbitrário 
é igual ao trabalho necessário, por unidade de
carga, para trazer uma carga de prova positiva do
infinito até o ponto considerado.
P
VP 
  dWE

q0
 
VP    E  d s
P


VA  0 no 
5
 
VP    E  ds
P
onde

E
é o campo elétrico estabelecido pelas cargas – fonte

Na realidade, VP representa a diferença de potencial entre o ponto P e um ponto no
infinito
A unidade SI do potencial: joule por coulomb, denominada volt (V): 1 V  1 J / C
A diferença de potencial,U  q0 V , tem as mesmas unidades do
campo elétrico  distância 
As unidade SI do campo elétrico, newtons por coulomb, podem ser expressas em volts
por metro: 1 N / C = 1 V / m
Uma unidade de energia geralmente utilizada na física é o eletrão – volt (eV):
1 eV = (1 e)(1 V) =
1.6 1019 C (1 J / C)  1.6 1019 J
 um eV é a energia cinética ganha por uma partícula com carga e que está sendo acelerada
por uma diferença de potencial de valor 1 V
6
EXEMPLO: Um eletrão no feixe de um tubo de televisão típico pode ter uma
16
velocidade de 3.5  107 m / s. Isso corresponde a uma energia cinética de 5.6  10 J,
que é equivalente a 3.5  103 eV, porque:
19
19
1 eV = (1 e)(1 V) = 1.6 10 C (1 J / C)  1.6 10 J
5.6 1016
3

3
.
5

10
eV  3.5 keV
19
1.6 10
U = q0 V
Tal eletrão tem de ser acelerado
do repouso com uma diferença
de potencial de 3.5 kV para
atingir essa velocidade.
7
DIFERENÇA DE POTENCIAL NUM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME
(a) Quando o campo elétrico E está direcionado
para baixo, o ponto B está num potencial
elétrico mais baixo que o ponto A.
Quando uma carga positiva de prova se
desloca de A par B, o sistema carga-campo
perde energia potencial elétrica.
(b) Quando o corpo com massa m se desloca para
baixo na direcção do campo gravitacional g, o
sistema corpo-campo perde energia potencial
gravitacional.
B
  B

VB  VA  V    E  ds   E cos 0 ds    Eds
B
A
A
A
Como E é constante, pode ser colocado fora da integral:
B
V   E  ds   Ed
A
 o sinal negativo resulta do fato de que o ponto B
está num potencial mais baixo do que o ponto A ou
seja VB < VA
8
Quando a carga de prova q0 se desloca de A para B
A variação da energia potencial elétrica do sistema
campo – carga é
U  q0V  q0 Ed
Por esse resultado, vemos que se q0 for positiva, então
U é negativa
Se q0 for negativa, então U na equação acima é
positiva e a situação está invertida.
O sistema campo - carga perde energia potencial
elétrica quando uma carga negativa se desloca na
direção oposta à do campo elétrico.
Não temos nenhum análogo para essa
situação no caso gravitacional porque
nenhuma massa negativa foi observada
até o momento.
9
Exemplo
O sistema campo - carga perde energia
potencial elétrica quando uma carga
positiva se desloca na direção do campo
elétrico.
O sistema campo - carga perde energia
potencial elétrica quando uma carga
negativa se desloca na direção oposta à
do campo elétrico.
10
Considere agora o caso mais geral de uma partícula carregada que se desloca entre dois
pontos quaisquer num campo elétrico uniforme
 
 B 
 
V    E  ds   E   ds  E  r
B

r
A
A
representa o vetor deslocamento entre os
pontos A e B

r
A variação na energia potencial elétrica do
sistema campo - carga é
 
U  q0 V  q0 E  r
Os nossos resultados mostram que todos os pontos num plano perpendicular a um campo elétrico
uniforme estão no mesmo potencial
Da figura, obtemos:
 
VB - VA =  E  r   Er cos = - Ed = VC - VA
 VB = VC
11
O nome superfície equipotencial é dado a toda superfície que consista numa distribuição
contínua de pontos que têm o mesmo potencial elétrico.
Observe que, como U  q0 V , nenhum trabalho é necessário para mover uma partícula de
prova entre dois pontos quaisquer e numa superfície equipotencial.
U  WE  K
As superfícies equipotenciais dum campo elétrico uniforme consistem numa família de planos,
todos perpendiculares ao campo.
Exemplos: Quatro superfícies equipotenciais.
O campo elétrico é perpendicular às superfícies
Trabalho realizado pelo campo elétrico
sobre uma partícula carregada quando se
move de um extremo a outro.
12
EXEMPLO
Num campo elétrico, transporta-se uma carga q de 2 µC de ponto X até um ponto Y.
O trabalho da força elétrica é de -0,6 µJ. Determine a ddp entre os pontos X e Y.
WE  0.6 μJ

q  2 C
U  WE  K
Y
V 
U

q
0.6 106
V 
 0.3 V
6
2 10
X
13
POTENCIAL ELÉTRICO DEVIDO À CARGAS PONTUAIS
Vamos agora focalizar nossa atenção nas cargas pontuais, que sabemos que produzem campos
elétricos que não são uniformes.
Considere uma carga pontual positiva isolada q
 
VB  V A    E  ds
B
mas
A
 
q  
E  ds  k e 2 rˆ  ds
r
onde
 
rˆ  ds  ds cos  dr
Substituindo na integral fica
rB
rB
rB
 
q
dr k q 
VB  VA    E  ds    ke 2 dr  ke q  2  e 
r
r
r  rA
A
rA
rA
B
1 1
VB  VA  ke q   
 rB rA 
Os dois círculos tracejados representam seções
transversais das superfícies equipotenciais
esféricas
 esta equação expressa o importante
resultado de que a diferença de
potencial entre quaisquer dois pontos
A e B depende somente das
coordenadas radiais rA e rB
14
Como já vimos pode-se definir o potencial de referência como sendo zero em rA = 
Com essa escolha, o potencial elétrico
devido a uma carga pontual a qualquer
distância r da carga é
q
q
V  ke
r
V é constante sobre uma superfície esférica de raio r centrado na carga pontual
O potencial elétrico de duas ou mais cargas pontuais é obtido aplicando-se o princípio da
sobreposição
Para um conjunto de cargas, podemos escrever o potencial total em P na forma
qi
V   ke
ri
i
Observe que a soma nessa equação é uma soma algébrica de grandezas escalares em vez de uma
soma vetorial (que é utilizada para calcular o campo elétrico de um conjunto de cargas)
Além disso é muito mais fácil calcular V para muitas cargas do que calcular o campo elétrico
15
ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DEVIDO À CARGAS PONTUAIS
Energia potencial elétrica de interação de um sistema de partículas carregadas
Se V2 for o potencial elétrico no ponto P devido à carga q2, o trabalho (de um agente externo)
necessário para trazer uma segunda carga q1 do infinito ao ponto P será
W  q1V2
esse trabalho representa uma transferência de energia para o
sistema na forma de energia potencial U
U  q1V2  k e
r1 2
q1
r2 3
r1 3
r1 2
q2
r
P
q2
q1 q2
r12
q1
Se tivermos três cargas:
q2
V2  k e
q3
qq
qq
qq
U  ke 1 2  ke 1 3  ke 2 3
r12
r13
r23
q2
r1 2
P
16
OBTENÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO PELO POTENCIAL ELÉTRICO
B
 
V    E  ds  V   dV
B
A
A
Portanto podemos escrever que a diferença de potencial dV entre dois pontos que distam ds um
do outro como sendo
Para
 
E  Ex
temos que
 
dV   E  ds
 
E  ds  Ex dx
ou

dV   Ex dx
dV
Ex  
dx
 o campo elétrico é igual a menos derivada do potencial elétrico com respeito a alguma
coordenada
17
A variação no potencial é nula para qualquer deslocamento perpendicular ao campo elétrico
Isso é consistente com a noção de que as superfícies equipotenciais são perpendiculares ao campo:
Campo elétrico uniforme
Carga pontual
Distribuição de carga tem simetria esférica

Dipolo elétrico
 
dV   E  ds   Er dr 
dV
Er  
dr
Em geral, o potencial elétrico é uma função de todas as três coordenadas espaciais 
Ex  
dV
dx
Ey  
dV
dy
é uma equação diferencial, onde   (
Ez  
dV
dz
 
 
 
ex  e y  ez )
x
y
z
e
V ( x, y, z )

E  V
 o operador gradiente
18
POTENCIAL ELÉTRICO DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
Potencial dV em qualquer ponto P devido ao elemento de carga dq é
dV  k e
dq
r
O potencial total será
V  ke 
dq
r
Um outro método para calcular o potencial de uma distribuição contínua de carga é utilizar
B 

U
V 
   E  ds
q0
A
Esse procedimento é útil para quando o campo elétrico já é conhecido a partir de outras
considerações, tais como a lei de Gauss.
Substituímos E e escolhemos, V como zero em algum ponto conveniente.
19
Exemplo: Calcular o potencial no ponto P de um eixo perpendicular ao centro no centro
de um anel de raio a e carga Q
dq
V  ke 

r
como
r  x2  a2
dq
V  ke 
V 
x2  a2
ke
x a
2
2
 dq
 V
keQ
x2  a2
20
POTENCIAL ELÉTRICO DUM CONDUTOR CARREGADO
Considere um condutor de formato arbitrário com um excesso de carga positiva
A densidade superficial de carga não é uniforme
O condutor está em equilíbrio eletrostático 
- toda a carga permanece na superfície, e E = 0 dentro do
condutor
- o campo elétrico na face externa do condutor é perpendicular à
superfície
Demonstraremos que todo ponto na superfície de um condutor
carregado em equilíbrio eletrostático está no mesmo potencial
elétrico
E é sempre perpendicular ao deslocamento ds entre dois pontos
da superfície. Então
 
E  ds  Eds cos 90   0
 
V  VB  V A    E  ds  0
B
A

 como o campo elétrico é zero dentro do condutor,
concluímos que o potencial é constante em todo lugar
dentro do condutor e igual a seu valor na superfície.
21
DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL
RESUMO
B 

U
V 
   E  ds
q0
A
V  VB  VA
Definição de diferença de potencial
 
VP    E  ds
P
Definição de potencial num ponto P 
VA  0
no 

Diferença de potencial e (ou) potencial:
Num campo elétrico Uniforme 
Devido à uma carga pontual 
V  Ed
1 1
V  ke q   
 rB rA 
Devido à um conjunto de cargas pontuais 
ou
V   ke
i
V  ke
q
r
para A no 
para A no 
qi
ri
Devido à uma distribuição contínua de cargas cargas pontuais  dV  k e
dq
r
 V  ke 
dq
r
 
V  VB  VA    E  ds  0  VB  VA
B
Potencial elétrico dum condutor carregado:
A
 porque no volume, E=0 e na superfície E é perpendicular à trajetória ds
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Exemplo: Considere uma esfera metálica maciça de raio R e carga total positiva Q.
Como temos um condutor esférico a
distribuição de carga é uniforme
V  ke
Q
r
 Potencial fora da esfera
Potencial gravitacio nal :


M


V  G
r


E  ke
Q
r2
 Campo elétrico fora da esfera
23
Para determinar como a carga se distribui num condutor não esférico, vamos analisar
um sistema simples
O sistema consiste em duas esferas condutoras carregadas de raio r1 e r2, onde r1 > r2, ligadas por
um fino fio condutor
Supomos que as duas esferas são tão separadas que o campo
elétrico duma esfera não influencia o campo eléctrico da outra
esfera.
Como as duas esferas são ligadas por um fio condutor  supomos
que todo o sistema é um único condutor e que todos os pontos devem
estar no mesmo potencial
q1
q2
V  ke
 ke
r1
r2


q1 r1

q2 r2
que esfera maior tem a maior quantidade de carga.
Campo elétrico em cada condutor
q
E1  k e 12
r1
q2
E2  k e 2
r2
24
q1
E1
r12
q1 r22 r1 r22



q 2 q 2 r12 r2 r12
E2
ke 2
r2
ke

E1 r2

E2 r1
 quer dizer que o campo elétrico próximo à
esfera menor é maior que o campo próximo à
esfera maior.
 Como o campo elétrico próximo à superfície de um condutor é proporcional à densidade
superficial de carga, a esfera menor tem a maior densidade superficial de carga.
Esta é a quarta propriedade listada para os condutores em equilíbrio eletrostático:
• NUM CONDUTOR DE FORMA IRREGULAR, A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA É MÁXIMA NOS
LOCAIS ONDE É MÍNIMO O RAIO DE CURVATURA DA SUPERFÍCIE
Campo forte
Maior densidade superficial de carga
Campo fraco
Menor densidade superficial de carga
25
Exemplo: Duas esferas condutoras. A esfera menor tem raio a e carga Q positiva , e a
esfera maior de raio c não está carregada (neutra).
Ao aproximarmos as duas esferas:
- A esfera menor atrai as cargas negativas da
esfera maior e repele as cargas positivas.
As curvas pontilhadas azuis correspondem as
interseções das superfícies equipotenciais com
a página.
Como varia o potencial a partir o
centro da esfera 1 até para a
direita da esfera 2, considerando
que b é a distância entre a
superfície da esfera menor e o
centro da esfera maior ?
26
Uma cavidade dentro de um condutor em equilíbrio
Considere um condutor de formato arbitrário contendo uma cavidade.
Se não há cargas dentro da cavidade, o campo elétrico
dentro da cavidade tem de ser zero, independentemente
da carga na superfície externa do condutor.
Todo ponto no condutor está no mesmo potencial 
quaisquer dois pontos A e B na superfície da cavidade têm
de estar no mesmo potencial
assim
 
V  VB  V A    E  ds  0
VB  VA  0
B
Por isso E deve ser zero.
A
Esta propriedade pode ser utilizada para blindar um equipamento eletrónico ou
até mesmo todo um laboratório dos campos externos cercando-o com paredes
condutores.
27
Exemplo : Blindagem eletrostática
No século XIX, por Michael Faraday, através da
seguinte experiência: Eletrizou uma grande gaiola
metálica, até que ela soltasse faíscas.
Utilizando um eletroscópio, verificou que:
1º O interior da gaiola não ficou eletrizado.
2º As cargas em excesso foram tão distanciadas
umas das outras que se concentraram na
superfície da gaiola.
Pêndulo eletrostático
Esfera de cortiça pendurada num
fio de seda a esfera não foi atraída
pela parte interna da gaiola só
pela parte externa.
28
A blindagem eletrostática mostra que uma pessoa dentro de um carro atingido por
um raio nada sofrerá, pois a estrutura metálica do carro isola o seu interior das
influencias elétricas externas.
29
COMPARAÇÃO ENTRE O CAMPO ELÉTRICO E O CAMPO GRAVITACIONAL
Campo Elétrico
Campo (unidade)
E 
F
q
(N C-1)
q1q2
r2
Força
F  ke
Campo no exterior duma
esfera isolada
Q
E  ke 2
r
Potential no exterior
duma esfera isolada
Energia transferida
V  ke
Q
r
W=qV
Campo gravitacional
g
F
m
F  G
(N kg-1)
m1m2
r2
M
r2
M
V  G
r
g  G
W=mV
30