Lógica Fuzzy

Lógica Fuzzy
Lógica Fuzzy Aplicada a
Sistemas de Diagnóstico
Lógica Fuzzy
INTRODUÇÃO.
A lógica fuzzy foi desenvolvida com base na teoria de conjuntos fuzzy,
proposta em meados da década de 60 pelo professor de ciências da
computação Lotfi A. Zadeh.
Os métodos tradicionais de análise são voltados para o uso de técnicas
numéricas.
Em contraste, na maioria das vezes a razão humana envolve o uso de
variáveis cujos valores são conjuntos nebulosos (ou fuzzy).
Ocasionando a necessidade da introdução da variável lingüística, isto é,
uma variável cujos valores são palavras em lugar de números.
Lógica Fuzzy
FUNDAMENTOS DA LÓGICA FUZZY.
A lógica clássica e bivalente.
Alógica Fuzzy e multivalente.
Lógica Fuzzy consegue suportar os modos de raciocínio que são
aproximados ao invés de exatos.
A Lógica Fuzzy, manuseia perfeitamente as expressões verbais,
imprecisas, qualitativas e inerentes da comunicação humana.
Lógica Fuzzy
A Lógica Fuzzy é bastante conveniente no que diz respeito a mapear
um espaço de entradas para um espaço de saídas.
A teoria dos Conjuntos difusos é baseada na idéia de que em
diversas situações o importante é dispor de resultados com razoável
precisão, mas principalmente dispor de resultados de grande
significância.
Precisão X Significância
As palavras são variáveis linguísticas que traduzem informação
qualitativa e são representadas pelos conjuntos Fuzzy.
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CONJUNTOS FUZZY.
O conceito de conjunto fuzzy é o principal pilar da teoria da lógica fuzzy.
Um conjunto fuzzy é descrito por uma função que designa graus de
pertinência igual a zero não pertence ao conjunto.
Matematicamente defini-se um conjunto fuzzy da seguinte forma:
Um conjunto fuzzy F pertencente a um universo U é caracterizado por
uma função de pertinência mF que assume valores no intervalo [0,1],
isto é:
mF: U[0,1]
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Um conjunto fuzzy F em U pode ser representado como um conjunto
de pares ordenados de um elemento genérico u e seu grau de
pertinência mF na função:
F = {(u, mF(u)) / u  U}
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Igualdade.
Se para todo x  U, mA(x) = mB(x), então diz-se que o conjunto A é
igual ao conjunto B.
Subconjunto.
Se para todo x  U, mA(x)  mB(x), então diz-se que o conjunto B
contém o conjunto A, isto é, A  B.
Complementar.
O conjunto completar de A, denotado por Ā, é definido pela seguinte
função de pertinência:
m A ( x)  1  m A ( x)
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União.
A operação de união entre conjuntos fuzzy é semelhante à operação
de união entre conjuntos clássicos, onde a união de dois conjuntos,
por exemplo, A e B, seria dada pelo menor conjunto formado pelos
elementos de ambos os conjuntos da união. A união fuzzy pode ser
escrita em termos das funções de pertinências de A e B como:
m AB ( x)  max[ m A ( x), m B ( x)]
Intersecção .
A operação de união entre conjuntos fuzzy é semelhante à operação
de união entre conjuntos clássicos, onde a união de dois conjuntos,
por exemplo, A e B, seria dada pelo menor conjunto formado pelos
elementos de ambos os conjuntos da união. A união fuzzy pode ser
escrita em termos das funções de pertinências de A e B como:
m AB ( x)  min[ m A ( x), m B ( x)]
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Normas S.
São mapeamentos do tipo s: que combinam as funções de
pertinências de dois conjuntos fuzzy A e B, resultando na função de
pertinência do conjunto A  B, isto é:
s[m A ( x), m B ( x)]  m AB ( x)
Na prática, os mapeamentos normas-s mais utilizados são o
operador máximo e a soma limitada.
m AB ( x)  max[ m A ( x), m B ( x)]
m AB ( x)  min[ m A( x)  m B ( x),1]
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Normas T.
São mapeamentos do tipo t:, que combinam as funções de
pertinências de dois conjuntos fuzzy A e B, resultando na função de
pertinência generalizada do conjunto A  B, isto é:
t[m A ( x), m B ( x)]  m AB ( x)
Na prática, os mapeamentos normas-t mais utilizados são o operador
mínimo e o produto algébrico.
m AB ( x)  min[ m A ( x), m B ( x)]
m AB ( x)  m A ( x)  m B ( x)
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VARIÁVEIS LINGÜÍSTICAS.
Elementos simbólicos utilizados para descrever o conhecimento.
Estrutura da variável Lingüísticas.
Nome da variável;
Predicados que identificam lingüisticamente, diferentes regiões do
universo;
Função de pertinência para cada conjunto fuzzy designado por
um predicado;
Universo.
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Portanto, a variável lingüística pode ser caracterizada, por um
quádrupla (x,T(x),Fi,U), onde x é o nome da variável; T(x) é um
conjunto de predicados lingüísticos de x (esses termos estão
associados a valores em U); Fi é a função de pertinência associada
ao predicado i; e U é o universo.
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SISTEMA FUZZY.
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FUZZIFICADOR.
Realiza o mapeamento do domínio de números reais (em geral
discretos) para o domínio fuzzy.O fuzzificador também representa
que há atribuição de valores lingüísticos, descrições vagas ou
qualitativas, definidas por funções de pertinência às variáveis de
entrada.
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A seguir é apresentado três fuzzificadores mais usados, mostrandose a fuzzificação de  U para um conjunto .
Fuzzificador Singleton
Fuzzificador Gaussiano
Fuzzificador Triangular
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• Regras Fuzzy
Relaciona variáveis fuzzy, cada uma delas associada a um dos seus
predicados.
• Se x é POUCO POSITIVO E y é ZERO ENTÃO z é
POSITIVO GRANDE
• Inferência Fuzzy
O procedimento de Inferência processa os dados fuzzy das
entradas, junto com as regras, de modo a inferir as ações do
sistema fuzzy. Isso é feito em 03 etapas distintas: Aplicação do
Operador Fuzzy nos Antecedentes; Aplicação do método de
Implicação e a aplicação do método de Agregação.
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Aplicação do Operador Fuzzy nos Antecedentes.
Quando o antecedente de uma regra tem mais de uma parte, um operador
fuzzy deve ser aplicado para se obter apenas um número que represente
o resultado do antecedente para a regra. Em uma regra existe dois tipos
de conectivos:
O conectivo AND representa genericamente um operador T- Norma ou
operador de interseção e o conectivo OR representa o operador S Norma ou operador União. Os métodos mais comuns, utilizados para
definir os operadores T-Norma e S-Norma são Min (mínimo) e Max
(máximo), respectivamente.
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Método Mínimo e Máximo.
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Método de Implicação.
O conseqüente da regra fuzzy, é um conjunto fuzzy representado por
uma função de pertinência pré definida na base de dados. A
aplicação do método de implicação irá reformatar a função de
pertinência do conseqüente usando uma função associada ao
resultado do antecedente. A implicação deve ser aplicada em todas
as regras da base de conhecimento.
Os métodos ou funções de associação mais comuns de implicação
são implementados pelas seguintes operações:
1. Operação Min (AND), onde o conjunto fuzzy é limitado no valor do
resultado do antecedente.
2. Operação prod (produto), onde o conjunto fuzzy é multiplicado
pelo valor do resultado do antecedente.
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Uma vez que um sistema de inferência Fuzzy é baseado no teste de
todas as regras da base de conhecimento, o resultado da aplicação
do método de implicação de todas as regras deve ser combinado de
maneira que uma decisão possa ser tomada. A agregação é o
processo pelo qual os conjuntos fuzzy que representam as saídas de
cada regra são combinados em um único conjunto Fuzzy. As
operações mais utilizadas para agregação são: máximo (max) e
soma (sum).
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Na figura abaixo, três (03) regras são utilizadas juntas para mostrar
como é aplicado o método de implicação e agregação.
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•A Implicação de Mandani
–Define o uso das relações fuzzy utilizando os mapeamentos do
tipo norma-t.
•Máquina de Inferência Fuzzy
–Se x é Ai e y é Bi
então
z é Ci
–Ri = (Ai x Bi )x Ci , onde x representa uma determinada
operação.
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DEFUZZIFICADOR.
Na defuzzificação, o valor da variável lingüística de saída inferida
pelas regras fuzzy será traduzido num valor discreto. O objetivo é
obter-se um único valor numérico discreto que melhor represente os
valores fuzzy inferidos da variável lingüística da saída, ou seja a
distribuição de possibilidades.
Defuzificação Centro da Área ou Gravidade
Defuzzificação Média dos Máximos
Defuzzificação Maior dos Máximos
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Na figura abaixo, é possível observar a diferença entre alguns dos
métodos de defuzzificação:
Método de defuzzificação: (a)Centro de Gravidade; (b)Média dos máximos e (c)Maior dos Máximos
Lógica Fuzzy
O SISTEMA FUZZY CLASSIFICADOR
O sistema Fuzzy idealizado no VIBROCOMP utilizou as seguintes
especificações de operadores e métodos
• T- Norma ou AND.
= Operador min (mínimo).
• Implicação.
= Mandani Método min (mínimo).
• Agregação.
= Método max (máximo).
• Defuzzificação.
= Média do Máximo