INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA
POPULACIONAL (σ2 desconhecido)
• Sabemos que se o tamanho da amostra
for superior a 30 a distribuição amostral
das medias é aproximadamente normal.
• Assim, mesmo com σ desconhecido,
podemos substituí-lo por S (desvio padrão
amostral) e utilizar as propriedades da
distribuição normal para calcular
probabilidades.
• Porém, para pequenas amostras ( n ≤ 30),
a distribuição normal não é mais
adequada.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA
POPULACIONAL (σ2 desconhecido)
• Neste caso devemos usar a chamada
•
distribuição “t de Student” na determinação dos
valores críticos, agora denotados por tα/2.
Se a distribuição de uma população é
essencialmente normal ( com forma aproximada
de um sino), então a distribuição de t dada por:
(X - µ )
t = ---------s/√ n
com n-1 graus de liberdade,
é essencialmente uma distribuição t de Student
para todas as amostras de tamanho n.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA
POPULACIONAL (σ2 desconhecido)
• A Distribuição t de “Student”difere da curva
•
•
normal padrão z porque tem um parâmetro
adicional, os chamados graus de liberdade
(GL) que mudam sua forma.
Graus de liberdade, normalmente simbolizados
por gl, são um parâmetro da distribuição t
que pode ser qualquer número real maior que
zero.
É o numero de elementos que podem assumir
quaisquer valores depois que uma estatística
tiver sido calculada.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA
POPULACIONAL (σ2 desconhecido)
• A distribuição t de Student, é utilizada na
•
determinação dos valores críticos agora
denotados por tα/2.
Obtém-se os valores de tα/2 em tabela própria
localizando o nº de graus de liberdade (GL) na
coluna à esquerda e percorrendo a linha
correspondente até atingir o numero
diretamente abaixo do valor aplicável (bilateral)
de α.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA
POPULACIONAL (σ2 desconhecido)
Distribuição t de Student:
Uso da tabela
• Considere n=3, a=10%. Então gl=2 e
a/2=5%
Entra com valor de a e gl
e obtém ta/2
gl
20
.10
Bi caudal!! a/2
para cada lado.
.05
1 3,078 6,314 12,706
2 1,886 2,920 4,303
0,05
-2,920
3 1,638 2,353 3,182
- t0,05
0,05
0
2,920
t0,05
t
6
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA
POPULACIONAL (σ2 desconhecido)
•
•
•
•
PROPRIEDADES IMPORTANTES DA
DISTRIBUIÇÃO t de “STUDENT”
A distribuição t é diferente, conforme o
tamanho da amostra.
Tem a forma simétrica, mas reflete a maior
variabilidade esperada em pequenas amostras.
Tem media t = 0 ( tal qual a distribuição normal
padronizada, com media z=0)
o desvio padrão da distribuição t varia com o
tamanho da amostra, mas é superior a 1 (ao
contrario da distribuição normal padronizada,
em que σ = 1)
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA
POPULACIONAL (σ2 desconhecido)
• Na medida em que aumenta o tamanho n
•
da amostra, a distribuição t se aproxima
mais e mais da distribuição normal
padronizada. Para valores maiores que
30, as diferenças são tão pequenas que
podemos utilizar os valores críticos z.
É mais espalhada e com o “bico” mais
baixo. Desta forma ela tem um DP maior
que a normal.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA
POPULACIONAL (σ2 desconhecido)
• CONDIÇÕES PARA UTILIZAÇÃO DA
•
•
•
DISTRIBUIÇÃO t
O tamanho da amostra é pequeno ( n < 30).
σ é desconhecido
a população original tem distribuição
essencialmente normal. Se a distribuição original
for essencialmente não normal não é possível
utilizarmos os métodos descritos. Uma alternativa
seria o emprego de métodos não paramétricos ou
a utilização do método de reamostragem, que não
faz hipótese alguma sobre a população original.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MEDIA
POPULACIONAL (σ2 desconhecido)
•
X–E≤ µ ≤X+E
Onde E = tα/2 . s/√ n
DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA
• Abordamos inicialmente maneiras de
achar estimativas pontuais e intervalares
para uma media populacional µ tomando
como base dados amostrais conhecidos.
• Mas se ainda não tivermos coletados os
dados? Como saber quantos elementos da
população devem ser escolhidos?
DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA
• Partindo da expressão da margem de erro E
E = Zα/2 . σ/ √n
e resolvendo em relação ao tamanho n da amostra , obtemos:
►
n = [zα/2/E]2
• Logo, o tamanho da amostra dependerá de
• (1) o grau de confiança desejado,
• (2) a quantidade de dispersão entre os valores individuais da
•
população, e
(3) certa quantidade especifica de erro tolerável.