Divisibilidade - WordPress.saturniz

Divisibilidade
Divisibilidade por
Critério
2
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2,
4, 6 ou 8.
3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é
divisível por 3.
4
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois
últimos algarismos é divisível por 4.
5
Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou
5.
6
Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é
divisível por 3.
8
Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três
últimos algarismos é divisível por 8.
9
Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um
número divisível por 9.
10
Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Descubra o algarismo da
unidade de N sabendo que
N = 1 x 3 x 5 x 7 x ... x 97 x 98 x 99
Como bom
observador
identifique
algumas
regularidades...
.
02 = 0
102 = 100
202 = 400
302 = 900
12 = 1
112 = 121
212 = 441
312 = 961
22 = 4
122 = 144
222 = 484
322 = 1024
32 = 9
132 = 169
232 = 529
332 = 1089
42 = 16
142 = 196
242 = 576
342 = 1156
52 = 25
152 = 225
252 = 625
352 = 1225
62 = 36
162 =256
262 = 676
362 = 1296
72 = 49
172 = 289
272 = 729
372 = 1369
82 = 64
182 = 324
282 = 784
382 = 1444
92 = 81
192 = 361
292 = 841
392 = 1521
O que acontece com
o algarismo da
unidade de cada
número quadrado
perfeito?
02 = 0
102 = 100
202 = 400
302 = 900
12 = 1
112 = 121
212 = 441
312 = 961
22 = 4
122 = 144
222 = 484
322 = 1024
32 = 9
132 = 169
232 = 529
332 = 1089
42 = 16
142 = 196
242 = 576
342 = 1156
52 = 25
152 = 225
252 = 625
352 = 1225
62 = 36
162 =256
262 = 676
362 = 1296
72 = 49
172 = 289
272 = 729
372 = 1369
82 = 64
182 = 324
282 = 784
382 = 1444
92 = 81
192 = 361
292 = 841
392 = 1521
Terminação do número quadrado
perfeito
Terminação da raiz quadrada no
número quadrado perfeito
0
0
1
1 ou 9
4
2 ou 8
5
5
6
4 ou 6
9
3 ou 7
Calcule a raiz quadrada dos
números a seguir:
•
•
•
•
•
•
√3364
√3969
√3721
√9025
√5476
√7569
Observe qual o valor somado a
cada novo quadrado perfeito!
1=1
4=1+3
9=1+3+5
16 = 1 + 3 + 5 + 7
25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
Problema de Divisibilidade
a) Determine a quantidade de divisores do
número N = 235 – 23.
b) Mostre que para todo número natural ,
n5 – n é múltiplo de 30.
Problema de Fatoração
a) Fatore (a3 + ab2)2 + (a2b + b3)2.
b) Escreva 133 como soma de dois quadrados
perfeitos. Isto é, encontre dois números
inteiros positivos x e y tais que 133 = x2 + y2.
A figura representa o traçado de uma pista de corrida. Os postos A, B, C
e D são usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias
entre postos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas
são realizadas no sentido indicado pela flecha.
Por exemplo, uma corrida de 17 km pode ser realizada com partida em
D e chegada em A.
(a) Quais são os postos de partida e chegada de uma corrida de 14
quilômetros?
(b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses postos?
(c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer
número inteiro de quilômetros.
Distâncias Percorridas
Saída
Chegada
1 km
A
B
2 km
B
C
3 km
A
C
4 km
D
A
5 km
D
B
6 km
C
D
7 km
D
C
8 km
B
D
9 km
A
D
10 km
C
A
11 km
C
B
12 km
B
A
13 km
A, B, C, D
A, B, C, D respectivamente
Distâncias Percorridas
Saída
Chegada
1 km = 14 km = 27 km
A
B
2 km = 15 km = 28 km
B
C
3 km = 16 km = 29 km
A
C
4 km = 17 km = 30 km
D
A
5 km = 18 km = 31 km
D
B
6 km = 19 km = 32 km
C
D
7 km = 20 km = 33 km
D
C
8 km = 21 km = 34 km
B
D
9 km = 22 km = 35 km
A
D
10 km = 23 km = 36 km
C
A
11 km = 24 km = 37 km
C
B
12 km = 25 km = 38 km
B
A
13 km = 26 km = 39 km
A, B, C, D
A, B, C, D respectivamente
ALGORÍTMO DE EUCLIDES
Dividendo
Divisor
D d
r q
Resto
Quociente
D = d.q + r
r<d
Distâncias Percorridas
Saída
Chegada
d = 1 + 13 n, n Є IN
A
B
d = 2 + 13 n, n Є IN
B
C
d = 3 + 13 n, n Є IN
A
C
d = 4 + 13 n, n Є IN
D
A
d = 5 + 13 n, n Є IN
D
B
d = 6 + 13 n, n Є IN
C
D
d = 7 + 13 n, n Є IN
D
C
d = 8 + 13 n, n Є IN
B
D
d = 9 + 13 n, n Є IN
A
D
d = 10 + 13 n, n Є IN
C
A
d = 11 + 13 n, n Є IN
C
B
d = 12 + 13 n, n Є IN
B
A
d = 13 n, n Є IN
A, B, C, D
A, B, C, D respectivamente
Ciclos
Situações que acontecem com um
PERÍODO previsível.
 Ir ao dentista de 6 em 6 meses;
 Rotação da Terra em 24 horas;
Aparecimento de cometa de 50
em 50 anos;
Número Imaginário (i)
i  1   1  i
2
Agora é possível
extrair raiz de
índice par de
número
negativo... 
Potências de i
Potências de i
Exercícios
1) Calcule o valor das Potências de i abaixo:
2) Calcule o valor de:
Arcos no Ciclo Trigonométrico
Observe regularidades...