modelo de crescimento logístico

Crescimento
Populacional
1
1. Terminologia
2
“Crescimento
populacional”
O que significa este termo?
• No seu uso moderno o termo “crescimento
populacional” tornou-se muito vago devido
principalmente aos extensos significados
dados, nos nossos dias, a “populacional” e
“crescimento”.
3
Raiz latina do termo "Populacional"
Populus
(Latim)
Significa POVO
(Pessoas)
Populacional
Daqui concluímos que, na sua
interpretação original, a palavra refere-se
a populações humanas.
Por essa razão quando se fala em
crescimento populacional muitas vezes
se pensa em populações humanas.
4
Entretanto, este campo de acção expandiuse de modo a incluir qualquer colecção de
objectos (animados ou inanimados) acerca
das quais nós queremos
elaborar um estudo quantitativo.
Assim, podemos falar,
por exemplo, da
população dos
pinguins, pneus,
bactérias, euros e
cêntimos.
5
A palavra “crescimento”
• Pensamos normalmente nesta palavra
como aplicada a coisas que crescem, que
se tornam maiores...mas...
• ATENÇÃO!!...nem sempre é assim!!
Mapa 1
CRESCIMENTO ANUAL MÉDIO (%)
FONTE: INE - Recenseamento Geral da População
6
Crescimento” pode significar:
“
crescimento negativo ou
declínio
a população
diminui
crescimento positivo
a população
aumenta
7
2. Generalidades
8
Ao analisarmos a história,
vimos que a evolução da matemática sempre teve
um papel fundamental no desenvolvimento
cientifico-cultural das sociedades.
9
Desde os inícios da
civilização que existe
uma
ligação entre
a matemática e o
estudo das
populações.
Uma das razões pela qual os humanos
inventaram os sistemas numéricos foi a
sua necessidade de manejar os princípios
de contagem de populações.
10
Sentiram necessidade de, por exemplo,
contar as ovelhas do seu rebanho, o número
de pessoas da sua tribo, etc.
11
Hoje em dia, os modelos matemáticos de
crescimento populacional são uma
ferramenta fundamental para o nosso
esforço de perceber o fluxo
e refluxo
das populações selvagens em perigo,
lotes
piscatórios, pragas agrícolas,
doenças infecciosas, estrago radioactivo,
lixo comum, por aí fora.
12
Disciplinas modernas completas, tais como
“ecologia matemática”, “biologia
populacional”, e “bioestatística” são
construídas à base da matemática do
crescimento populacional.
13
3. Objectivos
14
Neste trabalho, daremos alguns
exemplos elucidativos do tipo de
problemas de “crescimento
populacional”que podem surgir.
Vamos apresentar alguns dos modelos
mais simples que podem ser usados no
estudo da sua dinâmica:
modelo de crescimento linear
modelo de crescimento exponencial
 modelo de crescimento logístico.
15
4. A dinâmica do
crescimento
populacional
16
O crescimento de uma população é um processo
dinâmico, logo quer dizer que a situação muda ao
longo do tempo.
Podem distinguir-se dois tipos de situação:
Crescimento contínuo
Crescimento discreto
17
No crescimento contínuo :
as mudanças ocorrem permanentemente.
(Ex.: contas bancárias de juros compostos continuamente.)
No crescimento discreto :
as mudanças efectuam-se periodicamente
(transições).
18
O nosso trabalho estudará o crescimento
discreto.
Este tipo de crescimento é o caminho mais
comum e natural pelo qual as populações
mudam.
As mudanças - transições efectuam-se periodicamente, isto é, as alterações
não ocorrem sistematicamente, havendo
intervalos de tempo em que a população 19
se mantém constante.
Por uns tempos nada acontece ; depois, existe uma
mudança repentina na população e assim
sucessivamente.
O período entre as transições tanto pode ser
fracções de segundos, minutos, horas, dezenas de
anos ou séculos.
Para o nosso estudo este período de tempo entre
as transições não nos interessa.
O problema principal do crescimento populacional
é prever o que acontecerá a uma dada população
ao longo do tempo.
20
A forma mais comum para lidar com esta
questão é descobrir as regras pelas quais se
regem as transições .
Para estudar o que acontece entre dois
períodos de tempo, analisam-se as regras de
transição, ou seja, as regras que determinam as
transições.
21
Se soubermos como se altera uma certa
população em cada transição,
podemos
geralmente determinar como se altera a mesma
após muitas transições.
Neste sentido, podemos associar
convenientemente o declínio ou o aumento de
uma população ao longo do tempo a uma lista
infinita de números chamada sequência
populacional.
22
Como se gera a sequência
populacional?
Toda a sequência populacional começa com a
população inicial (geração “zero”).
Vamos denominar por P0 a população inicial.
A sequência continua com P1,P2 , etc.
Onde Pn é o tamanho da população na n-ésima
geração.
23
5. Crescimento
Linear
24
O modelo de crescimento linear é o mais simples
de todos.
Neste modelo, em cada geração a população
muda (aumenta ou diminui) por uma quantidade
fixa, uma constante.
Vamos ver como este modelo funciona através dum
exemplo.
25
Exemplo 5.1.
Fábrica de bolachas “Estaladiças”
26
• A “Estaladiças” esteve em actividade durante 6
meses.
• Durante o primeiro mês de negócio, a empresa
teve 80 encomendas.
– Durante o segundo mês, teve 205
encomendas.
– 3º mês : 330 encomendas
– 4º mês : 455 encomendas
– 5º mês : 580 encomendas
27
Actividades propostas:
1) Crie uma tabela que descreva esta sequência.
2) Crie um gráfico de linha que descreva a
sequência
a) Faça o eixo horizontal o eixo dos meses
b) Faça o eixo vertical o eixo das encomendas.
3) Crie um gráfico de barras que descreva a
mesma informação.
28
Crescimento da empresa nos
primeiros 5 meses
meses # (N):
# encomendas:
1
80
2
205
3
330
700
600
500
400
300
200
100
0
1
2
3
MÊS #
4
5
580
CRESCIMENTO da Empresa
# ENCOMENDAS
# ENCOMENDAS
CRESCIMENTO da Empresa
4
455
5
700
600
500
400
300
200
100
0
1
2
3
4
5
MÊS #
Três modos de descrever os mesmos dados.
29
• Encontre a diferença entre o numero de
encomendas em meses consecutivos.
• PN - PN-1
• 205
• 330
• 455
• 580
-
80 = 125
205 = 125
330 = 125
455 = 125
Este valor é
chamado de
diferença
comum.
•Que repara em relação a estas diferenças?
30
• Quando as diferenças entre valores consecutivos
da “sequência populacional” (aqui a nossa
“população” são as “encomendas feitas”) são
sempre iguais (ou muito aproximadas), um
modelo de crescimento linear pode ser utilizado
para descrever o crescimento da população.
• Actividade proposta:
4)
Defina por descrição recursiva a sequência
que traduz o crescimento desta empresa.
31
Este é um exemplo típico do modelo de
crescimento linear, que se caracteriza pelo facto
de, em cada transição, se adicionar um valor
constante, que designaremos por d, à população
anterior.
Descrevamos, então, este modelo
matematicamente:
 Modelo de Crescimento Linear (Descrição Recursiva)
População Inicial: P1
PN
=
população na geração N
PN-1
+
população na geração N-1
d
razão da sequência
32
A equação anterior dá-nos uma descrição
recursiva da sequência da população pois através
dela é possível obter valores da sequência usando
valores anteriores a esses.
Embora esta fórmula seja simples, tem uma grande
desvantagem:
para obter um determinado termo da sequência, é
necessário calcular primeiro todos os termos
anteriores.
33
No entanto, podemos descrever a sequência da
população de uma outra forma:
Modelo de Crescimento Linear (Descrição Explícita)
PN = P1 + (N-1)d
Esta equação dá-nos uma descrição explícita da
sequência da população, já que através dela é
possível obter qualquer termo da sequência
conhecendo apenas o primeiro e a razão da
sequência.
34
Obtivemos assim uma progressão aritmética
de razão d cujo termo geral é:
PN = P1 + (N-1)d
Nota:
A soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética é
dada por
, onde p1 e pn são o primeiro e último termo, respectivamente.
p  pn
Sn  1
n
2
35
• Uma descrição recursiva utiliza valores
prévios da sequência para calcular um novo
valor.
• Neste exemplo, uma descrição em linguagem
corrente da sequência deste exemplo seria:
• “O número de encomendas feitas durante o
próximo mês será de mais 125 do que as
feitas durante o mês corrente.”
Matematicamente, a descrição recursiva :
• PN = P N-1 + 125
onde N = o número do mês
Número de encomendas
P
=
o
número
de encomendas feitas no mês N
Número deN
feitas durante o mês
O valor inicial tem de
encomendas feitasanterior. e P = 80
estar especificado.
1
durante o N-ésimo mês.
36
• Para este exemplo o termo geral da descrição
explicita será:
O valor inicial está
PN = 80 + (N-1)
x 125 na
especificado
formula.
onde N e PN são definidos como anteriormente
Deverá notar que 80 é o número inicial de encomendas
feitas e que em cada mês posterior acrescenta-se 125.
Isto é, no segundo mês 125 é adicionado uma vez…
No terceiro mês 125 é adicionado duas vezes…
37
•
Note que:
 P1 = 80 + (1-1)x125
 P2 = 80 + (2-1)x125 ...
 P5 = 80 + (5-1)x125
–Actividade proposta:
5)Se o crescimento da empresa continuar a seguir
estes parametros, quantas encomendas serão
feitas depois de 100 meses em actividade?
38
Resolução da actividade...
P100 = 80 + (99)x125
P100 = 12,455 encomendas
39
6. Crescimento
Exponencial
40
O economista e demógrafo britânico Thomas
Malthus ficou conhecido sobretudo pela teoria
segundo a qual o crescimento da população tende
sempre a superar a produção de alimentos, o que
torna o que torna necessário o controle da
natalidade.
Malthus era um pessimista que considerava a
pobreza como um destino ao qual o homem não
pode fugir.
41
Thomas Robert Malthus nasceu entre 14 e 17 de
fevereiro de 1766, em Rookery, Surrey, Inglaterra.
Malthus morreu em Saint Catherine, Somerset, em
23 de dezembro de 1834
42
A ideia de Malthus era que a taxa de
crescimento de uma população é directamente
proporcional ao seu tamanho. Isto deve-se ao
facto que as populações crescem porque as
pessoas têm bebés. Quanto mais pessoas houver
mais bebés elas terão. Ou seja, o número de bebés
nascido é um múltiplo constante do número de
pessoas presentes na população.
43
Obviamente, as pessoas também
morrem, logo também há uma taxa de
mortalidade. Esta taxa será simplesmente uma
certa percentagem do tamanho da população em
qualquer tempo dado, pois quanto maior for a
população de um local, maior número de pessoas
morrerá por motivos naturais desse local. Assim,
deve-se combinar a taxa positiva de natalidade com
a taxa negativa de mortalidade, de modo que a
diferença entre elas seja constante.
44
45
Exemplo 6.1.
46
A quantia de 1000€ é depositada numa conta
poupança-reforma que paga 10% de juro anual
(isto é, o juro é pago uma vez por ano no final do
ano).
Actividade proposta:
Quanto dinheiro estará na conta após 30 anos, se o
juro for deixado na mesma?
47
Sendo a quantia inicial de 1000 €, no final
desse ano, ela será adicionada de 10% do seu total,
isto é, 10% de 1000, ou seja, no final desse ano
ficaremos com 110% dos 1000 € iniciais (1,1 ×
1000).
Continuando, no final do 2º ano, teremos
(Quantia do início do 2º ano) × 1,1 = 1000 × (1,1)2
sendo a quantia do início do 2º ano a do final do 1º
ano (já que os juros são pagos apenas no final de
cada ano).
48
Ao fim do 1º ano tem 1000 + 0,1x1000 =
1,1 x 1000 = 1100 € .
Ao fim do 2º ano, 1000 x 1,12 = 1210 € .
Ao fim de 15 anos, 1000 x 1,115 = 4177 € .
Assim, o balanço da conta após 30 anos (ou seja,
a quantia no início do 31º ano) será:
1000 × (1,1)30 = 17.449,40227 €
49
Neste exemplo, cada transição (que ocorre no final
do ano) corresponde a tomar 110% do balanço do
início desse ano.
Podemos ainda dar uma regra geral para obter o
balanço na conta deste exemplo: no início do
(N+1)º ano, a conta tem a seguinte quantia, em
euros,
PN+1 = 1000 × (1,1)N.
Este actividade proposta é um exemplo clássico
de crescimento exponencial: o dinheiro inicial
rende juros; depois, os juros sobre o dinheiro
inicial adicionado de juros são também
capitalizados, e por aí adiante...
50
O fundamental do crescimento exponencial é a
multiplicação repetida: cada transição consiste em
multiplicar o tamanho da população por um factor
constante.
51
A sequência definida por esta propriedade, ou seja,
em que cada termo é obtido multiplicando o
anterior por um valor fixo, r, é chamada de
progressão geométrica, sendo r designado por
razão da progressão.
O modelo de crescimento exponencial pode ser,
assim descrito, recursivamente, por
Modelo de Crescimento Exponencial
(descrição recursiva)
PN = PN-1 × r (r>0)
52
ou, de forma explícita, por
Modelo de Crescimento
Exponencial (descrição explícita)
PN = P1 × rN-1
Observação: Uma ideia errada e frequente é que
o crescimento exponencial implica que a
população se torna sempre maior. Mas isso pode
não acontecer. De facto, se r>1, temos o
crescimento real, mas se r<1, temos uma
decadência (para r=1, temos uma população
53
constante).
Termo geral de uma progressão geométrica
de razão r e 1º termo p1
pn  p1  r n-1
Nota:
A soma de n termos consecutivos de uma
progressão geométrica é
1- r n
Sn  p1 
1- r
54
7. Observações
55
Comparação entre o modelo linear e o
modelo exponencial
O crescimento da população no modelo linear é
em progressão aritmética, enquanto que no
modelo exponencial o crescimento faz-se em
progressão geométrica.
O crescimento no modelo exponencial é muito
mais rápido do que no modelo linear.
56
8. Crescimento
logístico
57
Os modelos apresentados anteriormente são
insatisfatórios quando se trata de resolver, por
exemplo, problemas de crescimento populacional
em que a população é de animais.
58
De facto, no caso de uma população biológica, a
taxa de crescimento da mesma não é fixa, pois
depende do tamanho relativo das populações que
interagem com ela (é o caso dos predadores) e,
sobretudo, do seu próprio tamanho. Quando o
tamanho relativo de uma população é pequeno e
há muito espaço onde ela possa crescer, então a
taxa de crescimento será alta. Mas, à medida que a
população vai crescendo, o espaço vai sendo
menor, pelo que a taxa de crescimento começa a
diminuir. Por vezes, a população cresce demasiado,
o que leva à sua decadência e poderá mesmo levar
à sua extinção.
59
De entre os muitos modelos matemáticos que se
esforçam por lidar com uma taxa de crescimento
variável num habitat fixo, o mais simples é o
modelo de crescimento logístico. A ideia base
deste modelo é o facto de a taxa de crescimento
ser directamente proporcional ao espaço disponível
no habitat da população.
60
Assim, se houver muito espaço, a população tem
uma taxa de crescimento alta;
se houver pouco espaço, essa taxa será baixa
(eventualmente inferior a 1, o que significa,
como já foi visto, que a população está a
diminuir);
e, finalmente, se o habitat vier a estar saturado,
a população morrerá.
61
Descrevamos este modelo matematicamente:
se C for uma constante que represente o ponto de
total saturação do habitat, então, para uma
população de tamanho PN, o espaço livre é a
diferença entre a capacidade do habitat e o
tamanho da população, ou seja,
(C-PN).
Assim, como a taxa de crescimento é
proporcional ao espaço livre, temos:
taxa de crescimento para o período
N = R(C-PN)
sendo R a constante de proporcionalidade, a qual
62
depende da população em estudo.
Usando o seguinte facto: (população no período N)
× (taxa de crescimento para o período N) =
população no período (N+1),
obtemos a seguinte regra de transição para o
modelo de crescimento logístico:
PN+1 = R (C - PN) PN
63
Podemos ainda reescrever esta equação de uma
forma mais agradável: considerando que o máximo
da população é 1(isto é, 100% do habitat é
ocupado pela população), o mínimo é 0 (isto é, a
população está extinta) e todos os tamanhos
possíveis da população são representados por
fracções entre 0 e 1, que serão denotadas por pN.
O espaço disponível relativo é, então, (1-pN):
Equação Logística
pN+1 = r(1-pN)pN
64
Nesta equação, o valor pN representa a fracção da
capacidade do habitat que já foi ocupada pela
população, ou seja, pN = PN/C, e a constante r, que
se designa por parâmetro de crescimento,
depende da taxa de crescimento, R, e da
capacidade do habitat, C.
65
Exemplo 8.1.
66
Suponhamos que temos um tanque no qual
pretendemos criar uma determinada variedade de
truta. Consideremos que o parâmetro de
crescimento da dita espécie é r=2,5.
Decidimos iniciar o negócio de cultura de
peixe colocando trutas no tanque de forma a
ocupar 20% da sua capacidade máxima, ou seja,
p1 = 0,2.
Actividade proposta:
Vejamos o que o modelo de crescimento logístico
prevê para o nosso futuro negócio.
67
Depois da 1ª época de procriação, temos
p2 = 2,5 × (1-0,2) × (0,2) = 0,4.
(A população do tanque duplicou!).
Continuando com este programa, obtemos depois
da 2ª época de procriação,
p3 = 2,5 × (1-0,4) × (0,4) = 0,6
Depois da 3ª época, obtemos
p4 = 2,5 × (1-0,6) × (0,6) = 0,6
68
O número de trutas mantém-se constante nestas
duas gerações e podemos observar que assim se
mantém ao calcularmos indefinidamente a
percentagem da capacidade do tanque ocupada
pelos peixes. Isto significa que a população de
trutas estabilizaria aos 60%.
69
9. Conclusão
70
·
No modelo linear de crescimento populacional,
a sequência da população é descrita por uma
progressão aritmética, e em cada período de
transição a população cresce pela adição de uma
constante (a razão da sucessão).
Este modelo é usado vulgarmente para
populações de objectos inanimados.
71
·
No modelo exponencial de crescimento
populacional, a população é descrita por uma
progressão geométrica.
Aqui, em cada período de transição a população é
multiplicada por uma constante (a razão da
sucessão).
Este modelo é utilizado sobretudo quando há uma
produção ilimitada.
72
·
O modelo logístico de crescimento
populacional representa situações em que a taxa
de crescimento varia de uma estação para a
seguinte, dependendo do espaço disponível no
habitat da população.
Muitas populações de animais se regem pelo
modelo logístico ou por variações simples do
mesmo.
73