conjuntos

LFA:
Unidade 02 – Parte A
Engenharia/Ciência da
Computação
Prof. François
[email protected]
CONJUNTOS



1.1: CONJUNTOS
Um conjunto é uma coleção de zero ou
mais elementos. Conjuntos podem conter
qualquer tipo de objeto incluindo (números,
símbolos e outros conjuntos). Os objetos no
conjunto são chamados de elementos ou
membros do conjunto.
Um conjunto finito de objetos pode ser
representado pela listagem de seus objetos
entre colchetes
CONJUNTOS






Exemplos: {0,1} representa o
conjunto formado pelos números 0 e
1.
Outros exemplos:
a) {a, b, c, d}
b) {#,@,%,A,B,C}
c) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
d) {a,1,2,3,c, #,@,$}
CONJUNTOS





Os símbolos  e denotam respectivamente
que um elemento pertence ou não pertence
a um conjunto.
Exemplos:
a) a  {a, b, c, d} e f  {#,@,%,A,B,C}
b) #  {#,@,%,A,B,C} e 0 
{1,2,3,6,7,8,9,10}
Quando se utiliza conjuntos, a ordem em
que os elementos são apresentados e a
repetição destes não são importantes.
CONJUNTOS




Considere os seguintes exemplos:
a) {a, b, c} é equivalente a {c, b, a}
b) {#,@,%} é equivalente a
{@,%,#,@,%}
Costumeiramente não se costuma
representar os elementos repetidos de
um conjunto.
CONJUNTOS





Um conjunto é dito ser infinito quando
possui uma quantidade infinita de
elementos. Como é impossível listar todos
os elementos de um conjunto infinito,
utiliza-se a notação “...” que significa
“continue a seqüência eternamente”.
Exemplos:
a) ℕ = { 1, 2, 3, ... }
NATURAIS
b) ℤ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
INTEIROS
c) ℚ = números da forma i/j , i, j 
ℤ, j  0
RACIONAIS
CONJUNTOS
ℙ primos
2
ℕ
ℤ
ℚ
I
ℝ reais
ℂ complexos
CONJUNTOS


O conjunto com zero elemento é chamado
de conjunto vazio e é denotado pelo
símbolo  ou {}
A notação utilizada até agora se torna
pouco prática quando se tenta representar
um conjunto finito com uma grande
quantidade de elementos. Além disso, esta
notação não permite especificar um
conjunto onde os elementos seguem uma
determinada regra. Em situações como esta
se utiliza a notação: { x | regra sobre x}
CONJUNTOS




Exemplos:
a) {x| x = m2 para qualquer m  ℕ}= {1, 4,
9, 16, 25, ...} conjuntos dos números
naturais elevados ao quadrado
b) {i | i é um inteiro positivo e existe j tal
que i = 2j }= {2, 4, 6, 8, 10, ...} conjuntos
dos números inteiros pares.
c) {x | x = 2y para qualquer y  ℕ e y <
11}= {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,
1024}
CONJUNTOS

Os conjuntos podem ser representados
graficamente através do diagrama de
Venn. Assim o conjunto do exemplo c)
seria representado graficamente por:
PROPRIEDADES DE CONJUNTOS




1.2: Cardinalidade: número de
elementos do conjunto (A)
1.3: Igualdade: A = B  x  A
 x  B
1.4: Subconjunto:
A  B , se a  A  a  B
[caso contrário: A  B]
B

A
PROPRIEDADES DE CONJUNTOS





Obs 1: A  B A está contido em B
B / A B contém A
Obs. 2: Subconjunto próprio: A  B
(A é subconjunto de B, mas AB)
Obs. 3: A = B  A  B e B  A
Obs. 4 : A    A e A  A
PROPRIEDADES DE CONJUNTOS




1.5: Conjunto Potência ou Conjunto das
Partes: Conjunto de todos os subconjuntos
de um conjunto A. Representação: 2A.
Ex.: A = {1, 2, 3} então 2A = { , {1}, {2},
{3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} , {1,2,3} }
Obs.: A = {a1, a2, ..., an} e #2A = 2n
1.6: Complemento. ~A (A/) = {u | u 
A}. Obs: u  U (conjunto universo)
OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS






1.7: União
A  B = {u | u  A ou u  B}
1.8: Intersecção
A  B = {u | u  A e u  B }
1.9: Diferença relativa:
A - B = {a | a  A e a  B }
A
A
U
B
A
U
B
A
U
B
U
OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS
- TUPLAS




1.10: Conjuntos disjuntos:
A  B =  (A e B são disjuntos)
1.11: R-tupla
Seqüência ordenada escrita na forma
(a1, a2, ..., ar). O i-ésimo termo  iésima coordenada. Se r = 2  par
ordenado
PRODUTO CARTESIANO





1.12: Produto Cartesiano:
Se A1, A2, ..., Ar conjunto com r elementos
Produto cartesiano: todas as r-tuplas (a1,
a2, ..., ar) tal que a1  A1, a2  A2, a3  A3,
..., ar  Ar
Representação: A1 x A2 x .... x Ar
Se os A1 são idênticos então A1 x A2 x .... x
Ar = Ar
PRODUTO CARTESIANO




Ex.:A = {0, 1} e B = {1, 2, 3}
A  B = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1),
(1,2), (1,3) }
B  A = { (1,0), (1,1), (2,0), (2,1),
(3,0), (3,1) }
A  A = A2 = { (0,0), (0,1), (1,1),
(1,0) }
OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS






1.13: Idempotência
AA=AeAA=A
1.14: Comutatividade
AB=BA eAB=BA
1.15: Associatividade
A  (B  C) = (A  B)  C) e A  (B 
C)= (A  B)  C
OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS

1.16: Distributiva
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
e A  (B  C)= (A  B)  (A  C)
1.17: Duplo complemento

~(~A) = A






1.18: Leis de Morgan
~(A  B) = ~A  ~B
~(A  B) = ~ A  ~ B
RELAÇÕES




1.19. Relações
Uma relação binária R de A em B é um
subconjunto de um produto cartesiano
AxB, ou seja, R  AxB sendo que
A é domínio, origem ou conjunto de
partida
B é contradomínio, codomínio, destino
ou conjunto de chegada
RELAÇÕES





A relação R  AxB é constituída de três
partes: A é domínio, B contradomínio, e o
conjunto de pares R.
A relação R é denotada também R: A  B e
um elemento (a,b) R é denotado aRb.
Ex.: A = {2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6}
Seja R de A em B: a R b  a divide b, ou
seja resto(b/a) = 0.
R = { (2, 2), (2,4), (2,6), (3,3) , (3,6),
(4,4) }
PROPRIEDADES DE RELAÇÕES




1.20: Endorelação ou Auto-relação
(quando o domínio e o contradomínio no
mesmo conjunto), ou seja, R: A  A e
denotada por (A, R)
1.21: Relação conexa
Sejam um conjunto A e uma relação R; R é
conexa quando para elementos distintos x e
y (x ≠ y) temos xRy ou yRx.
Ela não é convexa, se existe ao menos um
par de elementos distintos x e y (x ≠ y)
para os quais temos x R/ y e y R/ x.
PROPRIEDADES DE RELAÇÕES



Exemplos:
R = {(1,1), (1,2), (3,1),(3,2)} em
A={1,2,3} é conexa pois: 1≠ 2 e 1R2;
1≠3 e 1R3; 2≠3 e 3R2;
R = {(1,1), (3,2), (2,3)} em A={1,2,3} não
é conexa pois: para 1≠3 temos 1 R/ 3 e 3
R/ 1; para 1≠2 temos 1 R/ 2 e 2 R/ 1.
PROPRIEDADES DE RELAÇÕES




1.22: Reflexiva: se para todo aA, aRa
1.23: Simétricas: se a R b, então b R a
1.24: Antissimétricas: se a R b e b R a,
então a = b
1.25: Transitivas: se a R b e b R c,
então a R c
Relações de Ordem


Sejam A um conjunto e R uma relação em A. Então R é
uma:
 Ordem, se é transitiva;
 Ordem Parcial, se é reflexiva, antissimétrica e
transitiva;
 Ordem Total, se é uma relação de ordem parcial e
conexa.
Exemplos:
A
 As relações (N, ), (2 , ), (Z, <), (Q, =) são de
ordem. As relações (N, ), (2A, ), (Q, =) são de
ordem parcial. A relação (N, ) é de ordem total
Relações de Equivalência


Relação de Equivalência: reflexiva, transitiva e
simétrica;
Exemplo:


R = {(a, b) N2 | a MOD 2 = b MOD 2} onde
MOD é o resto de uma divisão inteira.
Uma relação de equivalência induz um
particionamento do conjunto para o qual a
relação é definida em subconjuntos disjuntos
e não vazios denominados classes de
equivalência.. A relação acima induz uma
partição de N em classes de equivalência [0]
(dos números pares com resto 0) e [1] (dos
números impares com resto 1).
Fecho de uma relação

Seja R uma relação e P um conjunto de
propriedades. Então, o Fecho de R em
relação a P, denotado por FECHO-P(R) é
a menor relação que contém R e que
satisfaz às propriedades em P
Fecho Transitivo

O fecho de R em relação ao conjunto
de propriedades {transitiva},
denominado Fecho transitivo de R é
definido como: R+



Se (a, b)  R, então (a, b)  R+
Se (a, b)  R+ e (b, c)  R+ então (a, c) 
R+
Os únicos elementos de R+ são obtidos
assim.
Fecho Transitivo e Reflexivo

O fecho de R em relação ao conjunto
de propriedades {transitiva, reflexiva},
denominado Fecho transitivo-reflexivo
de R: R*




R* = R+  {(a,a) | a  R}
Exemplo: Seja R = {(1,2), (2,2), (2,3) }
uma relação do conjunto {1,2,3}. Então:
R+ = {(1,2), (2,2), (2,3), (1,3)}
R* = {(1,2), (2,2), (2,3), (1,3), (1,1),
(3,3)}
GRAFOS



Uma relação pode ser representada por um
grafo e árvores.
Grafos
Um grafo, denotado por G=(V, E), consiste
de um grupo finito de vértices (V) ou nós, e
um conjunto de pares E chamados de
arestas (edges). Os vértices são
representados graficamente por círculos
enquanto que as arestas são representadas
por linhas conectando dois vértices.
GRAFOS

Exemplo: Para um grafo G = (V, E) onde
V={1,2,3,4,5} e E={n,m} | n+m = 4 ou
n+m=7}, a figura abaixo ilustra o grafo:
GRAFOS



O grafo acima é composto de 5 vértices
identificados pelos símbolos 1,2,3,4,5 e
representados pelos círculos. As arestas
são representadas por linhas ligando os
vértices. Entre os vértices 1 e 3, existe
uma aresta (1,3)
Um caminho em um grafo é uma
seqüência de vértices v1, v2, ..., vk , k ≥ 1,
no qual existe uma aresta (vi, vi+1), para
cada i, 1 ≤ i <k.
O tamanho de um caminho é igual a k-1.
GRAFOS – GRAFOS DIRIGIDOS
DÍGRAFOS




No grafo acima, a seqüência de vértices 1,
3, 4 representa um caminho cujo tamanho
é 2.
Quando v1 = vk o caminho é um ciclo.
Assim o caminho formado pelo vértice 2
origina em 2 e chega em 2.
Grafos dirigidos
Um grafo dirigido ou dígrafo, é denotado
por G = (V, E) onde V representa um
conjunto finito de nós e E um grupo de
pares de vértices ordenados chamados de
arcos.
DÍGRAFOS


Um arco de vértice v para o vértice w é
representado pela seguinte notação v  w.
A figura abaixo representa um dígrafo.
Um caminho em um dígrafo é uma
seqüência de vértices v1, v2, ..., vk , k ≥ 1
sendo que cada vi vi+1 é um arco para
cada i, 1 ≤ i <k.
DÍGRAFOS = ÁRVORES





No exemplo acima, a seqüência de vértices 1  2
 3  4 é um caminho do vértice 1 para o vértice
4.
Se v  w é um arco, então v é o predecessor de
w e w é o sucessor de v.
Árvores
Uma árvore é um dígrafo com as seguintes
propriedades;
a. existe um vértice, chamado de raiz, que não
possui predecessor e a partir do qual existe um
caminho para cada vértice.
ÁRVORES




b. cada vértice, exceto a raiz, possui
exatamente um predecessor
c. os sucessores de cada vértice são
ordenados da esquerda para a direita.
Uma árvore é desenhada com a raiz no
topo e os arcos apontando para baixo. Os
sucessores de cada vértice são desenhados
da esquerda para a direita.
A figura abaixo apresenta um exemplo de
ÁRVORES

árvore que ilustra a estrutura de uma
sentença em português para a frase “ a
gato faminto agarrou o rato”.
ÁRVORES




A seguinte simbologia é adotada para
árvores:
a. o sucessor de um vértice é chamado
filho e o predecessor é chamado pai.
b. se existe um caminho do vértice v1 para
o vértice v2, v1 é dito ser o ancestral e v2 é
o sucessor de v2.
c. vértices sem filhos são chamados folhas
e os demais são chamados de interiores.
Funções Parciais




Uma Função Parcial é uma relação f  A x B
tal que se (a, b)  f e (a, c)  f, então b = c;
normalmente é denotada por f: A  B.
(a, b)  f é usualmente denotado por f(a) =
b. Neste caso, f está definida para a, e b é
imagem de a.
O conjunto: { b  B | existe a  A tal que
f(a) = b } é denominado conjunto imagem
de f e é denotado por f(A) ou Img(f).
Funções Totais ou Aplicações


Uma função total é uma função parcial f: A  B onde
para todo a  A existe b  B tal que f(a) = b
Exemplos
 Função Identidade: Para o conjunto A, a função total
IdA: A  A é tal que para todo a  A, IdA(a) = a
 Adição nos Naturais: A operação ad: N x N  N tal
que ad(a, b) = a + b é uma função total
 Divisão nos Reais: A operação div: R x R  R tal que
div(x, y) = x/y é uma função parcial pois não é
definida para (x, 0), qualquer que seja x  R
Composição de Funções



Sejam f: A  B e g: B  C funções.
A Composição de f e g é a função g o f: A  C tal
que (g o f)(a) = g(f(a)).
Exemplo:
A composição das funções ad (N x N  N) e
quadrado (N  N) é a função quadrado o ad (N x N
 N) e, para (3, 1) temos:
(quadrado o ad)(3, 1) = quadrado(ad(3, 1)) =
quadrado(4) = 16

Função Injetora, Sobrejetora,
Bijetora ou Isomorfismo

Uma função f: A  B é dita:
 Injetora se, para todo b  B, existe no
máximo um a  A tal que f(a) = b;
 Sobrejetora se, para todo b  B, existe
pelo menos um a  A tal que f(a) = b;
 Bijetora ou Isomorfismo se é injetora e
sobrejetora.
Cardinalidade de Conjuntos

A cardinalidade de um conjunto (#A) é uma
medida de seu tamanho e é definida usando
funções bijetoras.
 Cardinalidade Finita: se existe uma bijeção
entre A e o conjunto { 1, 2, 3, ..., n }, para
algum n. Neste caso, afirma-se que #A = n
 Infinita: se existe uma bijeção entre A e
um subconjunto próprio de A.
Conjuntos Contáveis e Não
Contáveis
Um conjunto infinito A é dito:
 Contável ou Contavelmente Infinito, se existe
uma bijeção entre o conjunto A e um
subconjunto infinito de N;
 Não-Contável, caso contrário.
Obs: A bijeção que define se um conjunto A é
contável é denominada enumeração de A.
Exemplos: Os conjuntos ℤ e ℚ são
enumeráveis e I e R são não-contáveis.
Demonstração de Teoremas



Um teorema é uma proposição do tipo p  q
a qual prova-se ser verdadeira sempre, ou
seja: p  q.
As proposições p e q são denominadas
hipótese e tese, respectivamente.
Dado um teorema a ser demonstrado, é
fundamental, antes de iniciar a
demonstração, identificar claramente a
hipótese e a tese.
Técnicas de Demonstração

Para um determinado teorema p  q existem
diversas técnicas para provar (demonstrar)
que, de fato, p  q:
 Dedutiva;
 Contraposição;
 Redução ao absurdo;
 Indução.
PROVA DEDUTIVA


Consiste em uma seqüência de afirmações
cuja verdade nos leva de alguma afirmação
inicial, chamada de hipótese, a uma
afirmação de conclusão. Com freqüência, a
hipótese consiste de várias afirmações
independentes conectadas por um e lógico.
Exemplo: prove que a seguinte afirmação “se
x é a soma dos quadrados de 4 números
inteiros positivos, então 2x ≥ x2
PROVA DEDUTIVA
PROVA CONTRADIÇÃO


Em algumas situações tem-se de provar
uma afirmação do tipo “se H então C”,
pode se utilizar a técnica da prova por
contradição e provar a afirmação “H e
não C implica em falsidade”. Se for
provada a segunda afirmação então a
primeira é dita ser verdadeira.
Assim, o processo de prova se baseia
em supor que a condição é falsa. Então
PROVA CONTRADIÇÃO

utiliza-se a suposição como partes da
hipótese, para provar o oposto de uma
afirmação feita no hipótese. Posteriormente,
mostra-se que é impossível que todas as
partes da hipótese sejam verdadeiras e a
conclusão falsa. Nesse caso, a única
possibilidade é que a conclusão seja
verdadeira sempre que a hipótese é
verdadeira, ou seja, o teorema é verdadeiro.
PROVA CONTRADIÇÃO

Exemplo: Seja S um subconjunto finito
de algum conjunto infinito U. Seja T o
complemento de S em relação a U.
Então T é infinito. A contradição da
afirmação é dizer que T é finito.
PROVA CONTRADIÇÃO
PROVA POR CONTRA-EXEMPLOS



Consiste em provar a falsidade de uma
afirmação encontrando um contraexemplo que indica a falsidade da
afirmação:
Exemplo: Se x é primo então x é impar.
Contra-exemplo: 2 é primo, mas é par.
PROVA POR INDUÇÃO




Muitos teoremas podem ser provados por
indução matemática. Segundo este principio
uma propriedade P(n) é verdadeira se:
a) P(c) é verdadeira para um valor c inicial
(geralmente c=1 ou c=0);
b) supõe-se P(n-1) é verdadeira então
tenta-se provar que P(n) é verdadeira para n
A condição do item a) é chamada de base
indutiva e a do item b) de passo indutivo.
Sendo que P(n-1) é a hipótese indutiva e P(n)
a tese indutiva.
PROVA INDUTIVA