mecânica geral - dem.uminho.pt

• Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Dep. Engª Mecânica
Escola de Engenharia
Universidade do Minho
Mecânica Geral
• Capítulo I
Análise Cinética
Mecânica Geral
Cap.I – Análise Cinética
Programa do Módulo
1. Introdução
2. Análise Estática
2.1 Forças
2.2 Momentos
2.3 Forças de reacção
2.4 Diagramas de corpo livre
2.5 Condições de equilíbrio
3. Análise Dinâmica
3.1 Inércia
3.2 Cinética do corpo rígido
3.3 Forças transmitidas
3.4 Determinação de momentos mássicos de inércia
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Mecânica Geral
Cap.I – Análise Cinética
1. Introdução
O estudo cinemático de um mecanismo tem como objectivo a definição da geometria do movimento e da relação
entre os parâmetros de deslocamento e o tempo - posição, velocidade, aceleração - desprezando as forças que
provocam, ou resultam, desse mesmo movimento.
De uma forma simplificada, analisa o movimento de um determinado mecanismo => cinemática directa
ou define a geometria básica de um mecanismo capaz de determinado movimento => cinemática inversa
Todavia, numa segunda etapa, torna-se necessário proceder ao projecto específico de cada um dos elementos que
compõem o mecanismo, em termos de:
- material,
- forma,
- dimensões,
de maneira a garantir a necessária robustez para absorverem, transformarem e transmitirem as forças - energia,
trabalho, potência - em jogo.
Simultaneamente, sendo essas forças transmitidas através das respectivas juntas, o binómio pressão/velocidade
relativa no interface de contacto condiciona todo o comportamento mecânico dessas superfícies e respectiva
tribologia - deformação, fadiga, regime de lubrificação, tipo de atrito, taxa de desgaste, etc.
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Mecânica Geral
Cap.I – Análise Cinética
1. Introdução
Os princípios básicos da dinâmica fundamentam-se nas ‘Leis do Movimento’, enunciadas por Newton:
- Um corpo permanece em repouso, ou em movimento uniforme e rectilíneo, na ausência de qualquer força
externa que nele actue.
- A taxa de alteração da quantidade de movimento de um corpo actuado por uma força, ou conjunto de forças
externas, é proporcional e tem a mesma direcção da resultante dessas forças.
- Sendo a massa de um corpo invariável, a magnitude da sua aceleração é proporcional à resultante das
forças que nele actuam e inversamente proporcional à sua massa. A direcção da aceleração é igual à da
resultante das forças.
- A uma acção sobre um corpo, realizada por uma força, corresponde sempre uma reacção oposta, de igual
intensidade.
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Mecânica Geral
Cap.I – Análise Cinética
2. Análise Estática
Forças
Uma força é definida por uma magnitude e uma direcção podendo, portanto, ser encarada e tratada como outro
qualquer vector.
Adicionalmente, pode ou não ser considerada como um vector livre - isto é, o seu ponto de aplicação pode ser ou não
importante - conforme a análise em causa:
F1
F2
F2
F1
Tri-dimensionalmente uma força pode ser definida como,
F=fxi+fyj+fzk
em que (f x, f y, f z) representam as magnitudes das componentes coordenadas.
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Mecânica Geral
Cap.I – Análise Cinética
2. Análise Estática
Momentos
O momento de um binário corresponde a um vector (M), de direcção normal ao plano do binário e direcção dada pela
‘regra da mão direita’, ou ‘regra do saca-rolhas’.
A sua magnitude é dada pelo produto do braço pela intensidade de uma das forças (m=rf) .
M=RxF
F
F
R
Em termos vectoriais, o momento é igual ao produto externo dos vectores correspondentes ao braço e à força:
M=RxF
mas como:
R = x i+ y j+ z k
F=fxi+fyj+fzk
então:
M = R x F = i
j k  = mx i + my j + mz k
x y z 
fx fy fz 
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Mecânica Geral
Cap.I – Análise Cinética
2. Análise Estática
Momentos
Algumas propriedades dos binários podem ser referidas, embora não demonstradas aqui.
Assim:
(i) o valor do momento resultante é independente do ponto que se considere para centro do binário de forças;
(ii) o braço (R) do binário não tem necessariamente de ser perpendicular às forças em jogo;
=> neste caso, apenas o momento resultante será afectado, uma vez que será igual ao produto
da força pela componente do braço (RN) normal à direcção das forças
(iii) o momento (M) é um vector livre, uma vez que não tem, nem depende, de um ponto de aplicação específico;
(iv) as forças de um binário podem ser rodadas em conjunto, no seu plano, desde que se mantenham as
respectivas magnitudes e distância entre linhas de acção, ou podem ser ser transladadas para qualquer
plano paralelo, sem que isso implique qualquer alteração no momento resultante;
=> assim, pode afirmar-se que dois binários são idênticos se produzirem iguais momentos,
independentemente dos valores das forças ou braços que os constituem.
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Mecânica Geral
Cap.I – Análise Cinética
2. Análise Estática
Forças de Reacção - Atrito
De uma forma geral, por ‘força de reacção’ entende-se qualquer força que se opõe ao movimento.
No caso de um corpo em repouso a força normal (N) poderá ser interpretada como a reacção do fixe ao peso (W) ou,
muito simplesmente, a força que se opõe à queda desse corpo.
W
W
W
W
P
PP
FF
N
N
N 
N
R
W
W
RR
tan  == F/N
F/N
tan
Por outro lado, num corpo em movimento haverá ainda a considerar a força de atrito (F) que se opõe à força actuante
(P), em que, fazendo (=tan ), virá (F=N).
Quanto a () e (), designados respectivamente por ‘ângulo de atrito’ e ‘coeficiente de atrito’, distinguem-se ainda
duas situações,
(i) atrito estático: quando o movimento se encontra numa fase insipiente, ou seja,
prestes a iniciar-se o escorregamento entre as duas superfícies;
(ii) atrito cinemático: quando o movimento se encontra perfeitamente estabelecido;
(de uma forma geral, este último tem um valor inferior ao primeiro)
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Cap.I – Análise Cinética
2. Análise Estática
Forças de Reacção - Atrito
A geometria do contacto pode, ainda, trazer algumas particulariedades de análise.
No caso comum em mecânica de um par rotoide, a rotação do moente aliada à existência de atrito, fá-lo-á ‘subir’,
rolando ao longo da periferia do casquilho até atingir uma posição em que se atinge o equilíbrio de forças.
Casquilho
W
Moente
A
rf
r
B
N
F
R
De notar que (r ) não depende da
Obs.: só a partir fdesta posição se iniciará
magnitude das forças envolvidas, mas
o escorregamento ‘normal’, de
apenas do raio do moente e do
funcionamento, da chumaceira
coeficiente de atrito.

Deste modo a força normal (N) não terá a mesma linha de acção da carga (W). A composição de (N) com a força de
atrito (F=N) resulta numa força (R) de ponto de aplicação B que, essa sim, terá a mesma intensidade de (W) e
sentido contrário.
O círculo com centro em A e tangente à linha de acção de (R) é chamado ‘círculo de fricção’ e o seu raio é dado por:
rf = rsen  = rcos 
 rf = [0, 2/2r], para  = [0, 1]
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Cap.I – Análise Cinética
2. Análise Estática
Diagramas de Corpo Livre
Por definição, um ‘diagrama de corpo livre’ é um esboço desse corpo, em que se consideram todas as acções a que
está sujeito e todas as reacções correspondentes aos corpos que com ele interagem.
P
C
P
B
A
A
C
B
RA
RC
Neste exemplo simples, para
uma viga em repouso simplesmente apoiada em A e C,
de peso desprezável e dotada de uma massa de peso (P) aplicada em B,
vem que, (P), (RA) e (RB), respectivamente acção da massa e reacções dos apoios, podem ser encaradas como
simples acções externas sobre a viga, cuja determinação permite analisar o seu estado de tensão e deformação
estáticas, por exemplo.
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Cap.I – Análise Cinética
2. Análise Estática
Condições de Equilíbrio
Um corpo encontra-se em equilíbrio estático se e só se forem nulas:
(i) a soma vectorial de todas as forças, de acção e de reacção ( F=0);
(ii) a soma dos momentos de todas as forças, actuando segundo qualquer eixo ( M=0)
Segundo os eixos coordenados, estas condições podem expressar-se como:
 Fx = 0
 Fy = 0
 Fz = 0
 Mx = 0
 My = 0
 Mz = 0
que, para problemas bi-dimensionais, se reduzem a:
 Fx = 0
 Fy = 0
 Mz = 0
Nota: estas condições de equilíbrio são também válidas para situações dinâmicas, isto é, em que o corpo esteja
animado de movimento (com determinadas características de deslocamento, velocidade e aceleração,
variáveis no tempo) desde que se introduzam as respectivas componentes de força devidas à inércia,
ou seja, às variações de velocidade das massas envolvidas.
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Cap.I – Análise Cinética
3. Análise Dinâmica
Nota
Basicamente, a dinâmica estuda as forças decorrentes da aceleração a que estão sujeitos os componentes de um
mecanismo ou, na óptica inversa, as forças necessárias para que esses corpos variem o seu estado de movimento.
Os esforços resultantes, num dado corpo, serão então iguais à soma das forças dinâmicas e estáticas.
Este estudo será, aqui, restringido ao caso bi-dimensional, ou seja, aplicável apenas a mecanismos planos.
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Mecânica Geral
Cap.I – Análise Cinética
3. Análise Dinâmica
Forças de Inércia - Princípio de D’Alembert
Considerando um corpo sujeito a um conjunto de forças quaisquer:
y
y
F1
 F = maG
F
h
G
G
m
F2
 M = Im
F3
x
x
a resultante dessas forças será ( F = F1 + F2 + F3) cuja linha de acção está a uma certa distância (h) do centro de
massa G.
O efeito desta resultante ‘desbalanceada’ será a aceleração do corpo, com uma componente linear e uma componente
angular, cujos valores são dados por:
 F = m  aG
 MG = Im  
em que (aG) representa a aceleração linear do centro de massa, () a aceleração angular do corpo em torno de G e
(Im) o momento mássico de inércia do corpo em relação ao centro de massa G.
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Mecânica Geral
Cap.I – Análise Cinética
3. Análise Dinâmica
Forças de Inércia - Princípio de D’Alembert
O estudo de mecanismos inicia-se, geralmente, pela análise cinemática, sendo o movimento dos vários componentes
definido e, portanto, a sua aceleração determinada.
A questão seguinte prende-se, assim, com o cálculo das forças e momentos necessários para conseguir esse
movimento.
Como tal, torna-se conveniente reescrever as equações acima, na forma:
 F – m  aG = 0
 MG – Im   = 0
que podem ser ‘lidas’ como:
(i) a soma de todas as forças externas que actuam num corpo anula-se, quando adicionada a uma
força fictícia de valor (- maG), denominada ‘força de inércia’;
(ii) a soma dos momentos provocados por todas as forças externas, em relação ao centro de massa,
e de todos os momentos externos aplicados a um corpo anula-se, quando adicionada a um binário
fictício de valor (- Im), denominado ‘binário de inércia’.
e que traduzem o chamado ‘princípio de D’Alembert’.
Nota: A utilidade desta análise reside no facto de qualquer situação dinâmica poder ser encarada como um
problema de equilíbrio e, portanto, passível de ser resolvido pelos métodos empregues na estática.
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Cap.I – Análise Cinética
3. Análise Dinâmica
Cinética do Corpo Rígido
Translacção
Adoptando o critério básico de que a resultante de todas as forças passa pelo centro de massa, então a um corpo de
massa (m) e aceleração (ax) corresponderá um diagrama de corpo livre em que se assinalaram todas as forças
externas (conhecidas e desconhecidas) actuantes que, por sua vez, poderão ser substituídas pela resultante de valor
(ma) que, passando por G e com direcção e sentido de (ax), imprimirá ao corpo de massa (m) uma aceleração (ax).
ax
P1
ax
P2
m
ax
W
P1
P2
G
F
G
maxx
ma
N
Recorrendo ao ‘princípio de D’Alembert’, neste caso:
 Fx – max   Fx – (W/g)ax = 0
 Fy =  MG = 0
uma vez que (m=W/g), sendo (g) a aceleração da gravidade.
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Cap.I – Análise Cinética
3. Análise Dinâmica
Cinética do Corpo Rígido
Translacção
O equilíbrio dinâmico consegue-se a partir da construção de um sistema de equações, com base nos somatórios de
forças segundo (xx) e (yy) e de momentos em torno de (zz), tornando-se então possível a resolução do problema:
ax
P1
P1
P2
m
W
P2
-max
Fa
G
N
em que:
 Fx – max = 0
 Fy = 0
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Cap.I – Análise Cinética
3. Análise Dinâmica
Cinética do Corpo Rígido
Rotação Centroidal
Um dos casos mais comuns de rotação é a que se dá em torno de um eixo fixo, coincidente com o centro de massa do
corpo:

- Im  
Im  
P1
P2
P2
W
W
Rh
Rh

=>
Rv
Rv
em que, independentemente do número, intensidade ou direcção das forças externas que actuem no corpo,
  Fx = 0

  Fy = 0

  MG – Im   = 0
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Cap.I – Análise Cinética
3. Análise Dinâmica
Cinética do Corpo Rígido
Rotação Não-Centroidal
Um corpo rodando em torno de um eixo não centroidal sob a acção das forças aplicadas - peso próprio (W) e
resultante das forças externas (P) - associada às componentes da reacção no apoio, no ponto A (Rh e Rv), originam
valores instantâneos de velocidade () e de aceleração angular ():
P
Im


G

W
Rh
A
W/gr2
G
r
A
W/gr
Rv
pois o centro de massa (G) move-se num círculo de raio (r) com centro em (A), tendo uma aceleração cujos
componentes são:
an = r  2
at = r  
 segundo a linha (GA), dirigida para (A)
 perpendicular a (r), no sentido de ()
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Cap.I – Análise Cinética
3. Análise Dinâmica
Cinética do Corpo Rígido
Rotação Não-Centroidal
Igualando os momentos das forças em presença à soma dos momentos das forças efectivas, em relação ao ponto (A),
 MA = Im   + [(W/g)r]  r
= (Im + W/g  r2)  
= [Im]A  
em que ([Im]A) é o momento másico de inércia do corpo, em relação ao ponto (A).
Assim, as equações do movimento vêm como:
  Fx – (W/g)  r  2 = 0

  Fy – (W/g)  r   = 0

  MG – Im   = 0

  MA – [Im]A   = 0
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3. Análise Dinâmica
Cinética do Corpo Rígido
Rolamento
No caso de uma roda homogénea em rolamento, a análise é simplificada pelo facto de o centro de massa ter um
movimento rectilíneo, paralelo ao plano de deslocamento.
P2

Im
W/ga
a
P1

G
W
C
Fa
G
C
FN
A resultante das forças efectivas traduz-se numa única força de valor (W/ga), passando por (G) e paralela ao plano
de deslocamento, e no binário (Im) aplicado em (G).
Assim, e considerando (xx) como a direcção paralela ao plano, vem:
  Fx – W/ga = 0

  Fy = 0

  M G – Im   = 0
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3. Análise Dinâmica
Cinética do Corpo Rígido
Rolamento - Caso particular: rotação pura
A condição de não escorregamento entre o corpo e o plano, é a de haver suficiente resistência tangencial no ponto de
contacto (C).
Neste caso o ponto (C) manter-se-á instantaneamente em repouso, ou seja, é um ‘Centro Instantâneo de Rotação’.
P2

A resistência é expressa por (Fa=FN), em que
(FN) é a força exercida na normal ao plano de
contacto e () é o coeficiente de atrito.
a
P1
G
W
C
Fa
De notar que, no caso de haver escorregamento, a
posição do Centro Instantâneo é desconhecida
pelo que é falso que (MC=IC).
No entanto, os somatórios de forças em (xx) e
(yy), bem como o de momentos em (G),
apresentados acima, continuam válidos.
FN
Assim, estabelecendo um somatório de momentos em relação ao ponto (C), virá:
 MC = IC + (W/ga)r
e sendo, para rolamento puro (a=r), e então,
 MC = IG + (W/gr)r = (IG + W/gr2)
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Cap.I – Análise Cinética
3. Análise Dinâmica
Cinética do Corpo Rígido
Rolamento - Caso particular: rotação desbalanceada
No caso de o centro geométrico do corpo não coincidir com o seu centro de massa (G), então este não segue uma
trajectória rectilínea pelo que os somatórios de forças em (xx) e (yy), tal como expostos atrás, não são válidos.


G O
W
C
O
G

W
C
Fa
O
G
FN
W
C
Contudo, a relação (MC=IC) é ainda aplicável nos dois instantes por rotação em que (G) se encontra na linha
definida por (C) e (O) pois, nestas posições, a aceleração do Centro Instantâneo é dirigida para o centro de massa.
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Cap.I – Análise Cinética
3. Análise Dinâmica
Cinética do Corpo Rígido
Caso Geral do Movimento Plano
Para o caso genérico de um corpo animado de um movimento complexo, desde que integrado num qualquer
mecanismo, é sempre possível determinar a aceleração de um ponto de referência (aA) e, a partir deste, a aceleração
relativa do centro de massa (aG|A).
P

W/gr2
W/gr

G
r
G

r
W
A
A
aA
W/gaA
Im
aA
Assim, vem que:
Nesta equação, a parte direita é constituída pelas
componentes da força resultante efectiva (W/ga)
que podem ser representadas directamente num
diagrama de forças.
aG = aA + aG|A
= aA + r2 + r
donde:
W/ga = W/gaA + W/gr2 + W/gr
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3. Análise Dinâmica
Forças Transmitidas
...
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3. Análise Dinâmica
Determinação de Momentos Mássicos de Inércia
...
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