parte7

8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Parte 7A
8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s
8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES
8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO
8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR
8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR
8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.1. Introdução
Seja um PVC de segunda ordem dado por:
y   f x, y, y 
com as seguintes condições no contorno
a1 y (a)  b1 y (a )   1

a 2 y (b)  b2 y (b)   2
onde a1 , b1 ,  1 , a 2 , b2 ,  2 são constantes reais
conhecidas, tais que nem a1 , b1 , nem a 2 , b2 ,
sejam nulas, simultaneamente.
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.1. Introdução
O PVC de segunda ordem dado, tem a forma
mais geral possível.
 Quando os valores de um PVC são dados na
fronteira, por exemplo: a1 y (a)   1 e a 2 y (b)   2
dizemos que temos um problema de Dirichlet.
 Quando os valores da derivada de um PVC
são dados na fronteira, por exemplo:
b1 y (a)   1 e b 2 y (b)   2 dizemos que
temos um problema de Neumann.
P.G. Dirichlet (1805-1858) e K.G. Neumann (1832-1925)
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.1. Introdução
Para o PVC de segunda ordem
y   0
com as seguintes condições no contorno
a1 y (a)  b1 y (a )  0

a 2 y (b)  b2 y (b)  0
onde f x, y, y   0 e  1   2  0 , dizemos que
o PVC é homogêneo e a solução trivial y( x)  0
é solução.
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
A idéia básica do Método de Diferenças Finitas
transformar o PVC em um sistema de equações algébricas, aproximando as derivadas por
Diferenças Finitas.
 
Considere o intervalo do PVC dado por x  a, b .
Fazemos x 0  a e x n  b. Fazendo uma partição
Regular, sejam n subintervalos iguais de comprimento
ba
h
n
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
Assim,
x k  x 0  k h com k  0,1,..., n
Notação: y k  y x k   y x 0  k h 
 Se f ( x, y, y ) for linear em y , y  o sistema
algébrico a ser resolvido será linear e
podemos utilizar o Método de Lagrange para
resolvê-lo.
 Se f ( x, y, y ) for não-linear em y , y  o sistema
algébrico a ser resolvido será não-linear e
podemos utilizar o Método de Newton para
resolvê-lo.
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
As aproximações mais utilizadas para derivadas primeiras são:
y i 1  yi
y xi  
h
y i  yi 1
y xi  
h
yi 1  yi 1
y xi  
2h
Diferença avançada
Diferença atrasada
Diferença centrada
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
Graficamente: aproximação por diferença
avançada
y i 1  yi
y xi  
Derivada
h
y
aproximada
Derivada
correta
xi 1
xi
xi 1
x
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
Graficamente: aproximação por diferença
atrasada
y i  yi 1
y xi  
h
y
Derivada
correta
Derivada
aproximada
xi 1
xi
xi 1
x
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
Graficamente: aproximação por diferença
yi 1  yi 1
centrada
y xi  
2h
y
Derivada
aproximada
xi 1
xi
Derivada
correta
xi 1
x
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
Note que cometemos um erro ao aproximar a
derivada y  x i  pelas fórmulas discretas apresentadas. O erro cometido, da fórmula de Taylor, é
y xi 1   y xi   y xi xi 1  xi   y 
xi 1  xi 
onde   xi , xi 1 
Assim:
yi 1  yi
y xi  
onde h  xi 1  xi
h
2!
2
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
 
p
O
h
Definição: Dizemos que g (h) é
, se existe
p
C

0
tal
que
g(h)

C
h
uma constante
.
Da definição, se y   M onde   xi , xi 1  , então
a expressão de diferença avançada, para aproximar y  x i  são de ordem O h1 , pois
 
y i 1  y i
h M
g(h)  y xi  
 y  
h
h
2
2
onde   xi , xi 1 
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
Analogamente, da definição, se
y   M onde   xi 1 , xi 
então a expressão de diferença atrasada, para
aproximar y  x i  é de ordem O h1 , pois
 
y i  y i 1
h M







g(h)  y xi 
 y 

h
h
2
2
onde   xi 1 , xi 
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
Enfim, para diferença centrada temos que:
h2
h3
y xi 1   y xi   y xi  h  y xi   y  i 1 
2!
6
h2
h3
y xi 1   y xi   y xi  h  y xi   y  i 1 
2!
6
pois
xi 1  xi  h e xi 1  xi  h
e  i 1  xi , xi 1  ,  i 1  xi 1 , xi  .
Somando as aproximações
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
h3
y xi 1   y xi 1   2 y xi  h   y  i 1   y  i 1 
6
y xi 1   y xi 1  h 2
 y xi  
  y  i 1   y  i 1 
2h
12
De modo que, a aproximação por diferença cen2
Trada é de ordem O h . A fórmula de diferenças centradas é mais utilizada.
 
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização
Discretização de derivadas segundas. Novamente a partir da série de Taylor, expandindo até a
terceira ordem
4
h2
h3
h
y xi 1   y xi   y xi  h  y xi   y xi   y 4   i 1 
2!
3!
4!
h2
h3
h4

4
y xi 1   y xi   y xi  h  y xi   y xi   y  i 1 
2!
3!
4!
Somando as aproximações:
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.2. Discretização


4
h
y xi 1   y xi 1   2 y xi   y xi  h 2  y 4   i 1   y 4   i 1 
4!
Logo uma aproximação para a derivada segunda é dada por :
 y xi  
y xi 1   2 y xi   y xi 1 
h2
com erro da ordem O(h 2 )
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.3. PVC Linear
Exemplo 1: PVC linear
y x   2 y x   y x   x com
 y (0)  0

 y (1)  1
Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos de
comprimento h, segue que x0  0 ,...., x n  1
 y(0)  y( x0 )  y 0  0
Como conhecemos 
 y(1)  y( x n )  y n  1
resta calcular y1  y ( x1 ) , y 2 ,....., y n 1
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.3. PVC Linear
Utilizando diferenças centradas para a derivada primeira e a discretização deduzida para a
derivada segunda, ou seja:
yxi 1   yxi 1  e y x   yxi 1   2 yxi   yxi 1 
y xi  
i
h2
2h
sendo ambas aproximações de segunda ordem,
para cada i, a EDO discretizada fica
y i 1  2 y i  y i 1
h2
y i 1  y i 1

 y i  xi
h
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.3. PVC Linear
Como x i  i h reescrevemos a equação discreta
y i 1  2 y i  y i 1
y i 1  y i 1

 y i  xi
h
h2
1  h  y i 1  h 2  2 y i  1  h  y i 1  i h 3


A primeira equação (i=1), utilizando as condições no contorno, escreve-se como:
h
2

 2 y1  1  h y 2  h 3
Analogamente, para (i=n-1), temos a equação
1  h y n2  h 2  2 y n1  1  h  n  1 h 3
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.3. PVC Linear
Temos que resolver o seguinte sistema linear
h
2

 2 y1  1  h y 2  h 3
1  h yi1  h 2  2 yi  1  h yi 1  n  1 h 3  ih 3
para 2  i  n  2
1  h y n2  h 2  2 y n1  1  h  n  1 h 3
Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal,
a resolver, vejamos matricialmente:
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.3. PVC Linear
Reescrevendo matricialmente o sistema linear
 d1

 a2
A

0

0

c1
0
0
0
0
d2
c2
..
0
..
0
..
0
0
0
0 a n2
d n2
0
0
0
a n 1
di  h2  2
onde

0
para 1  i  n-1
ci  1  h  para 1  i  n-2 
a i  1  h  para 1  i  n-1
0 

0 


cn2 

d n 1 
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.3. PVC Linear
Note que matrizes tridiagonais são esparsas e
neste caso não é conveniente utilizar métodos
diretos para resolvê-las, ou seja, Método de
Gauss, LU, Cholesky, entre outros. Métodos
diretos provocam o preenchimento da matriz,
ou seja, durante o processo de eliminação, os
erros de truncamento, geram a ij não-nulos em
posições onde antes, originalmente, tínhamos
termos nulos.
Em matrizes esparsas deve-se utilizar métodos
iterativos tipo Gauss-Seidel, associados a
técnicas especiais para o armazenamento da
matriz, as quais tiram proveito de sua
esparsidade.
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.3. PVC Linear
Resolvendo o sistema linear iterativamente por Gauss2
Seidel, para h  0.1 , temos erros de ordem   10 .
x
Sol. Numer.
Sol. Exata
Erro
0.1000
-0.2720
-0.2713
0.0007
0.2000
-0.4911
-0.49
0.0011
0.3000
-0.6641
-0.6629
0.0013
0.4000
-0.7969
-0.7956
0.0013
0.5000
-0.8947
-0.8935
0.0012
0.6000
-0.9620
-0.9610
0.0010
0.7000
-1.0029
-1.0020
0.0009
0.8000
-1.0208
-1.0203
0.0006
0.9000
-1.0190
-1.0187
0.0003
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.3. PVC Linear
Novamente por Gauss-Seidel, com h  0.05 , e erros de   3  10 3.
x
Sol. Numer.
Sol. Exata
Erro
0.0500
-0.1428
-0.1427
0.0001
0.1000
-0.2715
-0.2713
0.0002
0.1500
-0.3870
-0.3868
0.0002
0.2000
-0.4903
-0.49
0.0003
0.2500
-0.5821
-0.5818
0.0003
0.3000
-0.6632
-0.6629
0.0003
0.3500
-0.7342
-0.7339
0.0003
0.4000
-0.7959
-0.7956
0.0003
0.4500
-0.8489
-0.8486
0.0003
0.5000
-0.8938
-0.8935
0.0003
....
....
....
....
0.8000
-1.0204
-1.0203
0.0001
0.8500
-1.0219
-1.0218
0.0001
0.9000
-1.0188
-1.0187
0.0001
0.9500
-1.0114
-1.0113
0.0001
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.4. PVC Não-Linear
Exemplo 2: PVC não-linear
y x   y x  sen y  x y com
 y (0)  1

 y (1)  5
Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos de
comprimento h, segue que x0  0 ,...., x n  1
 y(0)  y( x0 )  y 0  1
Como conhecemos 
 y(1)  y( x n )  y n  5
resta calcular y1  y ( x1 ) , y 2 ,....., y n 1
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.4. PVC Não-Linear
Utilizando diferenças centradas para a derivada primeira e a discretização deduzida para a
derivada segunda, ou seja:
yxi 1   yxi 1  e y x   yxi 1   2 yxi   yxi 1 
y xi  
i
h2
2h
sendo ambas aproximações de segunda ordem,
para cada i, a EDO discretizada fica
y i 1  2 y i  y i 1
h
2
 y i sen y i  xi y i
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.4. PVC Não-Linear
Como x i  i h reescrevemos a equação discreta
y i 1  2 y i  y i 1
2
 y i sen y i  ih y i
h
y i 1  2  h 2 sen y i  i h 3 y i  y i 1  0


A primeira equação (i=1), utilizando as condições no contorno, escreve-se como:


1  2  h 2 sen y1  h 3 y1  y 2  0
Analogamente, para (i=n-1), temos a equação


y n2  2  h 2 sen y n1  (n  1)h 3 y n1  5  0
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.4. PVC Não-Linear
Temos que resolver o seguinte sistema linear


1  2  h 2 sen y1  h 3 y1  y 2  0


yi 1  2  h 2 sen yi  ih 3 yi  yi 1  0 para 2  i  n  2


y n2  2  h 2 sen y n1  (n  1)h 3 y n1  5  0
Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal,
a resolver. Utilize um método quase-Newton, por
exemplo, para resolvê-lo.
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.5. PVC Condições Mistas
 Quando temos condições mistas do tipo
y 0  y 0  3  e
uma idéia é utilizar diferenças avançadas
para descrever y 0 e deste modo a comdição de contorno escreve-se como:
y1  y 0
y0 
 3  e  h  1 y 0  y1  he  3
h
he  3  y1
y0 
h 1
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.5. PVC Condições Mistas
Exemplo 3: PVC linear com condição mista
y x   2 y x   y x   x com
y (0)  y (0)  3  e
Discretizando a EDO
1  h yi 1  h 2  2 yi  1  h yi 1  i h 3
A primeira equação (i=1), utilizando as condições no contorno,
he  3  y1
y0 

h
2

h 1
 1 y1  1  h y 2  he  3  h 3
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.5. PVC Condições Mistas
Exemplo 3: PVC linear com condição mista
y x   2 y x   y x   x com
y (0)  y (0)  3  e
y(1)  1
Discretizando a EDO
1  h yi 1  h 2  2 yi  1  h yi 1  i h 3
A primeira equação (i=1), utilizando as condições no contorno,
he  3  y1
y0 
h 1
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.5. PVC Condições Mistas
Note que ao aproximar a derivada primeira na
condição de contorno por diferença avançada,
cometemos erros da ordem de O(h1 ) .
Poderíamos ter aproximado a derivada, na
condição de contorno, por diferença centrada
2
e com isto garantido erros da ordem O(h ).
Neste caso, temos que incluir um ponto a
mais (x-1,y-1) nossa tabela e temos um
sistema nxn
y 1  y1
y0 
 3  e  y 1  2hy0  y1  2he  3
2h
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.4. PVC Não-Linear
Então temos o sistema
1  h yi 1  h 2  2 yi  1  h yi 1  i h 3
com a condição
y 1  2hy 0  y1  2he  3
Cuidado:
deduzida para
i=1,2,..,n-1
A primeira equação (i=0), utilizando a condição
no contorno, escreve-se como:
1  h y 1  h 2  2 y0  1  h y1  h 2 x1   h 3
1  h 2hy0  y1  2h(e  3)  h 2  2 y0  1  h y1   h 3

h
2

 2h  2 y 0  2 y1  2h1  h(e  3)  h 3
8. PVC’s e Diferenças Finitas
8.5.3. PVC Linear
Enfim, temos que resolver o seguinte sistema
linear
h
2

 2h  2 y 0  2 y1  2h1  h(e  3)  h 3
1  h yi 1  h 2  2 yi  1  h yi1  n  1 h 3  ih 3
para 1  i  n  2
1  h y n2  h 2  2 y n1  1  h  n  1 h 3
Temos um sistema de n equações, tridiagonal,
a resolver.
Trabalho Final
Seção 11.4 – Burden – Faires
Exercício
Exercício
Exercício
Exercício
Exercício
1
3
3
3
3
–
a
a
a
a
Carolina
– Everton
– José
– João
– Vinícius