E[N t ]

Série: Processos Estocásticos
O Processo de Poisson
Disciplina: Métodos Matemáticos 1C
Dennis S. Poisson, Sceaux, France
PROCESSO DE POISSON
1 - INTRODUÇÃO
2 - PROCESSO DE POISSON
3 - TEMPOS DE CHEGADA
4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS
5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS
Processo de Contagem
Muitos fenômenos físicos são probabilisticamente descritos
pelo mesmo processo de formação de uma fila. Os clientes
chegam aleatoriamente e independentemente um do outro a
uma taxa normalmente constante de  clientes/segundo.
N
N(0)=0
k
P1 =t
.
.
.
P+ de 1 em t = 0
4
3
t -> 0
2
1
t
Processo Aleatório de Contagem {Nt, 0 t+}
Propriedades:
a. a variável aleatória de contagem Nt assume unicamente
valores inteiros não negativos e
N0  0
b. o processo aleatório de contagem {Nt, 0 t+} tem
estacionaridade e incrementos independentes.
c.
P[ N t  t  N t  1]  t  0( t )
d.
P[ N t  t  N t  1]  0( t )
onde  é uma constante positiva e onde 0(t) é uma função de t
a qual vai a zero mais rapidamente que t, i.é., onde 0(t) é uma
função tal que
0( t )
lim
0
t  0 t
(1)
Um processo aleatório o qual satisfaz as hipóteses (a) a (d) é
chamado um Processo de Contagem de Poisson e, como
vamos mostrar, o número de eventos que ocorre em um dado
intervalo de tempo tem uma Distribuição de Probabilidade
de Poisson.
Das propriedades c e d tiramos que
P[ N t  t  N t  0]  1  P[ N t  t  N t  1] 
1  ( P[ N t  t  N t  1]  P[ N t  t  N t  1]) 
1  ( t  0( t )  0( t )) 
1  t  20( t ) 
 P[ N t  t  N t  0]  1  t  0( t )
(2)
Vamos agora determinar a distribuição de probabilidade da
variável aleatória de contagem Nt. Consideremos o intervalo
(0,t+t] e dividamos ele em dois conforme figura abaixo:
t
0
t
t+t
Introduzimos a notação
pk (t )  P[ N t  k ]
e
p j ,k (t , t  t )  P[ N t  t  k | N t  j ]
O evento condicional [Nt+t=k | Nt=j] é equivalente
ao evento [Nt+t - Nt = k-j] e então suas probabilidades são iguais,
P[ Nt  t  k | Nt  j ]  P[ Nt  t  Nt  k  j ]
Por hipótese, o processo de contagem tem incrementos
estacionários e então segue-se que
P[ N t  t  N t  k  j ]  P[ N t  N 0  k  j ]  P[ N t  k  j ]
As probabilidades de transição pj,k(t,t+t) dessa forma dependem
unicamente do intervalo de tempo t, e escrevemos então que
p j ,k ( t )  p j ,k (t , t  t )  P[ N t  k  j ]
(3)
Consideremos agora a probabilidade de que nenhum evento ocorra
no intervalo (0,t+t]. Esta situação ocorre quando nenhum evento
ocorre no intervalo (0,t] e nem no (t,t+t].
Desde que os intervalos não estão sobrepostos e os incrementos de
contagem são variáveis aleatórias independentes:
p0 (t  t )  p0 (t ) p0,0 ( t )
(4)
Segue-se (2) e (3) que
p0,0 ( t )  1  t  0( t )
Usando este resultado em (4), subtraindo p0(t) de ambos os
lados e dividindo por t, teremos
p0 (t  t )  p0 (t )
0( t )
  p0 (t )  p0 (t )
t
t
Passando o limite  t  0, tem-se
dp0 ( t )
  p0 ( t )
dt
como a equação diferencial para probabilidade de que nenhum
evento ocorra em um intervalo de duração t. Sua solução é,
p0 (t )  ce  t
notando que
p0 (0)  1  c  1
segue-se
P[ N t  0]  p0 (t )  e  t
Tendo obtido p0(t) vamos agora determinar pk(t) para k  1.
Começando de N0=0, Nt+ t pode tornar-se igual a um inteiro k de
diversas formas: pode ser que não aconteça nenhum evento no
intervalo (0,t] e k eventos no (t,t+t]; pode acontecer um evento no
intervalo (0,t] e k-1 no (t,t+t]; etc. Dessa forma, podemos escrever
k
pk (t  t )   p j (t ) p j ,k ( t )
j 0
pois são eventos mutuamente exclusivos.
(5)
Determinação de pk(t)
Passo A. Mostrar que
p j ,k ( t )  0( t )
0 j k-2,
p j ,k ( t )  p j ,k (t , t  t )  P[ N t  t  k | N t  j ]  P[ N t  t  N t  k  j ] 
P[ N t  k  j ]
se 0 j k-2, então
k  j  2  k  j 1
Logo,
p j ,k ( t )  P[ N t  1]  0( t )
Passo B. Mostrar que
dpk (t )
 pk (t )  pk 1 (t )
dt
Como vimos em (5)
k
pk (t  t )   p j (t ) p j ,k ( t )
j 0
assim
k 2
pk (t  t )   p j (t ) p j ,k (t )  pk 1 (t ) pk 1,k (t )  pk (t ) pk ,k (t )
j 0
Como vimos no Passo A.
p j ,k ( t )  0( t )
0 j k-2,
assim
k 2
pk (t  t )  0(t ) p j (t )  pk 1 (t ) pk 1,k (t )  pk (t ) pk ,k (t )
j 0
Lembrando que
pk ,k ( t )  P[ N t  k  k  0]  1  t  0( t )
e que
pk 1,k ( t )  P[ N t  k  k  1  1]  t  0( t )
teremos que
k 2
pk (t  t )  0(t ) p j (t )  pk 1 (t )t  pk 1 (t )0(t ) 
j 0
pk (t )  pk (t )t  pk (t )0(t )
Subtraindo pk(t) em ambos os lados, dividindo por  t e
tomando o limite,
  pk (t ) 0( t ) k  2


p j (t )  pk 1 (t )  



pk (t  t )  pk (t )
t j  0
 t
lim
 lim 

t  0

t

0
t
0( t ) pk (t )
0( t ) 

 pk 1 (t ) t  t  pk (t )   pk (t ) t 
dpk (t )

  pk (t )   pk 1 (t ) 
dt
Passo C.
Para k=1 temos que
dp1
 p1  p0
dt
mas, como provado anteriormente
po  e  t
assim
dp1
dp1 t
 t
  p1  e 
e  e t p1  
dt
dt




d
p1e t    d p1e t  dt
dt
p1 (t )  te  t
K=2
dp2
 p2  p1
dt
mas, como visto,
p1 (t )  te  t
assim
dp2
dp2 t
2  t
  p2   te 
e  e t p2  2 t
dt
dt




d
p2 e t  2 t  d p2 e t  2 tdt
dt
(t )  t
p2 (t ) 
e
2
2
(idêntico)
K=3
dp3
 p3  p2
dt
mas, como vimos
(t ) 2  t
p2 (t ) 
e
2
assim
3 2
dp3
(t ) 2  t
dp3 t

t
t
 p3  
e 
e  e p3 
dt
2
dt
2
3 2
3 2
d

t

t
t
t
p3e 
 d p3e 
dt
dt
2
2




(t )  t
p3 (t ) 
e
3!
3
Logo, por indução finita,
(t )  t
P[ N t  k ] 
e
k!
k
Portanto, a variável aleatória contínua Nt tem uma distribuição de
probabilidade de Poisson.
Pode-se mostrar que
E[Nt]=var[Nt]= t
Tempos de Chegada
Freqüentemente é necessário se estudar o tempo requerido para
que um dado número de eventos k ocorra , assim como contar o
número de eventos que ocorrem em um dado intervalo de tempo t.
Chamaremos então o tempo de ocorrência tk do k-ésimo evento de
tempo de chegada do k-ésimo. Chamaremos a variável aleatória
que representa a distribuição dos possíveis valores dos tempos de
chegada de Tk.
N
k
.
.
.
4
N(t)
3
2
1
t1
t2
tk t
tk+1
t
Vamos determinar a relação entre a função distribuição de probabilidade do
tempo de chegada do k-ésimo evento, Tk, e a variável aleatória de contagem
Nt
Por definição
FTk (t )  P[Tk  t ]
Notemos que o evento [Tk  t] é equivalente a [Nt > k-1], e dessa
forma têm a mesma probabilidade. Assim:
[Tk  t ]  [ N t  k  1]
 P[Tk  t ]  P[ N t  k  1]  1  P[ N t  k  1]
Escrevendo o resultado acima em termos das correspondentes funções
distribuição de probabilidade, teremos que
FTk  1  FN t ( k  1)
(6)
Resultado válido para qualquer processo de contagem desde que
N0=0.
Vamos aplicar o resultado anterior ao caso do processo de contagem
de Poisson. Como visto
e  t (t ) j
P[ N t  j ] 
j!
quando {Nt,0 t<+ } é um processo de contagem de Poisson.
Dessa forma, para k 1,
e  t ( t ) j
FN t ( k  1)   P[ N t  j ]  
j!
j 0
j 0
k 1
k 1
Usando o resultado (6), segue-se então que
j
(

t
)
FTk (t )  1  e  t 
j!
j 0
k 1
0
para t 0
para t<0
Tempos entre chegadas
Tendo considerado os tempos de chegada Tk de um um processo
de contagem aleatório {Ni, 0 t<+ }, vamos agora estudar algumas
das propriedades estatísticas dos intervalos entre sucessivos tempos
de chegada.
Chamaremos as durações destes intervalos Zk de intervalos entre
chegadas, onde
Z1  T1
Zk  Tk  Tk 1
z1
0
z2
t1 t2
,para k=2,3,4,...
zk
tk-1
tk
t
A seqüência de intervalos entre chegadas forma dessa forma um
processo aleatório de parâmetro discreto com variável aleatória
contínua {Zk, k=1,2,3,...}.
Vamos agora determinar a função distribuição de probabilidade do
K-ésimo intervalo entre chegadas, Zk, em termos da distribuição de
probabilidade da variável aleatória de contagem Nt.
Para isto vamos primeiro determinar a probabilidade
P[ Z k  z]  1  P[ Z k  z]  1  FZk (z)
Segue-se, da definição de intervalo entre chegadas, que o evento
[Zk>z] e [Tk - Tk-1>z] são equivalentes
[ Z k  z]  [Tk  Tk 1  z]  [Tk  Tk 1  z ]
Suponha agora que o valor observado de Tk-1 é tk-1.
O evento [TK>Tk-1+z|Tk-1=tk-1] ocorre se e somente se o processo
de contagem não incrementar durante o intervalo (tk-1,tk-1 + z]:
[Tk  Tk 1  z| Tk 1  t k 1 ]  [ N tk 1  z  N tk 1  0]
Desde que os eventos são equivalentes, eles têm probabilidades iguais.
Obtemos então o resultado
P[ Zk  z| Tk 1  t k 1 ]  P[ N tk 1  z  N tk 1  0]
Dessa forma, segue-se que
FZk ( z| Tk 1  t k 1 ]  P[ N tk 1  z  N tk 1  0]
(7)
Se o processo de contagem é estacionário, então segue-se que a
probabilidade no lado direito da equação anterior é uma função
unicamente de z; em particular,
P[ N tk 1  z  N tk 1  0]  P[ N z  0]
pois, por hipótese, N0 = 0.
A função distribuição condicional no lado esquerdo de (7) é dessa
forma independente do valor particular de k, e temos finalmente que
FZk ( z)  1  P[ N z  0]
para todo k=1,2,3,...
Como este resultado é independente do valor do índice k, segue-se que
se o processo de contagem é estacionário, então os vários intervalos
entre chegadas terão todos a mesma função distribuição de probabilidade.