Funções trigonométricas seno e suas relações aos fenômenos que
Propaganda
Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 1] ano Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Abordaremos o assunto funções trigonométricas, mais especificamente a função seno, e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico. MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Fenômenos periódicos: O que são? Chamamos de um fenômeno periódico aquele que se repete sempre após o mesmo intervalo de tempo. Um exemplo mais simples de um fenômeno periódico é o dia. O movimento do Sol, que aparece pela manhã e se põe no fim da tarde até novamente aparecer de novo, determina o que chamamos de dia. Um outro conceito, que ajuda a complementar o anterior, é que os fenômenos periódicos são aqueles que se repetem periodicamente, ou seja, a cada período inteiro. Extraído de: http://traprendizado.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Fenômenos periódicos: Por que são importantes? Os fenômenos periódicos podem ser muito úteis para medir a passagem do tempo. Os corpos celestes são muito importantes porque, entre eles, há diversos que executam um movimento periódico que pode ser percebido por nós e, por isso, eles foram utilizados para construir o nosso calendário. Estando na Terra como nós estamos e olhando para o céu, nós podemos perceber muitos movimentos periódicos. Os mais fáceis de observar são os movimentos do Sol e o da Lua. Muitos fenômenos ou situações que estão presentes em nosso dia a dia são periódicos, isto é, de tempos em tempos se repetem. Um outro exemplo que colabora com essa afirmação é o nascer e o pôr do sol. Extraído de: http://traprendizado.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Fenômenos periódicos: Um outro bom exemplo é a função sen x, pois a cada período de 2π tudo volta a se repetir: sen 0 = 0 sen 90º= 1 sen 180º= 0 sen 270º= -1 sen 360º(ou 0º) = 0. A partir daí, mais uma volta completa (2π), com todos os valores se repetindo, sucessivamente. Extraído de: http://traprendizado.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Fenômenos periódicos: Antes de começar a apresentar a função seno, é importante destacar algumas informações: As funções trigonométricas são funções angulares, que caracterizam uma grande importância no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos, sendo considerada um ramo da matemática. E não para por aí! ... Além de estudar esses itens, estudam-se também as funções circulares: seno, cosseno e tangente. Logo a seguir, será explicada detalhadamente a função seno. Extraído de: http://traprendizado.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico As funções trigonométricas podem ser modelo matemático de vários fenômenos que se repetem, como as variações diárias da temperatura da atmosfera terrestre, a pressão sanguínea do coração ou, ainda, o nível de água de uma bacia marítima, devido à periodicidade da maré. Extraído de: http://www.liberato.com.br/upload/arquivos/0131010717393616.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Também são periódicos fenômenos como a tensão e a corrente elétrica domésticas, o campo eletromagnético gerado para aquecer comida no micro-ondas, bem como o comportamento ondulatório de notas musicais, o fluxo de caixa em negócios sazonais e o funcionamento de máquinas rotativas. Extraído de: http://www.liberato.com.br/upload/arquivos/0131010717393616.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Ainda podem ser citados como fenômenos periódicos as fases da Lua, as estações do ano, o clima, o movimento dos planetas, entre outros. Extraído de: http://www.liberato.com.br/upload/arquivos/0131010717393616.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Função trigonométrica seno no triângulo retângulo cateto oposto b ˆ senB hipotenusa a http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico A Relações num triângulo qualquer b c R Lei dos senos (2 ângulos e 1 lado) a b c 2R sen senB̂ senĈ O B a C http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico B Comprimento de um arco l R l .R O : ângulo central (em radianos) 180 rad http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf A MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico D Círculo e funções trigonométricas cotg C sen E cos B A sen EF OE R 1 http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Relações fundamentais: 1) sen ² x cos ² x 1 senx 2)tgx cos x cos x 3) cot gx senx 1 4) sec x cos x 1 5) cos sec x senx http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Relações auxiliares: sen² x cos ² x 1 sen² x sen ² x cos ² x 1 sen ² x sen ² x sen ² x cos sec ² x 1 cot g ² x http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Função seno (y = sen x) Chamamos de função seno a função real de variáveis reais que associa a cada número real x o valor real sen x, ou seja: f: R -> R. Assim, sua representação fica da seguinte forma: f(x) = sen x. O sinal da função f(x) = sem x é positivo no 1º e 2º quadrantes e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe as imagens seguintes: Extraído de: http://traprendizado.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Variação da função básica Função Domínio Período Imagem y a b.senx R 2 [a b, a b] Par ou ímpar senx sen( x) ímpar http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Variação da função básica Crescente ou decrescente Sinais ++ - - 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante crescente decrescente decrescente crescente http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Operações com arcos •Adição e subtração: sen(a b) sena. cos b cos a.senb •Arco duplo: sen(2a) 2sena.2 cos a http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Amplitude, domínio, período e imagem: Amplitude A amplitude é a metade da distância vertical entre um ponto mínimo e um ponto máximo, ou seja: A = (ymax - ymin). Domínio O conjunto D, chamado de domínio da função, é o conjunto que possui a função definida, ou seja, contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida, sendo um conjunto de saída; é, pois, o conjunto dos elementos que utilizamos como x na função. Extraído de: http://traprendizado.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Amplitude, domínio, período e imagem: Período Denominamos período a distância entre dois pontos máximos ou o intervalo de repetição da função. Imagem Um outro elemento importante dos gráficos é o conjunto imagem, ou seja, o intervalo de variação da função. Para os gráficos das funções de Seno e Cosseno, o conjunto imagem é [-1,1], devido à amplitude, que é 1. Extraído de: http://traprendizado.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Exemplo de gráfico: Amplitude Deslocamento Período Tempo (s) http://3.bp.blogspot.com/-GFgyAdrQJuc/Tj7-HSTYruI/AAAAAAAAAAs/LZqrhv07JBs/s1600/Figura15.jpg MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Gráfico da função seno: y Imagem cos sec x Imagem senx Imagem cos sec x cos sec x 1 0 -1 3 2 2 2 x senx cos sec x http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Software de simulação: A simulação a seguir apresenta dados referentes às funções trigonométricas no círculo trigonométrico. Neste mesmo software, as funções seno, cosseno e tangente estão sendo representadas por meio da circunferência, apresentando seus respectivos gráficos. www.cienciamao.usp.br/dados/tex/_funcaotrigonometricasgraficosi.programa.exe MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Software de simulação: www.cienciamao.usp.br/dados/tex/_funcaotrigo nometricasgraficosi.programa.exe MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Vídeo: Funções trigonométricas Este vídeo explica detalhadamente a construção dos gráficos da função Seno (assim como também das funções Cosseno e Tangente). http://www.youtube.com/watch?v=8e0Q6d S_5lQ&feature=related MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 1 (com ilustração) Uma torre de transmissão de TV de 60m de altura está implantada num terreno horizontal. Um cabo de tensão vai do solo até o ponto mais alto da torre e faz com o solo um ângulo de 55º. Qual o comprimento do cabo? 60m 55° Imagem: Torsten Bätge / Torre / GNU Free Documentation License MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 1 - solução Como se trata de um triângulo retângulo, podemos afirmar que sen 55º = 60/x ; x = 60/ sen 55°. Consultando a tabela das razões trigonométricas, temos sen 55º = 0.819, logo: x = 60/0.819 = 73,26m, aproximadamente, o comprimento do cabo. http://1.bp.blogspot.com/-_OCNIZUEsZE/TkbRrQq36UI/AAAAAAAAADg/biw58OCSFVI/s1600/3-cd09441330+%25282%2529.jpg MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 2 (sem ilustração) Uma escada de 4,5 m de comprimento está apoiada num muro vertical. O ângulo que a escada faz com o chão é de 62º. Sabendo que sen 62º = 0,88, calcule a altura h. MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 2 - solução Bom, como o muro é perpendicular ao chão, o triângulo da figura se torna um retângulo. Então, sen 62º= h/4,5 h = 4,5 . sen 62° h = 4,5 . 0,88 = 3,96 (2 c.d) 0 3,96 é a altura h, aproximadamente. MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 3 (pesquisa) Tire uma foto de algum fenômeno periódico. Promova pesquisas de aprofundamento do tópico desenvolvido no material de apoio apresentado e conceitue-o. (As pesquisas realizadas podem ser anexadas a esta apresentação posteriormente). MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 3 - solução As funções trigonométricas podem ser modelos matemáticos de vários fenômenos que se repetem; entre elas poderão ser apresentadas fotos a respeito das variações diárias da temperatura da atmosfera terrestre, a pressão sanguínea do coração ou ainda o nível de água de uma bacia marítima, devido à periodicidade da maré. Tabela de Imagens n° do slide 27 direito da imagem como está ao lado da foto Torsten Bätge / Torre / GNU Free Documentation License link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sender_Da 11/09/2012 nnenberg_Zernien_7675.jpg
