Aula 6 - Cap3 - SOL - Professor | PUC Goiás

Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Escola de Engenharia
Sistemas de Controle 1
Cap3 – Modelagem no Domínio do Tempo
Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Sistemas de Controle 1
Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
3. Modelagem no Domínio do Tempo
3.1 Introdução
3.2 Algumas Observações
3.3 A Representação Geral no Espaço dos Estados
3.4 Aplicando a Representação no Espaço dos Estados
3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço dos Estados
3.6 Convertendo do Espaço dos Estados para a Função de Transferência
3.7 Linearização
3.1 Introdução
•
Abordagens para análise e projeto de sistemas de controle com retroação:
–
Técnica clássica, ou no domínio da frequência
• Vantagens
• Simplifica os cálculos  Substitui equação diferencial por uma equação algébrica
• Simplifica a modelagem  modelagem de subsistemas interconectados.
•
•
Desvantagens
Aplicabilidade limitada  Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo
 Aproximações para esses sistemas
Os novos avanços e requisitos de sistemas de controle tornaram esse tipo de modelagem inadequada
–
Abordagem no Espaço dos Estados (ou abordagem moderna ou no domínio do tempo)
• Vantagens
• Representa também sistemas não lineares (dotados de folga, saturação e zona morta)
• Representa sistemas variantes no tempo (mísseis com níveis de fluído variável)
• Manipula de forma adequada sistemas com condições iniciais não nulas
• Manipula sistemas com múltiplas entradas e saídas
• Desvantagens
• Não é muito intuitiva
• Muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne aparente
* Abordagem do livro é limitada a modelos lineares e invariantes no tempo ou que possam ser linearizados. Abordagem aprofundada
é assunto para cursos de pós-graduação.
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3.2 Algumas Observações
Exemplos de modelagem no espaço dos estados
• Exemplo 1:
Considere que existe uma corrente inicial i(0).
1. Selecionando i(t) para ser variável de estado:
–
Equação da malha:
Equação de Estado
–
Aplicando a Transformada de Laplace:
–
Admitindo que a entrada v(t) seja um degrau unitário u(t):
Transf. De Laplace para o
degrau unitário
Isolando I(s)
Inversa de Laplace
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3.2 Algumas Observações
Exemplos de modelagem no espaço dos estados
•
Exemplo 1:
Sabendo i(t) e v(t) é possível calcular os valores de todas variáveis possíveis do circuito (ou
de todos estados possíveis)
2. Resolvendo algebricamente todas as outras variáveis do circuito em termos de i(t) e v(t):
Resistor:
Indutor:
Derivada da corrente:
5
3.2 Algumas Observações
Exemplos de modelagem no espaço dos estados
•
Exemplo 1:
•
Representação no espaço dos estados para o circuito RL:
Equação
de estado
Representação
no espaço de
estados
•
Equações
de saída
A equação de estado utilizada não é única, ela poderia ter sido escrita em função de
𝒗
qualquer outra variável do circuito. Exemplo: 𝒊 = 𝑹
𝑹
Equação de Estado
6
3.2 Algumas Observações
Exemplos de modelagem no espaço dos estados
•
Exemplo 2:
•
•
Representação no espaço dos estados para o circuito RLC:
Circuito de segunda ordem
– 2 equações diferenciais de primeira ordem
– 2 variáveis de estado: i(t) e q(t)
Equações de Estado
2 equações diferenciais de
primeira ordem e linearmente
independentes
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3.2 Algumas Observações
Exemplos de modelagem no espaço dos estados
•
Exemplo 2:
•
Calculando as outras variáveis do circuito:
Tensão no indutor:
•
Combinação linear das
variáveis de estado: i(t) e q(t)
Representação no espaço dos estados:
Equações
de estado
Representação
no espaço de
estados
Essa representação
não é única
Equação
de saída
3.2 Algumas Observações
Exemplos de modelagem no espaço dos estados
•
Exemplo 2:
•
Outra possível escolha de variáveis de estado:
– Tensão no resistor:
– Tensão no capacitor:
Equações
de estado
Restrição para escolha de variáveis de estado:
Nenhuma das variáveis de estado pode ser representada como uma combinação
linear das outras variáveis de estado.
3.2 Algumas Observações
Exemplos de modelagem no espaço dos estados
•
Representação matricial:
Equações
de estado
Logo:
3.2 Algumas Observações
Exemplos de modelagem no espaço dos estados
•
Representação matricial:
Equação
de saída
Logo:
Representação
no espaço de
estados
3.2 Algumas Observações
Exemplo de modelagem no espaço dos estados
• Forma de abordagem:
1.
Selecionar subconjunto particular de todas as variáveis do sistema para serem as variáveis
de estado.
2.
Para um sistema de ordem n, escrever n equações diferenciais de primeira ordem,
simultâneas em termos das variáveis de estado.
3.
Conhecendo os valores das variáveis de estado para a condição inicial t0 e para t>t0 é
possível calcular seus valores para outros momentos t1>t0.
4.
Equação de saída: combinação algébrica das variáveis de estado com a entrada.
5.
Representação do sistema no espaço dos estados: equações de estado + equações de
saída.
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3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados
Representação no espaço de estados
Exemplos:
Descrição das variáveis
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3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados
Definições:
Combinação linear
Independência linear
Diz-se que um conjunto de variáveis é linearmente
independente se nenhuma das variáveis puder ser escrita
como uma combinação linear das outras
Variável de sistema
Qualquer variável que responda a uma entrada ou a condições
iniciais em um sistema
Variáveis de estado
O menor conjunto linearmente independente de variáveis de
sistema
Exemplo: i(t) e q(t)
3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados
Definições:
Vetor de estado
Um vetor cujos elementos são as variáveis de estado
Espaço de estados
O espaço n-dimensional cujos eixos são as variáveis de estado
Equações de estado
Um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem,
simultâneas, com n variáveis, onde as n variáveis a serem
resolvidas são as variáveis de estado
Equação de saída
A equação algébrica que exprime as variáveis de saída de um
sistema como combinações lineares das variáveis de estado e das
entradas
3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados
Exemplo de representação geral:
Sistema de segunda ordem, linear, invariante no tempo, com uma entrada v(t)
Se houver uma única saída:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a
todos os elementos armazenadores de energia
Variáveis de Estado:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Nó 1
Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes,
para obter 𝑖𝑐 e 𝑣𝐿 em termos das variáveis de estado, 𝑣𝑐 e 𝑖𝐿
Equação no nó 1:
Equação na malha externa:
−𝑣 𝑡 + 𝑣𝐿 + 𝑣𝐶 = 0
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 4 Obter as equações de estado:
Passo 5 Obter a equação de saída:
equações de estado
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Representação no espaço dos estados
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
* Observa-se que esse circuito possui uma fonte de corrente dependente de tensão.
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a
todos os elementos armazenadores de energia
Variáveis de estado
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes,
para obter 𝑖𝑐 e 𝑣𝐿 em termos das variáveis de estado, 𝑣𝑐 e 𝑖𝐿
LKC no nó 1:
LKT na malha com L e C:
Corrente em R2:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Montando o sistema:
Resolvendo por Cramer:
(1 − 4𝑅2 )
1
−
𝑅1
−𝑅2
−1
𝑣𝑐
𝑣𝐿
=
𝑖𝐶
𝑖𝐿 − 𝑖(𝑡)
𝑣𝑐
−𝑅2
𝑖 − 𝑖(𝑡) −1
𝑣𝐿 = 𝐿
(1 − 4𝑅2 ) −𝑅2
1
−
−1
𝑅1
(1 − 4𝑅2 )
𝑣𝑐
1
−
𝑖𝐿 − 𝑖(𝑡)
𝑅1
𝑖𝐶 =
(1 − 4𝑅2 ) −𝑅2
1
−
−1
𝑅1
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 4 Obter as equações de estado:
Equações de estado:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 5 Obter a equação de saída:
Equações de saída na forma matricial:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Escrever equações no domínio da transformada de Laplace por inspeção e em seguida aplicar
a transformada inversa.
Equações de movimento:
𝑠 2 𝑀1 + 𝑠𝐷 + 𝐾 𝑋1 𝑠 − 𝐾𝑋2 = 0
−𝐾𝑋1 + 𝑠 2 𝑀2 + 𝐾 𝑋2 𝑠 = 𝐹(𝑠)
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Fazer a relação entre movimento e velocidade:
Escolher as variáveis de estado: 𝑥1 , 𝑣1 , 𝑥2 𝑒 𝑣2
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Organizando equações de estado:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Escrevendo na forma matricial:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Se a saída do sistema for 𝑥2 então a equação da saída será:
𝑦 = 0010 𝒙
3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
1) Transformar função de transferência em equação diferencial.
 Multiplicar cruzado
 Aplicar Transformada Inversa de Laplace considerando condições iniciais nulas:
3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
2) Selecionar conjunto de variáveis de estado  variáveis de fase
Variáveis de fase
Nas variáveis de fase temos que cada variável
de estado subsequente é a derivada da
variável de estado anterior.
3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
3) Derivar variáveis de fase para encontrar 𝑐ഺ
Variáveis de fase
Derivadas das
variáveis de
fase
ഺ
𝒄
3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
ഺ
𝒄
4) Organizando o sistema
5) Montando matrizes