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O modelo harmônico de Drude-Lorentz
O modelo de Drude-Lorentz para a matéria é uma simpli cação. Supomos um núcleo xo e um elétron preso
harmonicamente ao núcleo. O modelo de Drude trata de um gás de elétrons na banda de condução, enquanto
que o de Lorentz trata o caso de elétrons harmonicamente ligados aos seus respectivos átomos. Como a presente
formulação pode descrever ambos os casos, é chamada de modelo de Drude-Lorentz. Além disso, também
supomos que o elétron sofra uma força de fricção proporcional à sua velocidade. De acordo com a Segunda Lei
de Newton, na presença de um campo eletromagnético a derivada temporal do momentum linear do elétron
é igual à força de Lorentz, somada à força harmônica que prende o elétron ao núcleo e à força dissipativa
proporcional à velocidade do elétron. Assim, a equação de movimento do elétron, considerando um movimento
não relativístico, é dada por
m
d2 r
dt2
= −eE − e
dr
dr
× B − mγ
− mω02 r,
dt
dt
onde a carga eletrônica é dada por −e < 0, γ é uma constante positiva e ω0 é a frequência natural de oscilação
do elétron em torno do núcleo pesado, de acordo com esse modelo. Como essa equação de movimento é linear
em r, podemos considerar sua versão complexa, escrevendo
m
d2 R
dt2
= −e − mγ
dR
− mω02 R,
dt
(1)
onde
r
=
Re (R)
E =
Re () .
e
Aqui, desprezamos a força magnética por considerarmos a velocidade do elétron muito menor do que a velocidade
da luz. Em outras palavras, se compararmos as magnitudes das forças magnética e elétrica, teremos
dr
e × B
dr |B|
dt
∼ |eE|
dt |E|
e, como para uma onda plana, por exemplo,
|B|
|E|
k
1
= ,
ω
c
∼
concluímos que
dr
e × B
dt
|eE|
∼
1 dr 1.
c dt Agora suponhamos que uma onda plana monocromática incida sobre o átomo. A onda pode ser representada
por seu campo elétrico complexo como
=
E0 exp (ik · r − iωt) .
Para frequências ópticas, da ordem de 1015 Hz, e para r ≈ 1angstrom,
kr
=
ω
1015
r ∼ 2π
× 10−10 1.
c
3 × 108
Logo,
≈ E0 exp (−iωt)
é uma boa aproximação para frequências ópticas. Com essa aproximação e ignorando qualquer efeito transiente,
um ansatz para a Eq. (1) pode ser escrito como
R = R0 exp (−iωt)
1
e, substituindo, dá
−mω 2 R0
= −eE0 + imγωR0 − mω02 R0 ,
ou seja,
R0
=
eE0
.
m (ω 2 − ω02 + iγω)
R
=
−eE0 exp (−iωt)
.
m (ω02 − ω 2 − iγω)
Com isso, a solução fica
O momento dipolar elétrico de um elétron é dado por
p
= −er
= −eRe (R) .
Com a solução obtida acima, temos:
p
−eE0 exp (−iωt)
= −eRe
m (ω02 − ω 2 − iγω)
2
e E0 exp (−iωt)
= Re
.
m (ω02 − ω 2 − iγω)
Se, ao invés de um átomo com um só elétron, o material for feito de moléculas com mais do que um elétron,
então, se houver nk elétrons do tipo k por molécula, o momento dipolar elétrico induzido na molécula ficará
!
X nk e2 E0 exp (−iωt)
p = Re
.
m (ωk2 − ω 2 − iγk ω)
k
Os elétrons, claramente, são todos iguais individualmente. Referimo-nos acima a elétrons do tipo k para indicar
que esses elétrons têm, na molécula, a mesma frequência ωk e o mesmo coeficiente de dissipação γk . Supondo
que haja N moléculas por unidade de volume, a polarização do meio pode ser escrita como
!
X N nk e2 E0 exp (−iωt)
P = Re
.
m (ωk2 − ω 2 − iγk ω)
k
Notemos que essa polarização não é proporcional ao campo elétrico, diferentemente do caso eletrostático. Há
uma defasagem na polarização com relação ao campo elétrico aplicado, implicando a existência de um atraso
para a indução de polarização no meio material. Podemos escrever
(
)
[cos (ωt) − isen (ωt)] ωk2 − ω 2 + iγk ω
exp (−iωt)
Re
= Re
ωk2 − ω 2 − iγk ω
(ωk2 − ω 2 − iγk ω) (ωk2 − ω 2 + iγk ω)
ωk2 − ω 2 cos (ωt) + γk ωsen (ωt)
=
2
2
(ωk2 − ω 2 ) + (γk ω)
cos ϕk cos (ωt) + senϕk sen (ωt)
q
=
,
2
2
(ωk2 − ω 2 ) + (γk ω)
onde definimos
cos ϕk
=
ωk2 − ω 2
q
2
2
(ωk2 − ω 2 ) + (γk ω)
e
senϕk
=
γk ω
q
(ωk2
2
.
2
− ω 2 ) + (γk ω)
Assim,
P =
X N nk e2 E0 cos (ωt − ϕk )
q
,
2 − ω 2 )2 + (γ ω)2
k m (ωk
k
supondo que E0 ∈ R3 .
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Bibliografia
[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira
edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).
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