000776790

Jessica Luvizotto
Modelo computacional para a dinâmica de
uma bola de vôlei para a definição de
estratégias de saque aplicadas
Botucatu – SP
2012
Jessica Luvizotto
Modelo computacional para a dinâmica de
uma bola de vôlei para a definição de
estratégias de saque aplicadas
Monografia apresentada ao Instituto de
Biociências da Universidade Estadual
Paulista “Júlio de Mesquita Filho", Campus
de Botucatu, para a obtenção do título de
Bacharel em Física Médica.
Orientador:
Prof. Dr. Ney Lemke
Bacharelado em Física Médica
Departamento de Física e Biofísica
Instituto de Biociências
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho"
Campus de Botucatu
Botucatu – SP
2012
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA SEÇÃO TÉC. AQUIS. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
DIVISÃO TÉCNICA DE BIBLIOTECA E DOCUMENTAÇÃO - CAMPUS DE BOTUCATU - UNESP
BIBLIOTECÁRIA RESPONSÁVEL: ROSEMEIRE APARECIDA VICENTE
Luvizotto, Jessica.
Modelo computacional para a dinâmica de uma bola de vôlei para a definição
de estratégias de saque aplicadas / Jessica Luvizotto. – Botucatu : [s.n.], 2012
Trabalho de conclusão de curso (bacharelado - Física Médica) - Universidade
Estadual Paulista, Instituto de Biociências de Botucatu
Orientador: Ney Lemke
Capes: 90100000
1. Voleibol – Regras. 2. Análise de trajetória. 3. Jogos de bola. 4.
Programas de computador.
Palavras-chave: Aplicação prática para um time de vôlei; Movimento da bola;
Programação; Regras de vôlei; Saque viagem.
Agradecimentos:
A autora agradece a Medley/Campinas, que gentilmente permitiu a lmagem
de seus atletas durante a prática de saques, que permitiram nortear o desenvolvimento desse trabalho, permitindo a determinação das constantes empregadas
nesse. Também aos meus pais por tudo que lhes tem ajudado ao longo desse
trabalho. Assim como, o professor Doutor Ney Lemke que gentilmente cedeu
seu conhecimento e seu laboratório para a realização do mesmo.
1
Sumário
1 Introdução
5
2 Objetivo
5
3 Regras Ociais do Voleibol
5
4 Fundamentação teórica:
6
5 Modelo Clássico (considerando apenas a gravidade):
5.1
Aplicação:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
10
6 Modelo com a Resistência do Ar:
11
7 Modelo completo (gravidade, arraste e efeito Magnus)
14
7.1
Aplicação
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
8 Estratégia durante o jogo de vôlei
19
9 Programa desenvolvido
21
10 Conclusão
22
2
Lista de Figuras
1
Medidas Ociais da Quadra de Vôlei . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2
Medidas Ociais da bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3
Distância total do voo e da rede (esquerda) e o diagrama das
velocidades inicial e angular (direita) . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4
Diagrama de forças para o modelo clássico . . . . . . . . . . . . .
8
5
Modelo Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
6
Digrama de força para o modelo com o arraste. OndeKd
7
Saque com arraste nas mesmas condições do modelo clássico
8
Saque com arraste
= 21 CD ρA.
11
. .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
9
Diagrama de força para o efeito Magnus . . . . . . . . . . . . . .
10
Modelo Clássico com
11
Modelo com Arraste
12
Modelo com a Força
13
Modelo com o menor tempo e mudanças na velocidade inicial,
||v0 || = 13, 72 m/s. . . . . . . . . . . . . .
com velocidade ||v0 || = 13.72 m/s. . . . . .
Magnus com ||v0 || = 13, 72 m/s e θ = 45º.
15
.
18
.
18
.
19
nas velocidades angulares e no ângulo. . . . . . . . . . . . . . . .
20
14
Escolha dos valores das variáveis
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
15
Botões de seleção dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3
Resumo
Este trabalho consiste em desenvolver um programa que seja capaz de
descrever a trajetória da bola durante o saque de vôlei. Para isso, foram
analisadas todas as forças que atuam sobre a bola e com isso montar um
sistema de equações. Para que este possa descreva a trajetória percorrida
e assim fornecer melhoria para o fundamento prático para a equipe de
Vôlei Medley/Campinas.
4
1 Introdução
No vôlei é fundamental para uma estratégia vencedora um serviço (saque) eciente.
Assim sendo, um dos objetivos de um saque eciente é evitar que os
receptores tenham tempo para uma reação de contra-ataque. Neste trabalho,
será desenvolvido um modelo computacional para análise do saque de uma bola
de vôlei para determinar a forma como deve ser servida, para que, depois de
atravessar a rede, a bola bata no local desejado, num mínimo intervalo de tempo.
Para formular o modelo, as forças que atuam sobre a bola devem ser descritas matematicamente de modo que o movimento descrito pela sua solução
possa ser utilizado para melhorar o desempenho de jogadores que executam a
atividade. Durante a execução do saque, identicam-se três forças importantes
na ordem de sua inuência sobre a bola: a primeira força devido à gravidade, em
seguida, a resistência do ar e, nalmente, a força de rotação. Será desenvolvido
um programa de computador que irá calcular e representar gracamente a trajetória da bola, dadas às condições iniciais da velocidade de rotação, velocidade
e posição.
2 Objetivo
Neste trabalho é analisado movimento da bola durante um saque no jogo de
vôlei.
Para isso, será feita a análise das diferentes forças responsáveis pelo
movimento, especicamente, a gravidade, o efeito Magnus e força de arrasto
devido à resistência do ar. A composição dessas forças permite obter um sistema
de equações diferenciais cuja solução permite a descrição do movimento objeto
desse trabalho.
O estudo do movimento resultante desse conjunto de forças
irá fornecer subsídios para a melhoria da pratica desse fundamento e aplicação
prática para equipe de Vôlei Medley/Campinas.
3 Regras Ociais do Voleibol
A forma padrão de uma quadra de vôlei é a retangular, de 18 metros de comprimento por 9 metros de largura dividida em duas meias-quadras de 9m x 9m. A
rede tem 2 metros e 43 centímetros de altura para o esporte masculino, e de 2
metros e 34 centímetros para o esporte feminino. Uma área livre se estende das
extremidades em cada lado, no fundo da quadra com 6 metros de comprimento,
a partir da qual a bola é servida. O jogador pode estar em qualquer parte dessa
área para o saque, como ilustra a gura 1.
5
Figura 1: Medidas Ociais da Quadra de Vôlei
Outro padrão adotado nos jogos ociais é da bola de vôlei que tem um raio,
de 21,5 centímetros, peso de 260 a 280 gramas e com pressão interna de 0,30
kg/cm² a 0,325 kg/cm², como ilustrado na gura 2. A bola é confeccionada em
couro sintético e a combinação de cores usadas em Competições Internacionais
Ociais deverá obedecer aos padrões da FIVB. A bola tem 18 gomos ao longo
de sua casca exterior que afetam a forma como o ar se move em torno da bola.
Os gomos são suaves e se conectam por 20 costuras que cobre toda superfície
da bola de cerca de um milímetro.
Portanto, é bastante lisa, o que permite
considerá-la na modelagem como uma esfera lisa.
Figura 2: Medidas Ociais da bola
4 Fundamentação teórica:
O padrão de movimento do saque é efetuado diretamente pela resistência do
x a distância horizontal
y será a altura da bola. As condições iniciais
do saque serão x0 = 0 e y0 = h, onde h é a altura a partir da qual a bola é
lançada. O saque fornece uma velocidade inicial, ||v0 ||, e um ângulo inicial em
relação ao solo, θ . A distância total do voo é dT e a distância para a rede é dN .
A velocidade angular da bola é ω (ver gura 3).
ar e a rotação da bola. Será denida pela coordenada
percorrida pela bola e a coordenada
6
Nestes modelos, a resistência do ar e a rotação serão utilizadas para criar
um sistema de equações diferenciais que podem ser usados para prever várias
trajetórias diferentes. Para isso, foi usado o Matlab para resolver o sistema de
equações. As trajetórias calculadas foram traçados para mostrar os efeitos da
aceleração angular e arrasto aerodinâmico. Um sistema é utilizado para modelar
uma bola lisa. Ao longo dos modelos da velocidade inicial e ângulo de ataque
afetará as curvas.
Figura 3: Distância total do voo e da rede (esquerda) e o diagrama das velocidades inicial e angular (direita)
5 Modelo Clássico (considerando apenas a gravidade):
Um primeiro modelo simplicado pode ser obtido assumindo o movimento parabólico clássico derivado de um sistema de duas equações diferenciais, em direções
x
e
y
que será denominado modelo clássico. No modelo clássico, todas as for-
ças, excluindo a gravidade, são negligenciadas. Nesse não considera, portanto
o efeito da resistência do ar e o efeito Magnus, sobre a trajetória o esquema de
forças é ilustrado na gura 4.
7
Figura 4: Diagrama de forças para o modelo clássico
A magnitude da força da gravidade é mg negativa na direção do eixo
que
m
é a massa da bola e
g = 9, 8 m/s2
y,
em
é a aceleração devido à gravidade. As
equações de força resultam:
X
Fy = mÿ
(1)
ou
mÿ = −mg
(2)
ÿ = g
(3)
ou
Como nenhuma força horizontal age sobre ela, a bola irá se mover com
velocidade constante na direção
x
até o choque com o solo.
x:
X
Como não há força na direção
Resolvendo
Fx = mẍ
(4)
mẍ = 0
(5)
ẍ = 0
(6)
ẋ = C1
(7)
x = C2 t + C1
(8)
C1 = v0x
(9)
C1 e C2 :
8
C2 = x0
Sendo
||v0x || = ||v0 || cos θ
e
x0 = 0.
t=
Para a velocidade na direção
Resolvendo
Sendo
y,
y,
(10)
Portanto,
d
||v0 || cos θ
(11)
temos a seguinte relação:
ÿ = −g
(12)
ẏ = −gt + C3
(13)
1
y = − gt + C3 t + C4
2
(14)
C3 = v0y
(15)
C4 = y0
(16)
C3 e C4 :
||v0y || = ||v0 || sin θe y0 = h.
Já que a aceleração é constante na direção
a equação pode ser escrita em função da posição
y = h + ||v0 || sin (θ) t −
y:
gt2
2
(17)
Para encontrar o momento em que o saque bate no chão, adota-se
0.
y
igual a
Com isso, obtém-se uma equação quadrática, que pode ser resolvida para
t=
t:
q
−||v0 || sin (θ) t ± ||v0 ||2 sin2 (θ) + 2gh
(18)
−g
Que para a condição desejada permite obter:
s
t=
2
g (dT )
2dT sin (θ) cos (θ) + 2h cos2 (θ)
(19)
Essa equação mostra que, para um ângulo máximo e com certa velocidade
inicial a bola atinge um determinado ponto. Se aumentar a velocidade do lançamento, ela passa do ponto de impacto desejado.
não alcança o ponto desejado.
9
Se diminuir a velocidade,
5.1
Aplicação:
O tempo mínimo de saque será aquele que atinge a menor altura suciente para
transpor a rede. Para resolver o ângulo que faz a bola passar a rede, é denido
uma altura igual à altura da rede,
hN ,
mais o raio da bola,
rB = 0, 22 m.
Igualando e simplicando as equações e possível encontrar o ângulo do ideal
para uma dada distância
dT :

θ = tan−1 
hN +rB −h
dN
1−
+
hdN
d2T
dN
dT


(20)
Com esse ângulo, é possível encontrar a velocidade inicial e altura ótima
para o saque. Visualiza-se na gura 3, o movimento que a bola descreve para
saque.
Figura 5: Modelo Clássico
Quando a bola passa a rede e atinge a quadra adversária, o saque ideal é
atingido. Um exemplo de uma trajetória é mostrado na gura 5. Este saque foi
atingido uma distância total de aproximadamente 11 metros de uma altura de
6 m. O ângulo ideal inicial era de 56,1° e a velocidade correspondente inicial de
aproximadamente 10 m/s
10
6 Modelo com a Resistência do Ar:
Existe uma força que se opõe ao movimento conhecida como arraste ou resistência ar (ver gura 6). Isto ocorre devido ao contato da superfície da esfera e as
moléculas de ar. O ar que circunda a esfera é chamado de fronteira. Neste caso,
as moléculas de ar tendem a passar em volta da bola de forma paralela, formando um uxo de escomento. O uxo gera uma separação em torno da esfera
criando baixa pressão, desacelerando-a. A resistência do ar só será considerada
nesse segundo modelo.
Figura 6: Digrama de força para o modelo com o arraste. OndeKd
A força de arraste
(R)
= 12 CD ρA.
pode ser calculada pela equação
R=
1
CD ρAv 2
2
(21)
Onde,
CD
ρ
A
v
- Coeciente de arraste;
- Densidade do ar;
- Área Seção Transversal da Bola
- Velocidade
As seguintes hipóteses são adotadas para simplicar o modelo:
1. Bola lisa, ou seja, não é considerada a presença dos gomos e das costuras;
2. Sem giro;
11
3. Sem vento;
4. Sem mudanças nas condições de ar devido à altitude ou umidade;
5. Nenhuma mudança na pressão barométrica.
Com isso, as equações de força podem ser escritas como:
X
Fx = mẍ = −Rx
(22)
1
Fx = − CD ρA||v||2 cos (θ)
2
X
Fy = mÿ = −mg − Ry
(23)
(24)
1
Fy = − CD ρA||v||2 sin (θ) − mg
2
q
Sendo vx = ||v|| cos (θ), vy = ||v|| sin (θ), e ||v|| =
vx2 + vy2 .
q
1
Fx = − CD ρAvx vx2 + vy2
2
q
1
Fy = − CD ρAvy vx2 + vy2
2
Levando em conta a segunda Lei de Newton, F = ma, e
(25)
(26)
(27)
o fato de que
aceleração é a derivada da velocidade, as equações podem ser escritas na forma
de equações diferenciais de velocidades:
CD ρAvx q 2
vx + vy2
2m
CD ρAvy q 2
v̇y = −
vx + vy2
2m
queda livre, que vx = v̇x = 0 para
v̇x = −
Considerando na
(28)
(29)
todo t é possível obter:
v̇x = 0
v̇y = −
(30)
CD ρAvy2
−g
2m
(31)
O resultante da velocidade de queda livre, aplicando as regras de integração,
resulta:
r
vy =
mg
tanh t
CD ρA
Integrando novamente, a posição
y
r
resulta:
12
gCD ρA
m
!
(32)
m
y=
CD ρA
ln e
p gC
2t
D ρA
m
r
+1 −t
gCD ρA
m
!
(33)
Uma vez que as constantes são conhecidas, são usadas para descobrir o
tempo,
t,
que a bola leva para atingir a distância
y,
o valor de
CD
pode ser
encontrado.
Uma vez que
CD
foi encontrado, é possível escrever um programa em Ma-
tlab que aproxima as trajetórias do saque com várias condições iniciais. Este
programa utiliza o método de Runge-Kutta de aproximação para analisar as
equações 28 e 29.
Comparando o modelo de arraste e o modelo clássico.
Para entender a
diferença entre os dois modelos, recorde-se que a bola foi lançada com um ângulo
inicial de 56,1° e uma velocidade inicial de
10 m/s.
Se a bola é sacada no modelo
com o arraste com essas condições iniciais, a bola não atinge a quadra, guras 8.
A bola deve ser sacada com um ângulo menor, 53°, e uma velocidade também
maior,
11 m/s
para superar a força de arrasto e atingir o alvo, guras 9.
Figura 7: Saque com arraste nas mesmas condições do modelo clássico
13
Figura 8: Saque com arraste
7 Modelo completo (gravidade, arraste e efeito
Magnus)
Num modelo mais completo considera-se o efeito de rotação da bola.
O giro
produz uma força que atua perpendicularmente à velocidade da bola. Quando
a bola submetida à rotação a pressão em torno da esfera é alterada, isto é o
chamado efeito Magnus (Ver gura 10). Para observar isso, seja o caso em que
a bola é lançada horizontalmente com a parte superior de rotação, ou seja, o
topo da bola está girando na mesma direção que o movimento de translação da
bola.
No nível microscópico, as moléculas de ar acumulam na parte superior
da bola.
No fundo da esfera, esta não ocorre.
Isso faz com que rotação da
bola compense o movimento da esfera, no conjunto, as moléculas de ar são
empurradas para trás, para fora da esfera de modo não haver acumulação. Esta
diferença na acumulação de moléculas de ar cria um aumento na pressão na
parte superior da bola.
Assim, uma bola, que se desloca através do ar com
top spin , experimentará uma força para baixo devido à rotação, o que produz
a queda de bola mais rápida do que seria sem rotação.
Os jogadores usam
tipicamente top spin , em vez de back-spin , por outro lado, tende a fazer a
bola utuar no ar e cai em um ângulo raso.
14
Figura 9: Diagrama de força para o efeito Magnus
A magnitude da força devido à rotação é proporcional à velocidade angular
e a velocidade linear. Isto é,
F = S (~
ω × ~v )
(34)
Onde,
S
- Coeciente Magnus;
ω
- Velocidade Angular;
v
- Velocidade linear;
Desenvolvendo o produto vetorial:
~i

S ωx
vx

~j
ωy
vy

~k
h
i
ωz  = S (ωy vz − ωz vy )~i + (ωz vx − ωx vz ) ~j + (ωx vy − ωy vx ) ~k
vz
(35)
Logo,
FM x = S (ωy vz − ωz vy )
(36)
FM y = S (ωz vx − ωx vz )
(37)
FM z = S (ωx vy − ωy vx )
(38)
As seguintes hipóteses foram admitidas para simplicar o modelo:
15
1. Bola lisa, ou seja, não será considerada a presença dos gomos e das costuras;
2. Sem mudanças nas condições de ar devido à altitude ou umidade;
3. Nenhuma mudança na pressão barométrica.
Da Segunda Lei Newtons pode-se construir as trajetórias da bola. As equações
gerais envolvendo a resistência do ar e da Força Magnus, resultam nas três
direções em:
X
Fx = mẍ = −Rx + FM x
(39)
1
2
Fx = − CD ρA (v (x)) + S (ωy vz − ωk vy )
2
v̇x = −
X
CD ρA (v (x)) S(ωy vz − ωz vy )
+
2m
m
Fy = mÿ = −mg − Ry + FM y
1
2
Fy = mÿ = mg − CD ρA (v(y)) + S (ωz vx − ωx vz )
2
(40)
(41)
(42)
(43)
2
CD ρA (v (y))
S (ωz vx − ωx vz )
+
2m
m
X
Fz = mz̈ = −Rz + FM z
v̇y = −g −
1
2
Fz = − CD ρA (v (z)) + S (ωx vy − ωy vx )
2
(44)
(45)
(46)
2
CD ρA (v (z))
S (ωx vy − ωy vx )
+
(47)
2m
m
Tal como no modelo anterior, a constante de rotação, S , pode ser encontrado
v̇z = −
colocando uma bola em queda livre. Pode ser encontrado conhecendo a velocidade angular da esfera e o desvio da bola que não está girando na aterrisagem,
com isso o valor de
S
pode ser determinado.
Por simplicação admitiu-se que sendo
vx = 0
vx vy
durante a aterrisagem, e
nas equações 41, 44 e 47 resultando:
v̇x =
S (ωy vz − ωz vy )
m
(48)
2
v̇y = −g −
CD ρ (v (y))
2m
16
(49)
v̇z =
Na equação 49, se sabe
S (ωx vy − ωy vx )
m
CD ρA(v(y))2
2m
g,
(50)
usando essa aproximação:
v̇y = −g
Ao integrar a equação 51, encontra-se
(51)
vy = −gt
e esta pode ser substituído
nas equações 48 e 50.
v̇x =
S (ωy vz + ωz gt)
m
(52)
S (−ωx gt)
m
(53)
v̇z =
Integrando a velocidade em
z:
S (−ωx g) t2
2m
posição em z ca:
vz =
Integrando novamente, a
z=
(54)
S (−ωg) t3
6m
(55)
Substituindo a equação 55 na equação 52.
v̇x =
S
m
ωy
S (−ωx g) t2
+ ωz gt
2m
(56)
Integrando duas vezes, encontra-se na posição x:
S
x=
m
−Sωx ωy g
12m
ωz gt3
t +
6
4
(57)
Inserindo a velocidade angular, as medidas de tempo nas equações das posições, um valor de
7.1
S
pode ser estimado.
Aplicação
Com o coeciente Magnus (S) determinado, podem-se comparar os três modelos.
Para seleção a das equações diferenciais será utilizado novamente o método de
Runge-Kutta nas equações 48, 49 e 50.
As guras de 11, 12 e 13 mostram
as trajetórias dos saques de cada modelo.
cada um:||v0 ||
= 13, 72 m/s
e
θ = 45º.
As condições iniciais são as para
Podem-se comparar os tempos entre os
modelos. O modelo de rotação teve um tempo de 1,66 segundos, em comparação
a 1,96 para o modelo de arraste e 2,11 segundos para o da gravidade.
modo, as diferença entre os três modelos torna-se aparente.
17
Deste
Figura 10: Modelo Clássico com
||v0 || = 13, 72 m/s.
Figura 11: Modelo com Arraste com velocidade
18
||v0 || = 13.72 m/s.
Figura 12: Modelo com a Força Magnus com
||v0 || = 13, 72 m/s
e
θ = 45º.
Tal como no modelo de arraste, o tempo ótimo de saque diminui assim como
a altura e a distância. Isso permite que a bola a ser lançada com uma velocidade
maior.
O novo parâmetro no modelo de rotação,
ω,
afeta também o tempo ótimo e
a velocidade com que a bola pode ser lançada. O tempo diminui gradativamente
com o aumento da rotação porque a força produzida pela rotação impulsiona
a bola para uma velocidade maior de voo. Isso ocorre em uma relação linear,
conforme evidenciado pela gura 14. O aumento na rotação diminui o tempo
centésimos de segundo, pode parecer pouco, mas durante um jogo é uma alteração perceptível.
8 Estratégia durante o jogo de vôlei
Combinando os resultados dos três modelos, a melhor estratégia para minimizar
o tempo de saque pode ser encontrada na gura 14. Em particular, dará ao time
de vôlei informações valiosas para a construção de uma estratégia de serviços .
Ao aumentar a altura em que o jogador saca pode-se diminuir o tempo total.
Assim como o aumento da distância e o giro também terão inuencias no tempo
total de impacto. Então o saque com o menor tempo no ar é atingido quando a
bola é batida com rotação e essa atinge a linha de fundo da quadra. Caso o
jogador deseja-se alterar a linha de lançamento, não haverá mudança no tempo
total, mas pode ser usado para dicultar a defesa do adversário.
19
Figura 13: Modelo com o menor tempo e mudanças na velocidade inicial, nas
velocidades angulares e no ângulo.
20
9 Programa desenvolvido
O programa desenvolvido neste trabalho consiste em simular um saque a partir
do qual a trajetória da bola será inuenciada pelas variáveis já mencionadas.
Na gura 15, pode ser visto as caixas de edição as quais alguns recebem valores
ociais e outros recebem valores individuais de cada atleta.
Figura 14: Escolha dos valores das variáveis
Os três botões demostrados na gura 16 permitem a seleção do modelo que
será utilizado na simulação.
Figura 15: Botões de seleção dos modelos
A execução da modelo selecionado resultará em um gráco onde poderá ser
avaliada a trajetória da bola tendo como referencia a rede e o ponto em que a
tingira a quadra.
21
10 Conclusão
Os modelos de simulação da trajetória de saques apresentados permitiram o
desenvolvimento de um programa computacional que é capaz de representar a
trajetória percorrido pela bola de vôlei desde o serviço até o choque com a quadra
adversária. O programa permite por meio da composição adequada da altura
do saque, velocidade e rotação impressa ao serviço traçar estratégias ótimas de
acordo com a característica individual de cada jogador, demonstrando ser uma
ferramenta útil para o treinamento de atletas praticantes dessa modalidade de
esporte.
Assim sendo, o modelo desenvolvido é uma ferramenta util para o
treinanmento de altetas praticantes dessa modadidade do esporte.
22
Referências
[http://www.luzimarteixeira.com.br/wp-content/uploads/2010/02/biomecanica-descricao-e-aplicacao-de-metod
[http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/voleibol/regras-ociais-do-voleibol-de-quadra.php]
[http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCEQFjAA&url=http3
[http://www.physics.usyd.edu.au/ cross/TRAJECTORIES/42.%20Ball%20Trajectories.pdf ]
[http://incorl.hanyang.ac.kr/xe/paper/ic/ic2005-1.pdf ]
[http://tryoor.com.br/medidas.html]
[http://roseedusica.blogspot.com.br/2011/04/principais-perguntas-e-respostas-sobre.html]
[http://www.rose-hulman.edu/mathjournal/archives/2006/vol7-n2/paper11/v7n2-11pd.pdf ]
23