Sumário

paulo blauth menezes
li 1\11
2013
4a edição
. . introdução à matemática discreta ........................................................... 2
...
conceitos básicos de teoria dos conjuntos ............................................ 3
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.2.7
conjuntos ...........................................................................................3
pertinência ......................................................................................... 5
alguns conjuntos importantes ............................................................ 5
conjuntos finitos e infinitos ................................................................ 6
alfabetos, palavras e linguagens ........................................................ 7
subconjunto e igualdade de conjuntos .............................................. 8
conjuntos nas linguagens de programação ...................................... 1O
. . . exercícios ................................................................................................ 13
li! ··E
I'lQ~ões de lÓ!i!lica e técl'lieas de del"l7lQl'lstl\"a~ãQ
1rz
. . lógica ...................................................................................................... 18
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.1 .7
proposições ..................................................................................... 19
conetivos ......................................................................................... 19
fórmulas, linguagem lógica e tabelas-verdade ................................. 25
lógica nas linguagens de programação ............................................ 27
tautologia e contradição .................................................................. 29
implicação e equivalência ................................................................ 29
quantificadores ............................................................................... .31
xvi
Sumário
. . . técnicas de demonstração ..................................................................... 36
2.2.1
2.2.2
2.2.3
prova direta .................................................................................... .38
prova por contraposição ................................................................. .39
prova por redução ao absurdo ........................................................ .39
. . exercícios ................................................................................................ 40
~ .. ~ álgeora de conjuntos
ti:5
. . diagramas de Venn ................................................................................ 48
. . paradoxo de Russell ............................................................................... 49
. . operações não reversíveis ...................................................................... 51
3.3.1
3.3.2
união ............................................................................................... 51
intersecção ....................................................................................... 54
. . operações reversíveis ............................................................................. 57
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
complemento ................................................................................... 57
conjunto das partes ......................................................................... 61
produto cartesiano .......................................................................... 62
união disjunta .................................................................................. 64
. . relação entre lógica e álgebra de conjuntos .......................................... 66
. . álgebra de conjuntos nas linguagens de programação ........................ 68
. . álgebra de conjuntos e teoria da computação ...................................... 71
. . exercícios ................................................................................................ 75
~ .. ~ relações
81
. . relação ................................................................................................... 82
. . endorrelação como grafo ...................................................................... 86
. . relação como matriz .............................................................................. 87
Sumário
xvii
. . relação dual e composição de relações ................................................. 88
4.4.1
4.4.2
relação dual ..................................................................................... 89
composição de relações ................................................................... 91
. . tipos de relações .................................................................................... 93
4.5.1
4.5.2
4.5.3
4.5.4
IIEI
funcional e injetora ..........................................................................94
total e sobrejetora ............................................................................95
monomorfismo e epimorfismo ........................................................ 97
isomorfismo ..................................................................................... 98
banco de dados relacional ................................................................... 102
. . rede de Petri ......................................................................................... 104
4.7.1
4.7.2
modelo e exemplos ........................................................................ 104
rede de Petri com relação ............................................................... 106
. . relações nas linguagens de programação ........................................... 108
. . exercícios .............................................................................................. 109
~ .. ~ funções parciais e totais
113
. . função parcial ...................................................................................... 115
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
definição e introdução ................................................................... 115
função parcial dual ........................................................................ 116
composição de funções parciais ..................................................... 117
restrição ......................................................................................... 119
. . autômato finito ................................................................................... 120
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
&11
modelo e exemplo ......................................................................... 120
autômato finito como função parcial. ............................................ 121
restrição de um autômato finito .................................................... 122
leitura complementar ..................................................................... 123
função total ......................................................................................... 124
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
definição e introdução ................................................................... 125
exemplos importantes de funções .................................................. 126
função dual .................................................................................... 129
composição de funções .................................................................. 130
xviii
Sumário
. . construções matemáticas como funções ............................................. 131
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.4.4
relação como função ..................................................................... 131
multiconjunto ................................................................................ 132
sequência ....................................................................................... 133
conjunto indexado ......................................................................... 134
. . função de hashing ............................................................................... 135
. . funções nas linguagens de programação ............................................ 131
. . linguagem de programação funcional ................................................ 139
5.1.1
5.1.2
Haskell ........................................................................................... 139
leitura complementar. .................................................................... 140
. . exercícios .............................................................................................. 142
na
propriedades de uma endorrelação .................................................... 150
. . fecho de uma endorrelação ................................................................. 155
na
ordenação ............................................................................................ 151
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.3.4
&li
relação de ordem ........................................................................... 158
classificação de dados .................................................................... 160
diagrama de Hasse ......................................................................... 162
conjuntos ordenados e semântica de sistemas concorrentes ......... 163
equivalência e partição ........................................................................ 166
. . exercícios .............................................................................................. 111
~ .. ~ carêlinaliêlaêle ê1e conjuntos
1r'lO/;
. . cardinalidade finita e infinita .............................................................. 119
. . . conjunto contável e não contável... ..................................................... 180
&li
cardinalidade dos conjuntos não contáveis ........................................ 182
Sumário
&:Il
xix
cardinal do conjunto de todos os problemas solucionáveis ............... 184
. . leitura complementar: máquina de Turing .......................................... 184
7.5.1
7.5.2
7.5.3
noção intuitiva da máquina de Turing ............................................ 185
modelo e exemplo ......................................................................... 186
cardinal do conjunto de todas as máquinas de Turing ................... 189
. . exercícios .............................................................................................. 190
. . princípio da indução matemática ........................................................ 194
. . prova indutiva ...................................................................................... 196
IID
segundo princípio da indução matemática ......................................... 199
. . definição indutiva ................................................................................ 201
. . expressões regulares ............................................................................ 203
lia
computações de um autômato finito .................................................. 204
. . leitura complementar: gramática e BNF .............................................. 206
8.7.1
8.7.2
gramática .......................................................................................207
BNF ................................................................................................209
. . exercícios .............................................................................................. 210
!li! .. ~
l7ecl:.msão
215
. . introdução ........................................................................................... 216
. . funções recursivas parciais .................................................................. 218
9.2.1
9.2.2
9.2.3
9.2.4
substituição composicional ............................................................ 219
recursão primitiva .......................................................................... 220
minimização .................................................................................. 221
função recursiva parcial ................................................................. 224
Sumário
. . cálculo lambda ..................................................................................... 225
9.3.1 aspectos gerais do cálculo lambda ................................................. 225
9.3.2 linguagem lambda ......................................................................... 227
9.3.3 variável livre e substituição ............................................................ 228
9.3.4 cálculo lambda ............................................................................... 231
9.3.5 tipos de dados básicos ................................................................... 233
9.3.6 recursão e ponto fixo ..................................................................... 236
9.3.7 cálculo lambda e computabilidade ................................................ 238
. . leitura complementar:
linguagem de programação funcional - Haskell ................................. 239
. . exercícios .............................................................................................. 241
llLWJ"~ álgebras e /"'iolTlolTlorfislTlos
245
. . operações binárias ............................................................................... 247
II'D
lIiII
lIiII
lIiII
propriedades das operações binárias .................................................. 248
grupoides. semigrupos. monoides. grupos ......................................... 249
importantes propriedades dos monoides e grupos ............................ 253
homomorfismos ............................................................... '" ................. 254
10.5.1
10.5.2
10.5.3
l1iII
II!II
IrEI
Im
homomorfismo de grupoides e de semigrupos ............................ 255
homomorfismo de monoides ....................................................... 260
homomorfismo de grupos ........................................................... 262
monoide livre gerado e fecho de Kleene ............................................. 264
grafos ................................................................................................... 265
categorias ............................................................................................ 268
leitura complementar: álgebra. sintaxe e semântica .......................... 272
10.9.1 assinatura ....................................................................................273
10.9.2 álgebra ........................................................................................275
10.9.3 álgebra de termos ........................................................................ 278
10.9.4 categoria das L-álgebras .............................................................. 280
10.9.5 álgebra inicial ............................................................................... 282
Sumário
10.9.6
10.9.7
lII!Im
sintaxe e semântica ...................................................................... 283
álgebras com variáveis e equações ............................................... 284
exercícios .............................................................................................. 286
~ ~ ... r::eticulaêlos e álgelJr::a booleana
l1li
l1li
2~~
limitantes de conjuntos parcialmente ordenados ............................... 296
reticulados ........................................................................................... 302
11.2.1
11.2.2
IID
xxi
reticulado como relação de ordem .............................................. .302
reticulado como álgebra ............................................................. .305
tipos especiais de reticulados .............................................................. 308
11.3.1
11.3.2
11.3.3
reticulado distributivo .................................................................. 309
reticulado limitado ....................................................................... 31O
reticulado complementado .......................................................... 311
l1li
sub-reticulado ...................................................................................... 312
IID
leitura complementar: primitivas para programação concorrente ..... 314
l1li
l1li
l1li
álgebra booleana ................................................................................. 316
circuitos lógicos ................................................................................... 319
homomorfismos ................................................................................... 321
11.8.1
11.8.2
11.8.3
IID
homomorfismo de c.p.O. ou função monotônica ........................ .322
homomorfismo de reticulados ..................................................... 324
homomorfismo de álgebras booleanas ........................................ 325
exercícios .............................................................................................. 326