questão 16 - Colégio OBJETIVO

Nome: _________________________________________
____________________________ N.º: __________
endereço: ______________________________________________________________ data: __________
Telefone:_________________ E-mail: _________________________________________________________
Colégio
PARA QUEM CURSA A 1.a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2015
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
(UNICAMP) – Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:
Plano
Custo fixo mensal
Custo adicional por minuto
A
R$ 35,00
R$ 0,50
B
R$ 20,00
R$ 0,80
C
0
R$ 1,20
A partir de quantos minutos mensais de uso o plano A é mais vantajoso que os planos B e C:
a) 50 minutos
b) 49 minutos
c) 51 minutos
d) 52 minutos
e) 48 minutos
RESOLUÇÃO
Seja t, em minutos, o tempo de uso mensal.
O custo total, pelo plano A, é 35 + 0,5t.
O custo total, pelo plano B, é 20 + 0,8t.
O custo total, pelo plano C, é 1,2t.
35 + 0,5t < 20 + 0,8t ⇒ t > 50
35 + 0,5t < 1,2t ⇒ t > 50
O plano A é mais vantajoso com um tempo de uso mensal maior que 50 minutos.
Observe que para 50 minutos e 1 segundo, o plano A já é mais vantajoso.
Resposta: C
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 17
(ENEM) – Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende
construir um reservatório fechado, que acumule toda a água proveniente da chuva
que cair no te lhado de sua casa, ao longo de um período anual chuvoso. As
ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, a quantidade média
mensal de chuva na região, em milímetros, e a forma do reservatório a ser
construído.
(mm)
300
10m
8m
4m
100
2m
reservatório
2m x 4m x pm
Ja
n
Fe
v
Ma
r
Ab
r
Ma
i
Ju
n
Ju
l
Ag
o
Se
t
Ou
t
No
v
De
z
pm
200
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água
em uma superfície plana horizontal de um metro quadrado, a profundidade (p) do
reservatório deverá medir:
a) 4m
b) 5m
c) 6m
d) 7m
e) 8m
RESOLUÇÃO
A superfície plana a ser considerada é a superfície retangular de dimensões 8 m e 10 m –
observando-se que a quantidade de água que nela incide independe da forma do
telhado.
Assim, temos que a área da superfície retangular é 80 m2.
Do enunciado, 80 m2 equivalem a um acúmulo de 80 . 100 litros de água (8 000 litros),
ou seja, 8 m3, a cada 100 mm de chuva.
Do gráfico, a quantidade anual de chuva, em milímetros, é 100 + 100 + 300 + 100 + 50
+ 50 = 700. Então:
mm –––––––––––– quantidade de água (m3)
100
8
700
x portanto x = 56
Assim, em m3, o volume do reservatório é tal que p . 2 . 4 = 56 ⇒ p = 7
Resposta: D
OBJETIVO
2
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 18
(FUVEST – ADAPTADA) – A diferença entre dois números inteiros positivos é 10. Ao
multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 4 o
algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo
menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Podemos afirmar que o
maior desses números é:
a) 31
b) 35
c) 37
d) 41
e) 43
RESOLUÇÃO
Sendo a e b, com a > b, os números pedidos, temos:
ab – 40 = 39b + 22
a = b + 10 (I)
(II)
Substituindo (I) em (II), vem:
(b + 10) . b – 40 = 39b + 22
b2 – 29b – 62 = 0
Logo, b = 31 ou b = – 2 (não convém).
Como a = b + 10, a = 41
Assim, o maior desses números é 41.
Resposta: D
QUESTÃO 19
(PUC) – Uma loja colocou o seguinte anúncio na vitrine:
“O preço de qualquer camisa colorida é o dobro do preço de qualquer camisa branca.” Lineu
foi a essa loja e comprou 4 camisas coloridas e algumas brancas. Quando foi efetuar o
pagamento, notou um acréscimo de 50% no valor da compra e, então, viu que, na nota fiscal,
as camisas estavam com suas quantidades trocadas. Nessas condições, quantas camisas
brancas foram compradas por Lineu?
a) 12
b) 13
c) 15
d) 16
e) 18
RESOLUÇÃO
Se b for o preço de uma camisa branca, 2b o de uma camisa colorida e x o número de
camisas brancas que Lineu comprou, então:
4 . b + x . 2b = 1,5 . (4 . 2b + x . b) ⇔ 4 + 2x = 1,5(8 + x) ⇔ 0,5x = 12 – 4 ⇔ 0,5x = 8 ⇔
⇔ x = 16
Resposta: D
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 20
(ITA) – Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5,
6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto
quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez.
Assinale o resultado obtido.
a) 204
b) 206
c) 208
d) 210
e) 212
RESOLUÇÃO
Sendo 1 ou 2 o algarismo das centenas, temos dois casos em que o sete aparece mais
do que uma vez (no 177 e no 277) e, no 2 . 6 . 5 outros casos o algarismo sete, se
aparecer, aparece uma só vez. Assim, temos:
2 . 6 . 5 + 2 = 2 . (6 . 5 + 1) = 62 números, pois apenas o 7 pode aparecer mais de uma vez.
Para 3, 4, 5, 6 ou 7 como algarismo das centenas, resulta 5 . 6 . 5 = 150 valores.
O total de números, de acordo com o enunciado, é
62 + 150 = 212.
Resposta: E
QUESTÃO 21
(FUVEST – ADAPTADA) – Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por
um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 20%
ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano,
investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois
de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Sílvio, 93 mil reais; e Luís e
Sílvio, 106 mil reais.
Quantos reais Carlos, Luís e Sílvio tinham, respectivamente, no início da aplicação?
a) 10 mil, 40 mil, 50 mil
b) 10 mil, 30 mil, 60 mil
c) 20 mil, 10 mil, 70 mil
d) 20 mil, 30 mil, 50 mil
e) 20 mil, 40 mil, 40 mil
RESOLUÇÃO
Indicando as quantias, em milhares de reais, que Carlos, Luís e Sílvio tinham, após esse
ano, por x, y e z, nessa ordem, temos:
x + y = 59
x + z = 93
y + z = 106
––––––––––––––––– +
2x + 2y + 2z = 258
⇔
x + y + z = 129
x + y + z = 129 e y + z = 106 ⇒ x = 23
x + y + z = 129 e x + z = 93 ⇒ y = 36
x + y + z = 129 e x + y = 59 ⇒ z = 70
OBJETIVO
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
Indicando as quantias, em milhares de reais, que Carlos, Luís e Sílvio tinham,
inicialmente, por c, ᐉ e s, nessa ordem, temos:
c . 1,15 = x
c . 1,15 = 23 \ c = 20
ᐉ . 1,2 = y
ᐉ . 1,2 = 36 \ ᐉ = 30
De c + ᐉ + s = 100, c = 20 e ᐉ = 30, temos s = 50.
Desta forma, Carlos, Luís e Sílvio tinham inicialmente, nessa ordem, 20 mil, 30 mil e
50 mil reais.
Resposta: D
QUESTÃO 22
(FUVEST) – Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo
cada um contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes
da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes
teria de pagar R$ 27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$ 630,00.
Quanto pagou cada aluno participante da festa?
a) R$ 136,00
b) R$ 138,00
c) R$ 140,00
d) R$ 142,00
e) R$ 144,00
RESOLUÇÃO
Se x é o número inicial de estudantes, então devemos ter, de acordo com o enunciado,
que 135x = (135 + 27) . (x – 7) ⇔ x = 42.
A despesa, portanto, é, em reais, de 135 . 42 = 5 670. Descontando a colaboração de
R$ 630,00, do diretor obtemos o valor de R$ 5 040,00 a ser pago por 42 – 7 = 35 estu5 040 = 144 reais.
dantes. Assim caberá a cada um a importância de ––––––
35
Resposta: E
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 23
(FUVEST) – O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo
DEFG, cuja base é o dobro da altura.
A
D
B
h
G
E
C
F
b
Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:
bh
2bh
bh
bh
bh
a) –––––
b) –––––
c) ––––––
d) –––––––
e) –––––––
h+b
h+b
h + 2b
2h + b
2 (h + b)
RESOLUÇÃO
Do enunciado, temos a figura:
A
h-x
x
B
h
G
2x
D
x
2x
E
F
C
b
Da semelhança dos triângulos ADG e ABC, temos:
2x
h–x
––– = ––––––
b
h
Logo:
2hx = bh – bx
2hx + bx = bh
bh
x (2h + b) = bh \ x = ––––––
2h + b
Resposta: D
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 24
(UNICAMP – ADAPTADA) – Um homem, de 1,80 m de altura, sobe uma ladeira com
inclinação de 30°, conforme mostra a figura. No ponto A, está um poste vertical de 5 metros
de altura, com uma lâmpada no ponto B.
B
C
1,80m
5m
sombra
30°
A
Calculando o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira
acima, obteremos:
a) 2,20 m
b) 2,25 m
c) 2,75 m
d) 3,25 m
e) 3,50 m
RESOLUÇÃO
Do enunciado, temos a figura:
B
E
C
60°
x
D
1,80m
4
5m
60°
30°
A
Sendo x o comprimento da sombra, da semelhança dos triângulos CDE e CAB, temos:
1,80
x
–––––– = ––––– ⇔ x = 2,25
5
x+4
Resposta: B
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 25
O quociente entre os valores reais de t, para que a metade da expressão t2 + 2t + 1 e a
terça parte da expressão t2 + 3t + 6 sejam iguais, é:
a) –1
b) 2
c) 3
d) –2
e) 1
RESOLUÇÃO
Escrevendo em linguagem matemática os termos metade e terça parte citados no
problema, teremos:
t2 + 2t + 1
t2 + 3t + 6
–––––––––– = –––––––––––
2
3
Reduzindo a expressão ao mesmo denominador, encontraremos:
m.m.c (2,3) = 6
3 (t2 + 2t + 1)
2(t2 + 3t + 6)
––––––––––––– = –––––––––––––
6
6
3t2 + 6t + 3 = 2t2 + 6t + 12, logo:
3t2 + 6t + 3 – 2t2 – 6t – 12 = 0 ⇒ t2 – 9 = 0 ⇔ t2 = 9 ⇔ t2 = ± 9⇔t=±3
O quociente entre 3 e –3 ou entre –3 e 3 é igual a –1.
Resposta: A
QUESTÃO 26
A média bimestral de matemática de Zezinho é numericamente igual a média geométrica
entre o resultado da expressão:
1
––
3
1
––
4
2
4
––
3
8 + 16 – (–2) + 8
expresso no intervalo:
a) 5 < x < 8
d) 2 ≤ x ≤ 7
e a idade de Luizinho, que tem 4 anos. Esse aproveitamento x está
b) 3 ≤ x < 8
e) 1 < x < 8
c) 4 ≤ x ≤ 8
RESOLUÇÃO
Aplicando as propriedades das potências de expoente fracionário na expressão, teremos:
1
––
3
3
8=2
= 8
1
––
4
16
4
––
3
8
4
16 = 2
=
3
=
3
4
––
3
84 = 8 8 = 8 . 2 = 16 ou 8
1
––
3
Logo, a expressão dada é tal que: 8
OBJETIVO
3
3
=
3
84 = (23)4 = 212 = 24 = 16
1
––
4
+ 16
8
–
(–2)2
+8
4
––
3
= 2 + 2 – (–2)2 + 16 =
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
= 2 + 2 – 4 + 16 = 2 + 2 – 4 + 16 = 16
Assim, a média geométrica entre este resultado (16) e a idade de Luizinho é
x = 16 . 4 = 64 = 8
Resposta: C
QUESTÃO 27
(ENEM) – Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos
produtos que deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de
produtos do tipo A, mas apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja
comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor custo/benefício em cada um deles.
O quadro mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto comercializado.
Produto
Tipo A
Tipo B
Arroz
2,00
1,70
Feijão
4,50
4,10
Soja
3,80
3,50
Milho
6,00
5,30
Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são,
respectivamente,
a) A, A, A, A.
b) A, B, A, B.
c) A, B, B, A.
d) B, A, A, B.
e) B, B, B, B.
RESOLUÇÃO
Como apenas 90% dos produtos adquiridos dos tipo B são aproveitados os preços dos
produtos do tipo B não são por 1 kg, mas por 900 g. Comparando os preços de 900 g
de cada produto do tipo A com os preços de 1 kg dos respectivos produtos do tipo B,
teremos:
Arroz: 90% de 2,00 = 1,80 > 1,70
Feijão: 90% de 4,50 = 4,05 < 4,10
Soja: 90% de 3,80 = 3,42 < 3,50
Milho: 90% de 6,00 = 5,40 > 5,30
Pode-se concluir que os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos
pelo comerciante são, respectivamente; B, A, A e B.
Resposta: D
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 28
(OBMEP) – Dois triângulos equiláteros de perímetro 36 cm cada, são sobrepostos de modo
que a região comum dos triângulos seja um hexágono com pares de lados paralelos,
conforme a figura abaixo.
Qual é o perímetro desse hexágono?
a) 12 cm
b) 16 cm
c) 18 m
d) 24 cm
e) 36 cm
RESOLUÇÃO
Primeiro, observe que, como o hexágono tem lados opostos paralelos, os seis triângulos menores da figura do problema também são equiláteros, devido ao paralelismo,
que mantém os ângulos entre retas iguais a 60° (já que, inicialmente, as retas
formavam ângulos de 60°, devido aos dois triângulos equiláteros). Logo, podemos
escrever as medidas dos lados como na figura:
a
f
f
a
b
a
f
b
e
b
e
e
d
c
c
d
c
d
A soma dos perímetros dos dois triângulos equiláteros é igual a 3(a + b + c + d + e + f),
e como cada triângulo equilátero tem perímetro 36 cm, temos 3(a + b + c + d + e + f) = 72,
isto é, a + b + c + d + f = 24. Como esse também é o perímetro do hexágono, temos
que o perímetro procurado é 24 cm.
Resposta: D
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 29
(OBMEP) – A figura mostra um polígono ABCDEF no qual dois lados consecutivos quaisquer
são perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e sobre a reta que passa por A e E.
Os comprimentos de alguns lados estão indicados em centímetros.
Qual é a área do polígono ABCG ?
a) 36 cm2
b) 37 cm2
c) 38 cm2
d) 39 cm2
e) 40 cm2
RESOLUÇÃO
D
F
C
G
2
E
H
6
3
A
B
8
A área pedida é igual à área do polígono ABCDEF menos a soma das áreas dos
AF x EF
3x2
triângulos retângulos AEF e DEG. A área do triângulo AEF é –––––––– = –––––– = 3 cm2.
2
2
Vamos agora calcular a área do triângulo DEG. Para calcular DE, prolongamos EF até o
ponto H, obtendo assim os retângulos ABHF e CDEH. Como os lados opostos de um
retângulo são iguais, segue que DE = CH = CB – BH = 6 – AF = 6 – 3 = 3.
^
^
Como os lados AF e DE são paralelos, então EAF = GED. Além disso AF = ED, logo os
triângulos AEF e DEG são congruentes (caso ALA) e portanto, têm a mesma área. A área
do retângulo ABHF é AB x AF = 8 x 3 = 24 cm2, e a do retângulo CDEH é DE x CD =
= 3 x (AB – EF) = 3x (8 – 2) = 18 cm2. Portanto, a área procurada é 24 + 18 – 2 x 3 = 36 cm2.
OBJETIVO
11
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
Alternativamente, a área do trapézio ABCG cuja altura é BC = 6 e cujas bases são
AB = 8 e CG = CD – GD = 6 – 2 = 4 pode ser calculada diretamente. Portanto, a área é
8+4
––––– x 6 = 36 cm2.
2
Resposta: A
QUESTÃO 30
(OBMEP) – Regina, Paulo e Iracema tentam adivinhar quantas bolas estão dentro de uma
caixa fechada. Eles já sabem que este número é maior que 100 e menor que 140. Eles fazem
as seguintes afirmações:
• Regina: Na caixa há mais de 100 bolas e menos de 120 bolas.
• Paulo: Na caixa há mais de 105 bolas e menos de 130 bolas.
• Iracema: Na caixa há mais de 120 bolas e menos de 140 bolas.
Sabe-se que apenas uma dessas afirmações é correta. Quantos são os possíveis valores para
o número de bolas dentro da caixa?
a) 1
b) 5
c) 11
d) 13
e) 16
RESOLUÇÃO
Acompanhe a solução com a ajuda da figura a seguir, que ilustra as afirmativas de
Regina, Paulo e Iracema.
Regina
100 101
106
Iracema
119 120 121
129
139 140
Paulo
(i) Se Regina está certa, então Paulo e Iracema estão errados. Os números que
satisfazem a afirmação de Regina, mas não satisfazem a afirmação de Paulo são
101, 102, 103, 104 e 105; note que estes números também não satisfazem a
afirmação de Iracema. Neste caso, temos 5 possibilidades para o número de bolas
na caixa.
(ii) Se Paulo está certo, então Regina e Iracema estão erradas. O único número que
satisfaz as opções de Paulo e não satisfaz as de Regina e Iracema é 120. Neste caso,
temos apenas uma possibilidade para o número de bolas na caixa.
(iii) Se Iracema, está certa, então Paulo e Regina estão errados. Os números que
satisfazem a afirmação de Iracema, mas não satisfazem a afirmação de Paulo são
130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138 e 139; note que estes números também
não satisfazem a afirmação de Regina. Neste caso, temos 10 possibilidades para o
número de bolas na caixa. Finalmente, o número total de possibilidades é a soma
do número de possibilidades nos casos (i), (ii) e (iii), que é 5 + 1 + 10 = 16.
Resposta: E
OBJETIVO
12
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE