integrado

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TERCEIRA SÉRIE
ENSINO MÉDIO
INTEGRADO
PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS
Prof. Rogério Rodrigues
NOME : ....................................................
NÚMERO : ............. TURMA : ...................
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IV - QUADRILÁTEROS
IV . 1) Quadriláteros Notáveis - Classificação :
Chamamos de Quadrilátero todo polígono de quatro lados .
Um critério razoável para agrupar os quadriláteros segundo suas
características comuns é separá-los em dois grandes grupos :
→ OS PARALELOGRAMOS : São aqueles que possuem os
lados opostos paralelos .
→ OS NÃO – PARALELOGRAMOS : São aqueles que não
possuem lados opostos paralelos .
Do primeiro grupo fazem parte o paralelogramo tradicional ou
Rombóide , o Retângulo , o Losango e o Quadrado .
A
B
D
C
L
M
O
N
Rombóide
Retângulo
P
S
U
V
Z
X
Q
R
Losango
Quadrado
Do segundo grupo , o principal representante é o Trapézio , que
possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos . Também fazem
fazem parte desse grupo aqueles quadriláteros sem propriedades especiais,
que chamaremos de Quadrilátero Qualquer .
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A
B
D
C
Trapézio Escaleno ( quatro lados de medidas diferentes )
AB // CD e AD não paralelo a BC .
L
M
=
=
O
N
Trapézio Isósceles ( lados não paralelos congruentes )
LM // NO e LO não paralelo a MN .
P
Q
S
R
Trapézio Retângulo ( tem dois ângulos retos )
PQ // RS e PS não paralelo a QR .
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No grupo dos Paralelogramos , definimos :
LOSANGO É TODO PARALELOGRAMO QUE POSSUI
OS LADOS CONGRUENTES .
RETÂNGULO É TODO PARALELOGRAMO QUE POSSUI
OS ÂNGULOS INTERNOS CONGRUENTES (RETOS)
QUADRADO É O PARALELOGRAMO QUE POSSUI OS
LADOS CONGRUENTES E OS ÂNGULOS INTERNOS
CONGRUENTES (RETOS) .
Exercício de Fixação :
Marque V (verdadeiro) ou F (falso) a cada proposição a seguir :
a) ( ) Todo paralelogramo é um quadrilátero .
b) ( ) Todo losango é um quadrado .
c) ( ) Todo quadrado é um losango .
d) ( ) Todo quadrado é um retângulo .
e) ( ) Todo retângulo é um losango .
f) ( ) Todo losango é paralelogramo .
g) ( ) Todo retângulo é um paralelogramo .
h) ( ) Existem losangos que são retângulos .
i) ( ) Existem losangos que não são quadrados .
j) ( ) Existem quadrados que não são losangos .
Respostas : a) V b) F c) V d) V e) F f) V
j) F
g) V
h) V i) V
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IV . 2) PROPRIEDADES DOS PARALELOGRAMOS :
Em todo Paralelogramo , valem as seguintes propriedades :
→ OS LADOS OPOSTOS TÊM MEDIDAS IGUAIS ;
→ OS ÂNGULOS OPOSTOS TÊM MEDIDAS IGUAIS ;
→ AS DIAGONAIS SE CORTAM MUTUAMENTE AO MEIO.
Exercícios Resolvidos :
1) Mostrar que no paralelogramo os lados opostos têm mesma medida .
Considere o paralelogramo AEIO representado na figura abaixo :
A
E




O
I
A diagonal AI divide o paralelogramo nos triângulos AEI e AIO
que são congruentes pelo caso A.L.A , já que
a) EÂI = AÎO (alternos internos determinados entre as paralelas
AE e OI ;
b) AI é lado comum aos dois triângulos ;
c) AÎE = IÂO (alternos internos determinados entre as paralelas
AO e EI .
Então , nos triângulos AEI e AIO , teremos AE = OI e AO = EI.
2) Mostre que no paralelogramos os ângulos opostos têm a mesma
medida .
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Considere a figura a seguir :
A
E

=

=
O
I
a) Já que OÂI = AÎE e EÂI = AÎO , pois são pares de ângulos alternos internos determinados entre paralelas , temos
que OÂE = OÎE , já que ambos são somas de parcelas
iguais (veja exercício anterior) ;
b) Considerando agora a diagonal EO , temos , do mesmo modo
anterior , que AÔE = AÊI e EÔI = OÊA , pois são pares de
ângulos alternos internos determinados entre paralelas . Então ,
AÊI = AÔI , pois ambos são somas de parcelas iguais .
3) Mostre que no paralelogramo as diagonais se cortam mutuamente ao
meio .
A
E

U
=
=

O
I
Considerando a figura acima , onde U é o ponto de interseção das
diagonais AI e EO , temos que os triângulos AUO e EUI são
congruentes pelo caso L.A.Ao , pois
a) AO = EI (lados opostos do paralelogramos) ;
b) AÔU = OÊI (alternos internos entre paralelas) ;
c) AÛO = EÛI (opostos pelo vértice)
Então , AU = UI e EU = UO , ou seja , U é o ponto médio das diagonais .
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Exercícios de Fixação :
1) Em cada caso a seguir , ABCD é um paralelogramo cujos ângulos internos têm medidas respectivamente iguais a a , b , c e d . Calcule
as medidas dos ângulos internos desconhecidos :
D
C
a)
60o
A
B
D
C
b)
3
x
2
x
A
B
D
C
c)
1
x
2
A
x
B
8
D
C
d)
80o
A
B
50o
D
e)
C
A
B
100o
D
C
f)
A
B
2) Em cada figura a seguir , ABCD é um paralelogramo onde AX e BX
são as bissetrizes dos ângulos de vértices A e B , respectivamente. Calcule as medidas a , b , c e d dos ângulos internos do paralelogramo.
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a)
D
C
X
x
A
B
x =
b)
3
b
2
D
C
X
x
A
B
x=
5
a
2
Respostas : 1) a) b = 120o , c = 60o e d = 120o b) a = 72o , b = 108o ,
c = 72o e d = 108o c) a = 60o , b = 120o , c = 60o e d = 120o d) a = 80o,
b = 100o , c = 80o e d = 100o e) a = 50o , b = 130o , c = 50o e d = 130o
f) a = 100o , b = 80o , c = 100o e d = 80o 2) a) a = 120o , b = 60o ,
c = 120o e d = 60o b) a = 36o , b = 144o , c = 36o e d = 144o
IV . 3) PROPRIEDADES DOS LOSANGOS :
Em todos os losangos , verificam-se as seguintes propriedades :
→ As diagonais são bissetrizes dos ângulos cujos vértices elas unem ;
→ As diagonais são perpendiculares entre si .
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Exercício Resolvido :
Demonstrar as duas propriedades anteriores dos losangos .
Consideremos a figura a seguir , onde é representado o losango ABCD e
suas diagonais AC e BD :
a) Sabemos que M divide ambas as diagonais ao meio , pois o losango
é um paralelogramo . Então , AM = MC e BM = MD ;
b) Como AB = BC = CD = DA (lados do losango) , então os triângulos
ABM , CBM , CDM e DAM são congruentes pelo caso L.L.L. , logo , seus ângulos correspondentes têm a mesma medida , ou seja
b1 = b2 = d1 = d2 e as diagonais são bissetrizes dos ângulos cujos
vértices elas unem ;
c) Ainda pelo caso anterior , temos os ângulos de medidas m1 e m2
congruentes , ou seja m1 = m2 . Pela figura , m1 + m2 = 180o . Então,
m1 = m2 = 90o , o que significa que as diagonais são perpendiculares entre si .
IV . 4) PROPRIEDADE DOS RETÂNGULOS :
EM TODO RETÂNGULO , AS DIAGONAIS TÊM
MEDIDAS IGUAIS .
Exercício Resolvido :
Mostrar que as diagonais do retângulo têm medidas iguais .
Considere a figura a seguir :
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A
B
D
C
Observe que as diagonais determinam os triângulos ACD e ABD
que são congruentes pelo caso L.A.L. , pois
a) AB = CD (lados opostos do retângulo) ;
b) os ângulos de vértices B e D são retos (ângulos internos do retân –
gulo ;
c) AD = BC (lados opostos do retângulo) .
Portanto as diagonais AC e BD têm a mesma medida .
IV . 5) TEOREMA DA BASE MÉDIA DO TRIÂNGULO :
O SEGMENTO DETERMINADO PELOS PONTOS
MÉDIOS DE DOIS LADOS DE UM TRIÂNGULO
É PARALELO AO TERCEIRO LADO E TEM MEDIDA CORRESPONDENTE À SUA METADE
Exercício resolvido :
Mostrar o Teorema acima enunciado .
Consideremos as figuras a seguir :
FIGURA 1
FIGURA 2
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A figura 1 mostra o triângulo ABC e o segmento MN , onde M e
N são , respectivamente , os pontos médios de AB e AC . Prolonguemos a BASE MÉDIA MN e pelo ponto C tracemos a paralela ao
lado AB , até que esta intercepte o prolongamento de MN em D , conforme figura 2 . Os triângulos AMN e CDN são congruentes pelo caso A.L.A. , pois
a) os ângulos indicados pelas medidas r e s são congruentes (O.P.V.);
b) NA = NC ( N é ponto médio de AC) ;
c) os ângulos indicados pelas medidas a e t são congruentes ( alternos
internos ) .
Então , os lados correspondentes nos dois triângulos são congruentes ,
ou seja MN = ND , CD = AM e , por hipótese , AM = MB. Em conseqüência disto , temos que CD = MB . Assim temos que BCDM é um
paralelogramo . Desse modo, fica demonstrado que MN // BC . Como
MN = ND , conclui-se que N é ponto médio de MD . Então :
MN =
BC
2
IV . 6) TEOREMA DA BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO :
EM TODO TRAPÉZIO , A BASE MÉDIA É PARALELA ÀS OUTRAS BASES E SUA MEDIDA É DADA PELA SEMI-SOMA DAS MEDIDAS DAS OUTRAS BASES .
Exercício resolvido :
Mostrar o Teorema da Base Média do trapézio .
Consideremos a figura que se segue , onde P e O são , respectivamente , os pontos médios de AB e CD .
A
P
B
C
O
D
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Tracemos AO , prolongando-o até que encontre o prolongamento de BD em E :
A
C
O
P
B
E
D
Os triângulos ACO e EDO são congruentes pelo caso L.A.Ao ,
pois :
a) CO = DO ( O é o ponto médio de CD) ;
b) AÔC = EÔD ( opostos pelo vértice ) ;
c) CÂO = DÊO (alternos internos )
Então , AC = DE e AO = EO ; logo , O é ponto médio de AE e ,
pelo Teorema da Base Média do Triângulo , aplicado ao triângulo
AEB , temos que
1o) PO // BD // AC ;
2o) PO = (BE)/2 = (BD + DE)/2 = (AC + BD)/2 . Então , como queríamos demonstrar
PO =
AC + BD
2
IV . 7) TEOREMA DO TRAPÉZIO ISÓSCELES :
EM TODO TRAPÉZIO ISÓSCELES , OS ÂNGU –
LOS ADJACENTES A UMA MESMA BASE SÃO
CONGRUENTES .
Exercício resolvido :
Mostrar que no trapézio isósceles , os ângulos adjacentes a uma mes –
ma base são congruentes .
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Consideremos o trapézio AEIO da figura abaixo , onde AO = EI :
A
E
a
o
O
e
u
i
U
I
Traçando , pelo vértice A , a paralela AU a EI , temos :
a) AEIU é um paralelogramo (lados opostos paralelos) ; então
EI = AU = AO ; então o triângulo AUO é isósceles e o = u ;
b) i = u ( ângulos correspondentes ) ; então i = o .
c) como o + a = 180o e i + e = 180o (colaterais internos) , temos
também que a = e .
Exercícios de Fixação :
1) Marque V (verdadeiro) ou F (falso) a cada proposição a seguir :
a) ( ) Toda propriedade dos retângulos vale para os paralelogramos .
b) ( ) Toda propriedade dos paralelogramos vale para os retângulos .
c) ( ) Toda propriedade dos retângulos vale para os losangos .
d) ( ) Toda propriedade dos losangos vale para os retângulos .
e) ( ) Toda propriedade dos quadrados vale para os losangos .
f) ( ) Toda propriedade dos losangos vale para os quadrados .
g) ( ) Um losango pode ter quatro ângulos congruentes .
h) ( ) A soma dos ângulos internos de um losango é a mesma de um
trapézio .
2) Determine :
a) em um retângulo ABCD , a medida de AC , sabendo-se que BD = 5
cm .
b) em um losango ABCD , a medida do ângulo formado por suas diagonais .
c) em um trapézio retângulo ABCD , as medidas dos ângulos internos
de vértices C e D , sendo 90o e 30o as respectivas medidas dos ângulos internos de vértices A e B .
d) a medida da base média de um trapézio isósceles , sabendo que seu
perímetro é 28 cm e um dos lados transversais mede 4 cm .
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3) Calcule x em cada quadrilátero a seguir :
a)
A
B
x 110
D
o
70o
80o
C
b)
A
B
x + 30o
120o
x – 10o
80o
D
C
4) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são expressas
x + 10o , 2x , x + 20o e x + 30o . Calcule essas medidas .
5) A figura a seguir representa o paralelogramo OIAU . Calcule :
O
I
n
E
x
A
m
y
U
a) IU , sendo OA = 3 cm .
b) AU , sendo OI = 4 cm .
c) med(AÔI) , sendo med(AÛI) = 120o .
d) AE , sendo AI = 12 cm .
e) med(IÊO) , sendo x = 30o e y = 40o .
f) m , sendo med(AÊO) = 70o e n = 30o .
g) med(AÛI) , sendo n = 40o e y = 20o .
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6) Se num paralelogramo um dos ângulos agudos mede 65o , quanto medem os outros ângulos internos ?
7) Se num paralelogramo um dos ângulos externos mede 35o , quanto
medem os ângulos internos ?
8) A diagonal BD de um paralelogramos ABCD forma , com o lado BC,
um ângulo de 30o e com o lado CD , um ângulo de 40o . Calcule os
ângulos internos desse paralelogramo .
9) Se uma das diagonais de um losango forma ,com um dos lados, um
ângulo de 50o , calcule os ângulos internos do losango .
10) As diagonais de um retângulo formam um ângulo de 108o . Calcule
os ângulos que as diagonais formam com os lados .
11) Calcule os ângulos internos de um trapézio , sabendo-se que um
dos ângulos mede 120o e um outro vale a terça parte desse valor .
12) Dado um trapézio retângulo ABCD , com os ângulos internos de
vértices A e B retos , calcule os ângulos internos de vértices C
e D , sabendo-se que as bissetrizes dos ângulos internos de vértices A e D formam um ângulo de 95o .
13) A base média de um trapézio mede 11 cm . Calcule as bases desse
trapézio , sabendo-se que a sua diferença é de 8 cm .
14) A diferença entre as medidas de dois ângulos consecutivos de um
paralelogramo é 28o . Calcule as medidas dos ângulos do paralelogramo .
15) Um dos ângulos obtusos de um paralelogramo é o quíntuplo de
um dos ângulos agudos . Calcule as medidas desses ângulos .
16) Num trapézio isósceles ABCD , a base menor é congruente aos
lados não paralelos . Prove que as diagonais são bissetrizes dos
ângulos de vértices C e D do trapézio .
17) Na figura a seguir , prolongando-se a diagonal AC do quadrado
ABCD de um segmento CE = CD , obtém-se o triângulo BCE .
Quanto medem os ângulos internos do triângulo BCE ?
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E
D
C
A
B
Respostas : 1) F , V , F , F , V , V , V 2) a) 5 cm b) 90o c) 90o e
150o resp. 3) a) 100o b) 70o 4) 70o , 120o , 80o e 90o 5) a) 3 cm
b) 4 cm c) 120o d) 6 cm e) 110o f) 80o g) 60o 6) 65o , 115o e 115o
7) 145o , 35o , 145o e 35o 8) 70o , 110o , 70o e 110o 9) 100o , 100o ,
80o e 80o 10) 36o e 54o 11) 120o , 60o , 40o e 140o 12) 80o e 100o
13) 7 cm e 15 cm 14) 76o , 104o , 76o e 104o 15) 30o e 150o 17)
22o 30’ , 135o e 22o 30’ .
Exercícios Complementares :
1) No trapézio ABCD da figura , M e N são , respectivamente , os pontos médios dos lados AD e BC . Se as bases têm medidas a e b ,
calcule a medida do segmento PQ , contido em MN e compreendido
entre as diagonais AC e BD do trapézio .
A
M
D
b
P
B
Q
a
N
C
2) Prove que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer
são vértices de uma paralelogramo .
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3) Na figura , AIOU é um quadrado e AIE é um triângulo eqüilatero.
Calcule as medidas dos ângulos IÊO e UÔE .
A
I
E
U
O
4) Na figura seguinte , ABDE e ACMN são quadrados e ABC é um
triângulo eqüilátero . Calcule as medidas de vértices B e N assinalados .
5) Prove que , num triângulo retângulo , a mediana relativa à hipotenusa
mede a sua metade .
6) Na figura seguinte, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero . Calcule a medida do ângulo de vértice D assinalado .
A
B
E
D
C
7) Provar que as bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo se cortam em ângulo reto .
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8) Na figura , ABCD é um retângulo e AME é um triângulo eqüilátero .
Calcule as medidas dos ângulos EÂB e BÊM .
E
A
B
M
30o
D
C
9) Na figura seguinte , ABE e BCF são triângulos eqüiláteros e ABCD
é um quadrado . Prove que os pontos D , E e F estão alinhados ,isto é,
pertencem a uma mesma reta . (SUGESTÃO: basta provar que DÊF=
= 180o )
B
A
F
E
D
C
10) (U.F. Uberlândia – MG) – Num quadrilátero ABCD , o ângulo de
vértice C é a terça parte do ângulo de vértice B , o ângulo de vérti –
A mede o quíntuplo do de vértice C e o ângulo de vértice D mede
45o . Calcule a diferença entre os ângulos de vértices A e B .
11) (Cesgranrio – RJ) – As bases MQ e NP de um trapézio medem 42
cm e 112 cm , respectivamente . Se o ângulo interno de vértice Q
é o dobro do ângulo interno de vértice N , quanto mede o lado PQ ?
M
Q
N
P
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12) (ITA – SP) – Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC
e BD medem , respectivamente , 5 cm e 6 cm . Se R , S , T e U são
os pontos médios dos lados do quadrilátero dado , calcule o perímetro do quadrilátero RSTU .
13) (UFMG ) - Na figura , ABCD é um quadrado e BCE é um triângu –
lo eqüilátero . Qual é , em graus , a medida do ângulo AÊB ?
A
D
E
B
C
14) Na figura , ABCD é um quadrado , onde BC + CE = AE . Sendo F
o ponto médio de DC , mostre que BÂE é o dobro de FÂD .
D
A
Respostas : 1) PQ =
F
E C
B
a - b
3) IÊO = 75o e UÔE = 15o 4) 45o ambos
2
6) 30o 8) EÂB = 30o e BÊM = 60o 10) 70o 11) 70 cm 12) 11 cm
13) 75o