Lógica predicados
Lógica predicados
(continuação)
Lógica predicados
Uma formula está na forma normal conjuntiva (FNC) – se é uma
conjunção de cláusulas.
Qualquer fórmula bem formada pode ser convertida para uma
FNC, ou seja, normalizada, seguindo os passos:
1º eliminando todas as implicações: p → q = ~pvq
2º reduzir o escopo das negações: ~(pΛq) ≡ (~p v ~q) e ~(pvq) ≡ (~p Λ ~q)
3º reduzir o escopo das disjunções: p v (qΛr) ≡ (p v q) Λ (p v r)
Exemplo:
Lógica predicados
Observe os argumentos:
{homem(Sócrates); x[homem(X) → mortal(X)]} ≡ mortal(Sócrates)
Normalizando as fórmulas, obtemos:
{homem(Sócrates); ~homem(X) v mortal(X)} ≡ mortal(Sócrates)
H(s);
~H(x) v m(x)
Logo, m(s)
Observe que a regra de inferência por resolução não pode ser aplicada
diretamente para deduzir que Sócrates e mortal, pois as fórmulas
homem(Sócrates) e homem(X) não são complementares.
Entretanto, como a variável X e universal, podemos substituí-la por qualquer
constante do domínio. Então, fazendo X = Sócrates, obtemos uma nova
instância da formula: homem(X) v mortal(X) e, assim, podemos inferir a
conclusão desejada.
H(s);
~H(S) v m(S) (fazendo X = socrates ) ; Logo, m(S)
Lógica predicados:
Inferência na lógica de predicados
O princípio de instanciação universal é o processo que permite
substituir uma variável por uma constante sem alterar a sua
lógica.
Infelizmente, esse princípio só funciona corretamente para variáveis
universais ( )
Considere a sentença:
“Todo mestre tem um discípulo", que pode ser traduzida como:
x [mestre(x) → ∃ Y [discípulo(y,x)]]
Sendo X uma variável universal, podemos substituí-la por qualquer
constante e a sentença obtida continuara sendo verdadeira.
Lógica predicados:
Inferência na lógica de predicados
x [mestre(x) → ∃ Y [discípulo(y,x)]]
Ex.: fazendo x = Pedro, obtém-se a seguinte instância:
mestre(pedro) → ∃ Y [discípulo(Y; pedro)].
Note que se “mestre(pedro)” for verdade, a semântica da sentença
original forçará “∃ Y [discípulo(Y; pedro)] ser verdade também.
Pois (v → v = v), concluí-se que a instância obtida e verdadeira.
Por outro lado, se “mestre(pedro)” for falso, independentemente do
valor da fórmula “∃ Y [discípulo(Y; pedro)]” a instância obtida
também e verdadeira, pois (F → F = v e F → v = v).
Lógica predicados
O que ocorre ao substituir a variável existencial?
x [mestre(x) → ∃ Y [discípulo(y,x)]],
Seja Y= Pedro
Estabelece que:
“Todo mestre tem um discípulo chamado Pedro".
Evidentemente, o significado da sentença original foi
alterado.
Isso acontece porque o valor de Y depende do valor escolhido
para X.
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Exemplos:
Seja a proposição: “Todo cão é fiel a alguém”
x[cao(x) → ∃y [fiel(x,y)]
Instanciação universal. Seja x=rex
Instâcia: cao(rex) → ∃y [fiel(rex,y)]
Significado: “Se rex é um cão, então rex é fiel a alguém”
Conclusão: a fórmula e sua instância tem significados coerentes.
Instanciação existencial. Seja y = Ana.
Instância: x[cao(x)→ [fiel(x,ana)]
Significado: Todo cão é fiel a Ana.
Conclusão: a fórmula e sua instancia não tem significado
coerente.
A instanciação é coerente para o quantificador universal
Lógica predicados
Regra da “Instanciação Universal”:
Se uma propriedade é verdadeira para cada objeto no domínio.
Então a propriedade é verdadeira para um objeto em particular
do domínio.
A propriedade pode ser definida, por exemplo, em termos de uma
fórmula matemática, definição ou teorema.
Instanciação universal é a ferramenta fundamental do raciocínio
dedutivo.
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Regra de instanciação universal + modus ponens
– Versão informal:
Se x faz com que P(x) seja verdadeiro
então x faz com que Q(x) seja verdadeiro.
“a” faz com que P(a) seja verdadeiro;
Logo, “a” faz com que Q(a) seja verdadeiro;
– Versão formal:
x, se P(x) então Q(x);
P(a) para a em particular;
Logo, Q(a).
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Modus Ponens Universal
Exemplo:
Seja a proposição: “Se um número é par, então seu quadrado é par”
Se um [número é par] = E(x)
então [seu quadrado é par] = S(x);
instanciação: k é um número que é par;
Logo, k2 é par.
Reescrevendo com quantificadores, variáveis e predicados:
Para todo número par, então seu quadrado é par.
x, E(x) → S(x);
Instanciando: E(k) para k em particular;
Logo, S(k).
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Regra de instanciação universal + modus tollens
– Versão informal:
Se x faz com que P(x) seja verdadeiro
então x faz com que Q(x) seja verdadeiro.
“a “ não faz com que Q(a) seja verdadeiro;
Logo, “a” não faz com que P(a) seja verdadeiro;
– Versão formal:
x, se P(x) então Q(x);
~Q(a) para “a” em particular;
Logo, ~P(a).
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Regra de instanciação universal + modus tollens
Exemplo:
Todos seres humanos são mortais;
Zeus não é mortal;
Logo, Zeus não é humano.
Reescrevendo com quantificadores:
H(x): x é humano; M(x): x é mortal; M(z): Zeus mortal
x, H(x) → M(x);
~M(z) para z em particular;
Logo, ~H(z) para z em particular.
H(x) → M(x)
~M (z)
Para z particular:
H(z) → M(z)
~M (z)
Logo, ~H(z).
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Provando validade de argumentos com proposições quantificadas
Definição (forma de um argumento): A forma de um argumento é
válida quando os símbolos dos predicados nas premissas forem
substituídos por quaisquer predicados em particular, se as
premissas resultantes forem verdadeiras então a conclusão
também é verdadeira.
Um argumento é válido se somente se sua forma é válida.
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Provando validade de argumentos com proposições quantificadas
Prova de validade da regra do Modus Ponens Universal:
x, se P(x) então Q(x);
P(a) para “a” em particular;
Logo, Q(a).
Mostrar que Q(a) é Verdadeiro (o que deve ser provado).
1– Suponha que as premissas p(x) e q(x) são Verdadeiras
2– Pela premissa P(a) é Verdadeiro para um “a” particular
3– Por 1 pela regra de instanciação universal a afirmação “ P(a) → Q(a)” é
Verdadeira para o valor de “a” em particular.
4– Se as proposições P(a) → Q(a) e P(a) são Verdadeiras, então por modus ponens
a proposição Q(a) também é Verdadeira. (como proposto a ser provado).
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Regras de inferência na lógica de predicados
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Particularização Universal (PU)
Essa regra diz que podemos deduzir P(x), P(y), P(a), etc. de (x)(P(x)), retirando
seu quantificador universal.
A justificativa intuitiva para esta regra e que se o predicado (ou formula) P e
verdadeiro para todos os elementos do domínio, então podemos nomear um
elemento qualquer deste domínio por um nome arbitrário de variável ou por
um símbolo de constante que P continuara sendo verdadeiro para esta nova
variável ou constante.
A particularização universal pode ser “semi-formalizados” pelo seguinte
esquema:
Todos os A, são B.
“a” e um A.
Logo, a e um B.
(x)(A(x) → B(x)), A(a) ≡ B(a)
que pode facilmente ser demonstrado por:
1
( x)(A(x) → B(x)) hip
2
A(a) hip
3
A(a) → B(a) 1, pu
4 B(a) 2, 3, mp
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Particularização Existencial
Essa regra diz que, a partir de (∃x)(P(x)), podemos deduzir P(y), P(z), P(a),
P(b), etc. desde que y, z, a, b, etc. sejam essencialmente símbolos novos. A
justificativa intuitiva para esta regra e que se P e verdadeira para algum
elemento do domínio, então podemos dar um nome especifico para ele, mas
não podemos supor nada mais a seu respeito, isto é, nada nos impede de dar
um (novo) nome a este suposto elemento “x” que satisfaz P(x).
Para exemplificar, considere o argumento:
Todos os A são B.
Existe algum A.
Logo, um fulano é B.
onde “fulano” indica alguém que não conhecemos mas que sabemos
certamente que “e B”. Este argumento pode ser totalmente formalizado por:
.
.
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Generalização Universal - Essa regra permite que se insira um quantificador
universal. Esta inserção somente pode ser feita se estivermos seguros que a
sentença aberta P(x) e verdadeira e que a variável x, usada nesta sentença,
indica um elemento realmente arbitrário, isto é x pode realmente ser qualquer
elemento do domínio.
Neste caso então nada impede de afirmar (x)(P(x)). Porem se existir alguma
pressuposição na demonstração de que x é algum elemento específico do
domínio (por exemplo, P(x) foi obtido por particularização existencial) então
se pode generalizar P(x) para (x)(P(x)).
Exemplo:
x, (P(x)→Q(x)), y, P(y) ≡ x, Q(x)
Demonstração:
1 - x, (P(x)→Q(x)
2 - y, P(y)
3 - P(x) →Q(x)
4 - P(x)
5 - Q(x)
6 - x, Q(x)
hipótese
hipótese
1, part. universal
2, part. Universal (não há restrição em pu)
3, 4 MP
5, generalização universal
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Generalização Existencial (GE)
A regra permite a inserção de um quantificador existencial. De P(x) ou
P(a), podemos deduzir (∃ x)(P(x)). A justificativa intuitiva para esta
regra e que se alguma já foi nomeada como tendo a propriedade P,
então podemos afirmar que existe alguma coisa com a propriedade P,
logo (∃ x)(P(x)).
Para exemplificar, vamos provar o argumento:
(x)(P(x)) ≡ (∃ x)(P(x))
pela seguinte demonstração:
1 (x)(P(x)) hip
2 P(x)
1, pu
3 (∃ x)(P(x)) 2, ge
A restrição da generalização existencial serve para evitar que, por
exemplo, formulas similares a P(a,y) possa deduzir
(∃ y)(P(y,y)).
Lógica predicados
Prove que os seguintes argumentos são validos:
a) (x)(P(x)) ≡ (x) ((P(x) v Q(x))
Demonstração:
1234-
x, P(x)
P(x)
P(x) v Q(x)
x, P(x) v Q(x)
hipótese
pu
adição disjuntiva
gu
b) ( x)(P(x)), (∃ x)(Q(x)) ≡ (∃ x)(P(x) Λ Q(x))
c)
( x)(P(x)), (∃ x) (~P(x)) ≡ (∃ x)(Q(x))
d) (∃ x)( A(x) Λ B(x) ) ≡ (∃ x)(A(x)) Λ (∃ x)(B(x))
e) (∃ x) ( y)(Q(x,y)) ≡ ( y)(∃ x)(Q(x,y))
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Exercício.
1) Paulo é estudioso e simpático. Se alguém é simpático ou
inteligente, então é popular. Portanto, existe alguém
estudioso e popular.
Simbolicamente:
1- E(p) Λ S(p)
2- x, [S(x) v I(x) → P(x)]
C: ∃(x), [E(x) Λ P(x)]
3456789-
IU,2 [S(p) v I(p) → P(p)]
1,simp. E(p)
1, simp. S(p)
5, AD S(p) v I(p)
3,6,MP P(p)
4,7,C E(p) Λ P(p)
8,GE ∃(x)[E(x)Λ P(x)].
