Redalyc.Solução para as Equações de Navier

Ciência e Natura
ISSN: 0100-8307
[email protected]
Universidade Federal de Santa Maria
Brasil
Crivellaro Minuzzi, Felipe; Lukaszczyk, João Paulo
Solução para as Equações de Navier-Stokes em domínios tridimensionais finos
Ciência e Natura, vol. 37, núm. 1, enero-abril, 2015, pp. 23-44
Universidade Federal de Santa Maria
Santa Maria, Brasil
Disponível em: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=467546185003
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Projeto acadêmico sem fins lucrativos desenvolvido no âmbito da iniciativa Acesso Aberto
Artigo Original
DOI:10.5902/2179460X14635
Ciência e Natura, v.37 n.1, 2015, jan.-abr. p. 23 – 44
Revista do Centro de Ciências Naturais e Exatas - UFSM
ISSN impressa: 0100-8307
ISSN on-line: 2179-460X
Solução para as Equações de Navier-Stokes em domínios
tridimensionais finos
Solutions for the Navier-Stokes Equations in tridimensional thin domains
Resumo
Crivellaro Minuzzi*
, João Paulo Lukaszczykem
,
Solução paraFelipe
as Equações
de Navier-Stokes
domínios
A forma clássica do sistema de equações de Navier-Stokes, o qual deriva do princípio de conservação de massa e momento linear,
Acadêmico
do fluido
Mestrado
em
Matemática,
de Santa Maria,
Santa Maria,
Brasil.
descreve o movimento
de um
homogêneo
sujeito aUniversidade
um campo deFederal
forçasfinos
externas.
Neste trabalho,
desenvolve-se
um estudo
tridimensionais
1
2
1
Professoro Associado
do Departamento
de Matemática,
Universidade
Federal
de Santa Maria,
Santa Maria,em
Brasil.
para encontrar
intervalo maximal
de existência
de soluções
no tempo para
as equações
de Navier-Stokes
um domínio
tridimensional
é, ΩNavier-Stokes
= ω × (0, ), onde ω ⊂
R2 e ∈ (0, 1)in
, considerando
combinações dethin
diferentes
condições de
Solutionsfino,
foristothe
Equations
tridimensional
domains
fronteira.
Palavras-chave: Equações de Navier-Stokes, Domínios finos, Existência de solução.
Abstract
Resumo
The classical form of the Navier-Stokes equations system,
which is derived from the principle of conservation of mass and
momentum, describes the motion of a homogeneous fluid subject to a field of external forces. In this work, we develop a study to
A forma
clássica do
sistema
equações
Navier-Stokes,
o qual
deriva do princípio
de conservação
de massa e momento
linear,
find
the maximal
interval
of de
existence
of de
solutions
in time to
the Navier-Stokes
equations
in a three dimensional
thin domain,
i.e.,
2 e homogêneo
descreve
o
movimento
de
um
fluido
sujeito
a
um
campo
de
forças
externas.
Neste
trabalho,
desenvolve-se
um
estudo
Ω
=
ω
×
(
0,
)
,
where
ω
⊂
R
∈
(
0,
1
)
,
considering
different
combinations
of
boundary
conditions.
para encontrar
o intervaloequations;
maximal de
existência
deExistence
soluções no
tempo para as equações de Navier-Stokes em um domínio
Keywords:
Navier-Stokes
Thin
domains;
of solutions.
tridimensional fino, isto é, Ω = ω × (0, ), onde ω ⊂ R2 e ∈ (0, 1), considerando combinações de diferentes condições de
fronteira.
Palavras-chave: Equações de Navier-Stokes, Domínios finos, Existência de solução.
Abstract
The classical form of the Navier-Stokes equations system, which is derived from the principle of conservation of mass and
momentum, describes the motion of a homogeneous fluid subject to a field of external forces. In this work, we develop a study to
find the maximal interval of existence of solutions in time to the Navier-Stokes equations in a three dimensional thin domain, i.e.,
Ω = ω × (0, ), where ω ⊂ R2 e ∈ (0, 1), considering different combinations of boundary conditions.
Keywords: Navier-Stokes equations; Thin domains; Existence of solutions.
Recebido: 30/06/2014 Aceito: 20/11/2014
* [email protected]
Ciência
Ciência ee Natura
Natura v.37 n.1, 2015, p. 23 – 44
Introdução
11 Introdução
P
Por volta dos séculos XVIII e XIX, os matemáticos
or volta dos séculos XVIII e XIX, os matemáticos
Leonhard Paul Euler (1707 - 1783), Claude Louis Marie
Leonhard Paul Euler (1707 - 1783), Claude Louis
Henri Marie
NavierHenri
(1785Navier
- 1836) (1785
e George
Gabriel
Stokes
(1819
- 1836)
e George
Gabriel
-Stokes
1903) (1819
fizeram
grandes
avanços
no
campo
da
mecânica
- 1903) fizeram grandes avanços no campo
dosmecânica
fluidos. O
primeiro
dedução
da
dos
fluidos.foi
O responsável
primeiro foipela
responsável
do
movimento
de
fluidos
quando
estes
não
são
pela dedução do movimento de fluidos quando viscoestes
sos, são
enquanto
os enquanto
outros dois
consideraram
o efeito da
não
viscosos,
os outros
dois consideraram
viscosidade.
O resultadoOde
seus trabalhos
o que
o
efeito da viscosidade.
resultado
de seus são
trabalhos
hojeochamamos
de Equações
Euler e de
Equações
Naviersão
que hoje chamamos
dede
Equações
Euler ede
Equações
Stokes,
esta, objeto
de estudo
deste
trabalho.
de
Navier-Stokes,
esta,
objeto de
estudo
deste trabalho.
As equações de Navier-Stokes descrevem o movimento de um fluido homogêneo, sujeito a um campo
de forças externos, e são deduzidas a partir da 2a Lei
de Newton, do Princípio de Conservação da Massa e
de Momento Linear, como pode ser visto em Melo e
Neto (1991), Chorin e Marsden (1990), Fox e McDonald
(1988) e Kreiss e Lorenz (1989). Sua importância não
atinge apenas a Matemática, mas campos como Física,
Dinâmica dos Fluidos, Meteorologia, e, mais específicos,
Dinâmica dos Oceanos, Geofísica, Mecânica dos Sólidos
e Fisiologia, entre outros.
Apesar de muito usada, quando falamos em existência de soluções clássicas em R3 × [0, ∞), este ainda é um
problema em aberto da Matemática, conhecido por ser
um dos Millenium Problems do Clay Mathematical Institute,
que premia 1 milhão de dólares a quem resolvê-lo. O
trabalho da matemática russa Olga Ladyzhenskaya foi o
primeiro que provou de maneira rigorosa a convergência
de um método de diferenças finitas para as equações de
Navier-Sokes. Hoje em dia, são conhecidos resultados
de existência e unicidade para solução fraca em espaços
de Sobolev, como pode ser encontrado em Lions (1969) e
Temam (1984), os quais usam o método de Galerkin. Recentemente, em janeiro de 2014, o matemático cazáque
Muchtarbai Otelbajew publicou um artigo afirmando ter
encontrado solução clássica para as equações de NavierStokes. Tal trabalho ainda está em análise pela comissão
examinadora do Clay Mathematical Institute.
A forma vetorial das equações de Navier-Stokes é
dadas por
ut + u · ∇u − µ∆u + ∇ p = f , em Ω × (0, ∞)
div u = 0,
em Ω × (0, ∞)
onde Ω é um domínio suave em R3 . O objetivo deste
trabalho é estudar o intervalo maximal de existência no
tempo de solução para o sistema acima em domínios
tridimensionais finos, isto é, quando uma dimensão
é pequena quando comparada as demais. Em outras
palavras, consideraremos um domínio do tipo Ω =
ω × (0, ) ⊂ R3 , sendo ω ⊂ R2 um domíno regular e
0 < < 1.
O estudo de solução global no tempo para domínios finos foi iniciado por Raugel e Sell (1989), os quais
242
consideraram uma dilatação no domínio para encontrar
as equações de Navier-Stokes definidas em ω × (0, 1)
fixo. Diferentemente, o artigo de Temam e Ziane (1996),
não usa a dilatação e sim, trabalha diretamente em Ω .
Além disso, consideramos combinações entre condições
de fronteira, as quais influenciam fortemente no comportamento das soluções.
Nosso trabalho está estruturado em duas seções principais; na primeira seção, deduzimos uma formulação
matemática específica para domínios finos, como as combinações entre as condições de fronteira de Dirichlet,
periódica e livre, e a interferência dessas na definição
dos espaços funcionais H e V. Outra importante ferramenta usada nesta seção é o operador média integral
na direção fina, definido de acordo com a condição de
fronteira a ser utilizado. Por fim, apresentamos algumas
desigualdades clássicas, como a de Poincaré, além de
outras essencialmente importantes.
Na segunda seção, é feita uma formulação fraca para
as equações de Navier-Stokes, baseando-se no operador média integral, além de estimativas a priori para o
mesmo. Tais estimativas tornam-se uma importante ferramenta para os resultados acerca do intervalo maximal
de existência de solução no tempo, estes dependendo
da condição de fronteira considerada.
2 Introdução ao estudo em domínios
finos
No desenvolver deste trabalho, usamos notações e
resultados usuais no estudo de equações diferenciais
parciais e em análise funcional, baseando-se principalmente em Evans (2010), Adams e Fournier (2003), Brezis
(1983) e Rudin (1986). No que segue, Ω é um aberto
limitado do R3 e L p (Ω), 1 ≤ p < ∞, é o espaço das
funções mensuráveis g : Ω → R tais que
1/p
p
| g( x ) | dx
< ∞.
| g | L p (Ω) =
Ω
e H 1 (Ω) é o espaço de Sobolev no qual todas as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a todas
variáveis, pertencem à L2 (Ω).
Considera-se também os espaços funcionais:
1. Λ = {u ∈ Cc∞ (Ω); divu = 0};
2. H é o fecho de Λ em L2 (Ω ), munido da norma
1/2
| u |2 dx
|u| =
Ω
3. V é o fecho de Λ em H01 (Ω ), munido da norma
1/2
| ∇u |2 dx
||u|| = |∇u| =
Ω
Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação de Navier-stokes em domínios tridimensionais finos
Autores: Título curto do artigo
25
3
Os produtos internos de H e V são denotados por (·, ·)
e ((·, ·)) , respectivamente. A fórmula trilinear b é dada
por
b (u, v, w) = (u · ∇v, w) =
3
∑
i,j=1 Ω
ui
∂v j
w dx,
∂xi j
onde u, v, w ∈ H 1 (Ω). Ainda, faz-se o uso do Operador
de Stokes:
Definição 2.1. Seja P : L2 (Ω ) → H o operador projeção.
Define-se o operador de Stokes, denotado por A , por
A : V ∩ H 2 (Ω ) ⊂ H
−→
u −→
H
2.1
No que segue, a fronteira ∂Ω de Ω será denotada
por ∂Ω = Γt ∪ Γb ∪ Γl , onde
Γt = ω × {}, Γb = ω × {0}, e Γl = ∂ω × (0, ).
Para a formulação do problema, faz-se algumas combinações entre certas condições para ∂Ω , a saber, as
condições de Dirichlet, periódica e de fronteira livre.
Mais precisamente, as combinações usadas são:
1. A condição de fronteira livre em Γt ∪ Γb e periódica
em Γl , denotada por (FP). Considera-se, neste caso,
ω = (0, l1 ) × (0, l2 ), l1 , l2 > 0,
A u = − P (∆u)
u3 = 0 e
Bastante utilizado são as potências do Operador de
Stokes, em particular, A1/2
. Quando usamos esta potência, o domínio do operador coincide com V, ou seja,
D ( A ) = V. Sendo assim, se u ∈ V, então
u
||u|| = A1/2
Para mais detalhes sobre este operador, veja Foias et al.
(2002).
Seja Ω um domínio fino, isto é, Ω = ω × (0, ),
onde 0 < < 1 e ω ⊂ R2 é suave. O objetivo deste
trabalho é estudar o intervalo maximal de existência de
soluções u( x, t) no tempo do sistema

 ut + u · ∇u − µ∆u + ∇ p = f ,
div u = 0,

u( x, 0) = u0 ( x ),
Condições de Fronteira
em
em
em
Ω × (0, ∞)
Ω × (0, ∞)
x ∈ Ω ,
e ui é periódica nas direções x1 e x2 com período
l1 e l2 , respectivamente, para i = 1,2,3. Além disso,
j
Ω
u0 ( x ) dx =
u0 ∈ H ou V e f ∈ L∞ (0, +∞, H )
Para isso, serão necessárias algumas definições iniciais com relação a fronteira de Ω e aos espaços V e H,
os quais serão definidos de acordo com a condição de
fronteira em questão.
f j ( x, t) dx = 0,
j = 1,2.
A primeira relação acima indica que a velocidade
é sempre perpendicular ao vetor normal, isto é,
acompanha a superfície da fronteira.
3. A condição de Dirichlet em ∂Ω , denotada por
(DD), ou seja,
u( x, t) = 0 em ∂Ω .
4. A condição de Dirichlet em Γt ∪ Γb e periódica em
Γl , denotada por (DP). Neste caso,
u( x, t) = 0 em Γt ∪ Γb
e u é periódica em Γl . Além disso,
(iii) µ > 0 é a viscosidade do sistema e;
Neste trabalho, supõe-se que
Ω
u · n = 0, rotu × n = 0 em ∂Ω .
(ii) p : Ω × (0, T ) → R, T > 0, é a pressão;
(iv) u0 ( x ) = (u10 ( x ), u20 ( x ), u30 ( x )) é a velocidade inicial
dada.
2. A condição de fronteira livre em ∂Ω , denotada
por (FF). Neste caso, se n é o vetor normal apontado para fora de ∂Ω , então
onde
(i) u( x,t) = (u1 ( x, t), u2 ( x, t), u3 ( x, t)) é o campo de
velocidades no ponto x = ( x1 , x2 , x3 ) e no instante
t;
∂u1
∂u
= 2 = 0 em Γt ∪ Γb ,
∂x3
∂x3
Ω
u30 dx =
Ω
f 3 ( x, t) dx = 0.
Observe que os espaços H e V são influenciados
por estas condições de fronteiras. Sendo assim, quando
não houver diferença nas demonstrações, utilizaremos a
notação para estes espaços por H e V .
2.2
Os operadores M̃ e Ñ
Seja φ ∈ L2 (Ω ) uma função escalar. O operador
média integral na direção fina é definido por:
M : L 2 ( Ω )
−→
L2 ( Ω )
Ciência
Ciência ee Natura
Natura v.37 n.1, 2015, p. 23 – 44
φ
−→
1
M φ =
0
264
φ( x1 , x2 , s) ds. (1)
Note que apesar de φ ser uma função de três variáveis,
M possui apenas duas, a saber, x1 e x2 , visto que a
integral em (1) depende apenas da terceira componente
de φ. Define-se, também, o operador N por
N φ( x1 , x2 , x3 ) = φ( x1 , x2 , x3 ) − M φ( x1 , x2 ).
Proposição 2.1. Vale que:
(i) M é a projeção ortogonal de L2 (Ω ) em L2 (ω ).
(ii) M N = 0 e M̃ Ñ = 0.
N + M = IL2 (Ω ) .
O operador M̃ é definido para funções u = (u1 , u2 , u3 ) ∈
L2 (Ω ), isto é,
M̃ : L2 (Ω )
−→ L2 (Ω )
u −→ M̃ u = ( M u1 , M u2 , M u3 )
(v) A condição de fronteira para M̃ em ∂ω é a mesma de
u ∈ L2 (Ω ) em ∂ω × (0, ).
(vi) Os operadores M̃ e Ñ são auto-adjuntos.
Demonstração:
(i) Dado φ ∈ L2 (Ω ) tem-se, para todo θ ∈ L2 (ω ),
Dependendo da condição de fronteira, define-se:
(i) Para (FF) e (FP), M̃ u = ( M u1 , M u2 , 0).
(φ − M φ, θ ) L2 (Ω )
(ii) Para (DD) e (DP), M̃ u = 0.
Analogamente, define-se o operador Ñ por Ñ u =
u − M̃ u, ou seja, Ñ + M̃ = IL2 (Ω ) .
Um fato interessante sobre os operadores definidos
acima é que todos são projeções, isto é,
M2 = M , N2 = N , M̃2 = M̃ , Ñ2 = Ñ .
M ( M φ )
=
=
=
M φ( x1 , x2 ) dx3
0 M φ ( x 1 , x 2 ) dx3
0
M φ ( x 1 , x 2 ) .
Ω
φθ − M φθ dx
Ω
φθ dx −
Ω
M φθ dx (3)
Ω
φθ dx
= ω
θ ( M φ) dx.
(4)
Ω
M φθ dx
= ω
θ ( M φ) dx.
(5)
Comparando (4) e (5), segue que
(φ − M φ, θ ) L2 (Ω ) = 0,
ou seja, M é a projeção ortogonal de L2 (Ω ) em L2 (ω ).
com φ ∈ L2 (Ω ). Analogamente mostra-se para M̃ e Ñ .
Além disso, é pertinente observar que, independente da
condição de fronteira, cada componente de Ñ u satisfaz
uma das seguintes situações:
N u j ≡ 0 em Γt ∪ Γb
0
[φ − M φ]θ dx
Resolvendo a primeira integral de (3), obtêm-se
= N ( N φ) = N (φ − M φ)
= N φ − N ( M φ)
= φ − M φ − ( M φ − M ( M φ))
= φ − M φ − ( M φ − M φ )
= φ − M φ = N φ,
Ω
Da segunda integral de (3),
Para N , tem-se
N2 (φ)
=
M2 (φ) = ( M ◦ M )(φ) = M ( M φ).
=
=
De fato, seja φ ∈ L2 (Ω ). Então,
1
(iv) Se φ ∈ H k (Ω ) então M φ ∈ H k (ω ) e N φ ∈
H k (Ω ), ∀ k ≥ 0.
Portanto,
Assim,
(iii) M̃ ∇ = ∇ M , Ñ ∇ = ∇ N .
N u j dx3 = 0,
ou
para
j = 1,2,3.
(2)
O seguinte resultado reúne algumas propriedades
para os operadores M , N , M̃ , Ñ , as quais serão úteis
na demonstração do lema 2.1.
(ii) Tem-se, para φ ∈ L2 (Ω ),
M N
=
=
=
=
M ( N φ)
M ( φ − M φ )
M φ − M ( M φ )
M φ − M φ = 0.
Para M̃ Ñ a demonstração é análoga.
(iii) Seja φ ∈ L2 (Ω ). Então,
M̃ ∇
=
=
=
M̃ (∇ φ)
∂φ ∂φ
,
,0
M̃
∂x1 ∂x2
∂φ
∂φ
M
, M
,0 .
∂x1
∂x2
Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação de Navier-stokes em domínios tridimensionais finos
Autores: Título curto do artigo
27
5
Pelo Teorema da Convergência Dominada, pode-se inverter a integração pela derivação em cada coordenada
do último vetor da expressão acima. Assim,
∂φ
∂φ
M
, M
,0
=
∂x1
∂x2
∂
∂
M φ,
M φ, 0
= ∇ M φ
∂x1
∂x2
Logo, M̃ (∇ φ) = ∇ M φ. Para Ñ ∇ , tem-se
∂φ ∂φ
( Ñ ∇ )(φ) = Ñ (∇ φ) = Ñ
,
,0
∂x1 ∂x2
∂φ
∂φ
N
, N
,0
=
∂x1
∂x2
=
∂φ
− M
∂x1
∂φ
∂x1
∂φ
,
− M
∂x2
∂φ
∂x2
Além disso, já que M φ ∈ H k (ω ) e φ ∈ H k (Ω ), segue
que N φ = φ − M φ ∈ H k (Ω ).
(v) Suponha que u satisfaz (DD). Então, u ≡ 0 em
Γl , isto é, ui ≡ 0 para i = 1, 2, 3 em ∂ω × (0, ). Assim,
como M̃ u = ( M u1 , M u2 , M u3 ), tem-se que M ui ≡ 0
para i = 1, 2, 3, ou seja, M̃ u ≡ 0 em ∂ω.
Se u satisfaz (FP), u é periódica nas direções x1 e x2
com período l1 , l2 > 0, ou seja, para todo i = 1, 2, 3, temse ui ( x1 + l1 , x2 + l2 , x3 ) = ui ( x1 , x2 , x3 ). Assim, para
todo i = 1, 2, 3,
1 ,0 .
Novamente, pelo Teorema da Convergência dominada,
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
− M
− M
=
,
,0
∂x1
∂x1
∂x2
∂x2
∂
∂
N φ,
N φ, 0
=
∂x1
∂x2
(iv) Seja φ ∈
H k (Ω
).
Para k = 0, tem-se
2
| M φ( x1 , x2 )| dx1 dx2
ω
2
1
φ( x1 , x2 , s) ds dx1 dx2 .
ω
0
0
0
|φ| ds
ui ( x1 + l1 , x2 + l2 , s) ds
=
ui ( x1 , x2 , s) ds = M ui ( x1 , x2 ),
M̃ u · n =
=
(6)
=
=
≤
0
2
|φ| ds.
De (6) e (7), obtem-se
2
1
dx1 dx2
φ
ds
ω 0
2
1
dx1 dx2
|φ| ds
ω 0
1
|φ|2 ds dx1 dx2
ω 0
0
(u1 , u2 , u3 ) · n ds = 0.
Além disso, ( M̃ u) × n = M̃ (u × n) e
rot ( M̃ u) × n = rot M̃ (u × n)
M̃ (rot(u × n)) = 0,
quando ( x1 , x2 ) ∈ ∂ω e x3 ∈ (0, ).
Portanto, M̃ u satisfaz (FF).
(vi) Sejam u, v ∈ L2 (Ω ). Então,
0
2
1
=
Mas, pela Desigualdade de Hölder, para p = q = 2,
1/2 1/2
1 ds
|φ| ds ≤
|φ|2 ds
Logo,
=
Assim,
0
0
M u i ( x 1 + l1 , x 2 + l2 )
M̃ u( x1 , x2 ) = ( M u1 , M u2 , M u3 )
1 1 1
u ds,
u2 ds,
u3 ds
0 1
0
0
1
(u , u2 , u3 ) ds.
0 1
∇ N φ.
isto é, M̃ u é periódica nas direções x1 e x2 .
A condição (FF) implica que u · n = 0 e rot(u × n) =
0 em ∂Ω . Logo,
Logo, Ñ (∇ φ) = ∇ N φ.
0
1
(7)
M̃ u, v
=
=
=
=
Assim, || M φ||2L2 (ω ) ≤ ||φ||2L2 (Ω ) . Como φ ∈ H k (Ω ),
segue que || M φ||2L2 (ω ) é finito e portanto M φ ∈ H k (ω ).
=
ω
Ω
Ainda,
Ñ u, v
M̃ u v dx
M̃ u v dx1 dx2 dx3
ω
0
v dx3 dx1 dx2
M̃ u
ω
0
1 u ds
v dx3 dx1 dx2
ω 0
0
u ds M̃ v dx1 dx2
=
≤
Ω
=
≤
||φ||2L2 (Ω ) .
=
0
u M̃ v dx = u, M̃ v .
u − M̃ u, v
Ciência e Natura v.37 n.1, 2015, p. 23 – 44
Ciência e Natura
28
6
= (u, v) − M̃ u, v = (u, v) − u, M̃ v = u, v − M̃ v = u, Ñ v Os resultados do lema a seguir independem da condição de fronteira escolhida e por isso estas serão omitidas.
Lema 2.1. Sejam u, v ∈ H1 (Ω ). Então:
(i)
Ω
∇ Ñ u · ∇ M̃ v dx = 0
2 2
(ii) |u|2 = M̃ u + Ñ u
Ñ u2
2
e ||u| |2 = M̃ u +
(iii) Se v ∈ V então M̃ v ∈ V e Ñ v ∈ V
(v) Para todo u ∈ D ( A ), tem-se
∆ Ñ u = Ñ ∆u e ∆ M̃ u = M̃ ∆u
Demonstração:
(i) Sejam u, v ∈ H1 (Ω ). Tem-se
Ω
Ω
Ω
+
+ ∇ N u3 ∇ M v3 ) dx
∇ N u1 · ∇ M v1
∇ N u2 · ∇ M v2
+
+
Ω
Ñ ∇ ui · M̃ ∇ vi dx = 0,
Ω
∇ Ñ u · ∇ M̃ v dx = 0.
(10)
(ii) No item anterior, foi provado que o conjunto A é
fechado e portanto, pode-se escrever u ∈ L2 (Ω ) como
a soma dos vetores ortogonais M̃ u e Ñ u. Assim,
M̃ u + Ñ u 2 dx
|u|2 =
|u|2 dx =
=
Ω
Ω
Ω
M̃ u + Ñ u · M̃ u + Ñ u dx
M̃ u2 + Ñ u2 + 2
Logo,
Ω
M̃ u · Ñ u dx.
= 0 pois M̃ u⊥ Ñ u
2 2
|u|2 = M̃ u + Ñ u .
Além disso, vale que
∂N u1 ∂M v1
+
∂x3
∂x3
∂N u2 ∂M v2
+
∂x3
∂x3
∇ Ñ u · ∇ M̃ v dx =
(∇ N u1 ∇ M v1 + ∇ N u2 ∇ M v2
=
Note que a expressão acima é igual a
é fechado. De fato, tomando uma sequência de funções
(φn ) ⊂ A tal que φn → φ, onde φ ∈ L2 (ω ), basta esco1 lher θ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ L2 (Ω ) de modo que φ =
θ ds
0
e assim φ ∈ A. Portanto, pela propriedade (i) da
2
proposição anterior,pode-se decompor
2 L (Ω ) como
2
a soma direta de M L (Ω ) e N L (Ω ) da mesma
2
2
maneira
2 que
L (Ω ) é soma direta de M̃ L (Ω ) e
Ñ L (Ω ) . Logo,
para todo i = 1, 2, 3 e a integral em (9) é nula, ou seja,
(iv) b (u, u, M̃ v) = b ( M̃ u, M̃ u, M̃ v)
+ b ( Ñ u, Ñ u, M̃ v) e
b (u, u, Ñ v) = b ( Ñ u, M̃ u, Ñ v)
+ b ( M̃ u, Ñ u, Ñ v) + b ( Ñ u, Ñ u, Ñ v),
onde u,v ∈ V .
Observe que o conjunto
1
2
A=
φ( x1 , x2 , s) ds, φ ∈ L (Ω ) ⊂ L2 (ω )
0
||u||2
=
=
+ ∇ N u3 · ∇ M v3 +
∂N u3 ∂M v3
dx. (8)
+
∂x3
∂x3
Como M vi não dependem de x3 , pois N ui depende de
∂M vi
x3 , segue que
≡ 0, para i = 1, 2, 3 e, além disso,
∂x3
pela propriedade (iii) da proposição anterior, ∇ N ui ·
∇ M vi = Ñ ∇ ui · M̃ ∇ vi , i = 1, 2, 3. Logo, (8) é igual
à
Ñ ∇ u1 · M̃ ∇ v1 + Ñ ∇ u2 · M̃ ∇ v2 +
Ω
(9)
Ñ ∇ u3 · M̃ ∇ v3 dx.
=
+
Ω
Ω
|∇u|2 dx =
Ω
∇( M̃ u + Ñ u)2 dx
∇( M̃ u + Ñ u) · ∇( M̃ u + Ñ u) dx
M̃ u2 + Ñ u2 +
2
∇ M̃ u · ∇ Ñ u dx.
Ω
= 0 por (10)
Logo,
2 2
||u||2 = M̃ u + Ñ u
(iii) Seja v ∈ V . Então, para qualquer condição de
fronteira considerada, v ∈ H1 (Ω ). Pelo item (iv) da
proposição anterior, conclui-se que M̃ v ∈ H1 (ω ). Mas,
M̃ v2 2
M̃ v( x1 , x2 , x3 )2 dx =
=
L (Ω )
Ω
Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação de Navier-stokes em domínios tridimensionais finos
Autores: Título curto do artigo
29
7
0
ω
M̃ v( x1 , x2 , x3 )2 dx1 dx2 dx3 .
0
M̃ v2 2
L (ω )
M̃ v2 2
L (ω )
0
dx3
=
dx3
=
2
M̃ v 2
L (ω )
isto é, M̃ v ∈ V . Além disso, Ñ v ∈ V pois Ñ v =
v − M̃ v e v, M̃ v ∈ V .
=
.
Logo, como M̃ v ∈ H1 (ω ), tem-se que M̃ v 2L2 (ω ) é
(iv) Sejam u, v ∈ V . Tem-se que
b (u, u, M̃ v) = b M̃ u + Ñ u, M̃ u + Ñ u, M̃ v
= b M̃ u, M̃ u, M̃ v + b M̃ u, Ñ u, M̃ v
+ b Ñ u, M̃ u, M̃ v + b Ñ u, Ñ u, M̃ v .
Note que b Ñ u, M̃ u, M̃ v = 0, pois
finita e portanto M̃ v ∈ L2 (Ω ). Analogamente, para
∂
∂
3 M̃ v, i = 1, 2, 3, sendo que
M̃ v ≡ 0. Além disso,
∂M u j
∂xi
∂x3
N ui
b Ñ u, M̃ u, M̃ v = ∑
M v j dx
∂xi
Ω
pelo item (v) da proposição anterior, M̃ v satisfaz a
i,j=1
mesma condição de fronteira de v.
3 ∂M u j
Para concluir que M̃ v ∈ V , resta verificar se div M̃ v =
∑ ω 0 N ui ∂xi M v j dx
i,j=1
0. De fato, para as condições (DD) e (DP), como M̃ v = 0,
3 segue que div M̃ v = 0. Para as demais condições, tem∂M u j
N
u
dx
∑ ω 0 i 3 ∂x M v j dx1 dx2 .
se que divv = 0, isto é,
i
i,j=1
divv =
∂v1
∂v
∂v
+ 2 + 3 = 0.
∂x1
∂x2
∂x3
0
1 divv dx3
∂v1
∂v2
∂v3
1
dx3 +
dx3 +
dx3
0 ∂x1
0 ∂x2
0 ∂x3
∂ 1 ∂ 1 ∂v3
dx3 ,
v dx3 +
v2 dx3 +
∂x1 0 1
∂x2 0
∂x
0
3
0
= −
∂v3
0
∂x3
dx3 .
=
0
∂x3
dx3 =
(11)
1
1
v3 ( x1 , x2 , ) − v3 ( x1 , x2 , 0) = 0,
pois, para (FP), v3 ( x1 , x2 , ) = v3 ( x1 , x2 , 0) = 0, para
(PP), tomando como período, v3 ( x1 , x2 , ) = v3 ( x1 , x2 , 0)
e, para (FF), como M̃ v = ( M v1 , M v2 , 0), tem-se que
1 M v3 = 0, ou seja,
v3 dx3 = 0. Isto implica que
0
0=
∂ 1
∂x3 0
v3 dx3 =
1
∂v3
0
∂x3
dx3 .
Portanto, de (11),
∂
∂
M v 1 +
M v2 = 0,
∂x1
∂x2
e, já que
∂
M v3 = 0 pois M v3 não depende de x3 ,
∂x3
div M̃ v = 0,
(12)
1
0
N ui dx3
= M ( N ui )
= ( M ◦ N ) (ui )
= 0,
ou seja, a integral em (12) é nula. Além disso,
b M̃ u, Ñ u, M̃ v = 0
e, portanto,
Mas, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
∂v3
N ui dx3 = =
isto é,
∂
∂
M v 1 +
M v 2
∂x1
∂x2
=
Mas, pela propriedade (ii) da proposição anterior,
Assim,
0=
=
b (u, u, M̃ v) = b M̃ u, M̃ u, M̃ v + b Ñ u, Ñ u, M̃ v .
Analogamente, vale que
b (u, u, Ñ v) = b M̃ u, M̃ u, Ñ v + b Ñ u, M̃ u, Ñ v
+ b M̃ u, Ñ u, Ñ v + b Ñ u, Ñ u, Ñ v .
Mas b M̃ u, M̃ u, Ñ v = 0, já que
b M̃ u, M̃ u, Ñ v =
3
∑
i,j=1 ω
Logo,
b (u, u, Ñ v)
0
3
∑
i,j=1 Ω
M u i
∂M u j
N v j dx
∂xi
=
∂M u j
N v j dx3 M ui
dx1 dx2 = 0.
∂xi
=0
= b Ñ u, M̃ u, Ñ v + b M̃ u, Ñ u, Ñ v
+ b Ñ u, Ñ u, Ñ v .
(v) Para as condições de fronteira (DP) ou (DD), temse M̃ u = 0, para u ∈ D ( A ). Neste caso,
∆ M̃ u = 0,
Ciência e Natura v.37 n.1, 2015, p. 23 – 44
Ciência e Natura
30
8
1 2
i∑
=1
e
M̃ ∆u = M̃ (∆u1 , ∆u2 , ∆u3 ) = 0,
visto que, como u ∈ D ( A ), então u ∈ H2 (Ω ) e assim
∆u ∈ L2 (Ω ). Portanto, ∆ M̃ u = M̃ ∆u. Ainda, tem-se
que Ñ u = u − M̃ u = u − 0 = u, isto é, ∆ Ñ u = ∆u.
Por outro lado,
Ñ ∆u = ∆u − M̃ ∆u = ∆u − 0 = ∆u.
Logo, ∆ Ñ u = Ñ ∆u.
Para as condições de fronteira (FP), (FF), sejam v ∈
C0∞ (ω ) × C0∞ (ω ) e u ∈ D ( A ). Como
Ω
∂Ω
vi
∂ui
dS
∂n
ω
=
∆ M u1 ,∆ M u2 , 0 · (v1 , v2 , 0) dx1 dx2
=
ω
2 ∑
∆ M ui vi dx1 dx2 .
i =1 ω
−
2 ∆ M ui vi dx1 dx2
∑
i =1 ω
∇ ( M ui ) · ∇ vi dx1 dx2
2 ∑
i =1 ∂ω
−
2 ∑
vi
i =1 ω
∂
M ui dS
∂n
=
+
=
−
2 Assim,
∑
i =1
∇ ( M ui ) · ∇ vi dx1 dx2
∑
M̃ (∇ ui ) · ∇ vi dx1 dx2
=
1
(∇ ui ) dx3 · ∇ vi dx1 dx2
ω 0
=
i =1 ω
−
Γl
vi
∂ui
dS
∂n
1 2
i∑
=1
Ω
2 1
i∑
=1
Ω
(15)
∂u
∂ui
=− i
∂n
∂x3
ou
∂ui
=0
∂x3
∂u
∂u2
− 3 = 0.
∂x3
∂x2
∇ui · ∇vi dx.
∇ui · ∇vi dx =
∂u3
= 0.
∂x2
∂u1
∂u
= 2 = 0.
∂x3
∂x3
Como o somatório em (13) só compreende i = 1,2,
segue que a primeira e a terceira integral depois da
igualdade de (15) são nulas e portanto
=
Novamente, pela fórmula de Green,
−
∂ui
dS +
∂n
Γt
∂u
vi i dS.
∂n
Γb
vi
Mas u · n = 0 em Γt e Γb , isto é, u3 = 0 e
∑
−
∂u1
∂u
− 3 =0 e
∂x3
∂x2
∇ ( M ui ) · ∇ vi dx1 dx2 ,
i =1 ω
2 (14)
A segunda integral depois da igualdade de (15) é
nula, pois se x ∈ Γl , então ( x1 , x2 ) ∈ ∂ω e vi ( x1 , x2 ) = 0,
já que vi ∈ C0∞ (ω ). Agora, quando x ∈ Γt ou x ∈ Γb ,
tem-se que n = ±e3 = (0, 0, 1) e assim
+
2 ∂ui
dS.
∂n
ou seja,
pois v ≡ 0 em ∂ω e n é a normal de ∂ω. Assim, pela
propriedade (iii) da proposição anterior,
−
vi
e n = (0, 0, 1) em Γt e Γb , logo,
∂u ∂u
∂u
∂u1
rotu × n = 0 ⇒
− 3 , 2 − 3 , 0 = 0,
∂x3
∂x2 ∂x3
∂x2
Usando a fórmula de Green, então
∑
∂Ω
para i = 1, 2.
Já para a condição de fronteira (FF), observa-se que
∂u2 ∂u1
∂u3 ∂u2
∂u1
∂u3
rotu =
−
,
−
,
−
∂x2
∂x3 ∂x3
∂x2 ∂x1
∂x2
i =1 ω
2 e, de acordo com a condição (FP), deve-se ter
∆( M̃ u) · v dx1 dx2
=
∂ui
∂ui
=
∂n
∂x3
tem-se
1 2
i∑
=1
Note que
M̃ u = ( M u1 , M u2 , 0) ,
vi ∆ui dx −
∂Ω
vi
∂ui
dS = 0.
∂n
Substituindo em (14), tem-se
1 2
− ∑
i =1
(13)
1 2
∇ui · ∇vi dx =
vi ∆ui dx
i∑
Ω
=1 Ω 1 2
1 2
vi ∆ui dx =
vi
∆ui dx
i∑
i∑
0
=1 ω 0
=1 ω
2 ∑
=
vi M ∆ui dx1 dx2
=
(v1 , v2 ) · ( M ∆u1 , M ∆u2 ) dx1 dx2
=
i =1 ω
ω
=
M̃ (∆ u)
Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação de Navier-stokes em domínios tridimensionais finos
Autores: Título curto do artigo
31
9
=
ω
Vale notar que a desigualdade acima vale para qualquer condição de fronteira a ser considerada. Como
visto no lema (2.1), se u ∈ V então Ñ u ∈ V e portanto,
tem-se o seguinte resultado.
M̃ (∆u) · v dx1 dx2 .
Conclui-se que
∆( M̃ u) · v dx1 dx2 =
ω
ω
M̃ (∆u) · v dx1 dx2 ,
Corolário 2.1. Para qualquer u ∈ V , vale que
Ñ u ≤ ∂ Ñ u ∂x 3 ou seja,
ω
M̃ (∆u) − ∆( M̃ u) · v dx1 dx2 = 0.
Corolário 2.2. Sob as mesmas hipóteses da proposição 2.2,
tem-se
Assim, M̃ (∆u) = ∆( M̃ u) q.s. em ω. Além disso,
|u|
∆u = ∆ M̃ u + ∆ Ñ u = M̃ (∆u) + ∆ Ñ u.
Mas por outro lado,
Ñ (∆u) = ∆u − M̃ (∆u) ⇒ ∆u = M̃ (∆u) + Ñ (∆u).
Portanto, Ñ (∆u) = ∆ Ñ u.
Além destes resultados, os operadores M̃ e Ñ também comutam-se com o operador de Stokes A , isto
é,
A M̃ u = M̃ A u e A Ñ u = Ñ A u,
onde u ∈ D ( A ). Para as condições (FF) e (FP), ainda
temos o seguinte resultado:
Lema 2.2. Se u ∈ D ( A ) satisfaz (FF) e (FP), então
b M̃ u, M̃ u, A ( M̃ u,) = 0
2.3
Desigualdades Fundamentais em Domínios Finos
Nesta seção, serão enunciados resultados para desigualdades clássicas em domínios finos. Tal ferramenta
torna-se importante para conhecer a exata dependência
das constantes que aparecem em desigualdades do tipo
Sobolev com relação à espessura do domínio. Algumas
serão apenas enunciadas, pelo fato de suas demonstrações serem extensas e fugirem do escopo principal deste
trabalho.
A primeira desigualdade aqui enunciada é a de Poincaré, cuja demonstração pode ser encontrada em Temam
e Ziane (1996).
Proposição 2.2 (Desigualdade de Poincaré). Seja u ∈
H 1 (Ω ) satisfazendo:
u ≡ 0 em Γt ∪ Γb
(16)
0 u ( x1 , x2 , x3 ) dx3 = 0 q.s. em ω.
Então,
∂u
|u| ≤ ∂x
3 ≤ |∇u| .
Demonstração: De fato, basta notar que
2
∂u = ∂u |u| ≤ ∂x3 ∂x3 ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2
+
+
≤ ∂x1 ∂x2 ∂x3 = |∇u| .
Corolário 2.3. Sob as mesmas hipóteses da proposição 2.2,
tem-se
||u||
≤ | A u|
Demonstração: Da definição do operador de Stokes,
A é definido positivo, isto é, vale
( A u, u) = ||u||2
> 0.
Mas, pela desigualdade de Holder, tomando p = q = 2,
tem-se
( A u, u)
≤ | A u| |u| .
Logo,
||u||2
≤ | A u| |u| .
Usando o corolário anterior,
||u||2
≤ | A u| |∇u| = | A u| ||u|| .
Portanto,
||u||
≤ | A u| .
Uma outra desigualdade importante é a de Agmon, a
qual será apresentada aqui na sua forma específica para
domínios finos. A demonstração pode ser encontrada
em Temam e Ziane (1996).
Ciência e Natura v.37 n.1, 2015, p. 23 – 44
Ciência e Natura
32
10
Corolário 2.4 (Desigualdade Anisotrópica de Agmon
para Domínios Finos). Existe uma constante positiva c0 (ω ),
que não depende de , tal que, para toda u ∈ H 2 (Ω ),
∂2 u 1 ∂u 1/4
|u| L∞ (Ω ) ≤ c0 (ω ) |u| · 2 + ∂x3 ∂x3 L2 (Ω )
1/4 2 2 2 1
∂ u +
·∏ ∑
| u | L2 ( Ω )
2
∂xi ∂x j i =1 j =1
1/4
∂u + .
+ |u|
∂x j Corolário 2.5. Suponha que u ∈ D ( A ). Então, para qualquer condição de fronteira, vale
∂2 N u ∂N u j j
∂x ≤ ∂x ∂x , para i,j = 1, 2, 3. (17)
i
i 3
Demonstração: Observe que, para i = 1,2, devido à
(2), tem-se
∂N u j
= 0 em Γt ∪ Γb
∂xi
e
∂N u j
0
∂xi
dx3 = 0,
∂N u
com j = 1,2,3. Sendo assim, ∂x j satisfaz (16). Logo,
i
pela Desigualdade de Poincaré,
∂2 N u ∂N u j j
≤ .
∂x ∂xi ∂x3 i
Agora, para a dimensão espacial x3 , deve-se ter um
pouco mais de cuidado, visto que não é possível passar
a derivada com relação à x3 para dentro da integral em
(2). Portanto, usando integração por partes em x3 , temos
∂2 N u j
∂N u j 2
N u j
dx
=
−
dx.
∂x3
∂x32
Ω
Ω
Assim,
Ω
∂N u j
∂x3
2
dx
= −
≤
≤
∂N u j 2
∂x 3 pelo Corol. (2.1)
≤
≤
ou seja,
∂N u j ∂x 3
Ω
N u j
∂2 N u j
∂x32
dx
∂2 N u j N u j dx
∂x32 Ω
∂2 N u j
N u j 2
L (Ω ) ∂x2 3
L2 ( Ω )
2
∂ N u j N u j ∂x2 3
2
∂N u j ∂ N u j ,
∂x3 ∂x32 ≤
∂2 N u j
.
∂x32 Combinando os corolários 2.1 e 2.4, resulta o que
segue.
Corolário 2.6. Existe uma constante positiva c0 (ω ), que não
depende de , tal que, para toda u ∈ D ( A ),
3/4
3 1/4
∂
Ñ
u
Ñ u ∞
≤ c0 (ω ) Ñ u
∑ ∂xi ∂x j L (Ω )
i,j=1
Corolário 2.7. Existe uma constante positiva c0 , independente de , tal que
2
Ñ u2 6
≤ c0 Ñ u .
L (Ω )
A partir do corolário acima e da proposição 2.2,
obtem-se o seguinte lema.
Lema 2.3. Para 2 ≤ q ≤ 6, existe uma constante positiva
c(q), independente de tal que, para todo u ∈ V ,
6− q 2
Ñ u2 q
≤ c(q) q Ñ u
L (Ω )
Teorema 2.1. Sob qualquer uma das condições de fronteira
consideradas, existe uma constante c, independente de , tal
que, para todo u ∈ D ( A ),
2
3 ∂2 u ∑ ∂xi ∂x j ≤ c | A u|2 .
i,j=1
Por fim, o próximo resultado está relacionado com
desigualdades para a forma trilinear b .
1
. Existe uma constante positiva
2
c4 (q), que não depende de , tal que, para qualquer condição
de fronteira considerada, tem-se
(i) b M̃ u, Ñ u, w ≤ c4 q M̃ u A Ñ u |w| ,
∀ u ∈ D ( A ) e w ∈ L 2 ( Ω ).
(ii) b Ñ u, M̃ u, w ≤ c4 1/2 M̃ u A Ñ u |w| ,
∀ u ∈ D ( A ) e w ∈ L 2 ( Ω ).
3/2 1/2
(iii) b Ñ u, Ñ u, w ≤ c4 Ñ u A Ñ u |w|
≤ c4 1/2 Ñ u A Ñ u |w| ,
∀ u ∈ D ( A ) e w ∈ L 2 ( Ω ).
Lema 2.4. Seja 0 < q <
A demonstração do lema acima pode ser encontrado
em Temam e Ziane (1996).
3
Solução Fraca em Domínios Finos
Com relação a existência de solução das equações de
Navier-Stokes em domínios gerais, o seguinte resultado
é conhecido em diversas bibliografias, tais como Temam
(Temam (1984), Temam (1995)) e Lions (Lions (1969)).
Ambos usam o método de Galerkin para encontrar solução fraca em espaços de Sobolev. Mais precisamente,
tem-se
Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação de Navier-stokes em domínios tridimensionais finos
Autores: Título curto do artigo
33
11
Teorema 3.1. Sejam u0 ∈ H e f ∈ L2 (0, T, V ). Então existe
u ∈ L2 (0, T, V ) ∩ L∞ (0, T, H )
para todo T > 0, solução das equações de Navier-Stokes. Se
u0 ∈ V então existe T = T (Ω, µ, u0 , f ) > 0 tal que
u ∈ L2 (0, T, D ( A )) ∩ L∞ (0, T, V )
é a única solução das equações de Navier-Stokes.
Observe que M̃ ut = M̃ u t e µ M̃ ∆u = µ∆ M̃ u .
Ainda,
∂p ∂p ∂p
M̃ ∇ p = M̃
,
,
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂p
∂p
∂p
, M
M
=
, M
∂x1
∂x2
∂x3



 ∂
∂
∂

= 
 ∂x1 ( M p) , ∂x2 ( M p) , ∂x3 ( M p)
No que segue, a solução única dada pelo teorema
acima é chamada de solução forte.
3.1
Estimativas para M̃ e Ñ
As desigualdades apresentadas na última seção motivam algumas estimativas a priori para os operadores
M̃ e Ñ , as quais formam o principal mecanismo para
o estudo do tempo máximo de existência das soluções.
Primeiramente, a partir das equações de Navier-Stokes,
faz-se a formulação fraca para M̃ e Ñ .
Antes de demonstrar a formulação fraca, observe
1/2
que como (u, v) D( A1/2 ) = (( A1/2
u, A v )) , segue que
1/2
A1/2
M̃ u, A M̃ v
=
=
M̃ u, M̃ v
= ∇ M̃ p.
Multiplicando (18) por M̃ v e integrando em Ω tem-se
M̃ u t , M̃ v +
M̃ (u · ∇u), M̃ v − µ ∆ M̃ u, M̃ v +
∇ M̃ p, M̃ v
= M̃ f , M̃ v .
(19)
Agora, note que
d M̃ u, M̃ v dt
D ( A1/2
)
∇ M̃ u, ∇ M̃ v
.
Note que faz sentido tomar o produto interno com relação a M̃ u e M̃ v, pois, como u,v ∈ D ( A1/2
) = V ,
tem-se pelo lema 2.1 que M̃ u, M̃ v ∈ V .
Proposição 3.1 (Formulação fraca para M̃ e Ñ ). Sejam
v ∈ V e u ∈ H . Então,
d 1/2
(i)
M̃ u, M̃ v + µ A1/2
M̃ u, A M̃ v
dt
+ b M̃ u, M̃ u, M̃ v
+ b Ñ u, Ñ u, M̃ v = M̃ f , M̃ v ,
(ii)
=0
d 1/2
Ñ u, Ñ v + µ A1/2
Ñ u, A Ñ v
dt
+b M̃ u, Ñ u, Ñ v + b Ñ u, M̃ u, Ñ v
+ b Ñ u, Ñ u, Ñ v = Ñ f , Ñ v .
Demonstração: Considere a forma vetorial das equações de Navier-Stokes,
ut + u · ∇u − µ∆u + ∇ p = f .
Aplicando o operador M̃ em cada componente da equação acima, tem-se
M̃ ut + M̃ (u · ∇u) − µ M̃ ∆u + M̃ ∇ p = M̃ f .
(18)
=
+
M̃ u t , M̃ v M̃ u, M̃ v t ,
e, como v ∈ V , não depende de t, donde M̃ u, M̃ v t =
0. Logo,
d M̃ u, M̃ v = M̃ u t , M̃ v .
dt
(20)
Como M̃ é auto-adjunto e M̃2 = M̃ , segue que
u · ∇u, M̃ M̃ v M̃ (u · ∇u), M̃ v =
= u · ∇u, M̃ v = b u, u, M̃ v
Usando o item (iv) do lema 2.1,
M̃ (u · ∇u), M̃ v = b ( M̃ u, M̃ u, M̃ v)
+ b ( Ñ u, Ñ u, M̃ v). (21)
Ainda,
− µ ∆ M̃ u, M̃ v = µ ∇ M̃ u, ∇ M̃ v =
1/2
µ A1/2
u,
A
v
.
(22)
M̃
M̃
Além disso,
∇ M̃ p, M̃ v
=0
(23)
Substituindo (20), (21), (22) e (23) em (19), obtem-se
a seguinte formulação fraca para M̃
d 1/2
M̃ u, M̃ v + µ A1/2
M̃ u, A M̃ v
dt
+
Ciência e Natura v.37 n.1, 2015, p. 23 – 44
Ciência e Natura
34
12
b M̃ u, M̃ u, M̃ v + b Ñ u, Ñ u, M̃ v
M̃ f , M̃ v .
=
Para o operador Ñ , procede-se analogamente, aplicando Ñ à forma vetorial das equações de NavierStokes, multiplicando por Ñ v e integrando em Ω .
Deste modo, ao aplicar o item (iv) do lema 2.1, temse que
Ñ (u · ∇u) , Ñ v
=
=
=
+
+
u · ∇u, Ñ v
b (u, u, Ñ v)
b ( M̃ u, Ñ u, Ñ v)
b ( Ñ u, Ñ u, Ñ v).
Assim, conclui-se a formulação fraca para o operador
Ñ dada por
+
+
(ii) b0 () = A1/2
Ñ u0 ;
(iii) α() = M̃ f ;
(iv) β() = Ñ f ;
Observe que, de acordo com (ii) do lema 2.1,
=
=
2 2
| f |2 = M̃ f + Ñ f = α2 () + β2 (),
Então, existe 1 = 1 (µ) > 0 tal que para todo , 0 <
≤ 1 , existem T σ () > 0 e uma constante positiva c5 (µ),
independente de , de modo que para , 0 < ≤ 1 e 0 <
t < T σ (), tem-se:
2
µt
22 2
− 2
2
(i) A1/2
Ñ u ( t ) ≤ b0 ( ) e 2 + 2 β ( );
µ
t
A Ñ u(s)2 ds ≤ 2 b2 () + 2 tβ2 ();
µ 0
µ2
0
t
3 1/2
(iii)
A Ñ u(s) A Ñ u(s) ds ≤
0
c5 (µ) b02 () + 2 β2 () b02 () + tβ2 () .
(ii)
+
+
ou seja,
1
2
Observe que, pela comutatividade do operador de
Stokes com Ñ ,
Ñ u, Ñ A u =
Ñ u, A Ñ u = Ñ u, Ñ u 1/2
A1/2
Ñ
Ñ
=
u,
A
u
2
1/2
= A Ñ u ,
e
2
2
R20 () = A1/2
u0 + | f | .
Lema 3.1 (Estimativas para Ñ u). Suponha que 0 < q <
e
2
2
2q 1/2 lim A u0 + | f | = 0.
d 1/2
Ñ u, Ñ A u + µ A1/2
Ñ u, A Ñ A u
dt b M̃ u, Ñ u, Ñ A u + b Ñ u, M̃ u, Ñ A u
b Ñ u, Ñ u, Ñ A u = Ñ f , Ñ A u .
1/2 2
A u0 2 2
1/2 M̃ A1/2
u0 + Ñ A u0 2 2
1/2
A M̃ u0 + A1/2
Ñ u0 = a20 () + b02 (),
Com efeito, caso não valesse a igualdade, teria uma
contradição com o fato de T σ () ser o tempo máximo.
Apresentamos agora dois lemas com as estimativas
para os operadores Ñ e M̃ , fundamentais para prova
dos teoremas de existência. O resultado a seguir independe da condição de fronteira considerada.
Demonstração: Da formulação fraca para Ñ , substituindo v por A u, tem-se
(v) R20 () = a20 () + b02 () + α2 () + β2 ().
=
Aqui,
é o intervalo máximo onde a desigualdade acima corresponde. Vale notar que se T σ () < ∞,
então
2
1/2
(26)
A u( T σ ()) = σR20 ().
→0
Para facilitar as expressões calculadas nas estimativas, utiliza-se, no que segue, as seguintes notações:
(i) a0 () = A1/2
M̃ u0 ;
|u0 |2D( A1/2 )
[0, T σ ())
b ( Ñ u, M̃ u, Ñ v)
d 1/2
Ñ u, Ñ v + µ A1/2
Ñ u, A Ñ v
dt b M̃ u, Ñ u, Ñ v + b Ñ u, M̃ u, Ñ v
b Ñ u, Ñ u, Ñ v = Ñ f , Ñ v .
Agora, dado σ > 1, como consequência do teorema
3.1, tem-se que existe T σ () > 0 tal que, para todo
t ∈ [0, T σ ()),
2
1/2
(25)
A u(t) ≤ σR20 ().
Logo,
(24)
2
d d 1/2
Ñ u, Ñ A u =
A Ñ u .
dt
dt
(27)
Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação de Navier-stokes em domínios tridimensionais finos
Autores: Título curto do artigo
35
13
Mas
d Ñ u, Ñ A u dt
d
d
+ Ñ u, Ñ A u
Ñ u, Ñ A u
dt
dt
d
d
+ Ñ u, A Ñ u
Ñ u, Ñ A u
dt
dt
d
d
+ Ñ u, A
Ñ u, Ñ A u
Ñ u
dt
dt
d
d
+ A Ñ u, Ñ u
Ñ u, Ñ A u
dt
dt
d
2
Ñ u, Ñ A u .
dt
Assim, de (27),
d
Ñ u, Ñ A u
dt
=
=
=
=
1 d
2 dt
1 d
2 dt
Também,
Ñ u, Ñ A u
2
1/2
A Ñ u .
1/2
u,
A
A
u
µ A1/2
Ñ
Ñ
1/2
1/2
µ A Ñ u, A A Ñ u
µ A Ñ u, A Ñ u 2
µ A Ñ u .
=
≤
= A M̃ u, M̃ u 1/2
A1/2
=
M̃ u, A M̃ u
2
1/2
= A M̃ u ,
=
M̃ u, M̃ u
ou seja,
M̃ u = A1/2
u
M̃
.
Analogamente,
Ñ u = A1/2
Ñ
u
,
=
=
=
2
2
δ2 1 Ñ f + 2 A Ñ u .
2
2δ
A última desigualdade
acima vem
de 2ab ≤ a2 + b2 ,
−
1
tomando a = δ Ñ f e b = δ A Ñ u , onde δ > 0 é
1
µ
um número real. Escolhendo 2 = , tem-se δ2 = µ−1 .
2
2δ
Daí,
Ñ f , Ñ A u
M̃ u2
=
Além disso, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,
Ñ f , Ñ A u =
Ñ f , A Ñ u ≤ Ñ f A Ñ u
Note que
(28)
=
≤
2
+ c4 1/2 Ñ u A Ñ u .
2 µ 2
1 Ñ f + A Ñ u
2µ
2
Pelas estimativas do Lema 2.4,
b M̃ u, Ñ u, Ñ A u + b Ñ u, M̃ u, Ñ A u
+ b Ñ u, Ñ u, Ñ A u
≤ c4 q M̃ u A Ñ u A Ñ u
+ c4 1/2 M̃ u A Ñ u A Ñ u
+ c4 1/2 Ñ u A Ñ u A Ñ u
2
2
= c4 q M̃ u A Ñ u + c4 1/2 M̃ u A Ñ u
e, com isso,
b M̃ u, Ñ u, Ñ A u + b Ñ u, M̃ u, Ñ A u
+ b Ñ u, Ñ u, Ñ A u
2
≤ c4 q A1/2
u
M̃
A Ñ u
2
1/2
A Ñ u .
M̃
+ c4 1/2 A1/2
u + A Ñ u Temos, portanto, a seguinte estimativa
2
2
1 d 1/2
A Ñ u + µ A Ñ u
2 dt
2
2
µ 1 Ñ f +
A Ñ u
2µ
2
2
q 1/2
c4 A M̃ u A Ñ u
2 1/2
1/2 1/2
c4 A M̃ u + A Ñ u A Ñ u .
≤
+
+
Como 0 < < 1 e 0 < q < 12 , pode-se afirmar
que
2
1/2
1/2
q
q
< . Assim, somando c4 A Ñ u A Ñ u ,
o qual é um valor positivo, na última expressão acima,
obtem-se
2
d 1/2
µ − 4c4 q A1/2
A Ñ u +
M̃ u dt
2
1/2
A Ñ u + A Ñ u
≤
2
1 Ñ f .
µ
Observe que, do item (ii) do Lema 2.1,
2
2 2
1/2
1/2
A u(t) = M̃ A1/2
u ( t ) + Ñ A u ( t ) 2 2
1/2
1/2
= A M̃ u(t) + A Ñ u(t) ,
para t ∈ [0, T σ ()) e, além disso,
1/2
≤
A M̃ u(t) + A1/2
Ñ u ( t ) √ 1/2
2 A u(t) .
Ciência e Natura v.37 n.1, 2015, p. 23 – 44
Ciência e Natura
36
14
Mas, de (25), temos
√ √
1/2
2 σR0 ().
A M̃ u(t) + A1/2
Ñ u ( t ) ≤
e, substituindo em (32),
2
µt
22
−
1/2
A Ñ u ≤ b02 ()e 22 + 2 β2 (),
µ
Assim,
1/2
µ − 4c4 A1/2
M̃ u + A Ñ u √ √
µ − 4c4 q 2 σR0 (),
q
≥
o que prova o item (i) do lema.
Integrando de 0 à t a expressão em (31), tem-se
t
2
2
µ
1/2
1/2
A Ñ u(s) ds
A Ñ u(t) + 2
2 0
1
b02 () + tβ2 ().
µ
isto é,
2 √
2
d 1/2
A Ñ u + µ − 4c4 q 2σR0 () A Ñ u
dt
2
1 Ñ f .
µ
≤
(29)
A partir deste momento, usando a hipótese
2
2
2q 1/2 lim A u0 + | f | = lim 2q R20 () = 0,
→0
pode-se afirmar que
√
lim µ − 4c4 q 2σR0 () = µ > 0,
Como
t
2
µ
1/2
Ñ
u
(
s
)
A
ds
22 0
t
2
µ
1/2
A Ñ u(s) ds,
22 0
µ
22
→0
ou seja,
ou seja, existe um 1 > 0 tal que para todo 0 < < 1 ,
√
µ
µ − 4c4 q 2σR0 () ≤ .
2
µ
2
2
2
2
µ 1 d 1/2
Ñ f .
A Ñ u + 2 A1/2
Ñ u ≤
dt
µ
2
(31)
ou seja,
≤ e
≤ e
−
µt
22
b02 () +
−
µt
22
µ
e
µt
− 2
2
µ
t
0
e
µt
22
µ
tβ2 () ≤
22
µ2
β2 () ds
tβ2 ()
22 µt2
Para algum t, com t ≤
e 2 , vale que
µ
−
µ
(34)
β2 ( ),
≤
(32)
t
0
A Ñ u(s)2 ds ≤ b2 () + 1 tβ2 (),
0
µ
t
Agora, aplicando a desigualdade de Gronwall, obtem-se
e
µ
Daí,
b02 () +
µ
2 µ t 1/2
A Ñ u(s)2 ds
A Ñ u(t) +
2 0
1
b02 () + tβ2 ().
µ
(30)
2
2
1/2
A Ñ u ≤ 2 A Ñ u ,
µt
22
0
t
2
22 2
22
1/2
b0 () + 2 tβ2 (),
A Ñ u(s) ds ≤
para todo 0 < < 1 e 0 ≤ t < T σ ().
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, tem-se
−
para todo 0 < ≤ 1 e 0 < t < T σ ().
Agora, integrando (30) de 0 à t,
2 µ 2
2
d 1/2
1
A Ñ u + A Ñ u ≤ Ñ f ,
dt
2
µ
2
1/2
A Ñ u
2
Ñ
≤ A1/2
u
(
t
)
+
t
2
1
1/2
A Ñ u(s) ds ≤ b02 () + tβ2 (),
0
Substituindo em (29),
e portanto,
≤
obtem-se
→0
(33)
0
A Ñ u(s)2 ds ≤ 2 b2 () + 2 tβ2 (),
µ 0
µ2
(35)
para todo 0 < ≤ 1 e 0 < t < T σ (), provando assim
o item (ii) do lema.
Aplicando a desigualdade de Hölder com p = q = 2
3
para as funções u = A1/2
Ñ u e v = A Ñ u , temos
t
3 1/2
A Ñ u(s) A Ñ u(s) ds
0
=Ψ
t 1/2
6 1/2 t 2
1/2
A Ñ u(s) ds
A Ñ u(s) ds
0
0
≤
Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação de Navier-stokes em domínios tridimensionais finos
Autores: Título curto do artigo
37
15
Observe que
(iv)
t 6 1/2
1/2
A Ñ u(s) ds
0
0
2 t 2 1/2
1/2
1/2
sup A Ñ u(s)
A Ñ u(s) ds
0≤ s ≤ t
≤
Portanto,
Ψ
2 t 2 1/2
1/2
1/2
sup A Ñ u(s)
A Ñ u(s) ds
≤
0≤ s ≤ t
·
t
0
0
A Ñ u(s) ds
1/2
t
2
A M̃ u(s)2 ds ≤ 2a0 ()t +
µ
0
4
c8 (µ)Rn ()(1 + t).
Demonstração: Da formulação fraca para M̃ , substituindo v por u, tem-se
d 1/2
M̃ u, M̃ u + µ A1/2
M̃ u, A M̃ u
dt b M̃ u, M̃ u, M̃ u + b Ñ u, Ñ u, M̃ u
M̃ f , M̃ u .
+
=
É possível afirmar (veja Temam (1984), Lema 1.3, pág.
162) que
b M̃ u, M̃ u, M̃ u = 0,
4
e, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,
Note que é possível tomar o supremo da função A1/2
Ñ u ,
pois vale (33).
M̃ f , M̃ u ≤ M̃ f M̃ u .
Substituindo as estimativas encontradas em (33), (34)
e (35) na expressão acima, obtem-se
Assim como foi feito no lema anterior para Ñ , o
termo com a derivada em relação ao tempo é tal que,
22
1
1 2
antes de substituir,
b0 () + 2 tβ2 () .
Ψ ≤ 4 b02 () + 2 β2 ()
µ
µ
µ
d d
M̃ u, M̃ v =
M̃ u, M̃ v ,
Fazendo
dt
dt
2
1 1
c5 (µ) = 2 max(1, 2 , ) ,
pois v ∈ V e não depende de t. Mas,
µ µ
d d
conclui-se que
M̃ u, M̃ u =
M̃ u, M̃ u
dt
dt
Ψ ≤ c5 (µ) b02 () + 2 β2 () b02 () + tβ2 () ,
d
d
+ M̃ u, M̃ u
= 2
M̃ u, M̃ u ,
dt
dt
o que prova o item (iii) e, portanto, o lema está demonsou seja,
trado.
d d
M̃ u, M̃ u =
M̃ u, M̃ u
dt
dt
Lema 3.2 (Estimativas para M̃ u). Considerando as condi
d
1
=
M̃ u, M̃ u ções (FF) e (FP), suponha que 0 < q < 12 e
2 dt
2
1 d 2
=
M̃ u .
2
2q 1/2 lim A u0 + | f | = 0.
2 dt
→0
Então, existe 1 = 1 (µ) > 0, tal que para todo , com
0 < ≤ 1 , existem T σ () > 0 e uma constante positiva
c10 (µ), independente de , a partir dos quais vale:
t
2
a2 () 2α2 ()t
1/2
+
(ii)
A M̃ u(s) ds ≤ 0
2
4
+ c6 (µ)Rn ()(1 + t);
µλ1
2
1/2
= µ A1/2
µ A1/2
M̃ u, A M̃ u
M̃ u .
Logo,
2
α2 ( )
(i) M̃ u(t) ≤ a20 ()e−µλ1 t + 2 3
µ λ1
+ c6 (µ)R4n ()(1 + t);
0
Ainda,
µ2 λ1
2
2
−µλ21 t + 2α ( ) +
2
(iii) A1/2
M̃ u ( t ) ≤ a0 ( ) e
µ2 λ1
4
c8 (µ)Rn ()(1 + t);
2
2
1 d M̃ u + µ A1/2
M̃ u 2
dt
b Ñ u, Ñ u, M̃ u ≤ M̃ f M̃ u .
Do lema 2.4, obtem-se
b Ñ u, Ñ u, M̃ u
3/2 1/2 c4 Ñ u A Ñ u M̃ u
3/2 1/2 A Ñ u M̃ u
c4 A1/2
u
Ñ
+
(36)
≤
=
Ciência e Natura v.37 n.1, 2015, p. 23 – 44
Ciência e Natura
38
16
3 2c24 1/2
u
Ñ
A
A Ñ u .
2
µλ1
onde a última igualdade acima vem de (28). Substituindo em (36),
2
2
1 d u
M̃
M̃ u + µ A1/2
≤ M̃ f M̃ u
2 dt
3/2 1/2 1/2
c4 A Ñ u
A Ñ u M̃ u .
De (37),
+
2
2
2 d M̃ f M̃ u + µλ1 M̃ u ≤
2
dt
µλ1
2
2c4 1/2
3 A Ñ u A Ñ u .
2
µλ1
A desigualdade de Poincarè, neste contexto, afirma
que
M̃ u ≤ 1 A1/2
M̃
u
(37)
,
λ1
2
M̃ u(t)2 ≤ a2 ()e−µλ1 t + α ()
0
µ2 λ31
2c24 t 1/2
3 A Ñ u A Ñ u ds
2
µλ1 0
≤
e,
(39)
+
(40)
Do item (iii) do lema 3.1,
+
2
M̃ u(t)2 ≤ a2 ()e−µλ1 t + α ()
0
µ2 λ31
2c24
2
2 2
2
2
c
(
µ
)
b
(
)
+
β
(
)
(
)
+
tβ
(
)
b
.
5
0
0
µλ21
Para δ > 0,
2 u
M̃
M̃ f A1/2
λ1
2
2
1 1/2
2δ A M̃ u +
M̃ f ,
2δλ21
+
Aplicando a desigualdade de Gronwall, obtemos
onde λ1 é o primeiro autovalor (o menor) do operador
de Stokes. Assim,
2
2
d u
M̃
M̃ u + 2µ A1/2
dt
1/2
2 M̃ f A M̃ u
λ1
3/2 1/2 1/2
2c4 1/2
A Ñ u A M̃ u .
A Ñ u
λ1
(38)
≤
Seja
+
(41)
R2n () = max(b02 (), β2 ()).
Tem-se
3/2 1/2 2c4 1/2
u
M̃
A Ñ u A Ñ u A1/2
λ1
2
3/2
c4 1/2
2
1/2
A Ñ u A Ñ u
4δ λ1
2
M̃
2δ A1/2
u
.
b02 () + 2 β2 () b02 () + tβ2 ()
2
2
2 max(b0 (), β ()
tβ2 ()) + b02 ()
2R2n () tR2n () + R2n ()
≤
+
Pondo c6 (µ) =
Logo,
2
2
2
d 1/2
M̃ u + 2µ A1/2
M̃ u ≤ 2δ A M̃ u dt
2
3/2
1 c4 1/2
2
2
1/2
M̃ f +
A Ñ u A Ñ u
4δ λ1
2δλ21
2
2δ A1/2
M̃ u ,
isto é,
≤
µ
Seja δ de forma que 2µ − 4δ = µ, ou seja, δ = 4 . Daí,
2
2
2
d 2 u
M̃ u + µ A1/2
M̃
M̃ f ≤
2
dt
µλ1
≤
=
2R4n ()(1 + t).
2
2
d M̃ u + (2µ − 2δ − 2δ) A1/2
M̃ u dt
2
3
c4 1/2
1 2
M̃ f +
A Ñ u A Ñ u
2δλ21
2δλ21
≤
+
4c24
c5 (µ) e substituindo em (41),
µλ21
M̃ u(t)2
+
+
(42)
≤ a20 ()e−µλ1 t +
α2 ( )
µ2 λ31
+ c6 (µ)R4n ()(1 + t),
o que prova o item (i) do lema.
Integrando de 0 à t a expressão em (38),
t
2
1/2
M̃ u(t)2 + µ
u
(
s
)
M̃
A
ds
0
2
2 M̃ f t
M̃ u(0)2 +
µλ21
3 2c24 t 1/2
ds.
A
u
u
Ñ
Ñ
A
µλ21 0
≤
+
Segue que
µ
t
2
2
1/2
A M̃ u(s) ds ≤ M̃ u(0)
0
+
Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação de Navier-stokes em domínios tridimensionais finos
Autores: Título curto do artigo
39
17
2α2 ()t
+ c6 (µ)R4n ()(1 + t).
µλ21
+
A partir de (37),
t
2
1/2
A M̃ u(s) ds
0
≤
a20 () 2α2 ()t
+ 2 2
µλ1
µ λ1
+ c6 (µ)R4n ()(1 + t),
provando, assim, o item (ii) do lema.
Agora, para encontrar estimativas em H 1 para
substituindo v por A u na formulação fraca de
obtem-se
d 1/2
M̃ u, M̃ A u + µ A1/2
M̃
M̃
u,
A
A
u
dt b M̃ u, M̃ u, M̃ A u + b Ñ u, Ñ u, M̃ A u
M̃ f , M̃ A u .
M̃ ,
M̃ ,
+
2
2
1 d 1/2
A M̃ u + µ A M̃ u
2 dt M̃ f , M̃ A u − b M̃ u, M̃ u, M̃ A u
b Ñ u, Ñ u, M̃ A u .
Usando o lema 2.2,
2
2
d 1/2
A M̃ u + 2µ A M̃ u
dt 2 M̃ f , M̃ A u − 2b Ñ u, Ñ u, M̃ A u .
(43)
d
dt
2
2 M̃ f µ
Usando
Aplicando o item (iii) do lema 2.4 à forma trilinear acima,
temos
2b Ñ u, Ñ u, M̃ A u ≤
3/2 1/2 ≤ 2c4 Ñ u A Ñ u A M̃ u
3/2 1/2 A Ñ u A M̃ u
= 2c4 A1/2
u
Ñ
=
≤
+
3/2 1/2 1 2c4 A1/2
A Ñ u k A M̃ u
Ñ u k
1/2 2
1 1/2
3/2 c4 A Ñ u A Ñ u
k
2
k A M̃ u ,
onde a última desigualdade acima foi obtida pela deµ
sigualdade de Young. A partir daí, seja k2 = 2 , isto é,
1
2
2 = µ . Então,
k
2b Ñ u, Ñ u, M̃ A u
≤
ou seja,
3 2c24 1/2
A Ñ u A Ñ u
µ
2
2
1/2
A M̃ u + µ A M̃ u
3 1/2
+ c7 A Ñ u A Ñ u ,
=
(46)
1/2
A M̃ u
≤
(47)
2c24
µ .
1/2
A M̃ u
onde c7 (µ) =
no lugar de M̃ u em (37), obtem-se
≤
1 1/2 1/2
A M̃ u ,
A
λ1
2
2
1 1/2
A M̃ u ≤ 2 A M̃ u .
λ1
Logo, de (47),
2
2
d 1/2
M̃
u
A M̃ u + µλ21 A1/2
dt
3
2
2 1/2
M̃ f + c7 (µ) A Ñ u A Ñ u .
µ
=
(44)
≤
k
=
−
=
Novamente, usa-se aqui a desigualdade de Young e
µ
k2 = 2 , isto é, 12 = µ2 . Substituindo (45) e (46) em (44),
Logo,
(45)
Ainda,
2 M̃ f , M̃ A u ≤ 2 M̃ f M̃ A u
1
2k M̃ f M̃ A u
k
2
2
1
2
k M̃ f + 2 M̃ A u
k
2 µ 2
2 M̃ f + M̃ A u .
µ
2
=
Procedendo analogamente aos cálculos iniciais feitos
no lema 3.1, mas dessa vez para M̃ , encontra-se as
seguintes relações:
2
d 1 d 1/2
(i)
M̃ u, M̃ A u =
A M̃ u ;
dt
2 dt
2
1/2
(ii) µ A1/2
= µ A M̃ u .
M̃ u, A M̃ A u
2
µ A M̃ u .
2
≤
Com base na desigualdade de Gronwall, e procedendo analogamente aos cálculos que levam a desigualdade em (40), tem-se
2
1/2
A M̃ u
2
≤ a20 ()e−µλ1 t +
2α2 ()
µ2 λ1
+ c8 (µ)R4n ()(1 + t),
provando, assim, o item (iii) do lema. Integrando de 0 à
t a expressão em (47), prova-se o item (iv).
3.2
Comportamento de T σ ()
A partir de agora, demonstramos o resultado principal deste trabalho, isto é, o intervalo maximal de existência da solução forte das equações tridimensionais de
Navier-Stokes, quando o domínio é considerado fino.
Na seção anterior, foram demonstrados dois lemas com
relação as estimativas para M̃ e Ñ . O lema 3.1 vale
Ciência e Natura v.37 n.1, 2015, p. 23 – 44
Ciência e Natura
40
18
para qualquer condição de fronteira a ser considerada.
Entretanto, o lema 3.2 faz referência apenas para as condições (FF) e (FP). Esta distinção nas estimativas para
M̃ decorre da definição da mesma; por exemplo, sabese que M̃ u = 0 para (DD) e (DP), isto é, não faz sentido
calcular estimativas neste caso.
O primeiro resultado diz respeito as condições de
fronteira (DD) e (DP).
Teorema 3.2. Suponha que
1/2 2
2
lim A u0 + | f | = 0.
→0
u ∈ C0 ([0, ∞); V ) ∩ L2 (0, T, D ( A )) ,
2
2
R20 () = A1/2
u0 + | f | ,
a desigualdade acima implica que σ ≤ 1, o que contradiz
a suposição inicial de que σ > 1. Portanto,
Demonstração: Como definido inicialmente para as
condições de fronteira (DD) e (DP), tem-se que M̃ u ≡ 0.
Deste modo, Ñ u = u, onde u ∈ L2 (Ω ) e, portanto, as
estimativas encontradas no lema 3.1 valem também para
u. Aplicando o item (i) do referido lema para a função
u, obtem-se que
2 2
22
− 2µt2
1/2
u
e
+
| f |2
A u(t) ≤ A1/2
0
µ2
Suponha que T σ () < ∞. Para <
õ ,
2
(48)
vale que
2
22
1/2 2 − 2µt2
2
+ 2 | f |2 ≤ A1/2
u
A u0 e
0 + | f | ,
µ
≤ 1. Daí,
2 2
1/2
2
A u(t) ≤ A1/2
u0 + | f | .
0≤ t ≤ T σ ( )
2
1/2
A u(t) = σR20 ().
(49)
2
2
Mas, por (49), A1/2
u0 + | f | é uma cota superior para
2 a função A1/2
u ( t ) . Logo,
2
2
σR20 () ≤ A1/2
u0 + | f | ,
õ
2
√
µ
4c4 1/2 2σR0 () ≤ ,
2
para 0 < < 1 .
Vale salientar que, para t > 0 em (48), fazendo tender a zero, tem-se que
2
22
1/2 2 − 2µt2
2
e
f
u
≤
lim
u
+
lim A1/2
|
|
A
t
0
= 0,
→0
→0
µ2
2
1/2 2
lim A1/2
ut ≤ 0 ⇒ lim A ut = 0,
→0
→0
a partir do qual se conclui que
lim ||u || = 0,
→0
isto é, a norma em H 1 da solução u converge para zero
quando tende a zero, desde que t > 0.
Com relação as condições (FF) e (FP), demonstra-se
que T σ () = ∞ em dois passos. Primeiro, tem-se o
seguinte resultado:
Proposição 3.2. Considere as condições de fronteira (FF) e
(FP) e suponha que
2
2
lim q A1/2
u
+
f
(50)
|
|
0
= 0,
→0
Observe que, de (25) e (26),
sup
T σ () = +∞,
, 1 , onde 1 satisfaz
ou seja, ∀ t > 0,
para todo T > 0.
µt
22
Como, de (24)
com as condições de fronteira (DD) e (DP) existe para todo
tempo, isto é, T = ∞ e
−
õ .
2
quando < min
Então, existe 1 = 1 (µ) tal que para 0 < < 1 , a solução
forte u de

 ut + u · ∇u − µ∆u + ∇ p = f , em Ω × (0, ∞)
div u = 0,
em Ω × (0, ∞)

u( x, 0) = u0 ( x ),
em x ∈ Ω ,
pois e
para <
para algum 0 < q < 1. Então,
lim 2−2q T σ () = ∞.
→0
Demonstração: Dos lemas 3.1 e 3.2, tem-se
2
µt
22 2
− 2
2
(i) A1/2
Ñ u ( t ) ≤ b0 ( ) e 2 + 2 β ( )
µ
para 0 ≤ t < T σ () e
2
2
−µλ21 t + 2α ( )
2
(ii) A1/2
M̃ u ( t ) ≤ a0 ( ) e
2
µ λ1
+ c8 (µ)R4n ()(1 + t).
Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação de Navier-stokes em domínios tridimensionais finos
Autores: Título curto do artigo
41
19
Somando as duas expressões acima e usando o item
(ii) do lema 2.1, temos
2
1/2
A u(t)
≤ b02 ()e
+
α2 ( )
µ2 λ1
µt
− 2
2
+
22
µ2
β2 () + a20 ()e
−µλ21 t
+ c6 (µ)R4n ()(1 + t).
Fixando σ de modo que
2
1
σ = 4 max 1, 2 , 2 3
µ µ λ1
(51)
,
−
µt
<1
σ
b02
22 2
α2 ( )
2
−µλ1 t
β
(
)
+
a
(
)
e
+
0
µ2 λ3
µ2
1
3σ
4
≤
=
(53)
e, substituindo em (53),
≤ c6 (µ) q R20 () 1−q R20 ()(1
(54)
R20 ()
Não é difícil ver que
= 0. De fato, se esta não
2
fosse válida, isto é, se R0 () = 0, de (24)
| f |2 = 0.
Assim, f = 0 e A1/2
u0 = 0 q.s. em Ω . Daí u0 = 0 q.s. o
que implicaria u(t) = 0, uma solução trivial a qual não
interessa. Logo, R20 () = 0 e, portanto, de (54),
3σ
4
≤ c6 (µ) q R20 () 1−q (1 + T σ ()).
1− q
n
, ∀ n ≥ 1.
≤ c6 ( µ )
q
n R20 (n )
1− q
n
1+
L1
1− q
n
Mas 0 < q < 1 e n < 1, daí, 1 − q > 0 e n
3σ
4
3σ
4
.
< 1. Logo,
q
≤ c6 (µ) n R20 (n ) (1 + L1 )
≤
q
L2 n R20 (n ),
(57)
onde L2 = L2 (µ) = c6 (µ)(1 + L1 ). Fazendo n tender
ao infinito e usando a hipótese (50), o lado direito da
expressão (57) tende a zero e, portanto, σ = 0, uma
contradição com a escolha de σ em (52). Logo, vale (56)
e a proposição está demonstrada.
Agora, mostra-se que o intervalo maximal de existência da solução forte das equações de Navier-Stokes é
infinito, quando o domínio é fino. Mais precisamente,
2
1/2
A u( T σ ()) = σR20 (),
L1
≤ L1 , isto é,
para 0 ≤ t < T σ ().
Agora, suponha que T σ () < ∞. Logo, de (26)
1/2 2
A u0 = 0 e
n)
1− q
a partir do qual
+ T σ ()).
e n
Voltando na expressão (55),
Note ainda que, como R2n () = max(b02 (), β2 ()), temse
R2n () ≤ R20 () =⇒ R4n () ≤ R40 (),
2
σ
1/2
A u(t) ≤ R20 () + c6 (µ)R4n ()(1 + t)
4
σ
2
R0 () + c6 (µ)R40 ()(1 + t)
4 σ
2
q 2
R0 () + c6 (µ) R0 () 1−q R20 ()(1 + t),
4
1− q σ
T (
1
n
T σ ( n ) ≤
Substituindo em (51),
2
σ
1/2
A u(t) ≤ R20 () + c6 (µ)R4n ()(1 + t).
4
3σ 2
R ()
4 0
lim n = 0,
n→∞
≤
<1
(56)
Suponha que a expressão acima não seja verdade, ou
seja, existe uma constante L1 > 0 tal que para todo δ > 0,
tem-se > 0 com 0 < < δ e 1−q T σ () ≤ L1 .
1
Sendo assim, tome δ = , n ≥ 1. Então, existe uma
n
sequência (n )n≥1 com
pois 0 < <
σ
σ
σ
σ
+ β () + a20 () + α2 () = R20 () .
4
4
4
4
4
2
lim 1−q T σ () = ∞.
→0
(52)
e, com isso, observe que
b02 () e 22 +
Afirma-se que
(55)
Teorema 3.3. Suponha que
2
2
u
+
f
lim 2q A1/2
|
|
0
= 0,
→0
(58)
para algum 0 < 2q < 1. Então, existe 2 = 2 (µ, q, ω ) tal
que para 0 < < 2 , a solução forte u de

 ut + u · ∇u − µ∆u + ∇ p = f , em Ω × (0, ∞)
div u = 0,
em Ω × (0, ∞)

u( x, 0) = u0 ( x ),
em x ∈ Ω ,
com as condições de fronteira (FF) e (FP) existe para todo
tempo, isto é, T = ∞ e
u ∈ C0 ([0, ∞); V ) ∩ L2 (0, T, D ( A )) ,
para todo T > 0.
Ciência e Natura v.37 n.1, 2015, p. 23 – 44
Ciência e Natura
Demonstração: Seja
2
M̃
u
K2 = A1/2
0 +
onde
8
µ2 λ
1
42
20
M̃ f 2 + B2 ,
2 2
B2 = A1/2
Ñ u0 + Ñ f .
Observe que, substituindo a expressão acima em K2 ,
aplicando o item (ii) do lema 2.1 e a hipótese (58) temos
2
2
q 2
q 1/2 lim K = lim A u0 + | f |
→0
→0
= 0
(59)
Agora, escolhe-se 2 = 2 (µ, λ1 , q) satisfazendo
(i) 0 < 2 <
1
;
4
onde t ≤ t < 2t . Assim, usando as condições satisfeitas por 2 ,
2
1
1
1/2
A Ñ u(t) ≤ b02 + β2 ()
4
8
1
1
1
= b02
+
+ β2 ( )
8 8
8
1
1
≤ B2 + B2
8
8
1 2
B ,
=
4 ou seja,
2
1
1/2
A Ñ u(t) ≤ B2 ,
4
para t ≤ t < 2t .
Agora, usando o item (iii) do lema 3.2, isto é,
2
1/2
A M̃ u(t)
(ii) Para 0 < ≤ 2 , q K2 ≤ 1;
1 − µλ1
1
22
e
(iii) 2 ≤ , e 2(1−q) ≤
8
µ
4
1
1
16c4 (µ)
max 1, 3 q ≤ ;
µ
4
µ
Note que o item (ii) decorre de (59) e, no item (iii),
o lado esquerdo das desigualdades tendem a zero a
medida que se aproxima de zero. Pela proposição 3.2,
o lado esquerdo da expressão em (iv) tende ao infinito,
tornando válido tal item. Sendo assim, está bem definido
este 2 .
Lembrando o item (iii) do lema 3.1, pode-se reescrever tal estimativa com os dados acima, isto é,
t
3 1/2
A Ñ u(s) A Ñ u(s) ds ≤
0
c5 (µ) b02 () + 2 β2 () b02 () + tβ2 ()
≤
c5 (µ) 2 B2 + B2 tB2 + B2
=
c5 (µ)B4 2 + 1 (1 + t) ≤
1
4
max 1, 3 B4 (1 + t) .
µ
µ
Defina, para 0 < ≤ 2 ,
t = 2( q −1) .
Do lema 3.1, item (i),
e como e
−
µt
22
≤e
−
µt
22
≤ b02 ()e
−
µt
22
2α2 ()
µ2 λ1
+ c8 (µ)R4n ()(1 + t),
(62)
e recordando que R2n () = max(b02 (), β2 ()), obtem-se
(iv) Para 0 < ≤ 2 , 2−2q T σ () > 4.
2
1/2
A Ñ u(t)
2
≤ a20 ()e−µλ1 t +
(61)
+
22 2
β (), (60)
µ2
, onde t ≤ t < 2t , vale que
2
µt
22
− 1/2
A Ñ u(t) ≤ b02 ()e 22 + 2 β2 (),
µ
+
2
2
2α2 ()
1/2
A M̃ u(t) ≤ a20 ()e−µλ1 t + 2
µ λ1
q 2
2 1− q
c(µ) B B (1 + 2t ),
(63)
1
16c4 (µ)
max 1, 3 .
para t ≤ t < 2t , onde c(µ) =
µ
µ
Usando as condições satisfeitas por 2 , tem-se
1 2
K e
4 1
≤ K2 .
4
2
a20 ()e−µλ1 t ≤
2α2 ()
1
≤ K2
8
µ2 λ1
(64)
Além disso, observe que q B2 ≤ q K2 ≤ 1 e portanto,
3 2
B .
c(µ) q B2 B2 1−q (1 + 2t ) ≤
(65)
4 Substituindo (65) e (64) em (63),
2
1/2
A M̃ u(t) ≤
5 2
K ,
4 (66)
para t ≤ t < 2t . Somando as expressões (66) e (61),
novamente aplicando o item (ii) do lema 2.1,
2
3 2
1/2
K
A u(t) ≤
2 Sabe-se que a norma de uma aplicação é uma função
contínua. Isto vale também para a norma ||·|| . Posto
isso, calculando o limite quando t tende à t , para a
2
função A1/2
u
(
t
)
, tem-se
2
lim A1/2
u(t)
t→t
=
lim ||u(t)||2
t→t
Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação de Navier-stokes em domínios tridimensionais finos
Autores: Título curto do artigo
43
21
= ||u(t )||2
2
= A1/2
u (2t ) ,
=
para 22(q−1) ≤ t < 32(q−1) . Logo,
e como
segue que
2
u
(
t
)
lim A1/2
t→t
2
1/2
A u(2t )
≤
≤
2
2
A u(t)
3 2
K ,
2 3 2
K .
2 A desigualdade de Gronwall para o intervalo t0 ≤ t <
T σ () faz com que as expressões (60) e (62) sofram alguma mudança. Sendo assim, temos
+
µ ( t − t0 ) 2
1/2
22
e
A Ñ u(t0 )
≤
1 2 −
B e
2 −
≤
22 2
β ( ),
µ2
com t0 ≤ t < T σ ().
Também
2
1/2
A M̃ u(t) ≤
+
2α2 ()
µ2 λ1
µ ( t − t0 )
22
22
+ 2 β2 ( ),
µ
2
2
e−µλ1 (t−t0 ) A1/2
M̃ u ( t0 ) + c8 (µ)R4n ()(1 + t − t0 ).
≤
+
1 2 −µλ2 (t−t0 ) 2α2 ()
1
+ 2
K e
2 µ λ1
c8 (µ) q B2 B2 1−q (1 + t − t0 ),
com t0 ≤ t < T σ ().
Tome, portanto, t0 = 22(q−1) . Assim como feito em
(66) e (61), obtêm-se
2
1 2 1 2
1/2
B + B
A Ñ u(t) ≤
8 8 1 2
B ,
=
4 e
2
1 2 1 2 1 2
1/2
K + K + K
A M̃ u(t) ≤
8 8 4 1 2 1 2
B + K
4 2 1 2 1 2
K + K
4 2 3 2
K ,
4 para 22(q−1) ≤ t < 32(q−1) , o que implica T σ () >
32(q−1) .
Analogamente, para t0 = 32(q−1) , tem-se
2
2
A u(t)
≤
3 2
K ,
4 para 32(q−1) ≤ t < 42(q−1) , a partir do qual T σ () >
42(q−1) . Repetindo este argumento n vezes, concluí-se
que
T σ () > n2(q−1) , ∀ n ≥ 1.
Portanto, T σ () = +∞ para 0 < ≤ 2 , ou seja, o
intervalo maximal de existência da solução forte para
o sistema de equações de Navier-Stokes em domínios
tridimenisonais fino é infinito.
4
De (67),
2
1/2
A M̃ u(t)
≤
=
e, por (67),
2
1/2
A Ñ u(t)
2 2
1/2
= A1/2
Ñ u ( t ) + A M̃ u ( t ) ≤
O objetivo agora é usar indução. Suponha que existe
um tempo t0 satisfazendo
2
1
1/2
A Ñ u(t0 ) ≤ B2 e
2
2
1
1/2
(67)
A M̃ u(t0 ) ≤ K2 .
2
2
1/2
A Ñ u(t)
1 2
K ,
2 Conclusões
O estudo sobre as equações de Navier-Stokes é importante para a matemática não somente pelo seu amplo
campo de aplicações, mas para melhor entendimento
e desenvolvimento de teorias no campo das equações
diferenciais parciais. Este trabalho teve como objetivo
compilar resultados que levaram ao estudo do intervalo maximal de existência da solução das equações
de Navier-Stokes em domínios tridimensionais finos do
tipo Ω = ω × (0, ), com ω ⊂ R2 e ∈ (0, 1).
O principal resultado obtido neste artigo depende
do teorema clássico de existência de soluções para domínios limitados quaisquer, o qual garante, com certas
hipóteses, a existência de solução fraca. Restringindo os
dados iniciais, tal teorema garante também a existência
de uma solução única, denominada solução forte, para
um tempo T > 0 que depende do domínio, dos dados
iniciais e da viscosidade. Com isso, podemos concluir
que em domínios finos, dependendo de uma relação
entre os dados iniciais, este tempo T é infinito, ou seja,
o intervalo maximal de existência de solução forte para
as equações de Navier-Stokes é infinito.
Ciência e Natura v.37 n.1, 2015, p. 23 – 44
Ciência e Natura
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22