Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte I

Geometria Espacial
Curso de Licenciatura em Matemática
parte II
Prof.a Tânia Preto
Departamento Acadêmico de Matemática
UTFPR - 2014
Geometria Espacial - Paralelismo
1. Paralelismo de Retas
L20 Postulado das Paralelas ( de Euclides )
Por um ponto, existe uma única reta paralela
a uma reta dada.
L21 Transitividade do paralelismo de retas
Se duas retas são paralelas a uma terceira,
então elas são paralelas entre si.
( a // c e b // c ) ⇒ ( a // b )
(ver dem)
Geometria Espacial - Paralelismo
2. Paralelismo entre retas e planos
L22 Definição
Uma reta é paralela a um plano
se, e somente se, eles não têm
ponto em comum.
a // α ⇔ a ∩ α = ∅
L23 Teorema da existência de retas e planos
paralelos
Condição suficiente:
Se
uma reta não está contida num plano e é
paralela a uma reta desse plano então ela é paralela
ao plano.
(ver dem)
Geometria Espacial - Paralelismo
2. Paralelismo entre retas e planos
L24 Teorema da existência de retas e planos
paralelos (outro enunciado)
Se duas retas são paralelas e distintas, todo plano
que contém uma e não contém a outra é paralelo a
essa outra.
Condição suficiente:
Para uma reta não contida no plano, ser paralela a
esse plano, ela deve ser paralela a uma reta do plano.
Condição necessária:
Se uma reta é paralela a um plano então ela é paralela
a uma reta do plano.
Geometria Espacial - Paralelismo
2. Paralelismo entre retas e planos
Teorema (outro enunciado) - Demonstração
Se uma reta é
paralela a um
plano então ela
é paralela a uma
reta do plano.
Geometria Espacial - Paralelismo
3. Posições relativas de uma reta e um plano
L26 Posições relativas
Uma reta e um plano podem ter em comum:
1º ) Dois pontos distintos: A reta está
contida no plano. a ⊂ α ⇔ a ∩ α = a
(reta a contém dois pontos)
2º ) Um único ponto: A reta e o plano
são concorrentes ou a reta e o plano
são secantes. a ∩ α = {P}
3º ) Nenhum ponto comum: A reta e
um plano são paralelos.
a // α ⇔ a ∩ α = ∅
Geometria Espacial - Paralelismo
4. Retas Reversas
L27 Problemas envolvendo duas retas reversas (r e s) e um
ponto P devem ser analisados em três casos:
1º caso: O ponto pertence a uma das retas.
2º caso: O ponto e uma
das retas determinam um
plano paralelo a outra reta.
Ex: α = (r, P) e a // s
3º caso: O ponto e qualquer
uma das retas determinam um
plano não paralelo a outra reta.
α = (r, P) e α não paralelo a s
 = (s, P) e  não paralelo a r
Geometria Espacial - Paralelismo
5. Paralelismo entre planos
L28 Definição:
Dois planos são paralelos se, e somente se, eles não têm
ponto comum ou são iguais (coincidentes).
α // β ⇔ α = β ou α ∩ β = ∅
Geometria Espacial - Paralelismo
5. Paralelismo entre planos
L29 Teorema da existência planos paralelos
Condição suficiente:
Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas
paralelas a outro plano, então esses planos são paralelos.
(ver dem)
Geometria Espacial - Paralelismo
5. Paralelismo entre planos
Condição necessária e suficiente:
Se dois planos distintos são paralelos, então um
deles contém duas retas concorrentes, ambas
paralelas ao outro. Segue então a condição:
Uma condição necessária e suficiente para que
dois planos distintos sejam paralelos é que um
deles contenha duas retas concorrentes, ambas
paralelas ao outro.
Geometria Espacial - Paralelismo
6. Posições relativas de dois planos
L30 Posições relativas
Dois planos podem ocupar as seguintes posições
relativas:
Geometria Espacial - Paralelismo
6. Posições relativas de dois planos
6.2 Exemplos
(ex. 53) Se dois planos paralelos interceptam um terceiro,
então as interseções são paralelas.
Geometria Espacial - Paralelismo
6. Posições relativas de dois planos
6.2 Exemplos (cont.)
(ex. 56) Teorema da Unicidade: Por um ponto fora de um
plano, passa um único plano paralelo ao plano dado.
(ver dem.)
Geometria Espacial - Paralelismo
7. Três retas reversas duas a duas
L31 Problemas envolvendo retas reversas:
Três retas (r, s, t) reversas, duas a duas, podem ser
analisadas de duas formas:
Geometria Espacial - Paralelismo
8. Ângulo de duas retas – Retas Ortogonais
L32 Postulado da separação dos pontos de um
plano
Uma reta r de um plano, separa esse plano em dois
subconjuntos ’ e ’’ tais que:
Geometria Espacial - Paralelismo
8. Ângulo de duas retas – Retas Ortogonais
L33 Ângulo de duas retas quaisquer
Geometria Espacial - Paralelismo
8. Ângulo de duas retas – Retas Ortogonais
L35 Teoremas sobre ângulos de lados paralelos
a) Se dois ângulos tem os lados com sentidos
respectivamente concordantes, então eles são congruentes.
ver dem.
Geometria Espacial - Paralelismo
8. Ângulo de duas retas – Retas Ortogonais
L35 Teoremas sobre ângulos de lados paralelos
b) Se dois ângulos têm os lados com sentidos
respectivamente discordantes, então eles são congruentes.
É uma aplicação do teorema do item a para ângulos
opostos pelo vértice:
Geometria Espacial - Paralelismo
8. Ângulo de duas retas – Retas Ortogonais
L35 (cont.) c) Se dois ângulos são tais que um lado de
um deles tem sentido concordante com um lado do outro e
os outros dois lados tem sentidos discordantes, então eles
são suplementares.
Geometria Espacial - Paralelismo
8. Ângulo de duas retas – Retas Ortogonais
L35 (cont.) - Conclusões
Geometria Espacial - Paralelismo
8. Ângulo de duas retas – Retas Ortogonais
L36 Retas Ortogonais - Definição
Geometria Espacial - Perpendicularidade
1. Reta e plano perpendiculares
L37 Definição
Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente
se, eles tem um ponto comum e a reta é perpendicular a
todas as reta do plano que passam por esse ponto comum.
Se uma reta a é perpendicular a um plano α, o traço de a
em α é chamado pé da perpendicular.
Geometria Espacial - Perpendicularidade
1. Reta e plano perpendiculares
L38 Consequência da Definição
Se uma reta é
perpendicular a
um plano, então ela
forma ângulo reto
com qualquer reta
do plano.
Geometria Espacial - Perpendicularidade
1. Reta e plano perpendiculares
L39 Teorema fundamental (condição suficiente)
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de
um mesmo plano, então ela é perpendicular ao plano.
(ver dem)
Geometria Espacial - Perpendicularidade
1. Reta e plano perpendiculares
L40 Generalização do Teorema fundamental
Se uma reta forma ângulo com duas retas concorrentes de
um plano, então ela é perpendicular ao plano.
Geometria Espacial - Perpendicularidade
1. Reta e plano perpendiculares
Condição necessária e suficiente
Uma condição necessária e suficiente para que uma reta
seja perpendicular a uma plano é formar um ângulo reto
com duas retas concorrentes do plano.
Geometria Espacial - Perpendicularidade
1. Reta e plano perpendiculares
Exemplo
(ex.68) Sejam a, b e c três retas no espaço tais que a  b
e c  a. Que se pode concluir sobre as posições relativas
das retas
b e c?
Geometria Espacial - Perpendicularidade
1. Planos perpendiculares
L41 Definição
Um plano α é perpendicular a um plano β se, e somente
se, α contém uma reta perpendicular a β .
A existência de um plano perpendicular a outro baseia-se
na existência de uma reta perpendicular a um plano.
Geometria Espacial - Perpendicularidade
1. Planos perpendiculares
L42 Teorema
Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta de
um deles é perpendicular a interseção dos planos, então
essa reta é perpendicular ao outro lado.
Geometria Espacial - Perpendicularidade
1. Planos perpendiculares
L43 Observações
1ª) Pela definição, se uma reta é
perpendicular a um plano, qualquer
outro plano que a contenha é
perpendicular ao primeiro.
2ª) Condição necessária e suficiente:
Uma condição necessária e suficiente para que dois planos
secantes sejam perpendiculares é que toda a reta de um
deles, perpendicular a interseção, seja perpendicular ao
outro.
3ª) Planos oblíquos: Dois planos secantes, não
perpendiculares são dito oblíquos.
Geometria Espacial - Perpendicularidade
1. Planos perpendiculares
Exemplo
(ex.85) Se dois planos são perpendiculares entre si e uma
reta perpendicular a um deles tem um ponto comum com o
outro, então essa reta está contida nesse outro plano.