Reatância e Impedância

ELETRICIDADE
Aula 7 – Reatância e Impedância
Prof. Marcio Kimpara
Universidade Federal de
Mato Grosso do Sul
Parâmetros da forma de onda
senoidal
Ciclo
Vp
Vpp
Como representar o
gráfico
por
uma
equação matemática?
VRMS
Período (T)
1

T
frequência
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2
Forma de onda tensão senoidal
genérica
A forma de onda da tensão
alternada, tem a forma de
uma senóide.
Função matemática:
A função seno varia de -1 a 1, ou
seja, a amplitude máxima é 1.
sen ( )
Função matemática: Vp* sen ( )
Portanto, para representar uma forma
de onda senoidal para valores de
pico diferentes de 1, basta fazer a
multiplicação da função seno pelo
valor de pico (Vp) desejado.
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Forma de onda tensão senoidal
genérica
Função matemática:
Vp .sen( )
Vp*1
Vp*0,86
Vp*0,5
Vp*(-0,5)
Vp*(-0,86)
Vp*(-1)
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Forma de onda tensão senoidal genérica
Forma de onda tensão senoidal genérica
Para representar uma forma de onda
senoidal de forma genérica (uma
expressão matemática que pode ser
utilizada para representar tensões
alternadas
com
diferentes
frequências) é preciso inserir um
termo que meça a rapidez com que o
ângulo teta varia.
Função matemática: Vp* sen ( )
Para 1 ciclo completo:
2 - T
 - t

2 .t
 2
 . f .t  .t
T


f
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Regra
de três
1
T
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Forma de onda tensão senoidal
genérica
Velocidade com que o ângulo varia
no tempo.
Função matemática: Vp*sen (.t )
  frequência angular (rad/s)
t  tempo (s)
.t 
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É a posição angular
no instante t
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Forma de onda tensão senoidal
genérica
Mas...
A posição angular inicial (para t=0) pode não ser 0°
V2
V1
Para t=0 o ângulo α1 = 0°
Para t=0 o ângulo α2 ≠ 0°
Portanto, existe uma defasagem entre V1 e V2. Este ângulo de
deslocamento é chamado fase Inicial θ.
V 1  V1 p .sen (.t  1)  V1 p .sen (.t  0 )  V1 p .sen (.t )
V 2  V2 p .sen (.t   2)  V2 p .sen (.t  45 )
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Função matemática final
Portanto,
A função matemática que representa uma forma de onda senoidal de
maneira genérica (para qualquer valor de pico e qualquer frequência)
é:
V (t )  VP .sen(.t   )
Onde:
Vp = valor de pico em Volts
ω = frequência angular em rad/s
θ = Ângulo (fase) inicial
Note que a função matemática
da forma de onda senoidal
dependente do tempo, ou seja a
equação se refere ao valor
instantâneo. O valor instantâneo
de uma grandeza senoidal é o
valor que essa grandeza assume
num dado instante de tempo
considerado (t)
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Anote
Um ponto se deslocando em um movimento circular uniforme (movimento
harmônico) pode ser representado através de suas projeções num plano
cartesiano formando uma senóide.
A recíproca também é verdadeira
Toda função senoidal pode ser representada por um fasor. A
representação fasorial é simples. Quando colocamos um vetor girante de
módulo igual ao valor de pico em um círculo trigonométrico, e o fazemos
girar com uma velocidade angular ω, temos a função senoidal originada.
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Fasor
Fasor é um vetor radial girante com frequência ω, com
módulo igual ao valor de pico Vp e com ângulo de fase
inicial θ, que representa uma senóide de iguais
parâmetros.
V  VP .sen(.t   )
V  VP 
Notação fasorial
Um fasor é um número complexo na forma polar.
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Conceito de fasor
Uma senóide pode ser descrita por um vetor radial girante com módulo igual à sua
amplitude (valor de pico) e mesma frequência angular ω
A cada período ou ciclo completado o vetor radial girante está sempre na mesma
posição angular inicial θ
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Ângulo (fase) inicial
Para t=0s
θ=0°
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Ângulo (fase) inicial
Para t=0s
θ=45°
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Ângulo (fase) inicial
Para t=0s
θ=90°
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Vantagem fasor
Fasores podem ser operados através da álgebra dos números complexos.
A álgebra fasorial para sinais senoidais é aplicável somente
para sinais de mesma frequência.
V  Vp  
V  Vp  
I  I p  
I  I p  
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Resistor (R)
Unidade de medida: Ohm (Ω)
Símbolo:
O resistor é um dispositivo elétrico muito utilizado em eletrônica, ora com a
finalidade de transformar energia elétrica em energia térmica (efeito joule), ora
com a finalidade de limitar a corrente elétrica em um circuito.
Tal como no circuito CC, no circuito com tensão alternada, a constante de
proporcionalidade entre a amplitude da tensão e a amplitude da corrente é a
resistência R. Isto é sempre verdadeiro para qualquer resistência em um circuito
CA.
V  R.i
Lei de Ohm
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Corrente no resistor
VP .sen(.t )
iR
VR
iR 
R
VR  V fonte  Vp .sen(.t )
1
iR  .Vp .sen.t 
R
Nos terminais de um resistor
num circuito CA, a corrente
sempre estará em fase com a
tensão.
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Capacitor (C)
Unidade de medida: Farad (F)
Símbolo:
O capacitor é um elemento capaz de armazenar energia elétrica. Um capacitor
só admite corrente em seus terminais enquanto estiver sendo carregado ou
descarregado.
Sob tensão alternada, a corrente admitida pelo capacitor é diretamente
proporcional à variação de tensão no tempo, sendo a capacitância C, a
constante de proporcionalidade, pois:
iC  C.
dV
dt
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VC 
1
i(t ).dt

C
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Capacitor (C)
A tensão nos terminais de um capacitor não pode sofrer
variações instantâneas bruscas.
Se ocorresse uma variação instantânea (dt→0) a corrente
tenderia a um valor infinito [iC(t)→∞], o que não é possível
fisicamente. Por esse motivo dizemos que o capacitor se
opõe à variação de tensão (filtro)
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Corrente no capacitor
VP .sen(.t )
ic
dV
ic  C
dt
VC  V fonte  Vp .sen(.t )
ic  C.Vp . cos.t .
Como
Nos terminais de um capacitor
num circuito CA, a corrente
sempre estará adiantada de
90°em relação à tensão.
cos( )  sen (  90)

ic  C..V p .sen .t  90 

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Lei de Ohm para o capacitor em CA
Lei de Ohm:
VR
R
iR
Analogia com
a lei de ohm:
VC
XC 
iC
Desenvolvendo:
XC 
V p .sen.t 
C..V p sen.t  90 
1
XC 
  90
.C

V p 0
C..V p 90

Fasores
1
1
XC   j

.C j.C
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Reatância Capacitiva (Xc)
A reatância capacitiva é a medida da oposição que um capacitor oferece
à variação da tensão entre seus terminais.
O valor em módulo da reatância capacitiva é inversamente proporcional à
capacitância C e à frequência (f) da tensão aplicada.
A reatância capacitiva é dada por:
1
1
XC 

C 2 f C
Onde:
ω = frequencia angular em rad/s (ω=2.π.f)
C = Capacitância em Farad (F)
Representação da reatância capacitiva: Xc
Unidade de medida: Ohm (Ω)
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Anote
Portanto:
A Reatância Capacitiva de um capacitor ideal é um número imaginário, pois tem
fase (argumento) sempre igual a -90° (forma polar) ou somente parte imaginária
negativa (forma retangular).
Assim, a Reatância Capacitiva e seu efeito no circuito é representada por:
XC 
1
j..C
ou
XC   j
1
.C
ou
XC 
1
  90
.C
Note que as representações para Xc acima são equivalentes, mas para
facilitar (padronizar) vamos utilizar a expressão destacada (e sua forma
polar) em nossos exercícios.
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Reatância Capacitiva (Xc)
EXEMPLO:
Determine o módulo da reatância de um capacitor de 440nF aplicado a
uma tensão senoidal onde (a) f = 60Hz e (b) f = 10kHz
a)
1
1
XC 

 6028,6
9
C 2 .60.440.10
b)
1
1
XC 

 36,17
3
9
C 2 .10.10 .440.10
* Note que a reatância capacitiva assume um valor MAIOR para uma
frequência BAIXA e um valor MENOR para uma frequência mais ALTA
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Indutor (L)
Unidade de medida: Henry (H)
Símbolo:
O indutor é um elemento passivo que tem a possibilidade de armazenar energia
na forma de campo magnético, quando percorrido por uma corrente. Quando a
corrente que passa no indutor está variando, o fluxo magnético, provocado pela
corrente, também varia e induz uma força eletromotriz (tensão) nos terminais do
indutor.
No indutor, a tensão auto-induzida é diretamente proporcional à variação de
corrente no tempo, sendo L a constante de proporcionalidade:
di
VL  L.
dt
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Indutor (L)
A corrente nos terminais de um indutor não pode sofrer variações
instantâneas bruscas, pois se ocorrer uma variação instantânea (Δt→0),
a tensão tenderá a um valor infinito (vL(t)→∞), o que não é possível. Por
esse motivo dizemos que o indutor se opõe à variação de corrente
(filtro)
Quando a tensão de alimentação cresce a
bobina cria uma força contra-eletromotriz
(tensão) que se opõe ao aumento da corrente
(devido à Lei de Lenz).
Quando a tensão de alimentação decresce, a
bobina cria uma tensão que tende a manter a
circulação da corrente no mesmo sentido
(devido à Lei de Lenz).
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Corrente no indutor
diL
VL  L
dt
diL
 VL   L dt
VP .sen(.t )
diL
 V p .sen.t   L. dt

1
 cos(.t ) 
iL  .V p .
L

Como
iL
Nos terminais de um indutor
num circuito CA, a corrente
sempre estará atrasada de
90°em relação à tensão.
 cos( )  sen(  90)

1
iL 
Vp .sen .t  90
L.

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Lei de Ohm para o indutor em CA
VR
R
iR
Lei de Ohm:
Analogia com
a lei de ohm:
XL 
VL
iL
Desenvolvendo:
XL 
V p .sen .t 
1
V p sen .t  90 
L.
X L  L.90 

V p 0
1
V p   90 
L.
Fasores
X L  j.C
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Reatância Indutiva (XL)
A reatância indutiva é a medida da oposição que um indutor oferece à
variação da corrente em seus terminais.
O valor em módulo da reatância indutiva é diretamente proporcional à
indutância L e à frequência (f) da tensão aplicada.
A reatância indutiva é dada por:
X L  L  2 f L
Onde:
ω = frequencia angular em rad/s (ω=2.π.f)
L = Indutância em Henry (H)
Representação da reatância indutiva: XL
Unidade de medida: Ohm (Ω)
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Anote
Portanto:
a Reatância Indutiva de um indutor ideal é um número imaginário positivo
pois tem fase sempre igual a +90° (forma polar) ou tem somente parte
imaginária positiva (forma retangular).
Assim, a Reatância Indutiva e seu efeito no circuito é representada por:
X L  j..L
ou
X L  .L90
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Reatância Indutiva (XL)
EXEMPLO:
Determine o módulo da reatância de um capacitor de 330nH aplicado a
uma tensão senoidal onde (a) f = 60Hz e (b) f = 10kHz
a)
X L  L  2 .60.330.10 6  0,124
b)
X L  L  2 .10.103.330.10 6  20,73
* Note que a reatância indutiva assume um valor MENOR para uma
frequência BAIXA e um valor MAIOR para uma frequência mais ALTA
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Impedância
Em um circuito real a resistência elétrica, que é propriedade física dos
materiais que o constituem, está sempre presente. Ela pode ser
minimizada, mas não eliminada. Portanto, circuitos indutivos e
capacitivos são, na verdade, redes do tipo RL e RC.
A combinação dos efeitos resistivos e reativos dá origem ao que
chamamos de Impedância dos circuitos.
Representação Impedância: Z
Unidade de medida: Ohm (Ω)
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Impedância
A impedância Z, dada pela razão entre o fasor de tensão e o fasor de corrente
num circuito misto, representa a medida da oposição que este circuito oferece à
passagem de uma corrente alternada.
V
Z
I
Z = impedância em ohms
V = Fasor da tensão entre os
terminais A e B
I = Fasor da corrente entre os
terminais A e B
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Impedância
Para um circuito resistivo puro
Num circuito resistivo puro, a impedância Z é igual à resistência R.
ZR
número real positivo
Para um circuito indutivo puro
Num circuito indutivo puro, a impedância Z é igual à reatância indutiva XL.
Z  X L  j..L
número imaginário positivo
Para um circuito capacitivo puro
Num circuito capacitivo puro, a impedância Z é igual à reatância capacitiva XC
1
Z  XC   j
.C
número imaginário negativo
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Impedância
Para um circuito misto
Z  R  jX
Impedância
Resistência
Reatância
A impedância de um elemento de
carga misto é um número complexo
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Tabela Resumo
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