Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e Integral

Caderno de Provas
ÁLGEBRA LINEAR E
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Edital Nº. 04/2009-DIGPE
10 de maio de 2009
INSTRUÇÕES GERAIS PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA
 Use apenas caneta esferográfica azul ou preta.
 Escreva o seu nome completo e o número do seu documento de identificação no espaço indicado
nesta capa.
 A prova terá duração máxima de 4 (quatro) horas, incluindo o tempo para responder a todas as
questões do Caderno de Provas e preencher as Folhas de Respostas.
 Ao retirar-se definitivamente da sala, entregue as Folhas de Respostas ao fiscal.
 O Caderno de Provas somente poderá ser levado depois de transcorridas 3 (três) horas do início
da aplicação da prova.
 Confira, com máxima atenção, o Caderno de Provas, observando o número de questões contidas e
se há defeito(s) de encadernação e/ou de impressão que dificultem a leitura.
 A quantidade de questões e respectivas pontuações desta prova estão apresentadas a seguir:
Tipo de questão
Discursiva
Múltipla escolha
Total de
questões
02 questões
20 questões
Pontuação por
questão
15 pontos
3,5 pontos
Total de
pontuação
30 pontos
70 pontos
INSTRUÇÕES REFERENTES ÀS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA
 Confira, com máxima atenção, se os dados (nome do candidato, inscrição, número do documento
de identidade, matéria/disciplina e opção de campus) estão corretos.
 Em havendo falhas na Folha de Respostas, comunique imediatamente ao fiscal de sala.
 Assine, no espaço apropriado, a Folha de Respostas.
 A Folha de Respostas não poderá ser rasurada, dobrada, amassada ou danificada. Em hipótese
alguma, será substituída.
 Para cada questão, há apenas uma resposta certa.
 Transfira as respostas para a Folha de Respostas somente quando não mais pretender fazer
modificações. Não ultrapasse o limite dos círculos.
OBSERVAÇÃO:
As instruções referentes às questões discursivas encontram-se na capa das Folhas de Respostas
Discursivas.
NOME COMPLETO:
DOCUMENTO DE IDENTIFICAÇÃO:
_____________________________
CONCURSO PÚBLICO – GRUPO MAGISTÉRIO
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QUESTÕES DISCURSIVAS
ESTAS QUESTÕES DEVERÃO SER RESPONDIDAS NAS FOLHAS DE RESPOSTAS DAS QUESTÕES
DISCURSIVAS, MANTENDO O MEMORIAL DE CÁLCULO, QUANDO FOR O CASO.
1.
(15 pontos) Considere F uma função real definida no intervalo [ a, b ] por F(x )=
x
f ( t )dt
a
,para
alguma função real contínua f definida em [ a, b ]. Demonstre que F é uma função limitada em
[ a, b ].
2.
3
(15 pontos) Considere o espaço vetorial V = R sobre R e seja T: V → V um operador linear
-1
definido por T(x, y, z) = (2x – y, y, z). Demonstre que T é um isomorfismo e determine T .
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QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA
AS RESPOSTAS DESTAS QUESTÕES DEVERÃO SER ASSINALADAS NA FOLHA DE RESPOSTAS
DAS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA.
1.
3
(3,5 pontos) Seja R o corpo dos números reais e considere o espaço vetorial V =R ={ ( x, y, z ) / x, y ,z
R } sobre R. Sejam W = [ ( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2 )], o subespaço de V gerado pelos vetores ( 1,
1, 1), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2 ), e S = { (x + y, y, x) / x, y
R } também subespaço de V. O subespaço
intersecção de W e S é dado por
a) [( 1, -1, 1)].
b) [( 2, 1, 1)].
c) [( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 )].
d) [( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2, )].
2.
(3,5 pontos) Seja f uma função real definida por f(x) =
x
x
2
2
. Sobre lim x
2
f ( x ) , é correto afirmar
que
a) o limite existe e é igual a
2 .
b) o limite existe e é igual a 2 2 .
c) o limite não existe, face a função não ser definida no ponto x = 2.
d) o limite não existe em virtude dos limites laterais para a função f embora existindo não serem iguais.
3.
(3,5 pontos) Sendo f : R → R uma função diferenciável, é correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
4.
f é uma função contínua e limitada.
f possui ponto de máximo ou mínimo absoluto.
f é uma função contínua.
Necessariamente f possui pontos críticos.
2
(3,5 pontos) Considerando o espaço vetorial V = R sobre R, α = { ( 1, 2 ), ( 2, -1) } e
δ = { ( 1, 0), ( 1, 1 ) } bases de V, a matriz de transição de α para δ corresponde a
a)
b)
c)
d)
1
2
3
1
1
3
2
1
1
3
2
1
1
2
3
1
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5.
(3,5 pontos) Seja f: R
df
R uma função real diferenciável tal que
2
(x) – 3x + sen(x) = 1. Assinale a
dx
alternativa correta para f(x) sabendo que f(0) = 1.
a)
b)
c)
d)
6.
R
S é um conjunto de vetores linearmente dependentes.
S gera o espaço vetorial V.
V é um espaço de dimensão finita.
S é um conjunto de vetores linearmente independentes.
(3,5 pontos) Considerando f e g funções reais de uma variável tal que o lim x
correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
8.
R
(3,5 pontos) Considere V = { f : R → R / f é função contínua } o espaço vetorial das funções contínuas
sobre R. Seja S o conjunto formado pelas funções f e g definidas por f(x) = sen(x) e
g(x) = cos(x). Assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
7.
3
f(x) = x + cos(x) + x + k , k
3
f(x) = x + cos(x) + x
3
f(x) = x + sen(x) + x + k , k
3
f(x) = x + sen(x) + x
a
( f ( x ).g ( x )) existe, é
as funções f e g são limitadas.
pode não existir um dos limites: lim x a f ( x ) ou lim x a g ( x ) .
os limites das funções f e g existem no ponto x = a.
necessariamente as funções são continuas no ponto x = a.
(3,5 pontos) Considere f : R → R uma função definida por f( x ) =
x
2
px
5
3
se x
2
se x
2
. O valor de p
para que f seja contínua no ponto x = 2 corresponde a
a)
b)
c)
d)
9.
-1.
1.
2.
3.
(3,5 pontos) Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e T: V → W uma transformação linear.
Se dim(V) > dim(W), é correto afirmar que
a) T transforma base em base.
b) Se α e δ são bases de V e W, respectivamente, a matriz associada a T, T
quadrada.
c) N(T) ≠ { 0 }, ( N (T) = núcleo de T ).
d) T necessariamente é sobrejetiva.
10. (3,5 pontos) Sendo f: R → R uma função real definida por f(x) =
1
3
3
, é uma matriz
2
x – 4x + 12x + 1, é correto afirmar
que
a)
b)
c)
d)
x = 2 e x = 4 são pontos críticos de f.
x = 2 é um ponto de máximo relativo de f.
x = 6 é um ponto de máximo relativo de f.
(6, 1) é um ponto de inflexão do gráfico de f.
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11. (3,5 pontos) Seja V = M2x2(F) o espaço das matrizes de ordem 2 sobre o corpo F. Considere o
t
subespaço vetorial W = { A V; A = –A } de V, formado pelas matrizes anti-simétricas. Em relação à
dimensão de W é correto afirmar que o seu valor é
a)
b)
c)
d)
1.
2.
3.
4.
12. (3,5 pontos) Considere o sistema de equações lineares:
x
2x
3x
y
y
2y
2z
0
z
0
3z
0
Seja S o espaço solução deste sistema. É correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
A dimensão de S é 2.
S = { (0,0,0) }.
S = [ ( -1, 3, 1 )].
S = [ ( 1, -3, -1), ( 2, 6, 2 )].
3
13. (3,5 pontos) A área da região compreendida entre as curvas y = x e y = 3x – 2 corresponde a
a) 4 u.a.
b) 6 u.a.
c)
d)
25
4
27
4
u.a.
u.a.
+
14. (3,5 pontos) Seja R = { x
+
R; x > 0} e considere f: R → R uma função definida por f(x) =
x
1
A função derivada,
df
dx
1
t
dt .
(x), de f corresponde a
a) x – 1
b)
c)
d)
1
–1
x
1
x
1
x
2
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3
2
15. (3,5 pontos) Considere a função real, y = f(x), dada implicitamente por x + y = 2, cujo gráfico passa
pelo ponto ( 1, 1 ). A derivada da função f no ponto x = 1 corresponde a
a) 3
b)
3
2
3
c)
2
d)
5
2
2
3
16. (3,5 pontos) Seja V = R e W = R espaços vetorias sobre o corpo R e T : V → W uma transformação
linear tal que T( 1, 1 ) = ( 1, 2, 0 ) e T ( -1, 0 ) = ( 3, -1, 2 ). É correto afirmar que
a) T( 2, 3 ) = ( 5, 4, 1 ).
1
b)
= 2
T
0
3
1
, com α = { ( 1, 1), ( -1, 0 ) } e δ = { ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ), ( 0, 0, 1 ) } .
2
c) N(T ) ≠ { 0 }.
d) Im(T ) = [ ( 1, 2, 0 ), ( 3, 1, 2 ) ], sendo Im(T) = conjunto imagem de T.
3
17. (3,5 pontos) Considere o espaço vetorial V = R sobre o corpo R, e sejam E, F e G bases de V.
Sabendo-se que a matriz de transição da base E para a base F é P e que a matriz de transição da base
E para a base G é Q, é correto afirmar que a matriz de transição da base F para a base G é
a)
b)
c)
d)
-1
Q.P
P.Q
-1
-1
P .Q
Q.P
18. (3,5 pontos) O volume de um tronco de cone que tem como geratriz a função real definida por f(x) = x,
obtido por uma rotação do gráfico de f em torno do eixo x, e raios de base inferior e superior,
respectivamente, 1 cm e 2 cm corresponde a
a) 7 cm
b)
c)
d)
3
7
3
7
3
3
.
cm
cm
3
.
3
.
cm
3
.
4
2
19. (3,5 pontos) A reta tangente à curva y = – x + 2x + x no ponto ( –1, 0 ) é também tangente à essa
mesma curva em outro ponto P. É correto afirmar que P corresponde a
a) ( 0, 0 )
b) ( 2, –6 )
c) ( 1, 2 )
d) ( –2, –10 )
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20. (3,5 pontos) Seja T : V → V um operador linear definido num espaço vetorial V sobre o corpo R de
dimensão finita. Supondo que exista um autovalor c = 0 de T, é correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
T é um isomorfismo.
T é injetivo.
T é sobrejetivo.
T é não-injetivo.
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