um estudo das funções de 1º e 2º graus aplicadas à

Revista Matiz Online
ISSN 21794022
UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA
Valeria Ap. Martins Ferreira1, Viviane Carla Fortulan2
Mestre em Ciências pela Universidade de São Paulo- USP. Professora da Faculdade de Tecnologia de
Sertãozinho. Professora de EAD no COC Ribeirão Preto-SP.
2
Mestre em Ciências pela Universidade de São Paulo-USP. Professora de Ensino Superior no IMMES-Matão.
Professora da Faculdade de Tecnologia de Jabotical-SP.
1
RESUMO
O estudo de funções faz parte do conteúdo programático que deve ser estudado no
Ensino Fundamental e Médio. Frequentemente, este conteúdo é dado definindo o que é
função e quais são as funções principais, como a função afim, quadrática, modular,
exponencial e logarítmica. Também é abordada a construção dos gráficos dessas funções.
Mas, na maioria das vezes, não é mostrada a aplicabilidade das funções nas mais diversas
áreas. Muitos estudiosos acreditam que, explorando a construção de modelos matemáticos
através de funções simples de primeiro e segundo graus, as aulas podem se tornar mais
dinâmicas e interessantes aos alunos, que poderão ver a aplicação deste conteúdo.
Este trabalho tem como objetivo mostrar como funções de 1º e 2º graus são utilizadas
na economia e como a análise de seus gráficos são importantes na tomada de decisões. Com
isso pretende-se mostrar também a importância de se utilizar a interdisciplinaridade na
elaboração das aulas.
Palavras Chave: Funções Simples de 1º e 2º grau. Análise de Gráficos.
Interdisciplinaridade.
1
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INTRODUÇÃO: FUNÇÕES
Em muitos estudos ou experimentos científicos pode-se identificar grandezas
mensuráveis ligadas a eles e com isto estabelecer relações existentes entre estas grandezas.
Por exemplo: Um restaurante oferece refrigerantes variados ao preço de R$2,00 cada
um. Para não ter que fazer contas a todo momento, a balconista do restaurante montou a
seguinte tabela:
Tabela 1.1: Preço, de acordo com a quantidade
de refrigerantes
Quantidade de
refrigerantes
Preço (R$)
1
2,00
2
4,00
3
6,00
4
8,00
5
10,00
6
12,00
7
14,00
8
16,00
9
18,00
10
20,00
Nesse exemplo pode-se identificar duas grandezas: a quantidade de refrigerantes
consumidos e o respectivo preço. Verifica-se que a cada quantidade de refrigerantes tem-se
um único preço correspondente. Então, o preço é função da quantidade de refrigerantes e
identifica-se por x a quantidade de refrigerantes consumidos e por y o preço. Identifica-se
x como variável independente e y como variável dependente, pois os valores que y assume
dependem dos correspondentes valores de x .
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Uma fórmula que estabelece a relação de interdependência entre o preço ( y ) e o
número de refrigerantes consumidos ( x ) é dada por:
y
2,00 x
Segundo Iezzi et al. (2007, p.20), “em Matemática, se x e y são duas variáveis tais
que para cada valor atribuído a x existe, em correspondência, um único valor para y , diz-se
que y é uma função de x ”.
O conjunto formado por valores que podem ser atribuídos a x é chamado domínio da
função e identificado por D.
O valor de y , correspondente a determinado valor atribuído a x , é chamado imagem
de x pela função e habitualmente representado por f (x) . Estes valores compõem o conjunto
Im.
Esquematicamente, tem-se:
Figura 1.1 Relação entre as variáveis x e y .
Fonte: Iezzi et al. (2007, p.20).
1.1 Funções definidas por fórmulas
Há um maior interesse no estudo de funções onde por meio de uma fórmula (ou regra,
ou lei), pode-se calcular os valores de y a partir dos valores de x .
Exemplo 1.1
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A lei de correspondência que associa cada número real x ao número y onde y é o
triplo de x , é uma função definida pela fórmula y
3 x . O diagrama abaixo apresenta, para
alguns valores atribuídos a x , o correspondente valor de y .
Figura 1.2: Diagrama da relação
y
3 x.
No estudo dessa função pode-se fazer algumas observações, como:
para x
2 , tem-se que y 3 2 6.
Tem-se que f (2)
6.
a imagem de x
1 é f ( 1) 3 ( 1)
3.
1.1.1 Domínio e contradomínio
Para que uma função f esteja bem caracterizada é necessário, além da lei de
correspondência que associa x a y , o domínio de f .
Muitas vezes ao se fazer referencia a uma função f , é fornecida apenas a sua lei de
correspondência. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f , deve-se subtender
que D é formado por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x na lei de
correspondência y
f (x) , de modo que, efetuado os cálculos, y resulte em um número real.
Por exemplo:
O domínio da função definida pela lei f ( x)
2x 3 é
, pois, qualquer que seja o
valor real atribuído a x , o número 2x 3 também é real.
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O domínio da função f ( x)
número
x 5
é
x 2
-{2}, pois, para todo x real diferente de 2, o
x 5
é real.
x 2
O domínio da função f ( x)
x 3 é D= {x
3} , pois
/x
x 3 só é real se
x 3 0.
A função f ( x)
D={ x
1
x só é definida para x 5
x 5
/ x 0e x
0 e x 0 ; então seu domínio é
5} .
Às vezes, no estudo de algumas funções, não é muito simples determinar o seu
conjunto imagem. Nesses casos, é apresentado o conjunto E, chamado de contradomínio de
f . Este conjunto contém o conjunto imagem de f .
De modo geral, a notação f : A
B representa uma função com domínio A e
contradomínio B.
1.2 Gráficos
A construção de gráficos de funções é muito importante, pois, através deles, muitas
informações sobre o comportamento da função podem ser obtidas.
Pode-se analisar o
crescimento (ou decrescimento) da função, identificar os valores máximos (ou mínimos) que
ela assume etc.
1.2.1 Construção de gráficos
Um roteiro fácil, que auxilia a construção de gráficos é descrito a seguir:
Constrói-se um quadro com duas colunas ( x e y ) . Atribui-se valores para x e
calcula-se o correspondente valor de y através da lei y
f (x) ;
Representa-se cada par ordenado ( x , y ) do quadro por um ponto do plano cartesiano.
Liga-se os pontos obtidos por meio de uma curva, que é o próprio gráfico da função
y
f (x).
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Existem várias funções que são estudadas no ensino fundamental e médio como:
funções afim, quadráticas, modulares, exponenciais e logarítmicas mas, neste estudo, será
apresentada as duas funções mais utilizadas na área de administração e economia: função afim
e função quadrática.
1.3 Função afim
1.3.1 Definição de função afim
Segundo Dante (2005, p.53), “uma função f :
quando existem dois números reais a e b tal que f ( x)
Na função f ( x)
é denominada função afim
ax b , para todo x
”.
ax b , o número a é chamado coeficiente de x e o número b é
chamado termo constante.
Exemplos de funções afim:
4x 1 , em que a = 4 e b = -1
f ( x)
x 8 , em que a = -1 e b = -8
f ( x)
f ( x)
x
5
3
1
3
, em que a = e b =
4
5
4
f ( x)
21x , em que a = 21 e b = 0
1.3.2 Gráfico da função
O gráfico da função afim ou função polinomial do 1º grau, f ( x)
ax b , com a
0, é uma reta.
Exemplo 1.2: Construir o gráfico da função f ( x)
x 3.
Seguindo o roteiro proposto no item 1.2.1, constrói-se um quadro atribuindo valores
para x e calculando, através da lei y
f ( x)
x 3. , os respectivos valores de y .
Como o gráfico é uma reta, basta encontrar dois pontos para a construção do gráfico.
O domínio de uma função afim é formado pelo conjunto dos números reais, portanto pode-se
atribuir quaisquer dois valores para x na função f ( x)
x 3.
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Para x = 0, tem-se f (x)
0 3 3 . Portanto, um ponto é (0,3).
Para x = -3, tem-se f (x)
3 3 0 . Portanto, o outro ponto é (-3,0).
Portanto, a reta procurada passa pelos pontos (0,3) e (-3,0) e seu gráfico é o da Figura
1.3.
x
y
0
3
-3
0
Figura 1.3: Gráfico da função
f ( x)
x 3.
1.3.3 Coeficientes da função afim
Como visto no Exemplo 1.2, o gráfico de uma função afim é uma reta.
O coeficiente de x , a , é chamado de coeficiente angular da reta e se refere à
inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b , é chamado de coeficiente
linear da reta. Ele é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy, pois para x =0, temos
f ( x)
a 0 b
b (IEZZI et al., 2005, p. 41).
O coeficiente a representa a variação de y correspondente a um aumento do valor de
x igual a 1. Esse aumento é considerado a partir de qualquer ponto da reta. (MORETTIN et
al., 2004, p. 56).
1.3.4 Zero de uma função afim
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O zero da função afim é o valor de x tal que f (x)
0.
Portanto:
f ( x)
ou seja, a raiz da função f ( x)
0
ax b
0
x
b
a
ax b é a solução da equação do 1º grau ax b
0.
Alguns exemplos:
Obtenção do zero da função f ( x)
f ( x)
0
3x 2
0
2
.
3
x
Cálculo da raiz da função g ( x)
g ( x)
0
5x 10 0
3x 2 :
x
5x 10 :
2
1.3.5 Crescimento e decrescimento
Uma função afim
f ( x)
ax b , com a
0 , é crescente quando o valor do
coeficiente angular for positivo e decrescente quando for negativo.
Quando a
0 , o valor de f (x) permanece constante para qualquer valor atribuído a
x . Portanto, o gráfico da função é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, b ).
1.4 Função quadrática
Uma função quadrática, ou função polinomial de 2º grau, é definida como uma função
f de
em
da forma f ( x)
ax 2
bx c , em que a, b e c são números reais e a
0.
Alguns exemplos de funções quadráticas:
f ( x)
3x 2
5 x 1 , sendo a
3, b
5 e c 1.
f ( x)
2x 2
9 x 3 , sendo a
2, b
9ec
f ( x)
x2
4 , sendo a 1, b
0ec
4.
3.
1.4.1 Gráfico da função
O gráfico da função quadrática é uma curva chamada parábola.
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ax 2
Ao se construir o gráfico de uma função quadrática f ( x)
bx c , nota-se que:
Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
A Figura 1.4 apresenta o gráfico da função f ( x)
3x 2
5x 1
Figura 1.4: Gráfico da função f ( x)
3x 2
5x 1
A concavidade da parábola é para cima pois a
3 0.
Este gráfico pode ser
construído da mesma maneira que o roteiro seguido na construção do gráfico da função afim,
mas, neste caso, deve-se atribuir mais valores para se conseguir desenhar melhor a curva.
Nos itens subsequentes serão apresentados como encontrar os zeros de funções quadráticas
bem como as coordenadas dos vértices da parábola, que facilitam a construção do gráfico.
1.4.2 Zeros da função do 2º grau
Os zeros da função quadrática ou função polinomial do 2º grau são os valores de x
tais que f (x)
por
b2
0 . O número de zeros depende do valor do discriminante, ou delta, definido
4ac.
Se
> 0, a função terá dois zeros reais de distintos.
Se
=0, a função terá apenas um zero real (com maior precisão, diz-se que a função
tem dois zeros iguais).
Se
< 0, a função não terá zeros reais (com maior precisão, diz-se que a função tem
dois zeros complexos conjugados).
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1.4.3 Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo
V e quando a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo
V.
Este ponto V é chamado vértice da parábola e suas coordenadas são obtidas por:
V
(
b
,
)
2a 4a
1.4.4 Imagem
O conjunto imagem Im da função f ( x)
ax 2
bx c , com a
0, são os valores que
y pode assumir a partir de valores atribuídos a x .
Na definição do conjunto imagem há duas possibilidades:
Quando a > 0
Im= { y
/ y
yv
4a
}
pois o vértice é um ponto de mínimo, ou seja, o menor valor que y pode assumir é
4a
.
Quando a < 0
Im={ y
/ y
yv
4a
}
pois o vértice é um ponto de máximo, ou seja, o maior valor que y pode assumir é
4a
.
1.4.5 Construção da parábola
Para a construção do gráfico de uma função do 2º grau não é necessário montar um
quadro de pares ( x , y ).
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Como foi visto anteriormente, o valor de a define a concavidade da parábola. Os
zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo x. O vértice V (
b
, )
2a 4a
indica o ponto de mínimo (se a > 0) ou de máximo (se a < 0). A reta que passa por V e é
paralela ao eixo
f ( x)
a 02
y
b 0 c
é o eixo de simetria da parábola.
Para
x =0, tem-se
c ;então (0,c) é ponto em que a parábola corta o eixo y .
Depois da identificação de cada um destes pontos, fica fácil a construção da parábola.
Exemplo 1.3: Construir o gráfico da função f ( x)
3x 2
4x 1 .
Para a construção do gráfico desta função será determinada algumas características
que auxiliam na construção do mesmo:
Concavidade voltada pra cima, pois a
Raízes: f ( x)
3x 2
Vértice: V =
b
,
2 a 4a
4x 1 0
3 0;
x 1 ou x
2 1
onde
,
3 3
1
.
3
b2
4ac
( 4) 2
4 3 1 4.
Intersecção com o eixo y : (0,c) = (0,1).
Im={ y
/y
1
} pois , como a
3
3 0 , o vértice é um ponto de mínimo.
Com estas informações fica simples a construção do gráfico da função
f ( x)
3x 2
4x 1 .
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Figura 1.5: Gráfico da função f ( x)
3x 2
4x 1
2 FUNÇÕES LINEARES E QUADRÁTICAS APLICADAS EM NEGÓCIOS
Uma grande variedade de problemas em negócios pode ser resolvida através do uso de
equações e análise de seus gráficos. Com eles pode-se estudar custos, vendas, consumo,
oferta e demanda. Para exemplificar, será abordado algumas dessas funções bem como a
construção e análise de seus gráficos.
2.1 Função demanda
De acordo com Morettin et al. (2004, p.65), “a demanda de um determinado bem é a
quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo
(dia, mês, ano e outros)”.
A demanda de um bem é função de várias variáveis, como: preço por unidade do
produto, renda do consumidor, gostos, etc. Supondo que todas as variáveis mantenham-se
constantes, exceto o preço unitário do próprio produto ( p ), verifica-se que o preço ( p )
relaciona-se com a quantidade demandada ( x ),e que esta relação, indicada por p
f (x) , é
denominada função de demanda.
O gráfico de p em função de x é denominado curva de demanda. Será considerado
aqui a função de demanda de 1º grau, portanto o gráfico é uma reta decrescente, pois quanto
maior o preço, menor a quantidade demandada.
A lei de demanda afirma que a quantidade demandada aumenta conforme o preço da
mercadoria diminui ou que a quantidade demandada diminui conforme aumenta o preço.
Embora a quantidade demandada seja uma função do preço, os economistas,
tradicionalmente, representam graficamente a função de demanda com o preço no eixo
vertical (HARSHBARGER; REYNOLDS, 2006, p. 128).
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Os parâmetros da função de demanda são geralmente determinados por métodos
estatísticos através dos modelos de regressão.
Exemplo 2.1: A quantidade de sucos ( x ) demandada por semana numa lanchonete relacionase com o preço unitário ( p ) de acordo com a função de demanda p
8 0,004 x .
Assim, se o preço por unidade for R$ 3,50, a quantidade ( x ) demandada por semana
será dada por:
3,50 8 0,004x
0,004x 4,50
x 1.125
ou seja, com um preço unitário de R$ 3,50 serão vendidos 1.125 sucos semanais.
O gráfico de ( p ) em função de ( x ) é um segmento de reta (curva de demanda)
localizado no primeiro quadrante, pois tanto p como x não podem ser negativos.
Para a construção do gráfico desta função, basta atribuir dois valores para x e
encontrar os respectivos valores de p , ou seja,
para x =0 tem-se: p
8 0,004 (0)
para x =2.000 tem-se: p
8;
8 0,004 (2.000)
preço (p)
A Figura 2.1 ilustra o gráfico da função p
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
500
1000
0.
8 0,004 x
1500
2000
2500
quantidade (x)
Figura 2.1: Gráfico da função de demanda
p
8 0,004 x
2.2 Função oferta
Segundo Morettin et al. (2004, p.66), “chamamos de oferta de um bem, num certo
intervalo de tempo, à quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado”.
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A oferta de um bem é função de várias variáveis, como: preço do bem, preços dos
insumos (matéria prima, equipamentos, capital, horas de trabalho, etc.) utilizados na
produção, as tecnologias utilizadas na produção do bem, etc. Supondo que todas as variáveis
mantenham-se constantes, exceto o preço do próprio bem ( p ), verifica-se que o preço do bem
( p ) relaciona-se com a quantidade ofertada ( x ),e que esta relação, indicada por p
g (x) , é
denominada função de oferta.
O gráfico de p em função de x é denominado curva de oferta. Será considerada aqui
a função de oferta do 1º grau, portanto o gráfico é uma reta crescente, pois quanto maior o
preço, maior a quantidade ofertada.
O desejo dos consumidores em comprar determinado bem está relacionado como o
preço deste bem e o desejo do fabricante em fornecer mercadorias também está relacionado
com o preço destas mercadorias. A lei da oferta afirma que a quantidade ofertada para a
venda aumentará conforme o preço do produto aumentar. Como no gráfico da demanda, o
preço aparece no eixo vertical (HARSHBARGER; REYNOLDS, 2006, p. 128).
Exemplo 2.2: Admita-se que, para quantidades que não excedam sua capacidade de produção,
a função de oferta do Exemplo 2.1, seja do 1º grau. Suponha que, se o preço por suco for R$
2,00, a quantidade ofertada será 300 por semana, e, se o preço for R$ 2,50, a quantidade
ofertada será 1.500. A função de oferta será obtida por:
O coeficiente angular de uma reta é obtido por:
m
y
x
2,50 2,00
1.500 300
0,50
1.200
1
2.400
Conhecido um ponto P(x 0 , y 0 ) de uma reta e seu coeficiente angular m , a equação da
reta é dada por:
y
y0
m( x x 0 )
Então:
p 2,00
1
x 300 ,
2.400
ou seja,
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1
x 1,875
2.400
p
Colocando os pares ordenados (300,2) e (1.500,2.50) no plano cartesiano será obtido
1
x 1,875 .
2.400
o gráfico da função oferta p
3
preço (y)
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
150
300
450
600
750
900
1050 1200 1350 1500 1650
quantidade (x)
Figura 2.2: Gráfico da função oferta
p
1
x 1,875
2.400
2.3 Ponto de equilíbrio ou equilíbrio de mercado
Uma importante aplicação econômica envolvendo interseção de gráficos surge em
conexão com a lei da oferta e demanda.
Chama-se de ponto de equilíbrio a interseção entre as curvas de demanda e oferta. O
preço, neste ponto, é o preço de equilíbrio e a quantidade neste ponto é a quantidade de
equilíbrio.
Exemplo 2.3: Encontrar o ponto de equilíbrio considerando as funções de demanda e de oferta
dadas nos Exemplos 2.1 e 2.2 respectivamente.
Tem-se que, no ponto de equilíbrio, o preço é o mesmo na curva de demanda e de
oferta. Portanto:
8 0,004 x =
1
x 1,875
2.400
19.200 9.6 x x 4.500
10,6 x 14.700
x 1.386,79
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Como x indica quantidade (ofertada ou demandada) será considerado um valor
inteiro, portanto, x =1.387. Substituindo este valor numa das curvas, por exemplo, na da
demanda, tem-se:
p
p
p
8 0,004 x
8 0,004 (1.387)
2,452
Portanto, no ponto de equilíbrio, o preço do suco será de R$ 2,45 e a quantidade
semanal vendida será 1.387 unidades.
De acordo com a lei de demanda e oferta, um bem tenderá a ser vendido no seu preço
de equilíbrio. Se ele for vendido mais caro do que o preço de equilíbrio, haverá uma
quantidade não vendida no mercado, e os comerciantes tenderão a diminuir seus preços,
forçando-os em direção ao preço de equilíbrio. Por outro lado, se for vendido por menos do
que o preço de equilíbrio, a demanda excederá a oferta, e os comerciantes tenderão a elevar
preço (y)
seus preços em direção ao preço de equilíbrio.
8,5
8
7,5
7
6,5
6
5,5
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
oferta
demanda
0
1200
2400
3600
4800
6000
quantidade (x)
Figura 2.3: Ponto de equilíbrio de mercado
2.4 Função custo total
“Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de
x , e a relação entre eles é chamada de função custo total (ou simplesmente função custo), e a
indica-se por C ” (MORETTIN et al., 2004, p. 59).
O custo é composto de duas partes: custos fixos e custos variáveis.
16
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Custos fixos: são os custos que não dependem da quantidade produzida, ou seja,
permanecem constantes, e é representado por ( C F ). São exemplos de custos fixos: aluguel,
seguro, etc.
Custos variáveis: são aqueles que estão diretamente relacionados com o número de
unidades produzidas, e é representado por ( CV ).
Assim, o custo é determinado pela equação:
Custo = custos fixos + custos variáveis
C
CF
CV
O custo variável geralmente é igual a uma constante multiplicada pela quantidade x .
Esta constante é denominada de custo variável por unidade.
Exemplo 2.4: O custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$ 6.500,00, e o custo
variável por unidade R$ 12,00. Então a função custo total é dada por:
C( x)
6.500 12 x
2.5 Função receita total
A receita total R está relacionada com o preço unitário e a quantidade vendida de
determinado produto e sua função é dada por:
R( x)
p x
Exemplo 2.5: Um produto é vendido a R$ 25,00 a unidade (preço constante). A função receita
será:
R( x)
25 x
O gráfico dessa função é uma semi-reta passando pela origem pois trata-se de uma
função do 1.º grau com coeficiente linear igual a zero. A Figura 2.4 ilustra o gráfico desta
função.
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300
250
receita
200
150
100
50
0
0
2
4
6
8
10
12
quantidade (x)
Figura 2.4: Gráfico da função receita
R( x)
25 x
2.6 Função lucro total
O lucro de uma empresa sobre o seu produto é a diferença entre o valor que ela recebe
nas vendas (sua receita) e seu custo. (HARSHBARGER; REYNOLDS, 2006, p. 124).
Indicando a função lucro por L tem-se:
L( x)
R( x) C( x)
Observe que:
Se R(x) > C(x)  L(x) > 0, então a função lucro é denominada lucro positivo;
Se R(x) < C(x)  L(x) < 0, então a função lucro é denominada lucro negativo, ou seja,
prejuízo.
Exemplo 2.6: Suponha que uma empresa fabrica bolsas e as vende a R$ 60,00 cada uma. Os
custos incorridos na produção e venda das bolsas são de R$ 220.000,00 mais R$ 12,00 para
cada bolsa produzida e vendida. A função lucro para produção e venda de x bolsas e
encontrada da seguinte forma.
Sabe-se que a função lucro é dada por L( x)
C
R( x) C( x) , onde R( x)
60 x e
220.000 12 x . Portanto:
L( x )
L( x )
60 x (220.000 12 x)
48 x 220.000
As Figuras 2.5. 2.6 e 2.7 mostram os gráficos de R(x) , C(x) e L(x) , respectivamente.
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70000
60000
R(x)
50000
40000
30000
20000
10000
0
0
200
400
600
800
1000
1200
quantidade (x)
Figura 2.5: Gráfico da função
R( x)
60 x
250000
200000
C(x)
150000
100000
50000
0
0
200
400
600
800
1000
1200
quantidade (x)
Figura 2.6: Gráfico da função
C( x)
220.000 12 x
100000
50000
L(x)
0
-50000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
-100000
-150000
-200000
-250000
quantidade (x)
Figura 2.7: Gráfico da função
L( x)
48 x 220.000
Ao analisar os gráficos acima pode-se observar que:
Receita: nenhuma unidade produzida gera receita 0;
Custo: O custo de nenhuma unidade produzida é igual aos custos fixos de R$
220.000,00;
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Lucro: nenhuma unidade produzida gera um prejuízo igual aos custos fixos de R$
220.000,00 e que 4583,33 unidades resultam em um lucro de R$ 0,00, ou seja, não
existe nem lucro nem prejuízo.
Pelo gráfico 2.7 é possível observar que se as
quantidades produzidas forem menores que 4.583,33 unidades, que é a raiz
aproximada da equação L( x)
48 x 220.000 , a empresa terá prejuízo e que a
empresa começará a ter lucro a partir de 4.584 unidades produzidas.
2.7 Análise de equilíbrio
A construção do gráfico da função receita total e da função custo total no mesmo
sistema de eixos mostra que as funções interceptam-se num ponto N. Nesteponto o custo e a
receita são iguais e, portanto, o lucro é zero pois L( x)
R( x) C( x) . Este ponto N é
chamado de ponto de equilíbrio ou nivelamento ou crítico.
Exemplo 2.7: Considerando os dados do Exemplo 2.6 tem-se que o ponto de equilíbrio é
obtido igualando-se as equações custo total e receita total, ou seja,
R( x)
C ( x)
60 x
220.000 12 x
48 x
220.000
x
4.583,33
Portanto, a empresa terá lucro para x
4.584 unidades e terá prejuízo para x 4.584
unidades como já tinha sido comentado anteriormente.
400000
valor monetário
350000
300000
250000
200000
Ponto de Equilíbrio
C(x) = 12x + 220000
(4.584;275.000)
R(x)
R(x) = 60x
C(x)
150000
100000
50000
Região
de
0
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500
Prejuízo
quantidade (x)
Figura 2.8: Ponto de nivelamento.
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2.8 Aplicação das funções quadráticas em negócios
Aqui será estudado a construção dos gráficos das funções oferta e demanda quando
estas funções forem quadráticas. Será mostrado também que o estudo do ponto de equilíbrio
quando as funções são quadráticas é o mesmo daquele estudado para funções lineares.
Também será usado o vértice de funções quadráticas para determinar os pontos de máximo
das funções receita e lucro.
2.8.1 Oferta, demanda e equilíbrio de mercado
Quando equações quadráticas são usadas para representar curvas de oferta ou de
demanda, a análise gráfica é feita através do primeiro quadrante das parábolas, pois, o eixo
das abscissas, se refere à quantidade e não tem sentido trabalhar com quantidades negativas.
Exemplo 2.8: A função oferta para um produto é dada por p
0,1q 2
de demanda é dada por p
0,2q 2
0,4q 1,8 e a função
0,2q 9 . O interesse é determinar o ponto de equilíbrio
de mercado.
Como foi visto no caso de funções lineares, o equilíbrio de mercado ocorre quando as
duas equações possuem os mesmos valores de p . Assim:
0,2q 2
0,4q 1,8
2
0,6q 7,2
0,3q
q
q
0,1q 2
0,2q 9
0
(0,6) 2 4(0,3)( 7,2)
2(0,3)
6 ou q 4
0,6
Como não tem sentido trabalhar com uma quantidade negativa, o ponto de equilíbrio
ocorre quando são vendidas 4 unidades do produto. Substituindo este valor na função oferta
ou demanda tem-se que o preço, no ponto de equilíbrio, será de:
p
p
p
0,1q 2
0,1(4)
0,2q 9
2
0,2(4) 9
6,60
Portanto, o ponto de equilíbrio é (4; 6,60).
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preço (y)
Os gráficos das funções ficarão dispostos da seguinte forma:
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
y = 0,2x 2 + 0,4x + 1,8
oferta
demanda
y = -0,1x 2 - 0,2x + 9
0
2
4
6
8
10
quantidade (x)
Figura 2.9: Ponto de equilíbrio de mercado.
2.8.2 Funções receita, custo e lucro e ponto de maximização
Muitas funções de receita total podem ser lineares, mas os custos tendem aumentar
bruscamente depois de um certo nível de produção. Quando isto ocorre, as funções
quadráticas são utilizadas para prever os custos totais dos produtos.
Exemplo 2.9: Se uma empresa tiver custo total dado por C ( x)
total dada por R( x)
0,5 x 2
0,5 x 2
25x 3600 e receita
175x , encontre o ponto de equilíbrio e a quantidade que deve
ser produzida para a empresa atingir o lucro máximo.
Como foi visto no caso de funções lineares, o ponto de equilíbrio é obtido igualando
as equações custo total e receita total, ou seja,
0,5 x
2
R( x)
C ( x)
175x
0,5 x 2
25x 3600
x 2 150x 3600 0
x
x
( 150)
( 150) 2
2
4(1)(3600)
30 ou 120
Portanto, o ponto de equilíbrio da empresa ocorrerá tanto em 30 unidades quanto em
120 unidades. A Figura 2.10 mostra os gráficos de C( x) e R( x) . Pode-se observar através
dele que a empresa obterá lucro depois de x = 30 até x = 120, pois R( x)
C( x) nesse
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intervalo. Em x = 30 e x = 120, o lucro é zero e a empresa perderá dinheiro se ela produzir
mais de 120 unidades.
40000
35000
2
valor monetário
y = 0,5x + 25x + 3600
30000
25000
R(x)
20000
C(x)
15000
2
y = -0,5x + 175x
10000
5000
0
0
15
30
45
60
75
90
105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255
quantidade (x)
Figura 2.10: Gráfico das funções receita e custo totais e ponto de equilíbrio.
É fácil observar que o gráfico da função receita é uma parábola com concavidade para
baixo ( a
0) . Portanto, o vértice é o ponto no qual a receita é máxima. Como visto no item
1.4.5, a coordenada x do vértice é obtida por:
x
b
2a
175
2( 0,5)
175 unidades
Então, quando x 175, a empresa alcança sua receita máxima de:
R(175)
0,5(175) 2 175(175)
R(175) 15.312,50 reais
mas os custos quando x 175 são:
C ( x)
0,5 x 2
C ( x)
0,5(175) 2
C ( x)
23.287,50 reais
25x 3600
25(175) 3600
o que resulta em prejuízo. Então, maximizar a receita não é um bom objetivo. Deve-se
buscar maximizar o lucro.
Sabe-se que:
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L( x )
R( x) C ( x)
L( x )
0,5 x 2 175x (0,5 x 2
L( x )
x 2 150x 3600
25x 3600)
O gráfico dessa função lucro é uma parábola com concavidade voltada para baixo
(a
0) , portanto, o vértice será um ponto de máximo:
x
Então, para x
b
2a
150
2( 1)
75
75 temos:
L( x )
x 2 150x 3600
L( x )
(75) 2 150(75) 3600
L( x )
2.025,00 reais
ou seja, quando 75 unidades forem produzidas e vendidas, será atingido um lucro máximo de
R$ 2.025,00.
A Figura 2.11 ilustra o gráfico da função lucro.
3000
2000
1000
lucro (R$)
0
-1000
0
25
50
75
100
125
150
175
-2000
-3000
-4000
-5000
y = -x 2 + 150x - 3600
-6000
quantidade (x)
Figura 2.11: Gráfico da função L( x)
x 2 150x 3600
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste estudo, procurou-se mostrar, além dos conceitos teóricos das funções lineares e
quadráticas, a aplicação destas funções na área da economia.
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Estudou-se as funções lineares de demanda e oferta que, analisadas simultaneamente,
fornecem o ponto de equilíbrio de mercado, ou seja, o ponto que indica a quantidade a ser
produzida e o preço que o produto deverá ser vendido. Foi mostrado também que estas
informações podem ser obtidas através da construção dos gráficos das funções no mesmo
plano cartesiano.
Já, com a análise das funções receita e custo totais pode-se encontrar a quantidade
mínima que deve ser produzida para que uma empresa obtenha lucro. Estas informações
também são obtidas através da análise gráfica das curvas das funções receita e custo
construídas no mesmo plano cartesiano. Neste gráfico foi possível identificar a região de
prejuízo e a região de lucro.
As mesmas funções estudadas através de modelos lineares foram estudadas
considerando-as funções quadráticas.
Como o gráfico para estas funções são parábolas
mostrou-se como obter, através do vértice da parábola, a quantidade que deve ser produzida
para que o lucro da empresa seja máximo.
Enfim, foi possível mostrar que a modelagem matemática através de funções de 1º e 2º
graus é muito aplicada na área de negócios e de grande auxílio na tomada de decisões.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicação. 2.ed. São Paulo:Ática, 2.005.
HARSHBARGER, R J.;REYNOLDS, J. J. Matemática Aplicada: Administração,
Economia, Ciências Sociais e Biológicas. 7.ed. São Paulo:McGraw - Hill, 2.006.
IEZZI, G.;DOLCE, O.;LEGENSZAJN, D.;PÉRIGO, R. Matemática: Volume Único. 4.ed.
São Paulo:Atual, 2.007.
LARSON, R. E.;HOSTETEU, R. P.;EDWARDS, B. H. Cálculo com Aplicação. 4.ed. Rio
de Janeiro: LTC, 1.995.
MORETTIN, P. A.;HAZZAN, S.; BUSSAB, W. de O. Cálculo: Função de uma e duas
variáveis. 1.ed. São Paulo: Saraiva, 2.004.
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