Um Exemplo de Topologia Não Metrizável - DM

Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
Um Exemplo de Topologia Não Metrizável
Autor:
Tamyris Marconi
Orientadora:
Disciplina:
Curso:
Profa. Dra. Cláudia Buttarello Gentile Moussa
Trabalho de Conclusão de Curso
Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis:
Karina Shiabel Silva
Sadao Massago
Vera Lúcia Carbone
São Carlos, 15 de março de 2014.
Um Exemplo de Topologia Não Metrizável
Autor:
Tamyris Marconi
Orientadora:
Disciplina:
Curso:
Profa. Dra. Cláudia Buttarello Gentile Moussa
Trabalho de Conclusão do Curso
Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis:
Karina Shiabel Silva
Sadao Massago
Vera Lúcia Carbone
Instituição:
Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
São Carlos, 15 de março de 2014.
Tamyris Marconi (aluna)
Profa. Dra. Cláudia Buttarello
Gentile Moussa (orientadora)
À minha família.
Agradecimentos
Agradeço primeiramente à Deus por ter me dado a chance de chegar até aqui e conseguir ndar este trabalho e aos meus familiares, especialmente meus pais, que sempre
estiveram presentes durante toda a minha vida e me deram todo o suporte necessário para
nalizar mais essa etapa.
Agradeço ainda a todos os meus amigos do curso que sempre me ajudaram e estiveram
presentes no decorrer desses últimos anos, compartilhando saberes e momentos.
Ainda, a todos os professores que acrescentaram algo em minha formação, compartilhando seus conhecimentos comigo. Em especial à professora Cláudia Gentile pelo suporte
e apoio no decorrer de todo este trabalho e também durante minha graduação.
Também ao meu namorado Alan por todos os momentos vividos e por todo o apoio
no decorrer desses anos.
Resumo
Neste trabalho estudamos os conceitos básicos dos espaços topológicos com particular
interesse nas topologias em espaços produtos arbitrários e em suas propriedades. Denimos as Topologias Box e Topologia Produto a partir de bases para estas e demonstramos
que Topologia de Convergência Simples no conjunto das funções reais não é metrizável.
Palavras chave:
de Funções.
Espaços Topológicos, Topologia Produto, Topologia Box, Espaço
ix
Sumário
Prefácio
xiii
1 Espaços Métricos
1
2 Espaços Topológicos
3
2.1
Espaços Topológicos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Subespaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Interior, Fronteira e Vizinhança
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4
Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5
Bases para uma Topologia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.6
Sequências em Espaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.7
Continuidade em Espaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.8
Espaços Conexos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.9
Espaços Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3 Topologias em Produtos Cartesianos
X ×Y
25
3.1
A Topologia Produto em
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2
Topologia Box e Topologia Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3
Propriedades dos Produtos Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3.1
Conexidade em Produtos Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3.2
Compacidade em Produtos Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.4
Topologia da Convergência Simples e Topologia da Convergência Uniforme
35
xi
Lista de Figuras
3.1
Produto
X ×Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
xiii
Prefácio
A denição de espaço topológico que conhecemos hoje demorou bastante tempo para
ser formulada. Vários matemáticos, tais como Fréchet e Hausdor, propuseram diferentes
denições durante as primeiras décadas do século XX antes dos matemáticos nalmente
elegerem a denição atualmente conhecida. Na época, estes desejavam uma denição o
mais ampla possível e que, ao mesmo tempo, englobasse os casos especiais de espaços
muito úteis na matemática, tais como os espaços euclidianos e os espaços de funções. É
válido observar o quão nova é tal denição, observando a história da matemática.
Diante disso, este trabalho está pautado no estudo dos elementos de topologia geral,
com ênfase em exemplos envolvendo espaços de funções.
Nestes demonstramos que a
topologia da convergência simples em um conjunto de funções reais não é metrizável. Para
tal falamos dos principais conceitos e exemplos de um curso introdutório de topologia,
indo desde as noções elementares de abertos e fechados, interior, fronteira e vizinhança,
até as denições de continuidade, conexidade e compacidade. Além disso abordamos as
topologias mais comuns nos produtos cartesianos arbitrários através de bases para estas,
compararando topologias num mesmo conjunto e apontando as mais nas.
Assim, este texto está organizado do seguinte modo: no primeiro capítulo denimos
espaços métricos e relembramos brevemente algumas propriedades destes. No segundo capítulo discorremos sobre os espaços topológicos mais gerais, salientando suas propriedades
básicas. Desse modo, abordamos o conceito de topologia, espaços e subespaços topológicos; interior, fronteira e vizinhança de um conjunto, além de denir conjuntos abertos e
fechados nesses espaços. Ainda, denimos base para uma topologia, sequências em espaços topológicos, continuidade de funções e espaços conexos e compactos naqueles. Já no
terceiro e último capítulo abordamos mais especicamente as topologias usuais nos produtos cartesianos arbitrários, dando grande ênfase aos espaços de funções. Desenvolvemos
ainda alguns resultados importantes desses espaços, tal como o Teorema de Tychonov.
Desse modo, concluímos o texto exibindo uma topologia no conjunto de todas as funções
reais que não é metrizável, a Topologia da Convergência Simples. É válido ressaltar que
durante todo o trabalho utilizamos os livros [2] e [3] como bibliograa básica.
1
Capítulo 1
Espaços Métricos
Em qualquer conjunto não vazio podemos introduzir a ideia de medir a distância
entre seus pontos através de uma métrica. É disso que este capítulo trata. Introduziremos,
assim, rapidamente o conceito de espaço métrico, exibindo sua denição e alguns exemplos.
Denição 1.1. Uma métrica num conjunto M
a cada par de pontos
ao ponto
y,
x, y ∈ M
d : M × M → R que associa
d(x, y), chamado a distância do ponto x
é uma função
um número real
de tal modo que:
1)
d(x, x) = 0, d(x, y) > 0
2)
d(x, y) = d(y, x),
3)
d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z);
Denição 1.2.
uma métrica
d
Exemplo 1.3.
x 6= y ;
quaisquer que sejam
Um
em
se
x
e
y ∈ M;
quaisquer que sejam
x, y
e
z∈M
(desigualdade triangular).
espaço métrico é um par (M, d) formado por um conjunto M
e
M.
O conjunto
R
dos números reais munido da métrica usual, também co-
d(x, y) =| x − y | é um espaço métrico. De fato,
d(x, x) =| 0 |= 0; d(x, y) =| x − y |> 0 se x 6= y e d(x, z) =| x − z |= | x − y + y − z |6|
x − y | + | y − z |= d(x, y) + d(y, z), ∀ x, y e z ∈ R.
nhecida por Métrica Euclidiana,
Exemplo 1.4.
(Métrica 0 - a) Seja
arbitrário. Denimos
d:M ×M →R
M
um conjunto não vazio e seja
a > 0
um real
da seguinte maneira:
(
d(x, y) =
a
0
se
se
x 6= y
x=y
(M, d) é um espaço métrico. De fato, decorre diretamente da denição de
d que d(x, y) > 0 se x 6= y e d(x, y) = 0 se x = y . Além disso, se d(x, z) = 0, 0 6
d(x, y) + d(y, z), ∀ y ∈ M . Por outro lado, se d(x, z) = a, dado y ∈ M , d(x, y) = a ou
d(y, z) = a, caso contrário teríamos x = y = z ⇒ x = z , o que é um absurdo. Portanto,
d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z), ∀ x, y ∈ M .
Dessa forma,
2
1. Espaços Métricos
Exemplo 1.5.
M ×M →R
Seja
M
um espaço métrico com com uma métrica
d.
Temos que
d :
denida por
d(x, y) = min{d(x, y), 1}
x, y ∈ M e d(x, y) = 0 se, e somente
se, d(x, y) = 0, e como d é métrica temos que x = y . Ainda, d(x, y) = min{d(x, y), 1} =
min{d(y, x), 1} = d(y, x). Por último temos que d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) porque se
d(x, y) ≥ 1 ou d(y, z) ≥ 1 segue que o lado direito da desigualdade é pelo menos igual a
1, uma vez que o lado esquerdo é (por denição) no máximo 1, e a inequação é válida.
Agora, se d(x, y) < 1 e d(y, z) < 1 temos d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) = d(x, y) + d(y, z).
Como d(x, z) ≤ d(x, z) por denição, a desigualdade triangular é válida para d.
é uma métrica. Com efeito,
Denição 1.6.
d(x, y) ≥ 0
para todo
(M, d) um espaço métrico.
aberto de M se, para todo p ∈ A existe r > 0 tal
p e raio r está inteiramente contida em A.
Seja
Dizemos que um conjunto
que a bola aberta
Exemplo 1.7. Seja M com a métrica 0−a, onde a = 1.
é aberto em
M
pois, dado
x ∈ A,
para todo
A ⊂ M,
B(p, r)
A ⊂ M
de centro em
A⊂M
B(x, 1/2) = {x} ⊂ A.
Neste espaço métrico todo
a bola aberta
é
3
Capítulo 2
Espaços Topológicos
A partir da noção de distância, denem-se os espaços métricos, nos quais estão bem
denidos conceitos tais como conjuntos abertos, vizinhança, interior, fronteira de um conjunto, conjunto fechado, fecho de um conjunto e continuidade de funções.
Entretanto,
várias dessas ideias podem ser introduzidas em outros espaços mais gerais, sem a necessidade de se medir a distância entre dois pontos.
Desse modo, temos que denir tais
conceitos utilizando uma outra abordagem, a qual denominamos topologia. Aos conjuntos munidos de uma topologia nós denominamos espaços topológicos. Este assunto será
tratado neste capítulo, o qual abordará os principais conceitos e características desses
espaços. Neste, além da bibliograa básica, utilizaremos o livro [4].
2.1
Espaços Topológicos
Denição 2.1.
X
Uma topologia em um conjunto
X
é uma coleção
τ
com as seguintes propriedades:
1.
∅
e
X
estão em
τ;
2. A união dos elementos de qualquer subcoleção de
τ
está em
3. A intersecção de elementos de qualquer subcoleção nita de
Denição 2.2.
em
X,
Um par ordenado
é chamado
espaço topológico
Denição 2.3.
(X, τ ),
espaço topológico.
X ,
mencionando
τ
onde
X
τ;
τ
está em
é um conjunto e
U
de um espaço topológico
X
é um
con-
τ.
Assim, podemos dizer que um espaço topológico é um conjunto
X,
é uma topologia
somente quando houver ambiguidade.
pertence à coleção
uma coleção de subconjuntos de
τ
τ.
Neste trabalho, utilizaremos a nomenclatura o
Dizemos que um subconjunto
junto aberto de X se U
X
de subconjuntos de
X
juntamente com
os chamados conjuntos abertos, de tal modo que
são abertos e uniões arbitrárias e intersecções nitas de abertos são abertos.
∅
e
4
2. Espaços Topológicos
Exemplo 2.4.
Seja
X
como abertos de
X,
em
chamada
X
um conjunto qualquer. Considerando todos os subconjuntos de
X
temos que a coleção de todos esses subconjuntos forma uma topologia
Topologia Discreta.
arbitrária de subconjuntos de
X
∅
De fato,
e
X
são subconjuntos de
resulta em um subconjunto de
X
subconjuntos de
X
Exemplo 2.5.
A coleção que consiste apenas dos subconjuntos
resulta em um subconjunto de
X,
união
e intersecção nita de
X.
∅
e
X
também constitui
X , denominada Topologia Caótica. De fato, pela própria denição
da topologia caótica, ∅ e X pertencem a τ , união arbitrária de ∅ e X resulta em ∅ ou X
e intersecção nita de ∅ e X resulta em um dos dois.
uma topologia
τ
Exemplo 2.6.
em
Seja
X = {a, b},
com
a 6= b
um conjunto contendo dois elementos. Exis-
tem, assim, quatro diferentes possibilidades de topologias em X, a saber:
1) A possibilidade mais simples é a Topologia Caótica, ou seja,
τ = {∅, {a} , X}.
2) Uma possibilidade intermediária consiste em
3) Uma segunda possibilidade intermediária é
τ = {∅, {b} , X}.
τ = {∅, {a} , {b} , X}.
4) A última possibilidade é a topologia discreta
Exemplo 2.7.
Seja
{∅, {a} , {b} , X} não
{∅, {a} , {b} , X}.
Exemplo 2.8.
X = {a, b, c}
sendo
a, b, c
elementos distintos entre si. A coleção
X
constitui uma topologia em
Dado um conjunto qualquer
qualquer subconjunto de
X
τ = {∅, X}.
X,
pois
{a}
S
{b} = {a, b}
e
{a, b} ∈
/
∅
e
temos uma topologia
τ
denindo como abertos os conjuntos
que contém um ponto particular
P ∈X
X . De fato, ∅ ∈ τ por denição, X ∈ τ pois P ∈ X ; união arbitrária de subconjuntos
de X que contém P também contém P , portanto pertence a τ . E nalmente intersecção
nita de subconjuntos que contém P também contém P , portanto também pertence a τ .
em
Exemplo 2.9.
X
Seja
X
juntamente com todos os seus subconjuntos que não contém um dado
modo, analogamente ao Exemplo 2.8, a coleção
em
X,
denominada
τ
desses abertos constitue uma topologia
Topologia do Ponto Excluído.
nita de conjuntos que não contém
P
também não
É válido ressaltar que todo espaço métrico
topológico quando se toma em
M
M
P ∈
/ ∅ e X ∈ τ por
contém P e intersecção
De fato,
P não
contém P .
denição. União arbitária de conjuntos que não contém
M.
X o próprio
P ∈ X . Desse
um conjunto qualquer. Considere como abertos de
pode ser considerado como um espaço
a coleção de abertos denidos a partir da métrica de
Desse modo, todo espaço métrico é um espaço topológico.
Denição 2.10.
X
é metrizável quando é possível denir uma
X tal que os abertos determinados por d coincidam com os abertos denidos
pela topologia τ em X . Nesse caso, podemos dizer que a topologia τ é induzida pela métrica
d.
métrica
d
Um espaço topológico
em
2.1. Espaços Topológicos
5
Exemplo 2.11. O espaço topológico X com a Topologia Discreta é um espaço metrizável.
É só considerar
X
com a topologia induzida da métrica
(
abaixo
x 6= y
x=y
d(x, y) =
1
0
se
A⊂X
X
com a topologia induzida temos que
porque tomando-se um conjunto
A=
d
[
em
[
{x} =
x∈A
se
B(x, r), r < 1.
x∈A
e como bolas abertas são sempre conjuntos abertos em espaços métricos, segue que
aberto segundo a topologia induzida. Portanto,
X
X
A
é
munido da topologia induzida é igual a
com a Topologia Discreta.
Vimos até então vários espaços topológicos, mas sem dúvidas os espaços topológicos
mais interessantes são aqueles que satisfazem a condição de separar
pontos distintos por
abertos disjuntos. Nestes são preservadas várias propriedades já conhecidas em espaços
métricos e que nem sempre são válidas em espaços topológicos mais gerais.
Denição 2.12.
Um espaço topológico
dois pontos arbitrários
x 6= y
em
X,
X
é um
espaço de Hausdor quando, dados
existem abertos
A, B ⊂ X
tais que
x ∈ A, y ∈ B
e
A ∩ B = ∅.
Observação 2.13.
a, b num espaço métrico M , existem em
M duas bolas abertas disjuntas com centros em a e b, respectivamente. De fato, seja r um
número real tal que r = d(a, b)/2. Temos que B(a, r) ∩ B(b, r) = ∅. De fato, se existisse
x ∈ M tal que x ∈ B(a, r) e x ∈ B(b, r) teríamos d(x, a) < r e d(x, b) < r e portanto,
d(a, b) ≤ d(x, a) + d(x, b) < 2r = d(a, b), o que é uma contradição. Isto implica que todo
Dados dois pontos distintos
espaço metrizável é um espaço de Hausdor. Assim, uma condição necessária para que
um espaço topológico seja metrizável é que ele seja um espaço de Hausdor.
Ainda, a partir dos exemplos, podemos perceber que em um mesmo conjunto
podem ser denidas topologias que contém mais abertos do que outras.
Por exemplo,
X = {a, b}, temos que os abertos de X na Topologia Caótica são os
∅ e X = {a, b}, diferentemente da Topologia Discreta que é formada pelos
∅, X = {a, b}, {a} e {b}. A seguinte denição nos dá uma ferramenta para
dado
X,
conjuntos
conjuntos
comparar
topologias diferentes em um mesmo conjunto.
Denição 2.14.
τ
τ0
X . Dizemos que τ
0
0
é mais na do que τ quando τ ⊃ τ , ou seja, quando cada U ⊂ X que é aberto em
(X, τ 0 ) é também aberto em (X, τ ). Analogamente, dizemos que τ é menos na do que
τ 0 quando τ ⊂ τ 0 , ou seja, quando U ∈ τ implicar em U ∈ τ 0 .
Sejam
e
duas topologias no mesmo conjunto
6
2. Espaços Topológicos
Denição 2.15.
O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto
conjunto das partes de X .
chamado
Lema 2.16.
Este conjunto será denotado por
Dado um conjunto qualquer
do que qualquer outra topologia em
X
X
X
é
℘(X).
temos que a Topologia Caótica é menos na
e a Topologia Discreta é mais na do que qualquer
X.
outra topologia em
τ
Demonstração. Para qualquer topologia
em
X,
segue que:
{∅, X} ⊂ τ ⊂ ℘(X).
2.2
Subespaços Topológicos
Seja
Y
X
um espaço topológico. Dado
oriunda da topologia em
X,
Y ⊂ X , podemos determinar uma topologia em
denindo assim um subespaço topológico. Neste tópico
abordaremos este assunto, salientando as principais características desses subespaços.
Denição 2.17.
Seja
(X, τ )
um espaço topológico.
Se
Y
é um subconjunto de
X,
a
coleção
τY = {Y ∩ U | U ∈ τ }
topologia do subespaço. Ainda, Y juntamente com
é denominado subespaço de X , e seus abertos são o resultado de todas as
é uma topologia em
a topologia
τY
Y,
denominada
intersecções de conjuntos abertos de
É fácil ver que
i)
∅ ∈ τY
ii)
Y ∈ τY
pois
pois
τY
X
é topologia em
Y.
Y.
De fato,
∅=∅∩Y;
Y = Y ∩ X;
iii) intersecção nita de abertos de
de
com
Y
é aberta em
Y
pois se
U1 , U2 , ..., Un
são abertos
X,
(U1 ∩ Y ) ∩ (U2 ∩ Y ) ∩ (U3 ∩ Y ) ∩ ... ∩ (Un ∩ Y ) = (U1 ∩ ... ∩ Un ) ∩ Y
e
U1 ∩ ... ∩ Un
é aberto de
X;
iv) união de uma família qualquer de abertos de
uma família de abertos de
Y
é aberta em
X,
!
[
α∈J
e
S
α∈J
Uα
é aberto em
X.
(Uα ∩ Y ) =
[
α∈J
Uα
∩Y
Y
pois se
{Uα }α∈J
é
2.3. Interior, Fronteira e Vizinhança
Exemplo 2.18.
Y
Seja
[0, 1) ∪ {2}
o subconjunto
Y , o conjunto {2} é aberto
aberto (3/2, 5/2) de R com Y .
subespaço em
conjunto
Observação 2.19.
Se
X
7
de
R.
Temos que, na topologia do
uma vez que é o resultado da intersecção do
é um espaço topológico de Hausdor e
com a topologia de subespaço, então
Y
Y
é um subespaço de
X
é um espaço topológico de Hausdor.
Y ⊂ X , dados x, y ∈ Y com x 6= y , existem
abertos U e V em X tais que x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V = ∅. Assim, U1 = U ∩ Y e V1 = V ∩ Y
são abertos de Y com x ∈ U1 , y ∈ V1 e U1 ∩ V1 = ∅. Portanto, Y é de Hausdor.
Demonstração. De fato, se
Lema 2.20.
é aberto em
Y
Seja
X,
X
é de Hausdor e
um subespaço de um espaço topológico
então
U
é aberto em
U é aberto em Y ,
em X resulta que U
X.
é
2.3
é aberto
U
U = V ∩Y,
aberto em X .
então
Y
Se
é aberto em
Y
e
Y
X.
Demonstração. Com efeito, se
Assim, como
X.
onde
V
é aberto em
Interior, Fronteira e Vizinhança
Denição 2.21.
X . Dizemos que um
ponto x ∈ S é ponto interior de S quando existe um aberto A de X tal que x ∈ A ⊂ S .
O conjunto de todos os pontos interiores de S é chamado interior de S e é denotado por
S̊ .
Teorema 2.22.
Seja
S
um subconjunto de um espaço topológico
O interior de um conjunto
todos os subconjuntos abertos de
aberto em
X
contido em
X
S
em um espaço topológico
que estão contidos em
S.
X
Em particular,
é a união de
S̊
é o maior
S.
A a união de todos os abertos A ⊂ S de X .
Então A é aberto em X (por ser uma união arbitrária de abertos) e A ⊂ S , logo x ∈ A
0
implica x ∈ S̊ . Desse modo, A ⊂ S̊ . Reciprocamente, x ∈ S̊ signica que existe aberto A
0
0
em X tal que x ∈ A ⊂ S . Logo, A ⊂ A. Desse modo, x ∈ A o que implica S̊ ⊂ A.
Demonstração. Seja
τ
Corolário 2.23. S
é aberto se, e somente se,
a topologia de
X
e seja
S = S̊ .
X contidos em S é
próprio S . Assim, pelo Teorema 2.22, S = S̊ . Reciprocamente, se S = S̊ temos que S
a união de todos os abertos de X contidos em S o que resulta em S ser aberto.
Demonstração. Se S é aberto então a união de todos os abertos de
Exemplo 2.24.
o
é
Å = A para todo A ⊂ X pois, como
todo A ⊂ X é aberto em X segue do Corolário 2.23 que Å = A. Além disso, se X tem
Topologia Caótica, para todo A ( X , com A 6= ∅, Å = ∅ pois o único conjunto aberto em
X contido em A é o ∅.
Se
X
tem uma Topologia Discreta,
8
2. Espaços Topológicos
Exemplo 2.25. Em R (com a métrica usual da reta) temos que Q̊ = ∅ pois dado qualquer
q ∈ Q e ε > 0, (q − ε, q + ε) contém pontos de R − Q. Ou seja, não existe
˚ Q) = ∅.
aberto (a, b) em R com q ∈ (a, b) e (a, b) ⊂ Q. Analogamente, (R −
ponto
Denição 2.26.
ponto
x∈X
Em um espaço topológico
quando
Teorema 2.27.
x ∈ V̊ .
X,
Isto signica que
Um conjunto
A
um conjunto
V
V
é uma
vizinhança de um
contém um aberto de
é aberto num espaço topológico
X
intervalo
X
que contém
x.
se , e somente se, é
uma vizinhança de cada um de seus pontos.
X , então Å = A. Desse modo, x ∈ Å para todo x ∈ A.
Portanto, A é uma vizinhança de x para todo x ∈ A. Reciprocamente, se A é uma
vizinhança de cada um de seus pontos temos que x ∈ Å para todo x ∈ A. Logo, A = Å e
portanto, A é aberto.
Demonstração. Se
A
é aberto em
Denição 2.28. Um sistema fundamental de vizinhanças de um ponto x num espaço
topológico
X
é uma coleção
β(x)
de vizinhanças de
x
com a seguinte propriedade: dada
U de x no espaço X , existe uma vizinhança V ∈ β(x) tal que V ⊂ U .
β(x) é enumerável, dizemos que x possui um sistema fundamental
qualquer vizinhança
Quando a coleção
enumerável de vizinhanças.
O exemplo a seguir nos dá outra condição necessária para um espaço topológico ser
metrizável a partir da análise dos sistemas fundamentais de vizinhanças.
Exemplo 2.29.
Num espaço métrico
M
todo ponto
x
possui um sistema fundamental
enumerável de vizinhanças. Com efeito, basta considerar como a coleção
β(x)
todas as
B(x, 1/n) de centro x e raio 1/n com n ∈ N pois, dada qualquer vizinhança
U de x existe > 0 tal que a bola aberta B(x, ) de centro x e raio está inteiramente
contida em U e para n > 1/ temos que B(x, 1/n) está inteiramente contida em B(x, ).
bolas abertas
A ⊂ X . Dizemos que x é ponto de
fronteira de A se para todo V ⊂ X aberto em X tal que x ∈ V , temos V ∩ A 6= ∅ e
V ∩ (X − A) 6= ∅. O conjunto dos pontos de fronteira de A é chamado de fronteira de
A e é denotado por f r(A).
Denição 2.30.
Seja
X
um espaço topológico e
De outro modo, para que
x
A é necessário
de X − A.
pertença à fronteira de
não pertença nem ao interior de
A
e nem ao interior
e suciente que
Teorema 2.31. A está contido em sua fronteira se, e somente se, Å é vazio.
a dizer que todo ponto de
A
que não pertence a
Å
pertence a
x
Isto equivale
f r(A).
Å = ∅, dado x ∈ A temos que x ∈
/ Å e x ∈
/ X − A. Logo,
˚
˚
como (X − A) ⊂ X − A, x ∈
/ (X − A) e portanto, pela Denição 2.30, x ∈ f r(A).
Reciprocamente, se A ⊂ f r(A), então ∀x ∈ A, x ∈
/ Å. Portanto, como Å ⊂ A, Å = ∅.
Demonstração. De fato, se
2.4. Conjuntos Fechados
Teorema 2.32.
Um conjunto
9
A
é aberto se, e somente se, tem intersecção vazia com sua
fronteira.
x ∈ f r(A) então x ∈
/ Å. Como A é aberto, Å = A e portanto
x∈
/ A. Reciprocamente, se A ∩ f r(A) = ∅, dado x ∈ A, x ∈
/ (X ˚
− A) e x ∈
/ f r(A). Assim
temos que x ∈ Å e, portanto, A = Å, ou seja, A é aberto.
Demonstração. De fato, se
2.4
Conjuntos Fechados
Denição 2.33.
plementar
X −F
Um subconjunto
X
é
fechado se seu com-
X se, e
x ∈ Ux ⊂ X − F ,
é um subconjunto fechado de um espaço topológico
se, para cada ponto
e
de um espaço topológico
é aberto.
Teorema 2.34. F
x ∈ Ux
F
x ∈ X−F
existir um aberto
Ux ,
com
somente
ou seja,
Ux ∩ F = ∅
Demonstração. De fato,
[
X −F =
Ux .
x ∈ X−F
Logo,
X −F
é uma união de abertos e assim,
X −F
é um conjunto aberto pois união de
F é fechado. Reciprocamente, seja F fechado. Assim, X − F
é aberto. Temos então que ∀ x ∈ X − F , existe Ux aberto em X − F tal que x ∈ Ux e
Ux ⊂ X − F , ou seja, x ∈ Ux e Ux ∩ F = ∅.
abertos é aberta. Portanto,
Exemplo 2.35.
O subconjunto
[a, b]
R\[a, b] = (−∞, a) ∪ (b, +∞)
Exemplo 2.36.
de
R
é fechado pois seu complementar
é aberto já que é uma união de intervalos abertos.
X = [−1, 1] e considere como abertos os subconjuntos de X que
ou não contém {0} ou contém (−1, 1). Temos, assim, que a coleção τ desses abertos
constitui uma topologia em X pois claramente ∅ e [−1, 1] são abertos e união arbitrária
e intersecção nita de abertos resulta em abertos. Os conjuntos {1}, {−1}, {−1, 1} e
qualquer outro que contém {0} são exemplos de conjuntos fechados. Com efeito, como
todos os subconjuntos que não contém {0} são abertos segue que seus complementares
são fechados, ou seja, todos os conjuntos que contém {0} são fechados, inclusive (−1, 1)
(portanto este é aberto e fechado). Como (−1, 1) é aberto por denição, segue que seu
complementar {−1, 1} é fechado. Ainda, como o conjunto [−1, 1) ⊃ (−1, 1) segue que este
é aberto e portanto seu complementar {1} é fechado. Analogamente os conjuntos [−1, 1],
(−1, 1] são abertos e portanto os conjuntos ∅ e {−1} são fechados.
Seja
Em qualquer espaço topológico
X, ∅
e
X
são simultaneamente conjuntos abertos e
fechados pois um é complementar do outro e ambos são abertos pelo ítem 1 da Denição
2.1.
Desse modo, podemos perceber que os conceitos de aberto" e fechado" não são
10
2. Espaços Topológicos
excludentes em topologia.
Em espaços topológicos, um conjunto pode ser, ao mesmo
tempo, aberto e fechado.
Uma outra situação que exemplica o mesmo fato é o caso
extremo de um espaço topológico discreto
X,
onde todo subconjunto de
X
é aberto e
fechado simultaneamente.
Exemplo 2.37.
A = R − {P } onde P ∈ R é um ponto arbitrário de R. Então
A = (−∞, P ) ∪ (P, +∞) é um subespaço de R, onde cada um desses intervalos é aberto
em A e também fechado, uma vez que ambos são abertos em R e um é o complementar
do outro em A.
Seja
O teorema abaixo mostra que podemos caracterizar uma topologia por meio dos seus
abertos.
Teorema 2.38.
Seja
X
um espaço topológico. Desse modo, as seguintes condições são
válidas:
1)
∅
e
X
são fechados.
2) Intersecção arbitrária de fechados é fechada.
3) União nita de fechados é fechada.
Demonstração.
1)
∅eX
são ambos abertos e ambos complementares um do outro em
X.
Portanto, ambos
são fechados.
2) Dada uma coleção de conjuntos fechados
X−
\
{Aα }α∈J ,
Aα =
α∈J
Como
X − Aα
é aberto para cada
[
temos que
(X − Aα ).
α∈J
α∈J
segue da Denição 2.33 que
S
(X − Aα ) também
α∈J
o é. Portando,
T
Aα
é fechada.
α∈J
3) Analogamente, se
Ai
for fechado para
X−
n
[
i = 1, 2, ..., n,
Ai =
i=1
Como
X − Ai
é aberto para
i = 1, 2, ..., n
n
\
considerando a igualdade
(X − Ai ).
i=1
(novamente pela Denição 2.33) e temos que
intersecção nita de abertos é aberta segue que
S
Ai
é fechada.
i=1
X , uma união innita de conjuntos fechados
não é necessariamente um conjunto fechado de X . Isto ocorre pois uma interseção de uma
Vale ressaltar que num espaço topológico
família innita de abertos pode não ser um aberto. Desse modo, o complementar de tal
união innita pode não ser aberta , ou seja, tal união pode não ser fechada.
2.4. Conjuntos Fechados
Teorema 2.39.
Y
Seja
11
um subespaço de
X.
somente se, é igual a intersecção de um conjunto fechado de
Demonstração. Com efeito, seja
A
A
Então um conjunto
um conjunto fechado em
X
é fechado em
com
Y.
Y
se, e
Y.
Temos então que o con-
Y −A é aberto em Y e pela Denição 2.17 existe um conjunto aberto U de X tal que
Y − A = U ∩ Y . Assim, o conjunto X − U é fechado em X e como A = (X − U ) ∩ Y segue
que A é uma intersecção de um conjunto fechado de X com Y . Reciprocamente, seja
A = F ∩ Y , onde F é um conjunto fechado em X . Assim, X − F é aberto em X e então
(X − F ) ∩ Y é aberto em Y novamente pela Denição 2.17. Como (X − F ) ∩ Y = Y − A,
segue que Y − A é aberto em Y e portanto A é fechado em Y .
junto
Dado um subespaço
chados em
Y
fechados em
Y
de um espaço topológico
são também fechados em
Y
Y
Seja
é fechado em
X
onde
B
X , nada nos garante que conjuntos fe-
Abaixo segue um critério para que os conjuntos
X.
um subespaço de um espaço topológico
então
A
Demonstração. De fato, seja
A = B ∩Y,
X.
sejam também fechados em
Teorema 2.40.
e
Y
é fechado em
A
X.
Como
Y
Y.
de
A,
Dado um subconjunto
denotado por
contendo
A,
A
A
é fechado em
Y
Segue do Teorema 2.39 que
X,
X.
é, por hipótese, fechado em
que intersecção arbitrária de fechados é fechada, segue que
Denição 2.41.
Se
X.
um conjunto fechado em
é fechado em
X.
A
é fechado em
de um espaço topológico
X,
e temos
denimos o
fecho
X
como sendo a intersecção de todos os conjuntos fechados de
A.
Observação 2.42. O fecho de um conjunto é sempre um conjunto fechado pois intersecção
arbitrária de conjuntos fechados resulta em um conjunto fechado.
Corolário 2.43.
se,
Um subconjunto
F
de um espaço topológico
X
é fechado se, e somente
F = F.
Demonstração. De fato, se
fechados de
X
que contém
F
F,
é fechado, então
F
pertence à família de subconjuntos
portanto a intersecção dessa família é o próprio
procamente, pela observação 2.42,
F
é fechado e portanto
F
F.
também o é.
Podemos nos perguntar, a partir da denição de fecho, se dado um conjunto
um espaço topológico
contendo
S.
em
X
seria o mesmo conjunto que
S
S
em
em um subespaço
Y
Esta pergunta é respondida no teorema a seguir.
Teorema 2.44.
Seja ainda
X, S
Reci-
A
Seja
Y
o fecho de
X e seja A um subconjunto
A em Y é igual a A ∩ Y .
um subespaço topológico de
A
em
X.
Então o fecho de
de
Y.
12
2. Espaços Topológicos
Demonstração. Seja
AY
A
o fecho de
em
Y.
A é fechado em X , temos
A ⊂ A e A ⊂ Y segue que
Como o conjunto
A ∩ Y é fechado em Y pelo Teorema 2.39. Ainda, como
A ∩ Y contém A, e por denição de fecho, como AY é igual a
conjuntos fechados de Y contendo A, segue que AY ⊂ (A ∩ Y ).
que
Do mesmo modo, como
AY
é fechado em
Y
intersecção de todos os
pela Observação 2.42, segue pelo Teorema
AY = F ∩ Y para algum conjunto fechado F de X . Assim, F é um conjunto
fechado de X contendo A e como A é a intersecção de todos os conjuntos fechados de X
contendo A segue que A ⊂ F . Portanto, (A ∩ Y ) ⊂ (F ∩ Y ) = AY .
2.39 que
Teorema 2.45.
A
Seja
um subespaço de um espaço topológico
somente se, cada conjunto aberto
U
contendo
x
intersecta
Demonstração. Equivalentemente, basta mostrarmos que
um conjunto aberto
U
x
contendo
que não intersecta
A.
X.
Então
x ∈ A
se, e
A.
x∈
/ A
se, e somente se, existe
De fato, se
x∈
/ A,
o conjunto
U = X − A é aberto, contém x e não intersecta A. Reciprocamente, se existe um conjunto
aberto U contendo x que não intersecta A, então X − U é um conjunto fechado contendo
/ A.
A. Pela denição do fecho A, o conjunto X − U deve conter A. Portanto, x ∈
2.5
Bases para uma Topologia
X,
Até então, sempre que falamos sobre uma topologia em algum conjunto
tivemos
que especicar todos os abertos dessa topologia, sem possuir nenhuma ferramenta capaz
de nos dizer quem eram seus abertos a não ser especicando-os, algo que na maioria
das vezes é bem difícil de se fazer. Nesta seção, será mostrada uma maneira de denir
uma topologia
τ
relativamente menor que a
Denição 2.46.
coleção
B
Xa
coleção τ .
em um conjunto
Seja
X
partir de uma dada coleção de subconjuntos de
um conjunto, uma
de subconjuntos de
X,
base
para uma topologia
τ
em
X
X
é uma
os quais são chamados de elementos básicos, de tal
modo que:
1) Para cada
2) Se
x
básico
x ∈ X,
existe pelo menos um elemento básico
pertence à intersecção de dois elementos básicos
B3
contendo
Denição 2.47.
x
de tal modo que
Dada uma base
B
U ⊂X
B ⊂ U.
tal modo que
x∈B
Observação 2.48.
tence a
τ.
e
e
em
B2
B
contendo
x.
então existe um elemento
B3 ⊂ B1 ∩ B2 .
para uma topologia
logia τ gerada por B declarando como abertos de X
da seguinte propriedade:
B1
B
e para cada
x ∈ U,
τ
em
X,
nós denimos a
os subconjuntos de
X
existe um elemento básico
Segue diretamente da Denição 2.47 que cada elemento
topo-
que gozam
B∈B
B∈B
de
per-
2.5. Bases para uma Topologia
13
Agora, vamos checar que a coleção
U
τ
gerada por
B
é de fato uma topologia em
X.
Se
é um conjunto vazio, a condição para um conjunto ser aberto é satisfeita por vacuidade.
∅ ∈ τ . Além disso, X também pertence a τ pois, para todo x ∈ X
existe elemento básico B em B contendo x e contido em X pelo item 1) da Denição 2.46.
Desse modo, o conjunto
Desse modo, a condição 1. da Denição 2.1 é satisfeita.
Ainda, considerando uma família indexada
pertence a
τ.
De fato, dado
x ∈ U,
{Uα }α∈J
existe um índice
α
tal que
x∈
τ, U =
S
Uα
α∈J
Uα . Como Uα é aberto
de elementos de
X segue que existe um elemento básico B em B de tal modo que x ∈ B ⊂ Uα . Assim,
x ∈ B ⊂ Uα ⊂ U , e portanto, pela Denição 2.47, U pertence a τ , ou seja, a condição 2.
em
da Denição 2.1 é satisfeita.
U1 e U2 pertencentes a τ , temos que U1 ∩U2 pertence
a τ . De fato, dado x ∈ U1 ∩ U2 temos que, como U1 é aberto em X , existe B1 em B tal
que x ∈ B1 ⊂ U1 e como U2 também é aberto em X , existe B2 em B tal que x ∈ B2 ⊂ U2 .
Como x ∈ B1 ∩ B2 segue do item 2) da Denição 2.46 que existe B3 em B com x ∈ B3 .
Desse modo, x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 ⊂ U1 ∩ U2 . Portanto, U1 ∩ U2 é aberto em X .
Finalmente, mostremos por indução que dados os abertos U1 , U2 , ..., Un , U1 ∩U2 ∩...∩Un
também é aberto em X . De fato, vale para n = 1, pois U1 ∈ τ por hipótese. Vamos então
supor que vale para n − 1 e mostrar que vale para n. Como
Agora, considerando os elementos
(U1 ∩ U2 ∩ ... ∩ Un ) = (U1 ∩ U2 ∩ ... ∩ Un−1 ) ∩ Un
(U1 ∩ U2 ∩ ... ∩ Un−1 ) é aberto, pelo resultado provado anteri(U1 ∩ U2 ∩ ... ∩ Un ) é aberto pois é uma intersecção de dois abertos.
e temos por hipótese que
ormente temos que
Assim, a condição 3. da Denição 2.1 é satisfeita. Portanto, está checado que de fato a
coleção
τ
em
X
gerada pela base
B
é de fato uma topologia em
X.
Exemplo 2.49. Seja R o conjunto dos números reais e seja B = {(a, b) | a, b ∈ Q, a < b}.
Temos que a coleção
existem
a, b ∈ Q
B
é uma base para uma topologia em
tais que
a < x < b,
uma vez que
Q
R.
De fato, para todo
é denso em
R;
x∈R
portanto, a primeira
(a, b) e (c, d) em
B, com a < c e b < d, sem perda de generalidade, se x ∈ (a, b)∩(c, d) então x ∈ (c, b) ∈ B,
ou seja, a segunda condição da Denição 2.46 também é satisfeita. Portanto, B é base
para uma topologia em X .
condição da Denição 2.46 é satisfeita. Ainda, dados elementos quaisquer
Lema 2.50.
Seja
X
um conjunto e
B
uma base para uma topologia
igual a coleção de todas as uniões de elementos de
τ
pela Observação 2.48.
Desse modo, como
dessa coleção de elementos de
X.
Então
τ
é
B,
estes também pertencem
é uma topologia, segue que as uniões
também pertencem a
τ,
ou seja, a coleção de todas as
B está contida em τ . Reciprocamente, dado U ∈ τ , pela Denição
cada x ∈ U , existe Bx de B de tal modo que x ∈ Bx ⊂ U . Assim,
uniões de elementos de
2.47 temos que para
B
τ
em
B.
Demonstração. De fato, dada uma coleção de elementos de
a
τ
14
2. Espaços Topológicos
U = Ux∈U Bx ,
ou seja,
τ
está contido na coleção de todas as uniões de elementos de
B.
Portanto, pela dupla inclusão, obtemos o desejado.
Na verdade, o que este lema nos diz é que cada aberto em um conjunto
X
pode ser
escrito como uma união de elementos básicos.
Exemplo 2.51.
X
Seja
um conjunto qualquer.
B =
x ∈ X,
Temos então que a coleção
{{x} | x ∈ X} é uma base para a Topologia Discreta em X . De fato, para todo
x ∈ {x} ∈ B, satisfazendo assim, a primeira condição da Denição 2.46. Além disso,
dados quaisquer {x1 } e {x2 } em B, {x1 } ∩ {x2 } = ∅, de forma que a segunda condição
da Denição 2.46 é satisfeita por vacuidade. Portanto, B é base para uma topologia τ
em X . Como a topologia τ é igual a coleção de todas as uniões de elementos de B, segue
que τ é de fato a topologia discreta em X .
Exemplo 2.52.
M
M
B formada pelas bolas abertas
de raio racional r em
é uma base para a topologia de M . De fato, para todo x ∈ M ,
x ∈ B(x, r), qualquer que seja r > 0. Além disso, se y ∈ B(x, r1 ) ∩ B(x, r2 ) então
y ∈ B(x, min{r1 , r2 }) ⊂ B(x, max{r1 , r2 }). Portanto, B é uma base para uma topologia
em M .
Seja
um espaço métrico. A coleção
Até então nós vimos como, a partir de uma base, gerar uma topologia em um dado
conjunto
X.
O próximo resultado nos mostrará um caminho inverso, ou seja, como
encontrar os elementos básicos de uma topologia sendo esta conhecida.
Lema 2.53.
X
C é uma coleção de abertos de
X de tal forma que, para cada aberto U em X e cada x ∈ U exista um elemento C de C
tal que x ∈ C ⊂ U . Então C é uma base para a topologia em X .
Seja
um espaço topológico. Suponha que
Demonstração. Mostremos inicialmente que
C
é uma base para uma topologia em
De
C ∈ C tal que
x ∈ C ⊂ X . Além disso, se x ∈ C1 ∩ C2 , com C1 , C2 ∈ C, temos que, como C1 e C2 são
abertos de X , C1 ∩ C2 é também aberto em X e assim, pela hipótese existe C3 em C tal
que x ∈ C3 ⊂ C1 ∩ C2 .
fato, como
X
é aberto, pela hipótese temos que para cada
x∈X
X.
existe
X.
Desse modo, seja τ a coleção de todos os abertos de X e seja τ a topologia gerada por C.
Se U ∈ τ e x ∈ U , temos por hipótese que existe um elemento C em C de tal forma que
x ∈ C ⊂ U e assim U ∈ τ 0 pela Denição 2.47. Reciprocamente, se W ∈ τ 0 temos que W
é igual a união de elementos de C pelo Lema 2.50. Como cada elemento de C pertence a
τ e τ é uma topologia, W ∈ τ .
Assim, resta-nos mostrar que a topologia gerada por
C
é, de fato, a topologia de
0
Diante do exposto, podemos nos perguntar se é possível comparar duas topologias em
um mesmo conjunto
X
conhecendo apenas suas bases. O resultado a seguir nos mostra
que é sim possível e como é possível.
2.6. Sequências em Espaços Topológicos
Lema 2.54.
X.
conjunto
1)
τ0
B
Sejam
e
B0
bases para as topologias
é mais na que
0
B ∈B
e
τ 0,
respectivamente, em um
τ.
x ∈ X e cada elemento
0
que x ∈ B ⊂ B .
tal
τ
Então são equivalentes:
2) Para cada
0
15
B∈B
básico
contendo
x
existe um elemento básico
1) ⇒ 2) Dado x ∈ X e B ∈ B com x ∈ B temos que, como B ∈ τ pela
0
0
0
0
Observação 2.48 e τ ⊂ τ por hipótese, B ∈ τ . Assim, como τ é gerado por B temos
0
0
0
que existe um elemento B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ B pela Denição 2.47.
Demonstração.
2) ⇒ 1)
U ∈ τ então U ∈ τ 0 , pela Denição
U ∈ τ e x ∈ U existe um elemento
Nosso objetivo consite em mostrar que se
B gera a topologia τ temos que, dado
básico B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ U . Pela condição 2), temos que existe um elemento básico
B 0 ∈ B0 tal que x ∈ B 0 ⊂ B . Então temos que x ∈ B 0 ⊂ B ⊂ U e portanto, U ∈ τ 0 .
2.14. Como
sub-base S para uma topologia em X é uma coleção de subconcuja união é igual a X . A topologia gerada pela sub-base S é denida
Denição 2.55.
juntos de
X
como a coleção
τ
Uma
de todas as uniões de intersecções nitas de elementos de
Vamos checar agora que a coleção
Temos que a coleção
B
para uma topologia em
τ
denida acima é de fato uma topologia em
de todas as intersecções nitas de elementos de
X.
De fato, dado
portanto, pertence a algum elemento de
S.
x ∈ X, x
S
X.
é uma base
pertence a algum elemento de
S
e
B.
B1 e B2 elementos de B, temos que B1 = S1 ∩ S2 ∩ ... ∩ Sn ,
0
0
0
0
0
0
onde S1 , S2 , ..., Sn ∈ S e B2 = S1 ∩ S2 ∩ ... ∩ Sm , onde S1 , S2 , ..., Sm ∈ S, e então,
0
que ainda consiste de uma intersecção
B1 ∩ B2 = (S1 ∩ S2 ∩ ... ∩ Sn ) ∩ S10 ∩ S20 ∩ ... ∩ Sm
nita de elementos de S. Desse modo, B1 ∩ B2 ∈ B e portanto B é base para uma
topologia em X .
Além disso, dados
Segue então, pelo Lema 2.50 que a coleção
uma topologia em
2.6
τ
de todas as uniões de elementos de
B
é
X.
Sequências em Espaços Topológicos
Denição 2.56.
Uma
família
num
conjunto
X
com
{1, 2, ..., n, ...} dos inteiros positivos é chamada uma
X . Uma tal sequência é uma função x : Z+ → X ,
x = (x1 , x2 , ..., xn , ...), sendo o valor da função x no
xn e chamado de n-ésimo termo da sequência x.
Observação 2.57.
positivos.
{A1 , A2 , ...} uma família
cartesiano A1 × A2 × ... é
Seja
O produto
índice
no
conjunto
Z+ =
sequência de elementos de
x = (xn ) ou
n ∈ Z+ indicado
indicada por
por
elemento
por
de conjuntos indexada nos inteiros
o conjunto de todas as sequências
16
2. Espaços Topológicos
x : Z+ → A1 × A2 × ... tais que x(i) = xi para todo i ∈ Z+ . Por exemplo, o proω
duto innito contável R , onde ω denota a cardinalidade de Z+ , é o conjunto de todas as
sequências (x1 , x2 , ...).
Denição 2.58.
converge
(xn ) uma sequência num espaço topológico X . Diremos que (xn )
ponto x ∈ X , e escrevemos lim xn = x, quando, para todo aberto A
x for possível obter um índice n0 ∈ Z+ tal que n > n0 implique em
Seja
para o
contendo o ponto
xn ∈ A.
O exemplo abaixo nos mostra que em espaços topológicos gerais a unicidade do limite
nem sempre é válida.
Exemplo 2.59.
X = {a, b, c} e τ = {∅, {a}, X} uma topologia em X . Considere a
sequência (xn ) onde xn = a para todo n ∈ Z+ . Segue então que lim xn = a e lim xn = b.
De fato, lim xn = b porque dado um aberto A com b ∈ A, A = X e tomando n0 = 1 segue
que se n > n0 , xn ∈ A. Também, lim xn = a pois dado um aberto A contendo a, A = {a}
ou A = X e, em qualquer caso, como xn = a para todo n ∈ Z+ , segue que dado n0 = 1,
se n > n0 então xn ∈ A. Portanto a sequência converge para dois valores distintos.
Seja
Contudo, se o espaço topológico for de Haursdor temos a unicidade do limite assegurada, como mostra o seguine resultado :
Teorema 2.60.
lim(xn ) = a
Seja
X
um espaço de Hausdor e
(xn )
uma sequência em
X.
Se
temos que tal limite é único.
lim(xn ) = b, com a 6= b.
Como X é de Hausdor temos que existem conjuntos abertos A e B de X com a ∈ A,
b ∈ B e A ∩ B = ∅. Como lim(xn ) = a, existe n0 ∈ Z+ tal que, se n > n0 então
xn ∈ A. Ainda, como lim(xn ) = b, existe n1 ∈ Z+ tal que, se n > n1 então xn ∈ B . Tome
n2 = max{no , n1 }. Assim, se n > n2 temos que xn ∈ A e xn ∈ B , contradizendo o fato de
A ∩ B = ∅. Portanto, o limite é único.
Demonstração. Seja
lim(xn ) = a.
Suponha, por absurdo que
Em espaços métricos, as sequências asseguram resultados muito importantes.
Um
espaço interessante em que muitos resultados prevalecem consiste dos espaços métricos
completos. Falaremos brevemente desses espaços.
Denição 2.61.
uma
Seja
(X, d)
sequência de Cauchy em (X, d) se dado > 0 existe
d(xn , xm ) < Denição 2.62.
de Cauchy em
X
(xn ) de pontos
n0 ∈ N tal que
um espaço métrico. Uma sequência
quaisquer que sejam
Dizemos que um espaço métrico
de
é
n, m ≥ n0
(X, d)
é
completo se toda sequência
for convergente.
Exemplo 2.63. Seja P = {1, 1/2, ..., 1/n, ...} com a métrica usual d(x, y) = |x−y|.
P
X
não é completo. De fato, considere a sequência
de Cauchy mas não é convergênte em
P.
xn = 1/n.
Então
Temos que tal sequência é
2.7. Continuidade em Espaços Topológicos
2.7
17
Continuidade em Espaços Topológicos
A continuidade de funções é, sem dúvidas, um dos conceitos mais importantantes em
matemática. Nesta seção poderemos perceber que o conceito de função contínua pode ser
ampliado para espaços topológicos.
Denição 2.64. Sejam X e Y
de um espaço topológico
f −1 (B)
inversa
X
espaços topológicos. Dizemos que uma função
em um espaço topológico
de todo conjunto aberto
B⊂Y
Y
é
contínua
f :X →Y,
quando a imagem
for um conjunto aberto em
X.
Podemos perceber que a continuidade de funções não depende apenas da função
mas sim das topologias especicadas no domínio e na imagem de
função
e
Y.
f :X→Y
f.
Desse modo, uma
pode ser contínua ou não dependendo das topologias denidas em
Assim, podemos dizer que
Observação 2.65.
f
f,
é contínua relativamente às topologias em
X
e
X
Y.
f : X → Y . Se a
topologia em Y é dada por uma base B, então para provar a continuidade de f é suciente
Sejam
X
e
Y
espaços topológicos e uma função
mostrar que a imagem inversa de cada elemento básico é aberta. De fato, um conjunto
aberto arbitrário
V
de
Y
pode ser escrito como uma união de elementos básicos
V =
[
Bα .
α∈J
Então
f −1 (V ) =
[
f −1 (Bα )
α∈J
e assim
f −1 (V )
é aberta se cada conjunto
f −1 (Bα )
for aberto.
Observe que, como os intervalos abertos da reta real contituem uma base para uma
R, quando dizemos que f : R → R é contínua em p ∈ R se,
e somente se, para todo > 0, existe δ > 0 tal que, para todo x no domínio de f ,
x ∈ (p − δ, p + δ) implica em f (x) ∈ (f (p) − , f (p) + ), na verdade nada mais estamos
topologia (a usual) em
fazendo do que mostrar que a imagem inversa de cada elemento básico da topologia usual
da reta é aberta em
R.
Exemplo 2.66. Dado um espaço topológico X
dada pela equação
Exemplo 2.67.
f (x) = x
temos que a função identidade
f :X→X
é claramente contínua.
X e Y espaços topológicos. A função constante f : X → Y dada
por f (x) = a para todo x ∈ X (a ∈ Y f ixado) é contínua. De fato, tomando um aberto U
−1
de Y temos que se a ∈ U então f
(U ) = X é aberto em X e se a ∈
/ U então f −1 (U ) = ∅
também é aberto em X .
Sejam
Propriedades:
18
2. Espaços Topológicos
1. Decorre automaticamente da denição que dado qualquer espaço topológico
nido da topologia discreta e qualquer espaço topológico
qualquer,
f :X→Y
Y
X
mu-
munido de uma topologia
é contínua.
τ e A ⊂ X com a topologia de subespaço τ . Então a função inclusão i : A → X dada pela equação
i(x) = x é contínua. De fato, tome B ∈ τ . Então i−1 (B) = {x ∈ A | i(x) ∈ B} =
{x ∈ A | x ∈ B} = A ∩ B ∈ τ 0 .
2. Seja
X
um espaço topológico munido da topologia
0
(X, τ ), (Y, τ 0 ) e (Z, τ 00 ) espaços topológicos. Sejam ainda f : X → Y e
g : Y → Z funções contínuas. Então g ◦ f : X → Z é contínua. Com efeito,
00
−1
−1 −1
tome U ∈ τ . Temos que (g ◦ f ) (U ) = f
(g (U )). Como g é contínua por
−1
hipótese segue que g
(U ) ∈ τ 0 . Assim, como f também é contínua, segue que
f −1 (g −1 (U )) ∈ τ , como queríamos.
3. Sejam
f : X → Y uma função contínua. Para todo
A ⊂ X com a topologia de subespaço, a função fA : A → Y é contínua uma vez que
fA = f ◦ i é uma composição de funções contínuas.
4. Sejam
X
e
Y
espaços topológicos e
f : X → Y contínua com f (X) ⊂ W ⊂ Y , W
com a topologia de subespaço. Considere f : X → W com f (x) = f (x) para todo
x ∈ X . Então f : X → W é contínua. De fato, dado um aberto B de W temos
−1
que B = W ∩ C para algum aberto C de Y . Assim, f
(B) = f −1 (W ∩ C) =
f −1 (W ) ∩ f −1 (C). Como f é contínua, segue que f −1 (C) é aberta em X e como
−1
f (X) ⊂ W segue que f −1 (W ) = X . Portanto, f −1 (B) = f (B) é aberta em X .
5. Sejam
X, Y
espaços topológicos e
Denição 2.68. Sejam X e Y
Se a função
f :X →Y
homeomorsmo.
Observação 2.69.
que
f (U )
espaços topológicos e seja
e sua inversa
Homeomorsmo, dito de outro modo, é uma bijeção
é aberto se, e somente se,
Exemplo 2.70.
uma função bijetora.
: Y → X são contínuas, então f
que X e Y são homeomorfos.
f
Neste caso, dizemos
f :X→Y
−1
U
é chamada
f :X →Y
tal
é aberto.
f : R → R
f (x) = 3x + 1 é um homeomorsmo.
1
Denindo g : R → R pela equação g(y) = (y − 1), temos que f (g(y)) = y e g(f (x)) = x
3
−1
para todo número real x e y . Segue que f é bijetora e que g = f
. A continuidade de f
e g é um resultado conhecido do cálculo.
2.8
A função
dada por
Espaços Conexos
Denição 2.71.
Seja
X
um espaço topológico.
conjuntos abertos não vazios disjuntos de
não existir uma cisão de
X.
X
Uma
cisão
cuja união é
X.
de
X
é um par
O espaço
X
é
U, V
de
conexo se
2.8. Espaços Conexos
19
Uma outra denição de espaço conexo equivalente a esta é a seguinte:
Um espaço
X
é conexo se, e somente se, os únicos conjuntos de
neamente abertos e fechados são o
∅
e o próprio
De fato, se um conjunto não vazio
A(X
X
que são simulta-
X.
for simultaneamente aberto e fechado, o
X − A também é aberto e fechado e assim A e X − A constituem uma
vez que X = A ∪ (X − A).
conjunto não vazio
cisão de
X
uma
Exemplo 2.72. Seja X = {a, b, c} e seja τ = {∅, X, {a}, {b, c}} a topologia em X .
X
que
não é conexo porque os conjuntos
{a}
e
{b, c}
constituem uma cisão de
Exemplo 2.73. Seja X um conjunto qualquer com a topologia caótica.
X
pois
Então
Temos
X.
X
é conexo
não possui dois abertos não vazios.
O resultado abaixo traz como consequência a conexidade do conjunto
R
dos números
reais.
Teorema 2.74.
Todo intervalo da reta é um espaço conexo.
a e b (limitado ou ilimitado). Seja S ⊂ I um conjunto simultaneamente aberto e fechado em I , S 6= ∅. Mostremos
então que S = I e o resultado se cumprirá. Como, por hipótese, S é aberto em I , podemos
0
tomar um ponto c ∈ S no interior do intervalo I . Seja b = sup{t ∈ I | [c, t) ⊂ S}. Daí
0
0
0
0
temos que c < b e armamos que [c, b ) ⊂ S . De fato, se x ∈ [c, b ), c 6 x < b e, pela
denição de supremo temos que existe t ∈ I com x < t e [c, t) ⊂ S . Temos ainda que
b0 = b porque se não fosse, teríamos b0 < b, donde b0 ∈ I e como S é fechado em I , b0 ∈ S ,
0
0
ou seja, [c, b ] ⊂ S . Como S é também aberto em I , existiria > 0 tal que [c, b + ) ⊂ S ,
0
0
contradizendo o fato de b ser supremo. Logo, b = b e [c, b) ⊂ S . Analogamente, con0
0
siderando o conjunto a = inf {t ∈ I | (t, c] ⊂ S} temos a = a e o conjunto (a, c] ⊂ S .
Portanto, (a, b) ⊂ S . Como S é fechado em I , temos que (a, b) em I , que é o próprio I ,
está contido em S . Portanto, S = I como queríamos.
Demonstração. Seja
Teorema 2.75.
se
Y
I
C e D formam uma cisão de um espaço topológico X
X , então Y está inteiramente contido em C ou em D.
Se os conjuntos
é um subespaço conexo de
Demonstração. Como
X.
um intervalo qualquer da reta de extremos
C
e
D
formam uma cisão de
C∩Y
Desse modo, os conjuntos
e
D∩Y
conjuntos são disjuntos e sua união resulta em
eles constituem uma cisão de
Y,
Y.
Teorema 2.76.
um espaço topológico e
A⊂B⊂A
então
B
ou em
é conexo.
Y.
C
e
D
são abertos em
Temos que esses dois
Desse modo, se ambos forem não vazios
contrariando o fato de
C
X
segue que
são abertos em
inteiramente contido em
Seja
X,
e
Y
ser conexo. Portanto,
Y
está
D.
A⊂X
um subespaço conexo de
X.
Se
20
2. Espaços Topológicos
A ⊂ B ⊂ A. Vamos supor, por absurdo, que B não
é conexo. Assim, existem abertos C, D não vazios e disjuntos tais que B = C ∪ D . Segue
do Teorema 2.75 que o conjunto A está inteiramente contido em C ou D . Suponha, sem
perda de generalidade, que A ⊂ C . Então A ⊂ C . Como C e D são disjuntos segue que
B não pode interseccionar D, o que é uma contradição com D ser um subconjunto não
vazio de B . Portanto B é conexo.
Demonstração. Seja
A
conexo e seja
Observação 2.77. Segue do teorema acima que se A é conexo, então A é conexo também.
Teorema 2.78.
A união de uma coleção de subespaços conexos de
X
que tem um ponto
em comum é conexa.
Demonstração. Seja
{Aα }
uma coleção de subespaços conexos de um espaço
T
Aα . Armamos que Y =
Então Y = C ∪ D é uma cisão
X
e seja
p
S
Aα é conexo. Com efeito, suponha que Y não
é conexo.
de Y . Desse modo, o ponto p está em C ou em
D. Suponhamos sem perda de generalidade que p ∈ C . Como cada Aα é conexo temos
que ele deve estar inteiramente em C ou em D e não pode estar em D porque ele contém
S
o ponto p de C . Assim, Aα ⊂ C para cada α e então
Aα ⊂ C contradizendo o fato de
S
D 6= ∅. Portanto, Aα é conexo.
um ponto de
O teorema a seguir nos mostra que a continuidade preserva a conexidade.
Teorema 2.79. Sejam X e Y
X
e sobrejetora. Então, se
dois espaços topológicos e
é conexo,
Y
f :X→Y
uma função contínua
também será.
Y = A ∪ B com
A e B conjuntos abertos, disjuntos e não vazios de Y . Então temos que f −1 (Y ) = X =
f −1 (A) ∪ f −1 (B), onde f −1 (A) e f −1 (B) são abertos em X porque f é contínua. Como
f é função e A ∩ B = ∅ temos que f −1 (A) ∩ f −1 (B) = ∅. Ainda, como A 6= ∅, B 6= ∅ e
f é sobrejetora, temos que f −1 (A) 6= ∅ e f −1 (B) 6= ∅, ou seja, f −1 (A) ∪ f −1 (B) constitui
uma cisão de X , contrariando o fato de X ser conexo. Portanto, Y é conexo.
Demonstração. Suponha, por contradição que
Corolário 2.80.
somente se,
Y
Se
X
e
Y
Y
não é conexo, ou seja,
são espaços topológicos homeomorfos então
X
é conexo se, e
é conexo.
Demonstração. A demonstração deste corolário segue diretamente do Teorema 2.79.
2.9
Espaços Compactos
Na reta real munida da métrica usual, dizemos que um conjunto é compacto se ele é
limitado e fechado. Nos espaços topológicos onde não temos a ideia de medir
distância
não é possível denir conjuntos compactos dessa maneira. É disso que esta seção tratará.
Nesta será denido o conceito de conjunto compacto em espaços topológicos quaisquer e
algumas propriedades destes.
2.9. Espaços Compactos
21
Denição 2.81.
Uma coleção
Denição 2.82.
Um espaço
A
de subconjuntos de um espaço topológico
X
é uma
co-
bertura de X se a união dos elementos de A for igual a X . A coleção A é chamada uma
cobertura aberta de X se todos os seus elementos são subcojuntos abertos de X .
X
subcoleção nita que ainda cobre
Exemplo 2.83.
Seja
(X, τ )
é compacto se toda cobertura aberta de
um espaço topológico qualquer.
X é compacto.
se X é nito, X
X,
Desse modo, como
τ
é compacto.
Seja
X
Se
τ
é nita então
X
é
τ é nita, segue que essa
τ ⊂ ℘(X), se X for nito,
como
cobertura é nita e assim
Exemplo 2.84.
possui uma
X.
compacto. De fato, dada qualquer cobertura aberta de
também será, ou seja,
X
um espaço topológico com a topologia discreta, com
X
innito.
S
{x} uma cobertura aberta de X . Tex∈X
mos que essa cobertura não admite subcobertura nita. De fato, se extraírmos qualquer
Temos que
X
não é compacto. De fato, seja
elemento da coleção
S
{x}
esta não cobrirá
X.
X
Portanto,
não é compacto.
x∈X
Denição 2.85. Um subconjunto S de um espaço topológico X
é um
subconjunto com-
pacto quando S , com a topologia de subespaço de X é um espaço compacto.
Denição 2.86.
Dizemos que um subconjunto
S
de um espaço topológico
mente compacto quando S é um subconjunto compacto de X .
X
é
relativa-
Há um outro modo de caracterizar espaços compactos, como mostraremos posteriormente. Os resultados abaixo são necessários para esse m.
Denição 2.87.
Uma coleção
C
X tem a propriedade da intersec{C1 , C2 , ..., Cn } de C , a intersecção C1 ∩ ... ∩ Cn
de subconjuntos de
ção nita se para cada subcoleção nita
é não-vazia.
Propriedades:
Dada uma coleção
A
de subconjuntos de
X,
seja
C = {X − A | A ∈ A}
a coleção de
seus complementares. Então temos os seguintes resultados:
1.
A
C é uma coleção de conjuntos
fechados. De fato, se Aα ∈ A é aberto, cada X − Aα ∈ C é fechado por denição.
Analogamente, se cada X − Aα ∈ C é fechado, cada Aα ∈ A é aberto.
é uma coleção de conjuntos abertos se, e só se,
2. A coleção
C
A
cobre
X
se, e somente se, a intersecção
A cobre X
T
S
C=
(X − Aα ) = X − (
Aα ) = ∅.
é vazia. Com efeito, se a coleção
assim,
α∈J
C∈C
então X
C
=
de todos os elementos de
S
Aα ,
sendo
Aα ∈ A
e
α∈J
α∈J
{A1 , A2 , ..., An } de A cobre X
correspondentes Ci = X − Ai de C
3. Uma subcoleção nita
dos elementos
T
propriedade é análoga à do item anterior.
se, e somente se, a intersecção
é vazia.
A vericação desta
22
2. Espaços Topológicos
O próximo teorema caracteriza conjuntos compactos através de seus subconjuntos
fechados.
Teorema 2.88.
Seja
para cada coleção
a intersecção
T
C
C
X
um espaço topológico. Então
de conjuntos fechados em
de todos os elementos de
X
é compacto se, e somente se,
X com a propriedade
C é não vazia.
da intersecção nita,
C∈C
X é compacto equivale a dizer que dada qualquer
coleção A de conjuntos abertos de X , se A cobre X , então alguma subcoleção nita de
A cobre X . Essa sentença equivale a dizer que dada qualquer coleção A de conjuntos
abertos, se nenhuma subcoleção nita de A cobre X , então A não cobre X . Seja C a
coleção {X − A | A ∈ A}. Aplicando as propriedades 1, 2 e 3 temos que esta sentença
equivale a seguinte: dada qualquer coleção C de conjuntos fechados, se cada intersecção
nita de elementos de C é não vazia, então a intersecção de todos os elementos de C é não
Demonstração. Pela denição, dizer que
vazia, como queríamos.
Podemos, então nos perguntar agora se um conjunto compacto é sempre fechado, assim
como o é na reta real com a métrica usual. O exemplo a seguir nos mostra que em espaços
topológicos essa armação pode não ser verídica.
Exemplo 2.89.
Seja
X = {a, b, c}
com a topologia caótica
τ = {∅, X}.
{a} não é fechado pois seu complementar {b, c} não é
nito, {a} é compacto. Desse modo, um conjunto compacto
Temos que o
conjunto
aberto, entretanto, como
τ
nem sempre é fechado.
é
O resultado abaixo nos dá uma condição suciente para um conjunto compacto ser
fechado.
Teorema 2.90.
Se
(X, τ )
é um espaço de Hausdor e
K ⊂X
é compacto, então
K
é
fechado.
Demonstração. Para mostrarmos que
K é fechado, basta mostrarmos que X −K é aberto.
X é de Hausdor, dado x ∈ X , existem Ux , Vx ∈ τ ,
a ∈ X − K . Como
com x ∈ Ux , a ∈ Vx e Ux ∩ Vx = ∅.
Segue assim, que a coleção {Ux }x∈K é uma cobertura aberta de K por abertos de
X . Como K é compacto, existem x1 , x2 , ..., xn tais que K ⊂ Ux1 ∪ Ux2 ∪ Ux3 ∪ ... ∪ Uxn .
Armamos então que a ∈ Vx1 ∩ Vx2 ∩ Vx3 ∩ ... ∩ Vxn ⊂ X − K . De fato, suponha b ∈
Vx1 ∩ Vx2 ∩ Vx3 ∩ ... ∩ Vxn e b ∈
/ X − K , ou seja, b ∈ K . Então b ∈ Uxl para algum xl
em {x1 , ..., xn }. Mas, b ∈ Vxi , para todo i = 1, ..., n, portanto, b ∈ Vxl , o que é uma
contradição. Portanto, X − K é aberto.
Desse modo, seja
Teorema 2.91.
Todo subconjunto fechado
o conjunto
F
S
de um espaço compacto
X
é compacto.
Uλ uma cobertura aberta de F por abertos Uλ ⊂ X . Como
λ∈L
é fechado segue que o seu complementar X − F é aberto em X . Assim,
Demonstração. Seja
F ⊂
F
2.9. Espaços Compactos
23
S
X = F ∪ (X − F ) ⊂
Uλ ∪ (X − F ).
λ∈L
S
X =
Uλ ∪ (X − F ). Ainda, como X é
Uλ
Como cada
é aberto de
compacto, existem
X
segue que
λ1 , ..., λr ∈ L
tais que
λ∈L
X = Aλ1 ∪ ... ∪ Aλr ∪ (X − F ). Daí, F ⊂ Aλ1 ∪ ... ∪ Aλr ∪ (X − F ) e como F ∩ (X − F ) = ∅
segue que F ⊂ Aλ1 ∪ ... ∪ Aλr . Portanto, F é compacto.
Temos ainda que a compacidade, assim como a conexidade é preservada por funções
contínuas, como diz o próximo teorema.
Teorema 2.92.
tora. Então, se
Sejam
X
X
e
Y
espaços topológicos e
Y
S
é compacto,
Demonstração. Suponha que
f :X→Y
função contínua sobreje-
é compacto.
Aλ
seja uma cobertura aberta de
Y.
Então,
λ∈L
!
X = f −1 (Y ) = f −1
[
λ∈L
Como
f
é contínua, cada
f −1 (Aλ )
Aλ
=
[
f −1 (Aλ )
λ∈L
é aberto e portanto
S
f −1 (Aλ )
é uma cobertura
λ∈L
aberta de
f
−1
n
S
X.
Se
X
for compacto, existem
Aλi e assim, como
i=1
como queríamos demonstrar.
Corolário 2.93.
Se
se, e somente se,
Y
X
e
Y
f
é sobrejetora,
n
S
X =
f −1 (Aλi ) =
i=1
n
n
S
S
−1
Y = f (X) = f f
Aλi
=
Aλi ,
λ1 , λ2 , ..., λn
tais que
i=1
são espaços topológicos homeomorfos, então
i=1
X
é compacto
é compacto.
Demonstração. A demonstração deste corolário segue diretamente do Teorema 2.92.
24
2. Espaços Topológicos
25
Capítulo 3
Topologias em Produtos Cartesianos
3.1
A Topologia Produto em
Se tivermos dois espaços topológicos
X
e
X ×Y
Y
podemos nos perguntar se é possível
denir uma topologia no produto de um pelo outro através de suas topologias individuais.
A denição que segue nos mostra que é possível denir uma base para uma topologia no
produto de dois espaços topológicos a partir das topologias de cada um.
Denição 3.1.
Sejam
X
e
Y
espaços topológicos. A
B
topologia que tem como base uma coleção
U
é um conjunto aberto de
X
e
V
pertence a
B
X,
porque
de todos os conjuntos da forma
é um conjunto aberto de
Vamos, agora, checar que a coleção
uma topologia em
Topologia Produto em X × Y
B
é aberto em
X
e
onde
Y.
descrita acima é, por certo, uma base para
denominada Topologia Produto.
X
U ×V,
é a
Y
De fato
é aberto em
Y
B
é base pois
X×Y
uma vez que ambos são
B ser base pela Denição
B, (U1 × V1 ) ∩ (U2 × V2 ) também pertence a
espaços topológicos, o que contempla a primeira condição para
U1 × V1
2.46. Ademais, dados
B
e
U2 × V2
em
visto que
(U1 × V1 ) ∩ (U2 × V2 ) = (U1 ∩ U2 ) × (V1 ∩ V2 )
e
Y
U1 ∩ U2
é aberto em
X
por ser uma intersecção nita de abertos e
pela mesma razão, satisfazendo também a segunda condição para
Observação 3.2.
É de suma importancia notar que a coleção
Teorema 3.3.
B
V1 ∩ V2 é aberto
B ser base.
em
B não é por si só uma
topologia τ em X×Y . Basta, para isso, considerar os retângulos U1 ×V1 e U2 ×V2 , onde
U1 e U2 são abertos em X e V1 e V2 são abertos em Y (elementos básicos de X × Y ) e
notar que, ambos pertencem a B mas a união (U1 × V1 ) ∪ (U2 × V2 ) nem sempre é um
retângulo, ou seja, nem sempre pertence a B.
topologia de
Y,
Se
é uma base para uma topologia de
X
então a coleção
D = {B × C | B ∈ B e C ∈ C}
e
C
é uma base para uma
26
3. Topologias em Produtos Cartesianos
é uma base para a topologia de
X ×Y.
X ×Y e um ponto (x, y) de W , pelo Lema
2.53, basta mostrarmos que existe um elemento B × C ∈ D tal que (x, y) ∈ B × C ⊂ W .
De fato, pela Denição 3.1 temos que existe um elemento básico U × V de tal forma
que (x, y) ∈ U × V ⊂ W . Como B e C são bases para os espaços topológicos X e Y ,
respectivamente, segue que existe um elemento B ∈ B de tal forma que x ∈ B ⊂ U e um
elemento C ∈ C de tal maneira que y ∈ C ⊂ V . Então (x, y) ∈ B × C ⊂ U × V ⊂ W ,
Demonstração. Dado um conjunto aberto
W
de
como desejado.
Exemplo 3.4. Segue diretamente do teorema anterior que a coleção B de todas as regiões
retangulares
(a, b) × (c, d)
base para a topologia em
a, b ∈ Q,
a<b
R × R pois
para
e
c < d,
a, b, c
e
d
números racionais, é uma
a coleção de intervalos abertos
é uma base para uma topologia em
Denição 3.5.
com
R
(a, b),
com
a < b,
pelo Exemplo 2.49.
π1 : X × Y → X denida pela equação π1 (x, y) = x e seja π2 :
X × Y → Y denida pela equação π2 (x, y) = y. As funções π1 e π2 são chamadas as
projeções de X × Y em suas primeira e segunda coordenadas, respectivamente.
Seja
U
U ×Y,
Podemos perceber de imediato que se
−1
π1 (U )
é precisamente o conjunto
aberto em
X, Y
aberto em
um conjunto aberto em
Y,
X a imagem inversa
X × Y , uma vez que U é
Do mesmo modo, se V é
é um conjunto aberto de
o qual é aberto em
implicando em
π1
ser contínua.
Y,
π2 −1 (V ) = X × V
é também aberto em
X ×Y
e também
π2
é contínua. Assim, podemos ver que
π1 −1 (U ) ∩ π2 −1 (V )
é aberto em
X ×Y.
Teorema 3.6.
Esta observação nos leva ao resultado seguinte.
A coleção
S = {π1 −1 (U ) | U
é aberto em
X} ∩ {π2 −1 (V ) | V
é uma sub-base para a topologia produto em
Demonstração. Seja
τ
é aberto em
Y}
X ×Y.
a topologia produto e
τ0
a topologia gerada pela sub-base dada.
τ = τ 0 . De fato, cada elemento de τ 0 pertence a τ uma vez que, como dito
−1
(U ) e cada π2 −1 (V ) é aberto em X × Y , para todo U aberto em
anteriormente, cada π1
X e para todo V aberto em Y , implicando em π1 −1 (U ) ∩ π2 −1 (V ) ser aberto em X × Y e
0
assim, como intersecção nita de abertos é também aberto, cada elemento de τ pertence
0
a τ . Assim, τ ⊂ τ .
Mostremos que
3.2. Topologia Box e Topologia Produto
Além disso, temos que cada elemento
S,
27
U ×V ∈ τ
é uma intersecção de elementos de
uma vez que
U × V = (U × Y ) ∩ (X × V ) = π1 −1 (U ) ∩ π2 −1 (V )
e, desse modo,
Teorema 3.7.
funções.
contínua
τ ⊂ τ 0.
Portanto, segue pela dupla inclusão o desejado.
Z espaços topológicos. Sejam f : X → Y e g : X → Z
Considere a função F : X → Y × Z dada por F (x) = (f (x), g(x)). Então F é
se, e somente se, f e g são contínuas.
Sejam
X, Y
e
Demonstração. Com efeito, suponha
sição de funções contínuas.
Reciprocamente, suponha
por
F
f
Logo,
e
g
f
F
f = π1 ◦ F é uma compoAnalogamente g é também contínua.
contínua. Temos que
é contínua.
contínuas e mostremos que imagem inversa de básicos
é aberta. Assim, dado o aberto básico
U ×V
de
X ×Y
temos que
F −1 (U × V ) = {x ∈ X | F (x) = (f (x), g(x)) ∈ U × V } =
{x ∈ X | f (x) ∈ U e g(x) ∈ V } = {x ∈ X | f (x) ∈ U } ∩ {x ∈ X | g(x) ∈ V } =
f −1 (U ) ∩ g −1 (V )
é aberta pois
f
Teorema 3.8.
e
g
são contínuas e intersecção nita de abertos é aberta.
Sejam
X
e
Y
espaços topológicos. Considere o produto cartesiano
com a topologia produto. A fatia
{a} × Y ,
com
a∈X
é homeomorfa à
X ×Y
Y.
f : Y → {a} × Y dada por f (y) = (a, y)
com inversa g = f
: {a} × Y → Y dada por g(a, y) = y . Armamos que f e g são
contínuas. De fato, a função F : Y → X × Y dada por F (y) = (a, y) é contínua pois suas
coordenadas o são. Segue então que a função f é contínua. Por outro lado, como temos
que a projeção π2 : X × Y → Y é contínua segue que g é contínua porque é restrição de
π2 à fatia {a} × Y .
Demonstração. De fato, tome a função bijetora
−1
3.2
Topologia Box e Topologia Produto
Na seção 3.1 vimos uma base para uma topologia no produto cartesiano de dois espaços topológicos, topologia esta denominada Topologia Produto. Neste capítulo, deniremos topologias em produtos cartesianos arbitrários a partir de bases para estas. Quando
pensamos em denir uma base para uma topologia no produto de uma família indexada
de espaços topológicos, nada é mais natural do que utilizar os abertos de cada espaço
particular para tal denição. De fato, assim como foi feito para o produto cartesiano de
dois espaços topológicos, podemos denir uma base utilizando essa ideia.
28
3. Topologias em Produtos Cartesianos
Denição 3.9.
Seja
πγ :
Y
Xα → Xγ
α∈J
Q
uma função associando cada elemento do conjunto
Xα
com a gama-ésima coordenada
α∈J
πγ ((xα )α∈J ) = xγ .
Tal função é chamada
função projeção associada ao índice γ .
Denição 3.10. Seja {Xα }α∈J uma família indexada de espaços topológicos.
Xα a coleção B de todos os conjuntos da
α∈J
Uα onde Uα é aberto em Xα , para cada α ∈ J . A topologia gerada por esta base
uma base para uma topologia no conjunto
forma
Q
α∈J
é chamada
Topologia Box.
De fato,
1)
Temos como
Q
β
é uma base para uma topologia no produto descrito pois:
Q
Xα ∈ B porque, para todo α ∈ J , Xα
Q
Q
Dados
Uα e
Vα em B temos que
é aberto por ser espaço topológico.
α∈J
2)
α∈J
α∈J
!
Y
Uα
!
∩
α∈J
pois
Uα ∩ Vα
Y
Vα
=
α∈J
Y
(Uα ∩ Vα ) ∈ B
α∈J
é aberto no espaço topológico
Xα ,
para todo
α ∈ J.
Como vimos, a topologia box é uma topologia bastante natural no produto de uma
família indexada de espaços topológicos, entretanto uma propriedade interessante relacionada à funções contínuas pode não ser contemplada por espaços com esta topologia.
Gostaríamos que valesse o seguinte resultado:
Dado um espaço topológico
Z, f : Z →
Q
Xα
é contínua se, e somente se, para cada
α∈J
α ∈ J,
a função
f α = pα ◦ f : Z → Xα
é contínua.
De fato, este resultado não é sempre contemplado pelos espaços munidos da topologia
box, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 3.11.
cada
n.
Considere o produto innito contável
Q
Xn ,
onde
Xn = R
para
n∈Z+
f : R → Rω dada pela
f é a função fn (t) = t.
Considere ainda a função
que a n-ésima coordenada de
fn : R → R é a
contudo, f não é
Rω =
equação
f (t) = (t, t, t, ...).
Segue
Como cada função coordenada
identidade, segue do Exemplo 2.66 que cada uma é também contínua,
contínua. De fato, considere o elemento básico
1 1
1 1
× − ,
× ...
B = (−1, 1) × − ,
2 2
3 3
3.2. Topologia Box e Topologia Produto
para a topologia box. Segue que
(B)
é aberto em
Rω ,
mas
f −1 (B)
não é aberto em
R.
Com
R iria conter algum intervalo (−δ, δ) em torno de 0,
o que signicaria que f ((−δ, δ)) ⊂ B , e então, aplicando πn na inclusão acima teríamos
fn ((−δ, δ)) = (−δ, δ) ⊂ (−1/n, 1/n) para todo n, o que é uma contradição pois tomando
n ∈ N de modo que n > 1/δ , 1/n < δ e −1/n > −δ .
efeito, se
f
−1
B
29
fosse aberto então
Vamos agora introduzir uma topologia em
Q
Xα
que, no mínimo, torne as projeções
α∈J
Q
πγ :
Xα → Xγ
contínuas.
α∈J
Q
µ ∈ J , dado um aberto Uµ em Xµ , πµ será
Q
Q
−1
contínua se, e somente se, πµ (Uµ ) = Uµ ×
Xα for aberto em
Xα para todo aberto
α∈J
α6
=
µ
Q
Uµ em Xµ . Assim, uma topologia em
Xα que torne as projeções πµ contínuas deve
α∈J
Q
conter os elementos Uµ ×
Xα para todo aberto Uµ em Xµ , com µ ∈ J .
Considerando
πµ :
Xα → Xµ ,
com
α∈J
α6=µ
Contudo, para que esta coleção seja de fato uma topologia no produto, precisamos
que as instersecções nitas desses elementos necessários também pertençam à coleção, ou
Q
seja, os conjuntos da seguinte forma também devem ser abertos em
Xα :
α∈J
πα−11 (Uα1 ) ∩ πα−12 (Uα2 ) ∩ ... ∩ πα−1k (Uαk ) = Uα1 × ... × Uαk ×
Y
Xα
(3.1)
α6=αi
Uα1 , Uα2 , ..., Uαk
{α1 , α2 , ..., αk }).
onde
Denição 3.12.
Q
são abertos de
Xα1 , Xα2 , ..., Xαk
respectivamente e
Os conjuntos da forma (3.1) são chamados
α ∈ (J −
abertos elementares de
Xα .
α∈J
Segue que a coleção de abertos elementares constitui uma base para uma topologia
em
Q
Xα
τ
pois:
α∈J
1.
Q
Xα
é um aberto elementar.
α∈J
2. Intersecção de dois elementos elementares ainda é um elemento elementar.
Assim, um aberto da topologia
τ
gerada pela coleção de abertos elementares é, pelo Te-
orema 2.50, uma união arbitrária de abertos elementares. Assim, qualquer outra topologia
Q
Xα que torne as projeções contínuas terá necessariamente que conter pelo menos
α∈J
os abertos elementares, e consequentemente todos os abertos de τ . Podemos armar o
em
seguinte:
Teorema 3.13. Seja (Xα )α∈J
no produto cartesiano
Q
α∈J
Xα
uma família de espaços topológicos. A topologia menos na
que torna contínuas todas as projeções
πα :
Q
α∈J
X α → Xα
é
30
3. Topologias em Produtos Cartesianos
a que tem base formada pelos abertos elementares
πα−11 (Uα1 ) ∩ πα−12 (Uα2 ) ∩ ... ∩ πα−1k (Uαk ) = Uα1 × ... × Uαk ×
Y
Xα
(3.2)
α6=αi
onde cada
Uαi ⊂ Xαi
Teorema 3.14.
é aberto. Esta é a chamada
Topologia Produto.
Z munido
cada α ∈ J , a
Dado um espaço topológico
Q
Xα é contínua se, e somente se, para
α∈J
contínua.
Demonstração. Seja
πβ
Q
a projeção do produto
Xα
f : Z →
f α = π α ◦ f : Z → Xα é
da topologia produto,
função
β -ésima
na
coordenada. A função
α∈J
πβ
é contínua porque se
Uβ é
Q
aberto em
Xβ ,
da topologia produto em
Xα .
Agora, suponha que
α∈J
que a função fβ é igual a πβ
◦ f,
ou seja,
Por 3. da Propriedade 2.7 segue que
fβ
πβ −1 (Uβ ) é um aberto elementar
Q
f :Z→
Xα é contínua. Temos
o conjunto
α∈J
é a composição de duas funções contínuas.
fβ
é contínua.
Reciprocamente suponha que cada função
é suciente mostrar que a imagem inversa de
fα
f
é contínua. Para provar que
f
é contínua
Z
Q
de cada elemento básico é aberto em
Observação 2.65. Temos que um elemento básico para a Topologia Produto em
pela
Xα
é
α∈J
um aberto elementar pelo Teorema 3.13. Assim, como
f −1 (πα−11 (Uα1 ) ∩ ... ∩ πα−1k (Uαk )) = f −1 (πα−11 (Uα1 )) ∩ ... ∩ f −1 (πα−1k (Uαk ))
temos que
f −1 (πα−11 (Uα1 ) ∩ ... ∩ πα−1k (Uαk )) = fα1 −1 (Uα1 ) ∩ ... ∩ fαk −1 (Uαk )
e como cada
como
Z
f αi
fαi −1 (Uαi ), i = 1, ..., k , é aberto em Z e assim,
f −1 (πα−11 (Uα1 ) ∩ πα−12 (Uα2 ) ∩ ... ∩ πα−1k (Uαk )) é aberto em Z ,
é contínua segue que cada
é espaço topológico,
como queríamos demonstrar.
Q
Xα com a Topologia Produto
α∈J
denida acima é caracterizada por qualquer das propriedades abaixo:
A partir disso podemos dizer que o produto cartesiano
1. é a topologia menos na que torna as projeções
πγ :
Q
Xα → Xγ
contínuas;
α∈J
2. dado um espaço topológico
cada
α ∈ J,
a função
Observação 3.15.
Z, f : Z →
fα = π α ◦ f : Z →
Q
Xα é contínua se, e somente se, para
α∈J
Xα é contínua.
No produto cartesiano nito as topologias Box e Produto são exata-
mente a mesma, contudo estas diferem no produto cartesiano innito. Neste, a Topologia
Box é mais na que a Topologia Produto. Basta observar que todo aberto elementar é um
elemento da base da Topologia Box. Segue deste fato que na Topologia Box as funções
projeções também são contínuas.
3.3. Propriedades dos Produtos Cartesianos
3.3
31
Propriedades dos Produtos Cartesianos
Nesta seção apresentaremos algumas propriedades de espaços conexos e compactos
em produtos cartesianos relativas às Topologias Box e Produto.
3.3.1
Conexidade em Produtos Cartesianos
O resultado a seguir nos diz que, tanto na Topologia Box quanto na Topologia Produto, o produto cartesiano nito de espaços conexos é conexo. A gura presente em sua
demonstração foi retirada do livro [3] da Bibliograa.
Teorema 3.16.
O produto cartesiano nito de espaços conexos
é conexo se, e somente se, cada fator
Xi
é conexo.
Demonstração. Com efeito, como cada projeção
Teorema 2.79 que se
cada
Xi
X
é conexo cada
X = X1 × X2 × ... × Xn
Xi
πi : X → X i
é contínua segue pelo
também é. Reciprocamente, suponhamos que
é conexo e provemos a conexidade de
X.
Provaremos inicialmente para o produto
X e Y . Tomemos um ponto a × b no produto X × Y . Observe
que a fatia horizontal
X × b é conexa uma vez que é homeomorfo a X , e cada fatia
vertical x × Y é conexa porque é homeomorfa a Y . Assim, cada
de dois espaços conexos
Tx = (X × b) ∪ (x × Y )
é conexo porque é uma união de dois espaços conexos com o ponto
(x × b)
em comum.
S
Tx de todos os espaços Tx é conexa porque é uma união de
x∈X
uma coleção de espaços conexos com o ponto a × b em comum. Como a união é igual a
Temos então que a união
X ×Y,
o espaço
X ×Y
é conexo.
Figura 3.1: Produto
X ×Y
Por indução temos que o produto nito de espaços conexos é conexo utilizando o fato
de que
X1 × ... × Xn
é homeomorfo à
(X1 × ... × Xn−1 ) × Xn .
A partir disso podemos nos perguntar se o mesmo resultado prevalece se considerarmos
um produto innito de espaços topológicos conexos. O exemplo a seguir nos mostra que
nem sempre, se a topologia considerada for a Box.
32
3. Topologias em Produtos Cartesianos
Exemplo 3.17.
Rω com
B , onde A é o
Considere o produto cartesiano innito contável
Box. Podemos escrever
ω
R
como a união dos conjuntos
B
todas as sequências limitadas de números reais e
A
e
a Topologia
conjunto de
é o conjunto de todas as sequências
ilimitadas de números reais. Esses dois conjuntos são disjuntos, e cada um é aberto na
topologia box. De fato, se
a
é um ponto de
Rω ,
o conjunto aberto
U = (a1 − 1, a1 + 1) × (a2 − 1, a2 + 1) × ...
consiste inteiramente de sequências limitadas se
limitado e de sequências ilimitadas se
ou seja,
R
ω
a
não é conexo, mesmo cada
a
(visto como um subconjunto de
é ilimitado. Portanto,
R
A∪B
é uma cisão
R) é
ω
de R ,
sendo conexo.
O próximo resultado nos mostra que em um produto cartesiano arbitrário de espaços
topológicos munido da Topologia Produto o resultado do Teorema 3.16 também é válido.
Teorema 3.18. O produto cartesiano X =
se, e somente se, cada fator
Xα
Q
Xα
munido da Topologia Produto é conexo
α∈J
é conexo.
Demonstração. De fato, como as projeções
πα : X → X α
são contínuas segue que se
X é conexo então cada Xα é conexo. Reciprocamente, seja cada Xα conexo. Fixe b =
{bα }α∈J ∈ X . Seja K = {α1 , ..., αr } um subconjunto nito de índices de J . Considere
ZK = {{xα }α∈J ∈ X | xα = bα , para todo α ∈
/ K}. Temos que ZK munido da Topologia
Produto é homeomorfo à Xα1 × ... × Xαr . De fato, basta considerar a função bijetora
contínua f : Xα1 × ... × Xαr → ZK dada por f (xα1 , xα2 , ..., xαr ) = {yα }α∈J em que
yαi = xαi para todo i = 1, 2, ..., r e yα = bα para todo α ∈
/ K , onde a função inversa
−1
f
: ZK → Xα1 × ... × Xαr também é contínua. Como ZK = f (Xα1 × ... × Xαr )
e Xα1 × ... × Xαr é conexo temos que ZK é conexo para todo K ⊂ J nito. Ainda,
S
como b ∈ ZK para todo K ⊂ L nito, temos que, sendo K nito,
ZK é conexo.
K⊂J
S
ZK também é conexo.
Assim,
K⊂J
S
Mostremos agora que X =
ZK , nalizando assim a demonstração. Seja x =
K⊂J
Q
{xα } ∈ X . Seja ainda
Yα um aberto básico de X que contém x. Então, pela denição
α∈J
de topologia produto, existe
α∈
/ K e Yα = Bα se α ∈ K ,
sendo Bα um aberto de Xα tal que xα ∈ Bα . Seja ainda z = {zα } tal que zα = xα se
S
α ∈ K e zα = bα se α ∈
/ K . Temos que z ∈ ZK e portanto z ∈
ZK , com K nito.
K⊂J
Q
Além disso, z ∈
Yα pois, para α ∈ K temos que zα = xα ∈ Bα e α ∈
/ K temos que
α∈J
Q
S
S
zα = bα ∈ Xα . Dessa maneira,
Yα ∩
ZK 6= ∅ e assim temos que x ∈
ZK
α∈J
K⊂J
K⊂J
S
pois todo aberto elementar que contém x intersecta
ZK . Portanto, para K ⊂ J nito,
K⊂J
Q
S
Xα =
ZK .
α∈J
K⊂J
K⊂J
nito tal que
Yα = Xα
se
3.3. Propriedades dos Produtos Cartesianos
3.3.2
33
Compacidade em Produtos Cartesianos
Um resultado relativamente parecido com o demonstrado no Teorema 3.18 também
pode ser provado para espaços compactos, entretanto para tal serão necessárias algumas
ferramentas que enunciaremos abaixo.
Denição 3.19.
X,
relação de ordem num conjunto X
Uma
indicada geralmente com o símbolo
1. Reexiva:
x≤x
para todo
x ∈ X;
x≤y
y ≤ x,
2. Anti-simétrica: se
3. Transitiva: se
Denição 3.20.
x≤y
Um
≤,
e
e
y ≤ z,
gozando das seguintes propriedades:
x ≤ z.
conjunto ordenado
ordem nele denida.
Um conjunto
x, y ∈ X ,
y ≤ x.
X
x = y;
então
então
é uma relação binária em
é um conjunto munido de uma relação de
diz-se
totalmente ordenado
ou
linearmente
ordenado quando nele está denida uma relação de ordem tal que, dados arbitrariarmente
ou
x≤y
Denição 3.21.
ou
Um conjunto ordenado
subconjunto linearmente ordenado
Denição 3.22.
Uma coleção
M
S⊂X
X
é
indutivo superiormente
possui cota superior.
de subconjuntos de
intersecção nita se toda coleção de partes de
X
X
é
máxima com a propriedade da
que contém
M
S∩M =x∈X
Observação 3.23.
para todo
e goza da propriedade da
M. Isto equivale
M ∈ M então S ∈ M.
intersecção nita coincide necessariamente com
tal que
quando todo
a dizer que se
S⊂X
é
M de partes de X é máxima com a propriedade da
intersecção nita, dados M1 , ..., Mn ∈ M então M1 ∩ ... ∩ Mn ∈ M. Com efeito, seja
B = M1 ∩ ... ∩ Mn . Suponha que B ∈
/ M. Considere a coleção D = M ∪ B . Seja A1 , ..., Ak
uma quantidade nita de elementos de D. Se A1 , ..., Ak ∈ M segue que A1 ∩ ... ∩ Ak 6= ∅
porque M possui a propriedade da intersecção nita. Se B = Ai para algum i = 1, ..., k ,
Se uma coleção
temos que
A1 ∩ ... ∩ B ∩ ... ∩ Ak = A1 ∩ ... ∩ (M1 ∩ ... ∩ Mn ) ∩ ... ∩ Ak 6= ∅
por se tratar ainda de uma intersecção nita de elementos de
M.
Assim,
D é uma coleção
M com mais elementos do que M e gozando da propriedade da intersecção nita,
contradiz o fato de M ser máximo. Portanto, B ∈ M.
contendo
o que
Além disso, se
M ∈M
temos que
M ∈M
uma vez que
M ⊂M
para todo
M ∈ M.
Usaremos o Teorema de Zorn enunciado a seguir. Uma demonstração dele pode ser
encontrada na página 69 de [1].
34
3. Topologias em Produtos Cartesianos
Teorema 3.24 (Teorema de Zorn).
Todo conjunto não vazio indutivo superiormente
possui elementos máximos.
Lema 3.25.
Seja
F
uma coleção de partes de um conjunto
intersecção nita. Existe uma coleção
intersecção nita e contendo
de partes de
X,
com a propriedade da
máxima com a propriedade da
F.
X que contêm F
e possuem a propriedade da intersecção nita. Temos que P 6= ∅ pois F ∈ P . Considere
P ordenado pela relação de inclusão usual ⊆. Seja P0 ⊆ P uma cadeia e U a união dos
elementos de P0 . Temos então que U ∈ P . De fato, dado I ∈ P0 , temos que F ⊆ I
e assim, F ⊆ I ⊆ U . Ainda, U possui a propriedade da intersecção nita pois, dados
F1 , ..., Fn ∈ U tem-se F1 ∈ I1 , ..., Fn ∈ In . Como Ii ∈ P0 ⊆ P , segue que F1 ∩ ... ∩ Fn 6= ∅.
Desse modo, U é uma cota superior de P0 pois I ⊆ U para todo I ∈ P0 . Segue, pelo
Teorema de Zorn que P possui um elemento máximo M, como o desejado.
Demonstração. Seja
P
M
X
o conjunto de todas as coleções
I
de partes de
Utilizando os resultados prévios, mostremos o seguinte:
Teorema 3.26 (Teorema de Tychonov).
O produto cartesiano
X =
Q
Xα
munido
α∈J
da Topologia Produto é compacto se, e somente se, cada fator Xα é compacto.
Demonstração. Com efeito, suponha que
πα : X → X α ,
para todo
α ∈ J.
X
é compacto. Considere as projeções contínuas
Segue do Teorema 2.92 que cada
Xα
é compacto uma
vez que é a imagem de um conjunto compacto por uma função contínua sobrejetora.
Reciprocamente, suponha que cada
Xα
é compacto. Mostremos que
Como vimos, para tal basta mostrarmos que toda coleção
F
X
é compacto.
de conjuntos fechados de
X
com a propriedade da intersecção nita, possui intersecção não vazia, ou seja, existe um
x∈X
tal que
fechados de
X
x∈F
para todo
F ∈ F.
Considere então uma família
F
de subconjuntos
com a propriedade da intersecção nita. Pelo Lema 3.25 temos que existe
X contendo F e gozando da propriedade da
intersecção nita. Para cada α, o conjunto {πα (M ) | M ∈ M} é uma coleção de fechados
de Xα com a propriedade da intersecção nita porque se xα ∈ πα (M1 ∩ ... ∩ Mn ) existe
x ∈ M1 ∩ ... ∩ Mn tal que πα (x) = xα . Em particular, para qualquer i = 1, ..., n, x ∈ Mi e
então xα = πα (x) ∈ πα (Mi ) para todo i = 1, ..., n. Portanto, xα ∈ πα (M1 ) ∩ ... ∩ πα (Mn )
uma coleção máxima
M
de subconjuntos de
e assim
πα (M1 ) ∩ ... ∩ πα (Mn ) ⊇ πα (M1 ) ∩ ... ∩ πα (Mn ) ⊇ πα (M1 ∩ ... ∩ Mn ) 6= ∅.
Xα é compacto existe um ponto xα ∈ Xα que pertence à πα (M ) para todo M ∈ M.
Seja x = (xα ) o ponto de X que possui como coordenadas os xα obtidos desse modo.
Mostremos agora que tal x ∈ M para todo M ∈ M pois assim teremos que x ∈ F
para todo F ∈ F já que F ⊆ M e F = F porque todo F ∈ F é fechado. Note que se
−1
uma fatia aberta πα
(U ) contém x, então U é um aberto de Xα que contém xα . Logo,
Como
3.4. Topologia da Convergência Simples e Topologia da Convergência
Uniforme
35
xα ∈ U ∩ πα (M ) para todo M ∈ M. Como consequência, x ∈ πα−1 (U ) ∩ M para todo
M ∈ M e assim, πα −1 (U ) ∈ M para todo aberto U em Xα . Portanto, um aberto elementar
qualquer contendo x também pertence à M uma vez que é uma intersecção nita de fatias
abertas. Logo, se V é um aberto de X contendo x, então x ∈ V ∩ M para todo M ∈ M,
ou seja, x ∈ M para todo M ∈ M. Portanto, X é compacto.
3.4
Topologia da Convergência Simples e Topologia da
Convergência Uniforme
Nesta seção apresentaremos duas topologias no conjunto de funções, a Topologia da
Convergência Simples e a Topologia da Convergência Uniforme. A partir disso, alcançaremos o objetivo do trabalho, mostrando que a Topologia da Convergência Simples no
conjunto de todas as funções reais não é metrizável. Além disso, mostraremos uma parte
do importante Teorema de Ascoli.
Denição 3.27.
Sejam
L
um conjunto arbitrário e
X
um espaço topológico. O conjunto
L
= F(L; X) de todas as funções x : L → X pode ser considerado como o produto
Q
cartesiano
Xα , onde Xα = X para cada α ∈ L, sendo a coordenada xα de x o valor
X
de
x(α)
α∈L
da função
x
no ponto
da Convergência Simples.
α ∈ L.
A Topologia Produto em
XL
chama-se
Topologia
Abaixo, mostraremos que o espaço de funções reais munido da Topologia de Convergência Simples, denida acima, não é metriável.
Exemplo 3.28 (Exemplo de Topologia não metrizável).
funções reais
F(R; R) =
Considere o espaço de
Q
Rα munido da Topologia de Convergência Simples. Desse
α∈R
modo, uma base para tal topologia consiste dos abertos elementares da Topologia Produto,
ou seja, os conjuntos da forma
Jα1 × ... × Jαn ×
Q
Rα ,
onde cada
Jαi
é aberto de
R
para
α6=αi
i = 1, ..., n.
Escrevamos esses conjuntos de outro modo. Dados os números reais tα1 , ..., tαn
Jα1 , ...., Jαn ⊂ R, denamos o conjunto A(tα1 , ..., tαn ; Jα1 , ..., Jαn )
de todas as funções reais f : R → R tais que f (tα1 ) ∈ Jα1 , ..., f (tαn ) ∈ Jαn . Temos
Q
que A(tα1 , ..., tαn ; Jα1 , ..., Jαn ) = Jα1 × ... × Jαn ×
Rα . De fato, dado f ∈ Jα1 ×
e os intervalos abertos
α6=αi
... × Jαn existem tα1 , ..., tαn ∈ R, tais que f (tαi ) ∈ Jαi para todo i = 1, ..., n e assim,
f ∈ A(tα1 , ..., tαn ; Jα1 , ...,αn ). Reciprocamente, dado f ∈ A(tα1 , ..., tαn ; Jα1 , ..., Jαn ) temos
Q
Rα . Observemos ainda
que f (tα1 ) ∈ Jα1 , ..., f (tαn ) ∈ Jαn e daí f ∈ Jα1 × ... × Jαn ×
α6=αi
que, relativamente à topologia em
fundamental de vizinhanças de
f
F(R; R),
dada uma função
f : R → R,
um sistema
é constituído pelos conjuntos
A(f ; t1 , ..., tn ; ) = {g : R → R; |g(ti ) − f (ti )| < , i = 1, ..., n}
(3.3)
36
3. Topologias em Produtos Cartesianos
onde
t1 , ..., tn ∈ R
e
> 0
são arbitrários.
titui um sistema fundamental de vizinhanças de
Para mostrar que tal coleção cons-
f,
basta mostrarmos que cada ele-
A(f ; t1 , ..., tn ; ) é uma vizinhança de f , ou seja, que existe um elemento básico B tal que f ∈ B ⊂ A(f ; t1 , ..., tn ; ) e que para toda vizinhança V de f em
F(R; R), existe um elemento do sistema fundamental de vizinhanças que está contido
em V . De fato, cada A(f ; t1 , ..., tn ; ) é uma vizinhança de f porque, considerando o
conjunto básico A(tα1 , ..., tαk ; Jα1 , ..., Jαk ) onde Jαi = (f (tαi ) − /2, f (tαi ) + /2) para
todo i = 1, ..., k , f ∈ A(tα1 , ..., tαk ; Jα1 , ..., Jαk ) e se g ∈ A(tα1 , ..., tαk ; Jα1 , ..., Jαk ) então g(tαi ) ∈ Jαi = (f (tαi ) − /2, f (tαi + /2)), ou seja, |g(tαi ) − f (tαi )| < . Portanto, g ∈ A(f ; t1 , ..., tn ; ) e assim A(tα1 , ..., tαk ; Jα1 , ..., Jαk ) ⊂ A(f ; t1 , ..., tn ; ). Além
disso, se V é uma vizinhança de f em F(R, R), existe um aberto B de F(R, R) tal
que f ∈ B ⊂ V . Assim, existe um elemento básico A(tα1 , ..., tαn ; Jα1 , ..., Jαn ) tal que
f ∈ A(tα1 , ..., tαn ; Jα1 , ..., Jαn ) ⊂ V . Desse modo, f (tαi ) ∈ Jαn para i = 1, ..., n. Para
i = 1, ..., n, seja αi > 0 tal que (f (tαi ) − αi , f (tαi ) + αi ) ⊂ Jαi . Seja o mínimo
dos αi , i = 1, ..., n. Segue que (f (tαi ) − , f (tαi ) + ) ⊂ Jα1 ∩ ... ∩ Jαn . Portanto,
f ∈ A(tα1 , ..., tαn ; ) ⊂ A(tα1 , ..., tαn ; Jα1 , ..., Jαn ) ⊂ V como queríamos.
mento
Armamos agora que nenhum ponto
f ∈ F(R; R)
admite um sistema fundamental
enumerável de vizinhanças e pelo Exemplo 2.29 segue que
F(R; R)
não é metrizável. De
f : R → R, se existisse um sistema fundamental enumerável de
vizinhanças de f , β(f ) = {V1 , V2 , ..., Vn , ...}, poderíamos escolher, para cada n ∈ N um
conjunto An = (f ; tn1 , ...., tnk ; n ) tal que f ∈ An ⊂ Vn uma vez que os conjuntos de 3.3
constituem um sistema fundamental de vizinhanças de f . Então A(f ) = {A1 , ..., An , ...}
ainda seria um sistema fundamental de vizinhanças de f . Ora, os números reais tni
que comparecem na denição dos An formam um conjunto enumerável. Como R é não
enumerável segue que existe um número real t0 tal que t0 6= tni para todo n, i ∈ N. Desse
modo, consideremos o conjunto A0 = A(f ; t0 ; 1). Temos que, dado qualquer An , não há
restrição alguma sobre o valor que uma função g ∈ An deve assumir no ponto t0 . Em
particular, para cada n ∈ N, existem funções g ∈ An tais que |g(t0 ) − f (t0 )| ≥ 1. Segue-se,
daí, que nenhum An pode estar contido em A0 e assim A(f ) não é um sistema fundamental
de vizinhanças de f . Portanto, F(R; R) com a Topologia da Convergência Simples não é
fato, dada uma função
metrizável.
Justiquemos agora o porquê do nome Topologia de Convergência Simples.
Q
α∈R
Q
Rα ,
Rα
onde
com
Rα = R
F(R; R)
para todo
α ∈ R,
munido da Topologia Produto.
da seguinte forma:
α∈R
f ∈ F(R; R) ⇒ {f (α)}α∈R ∈
Y
α∈R
e reciprocamente
Rα
Seja
Identicamos
3.4. Topologia da Convergência Simples e Topologia da Convergência
Uniforme
{xα }α∈R ∈
Q
Rα ⇒ se f : R → R
é denida por
f (α) = xα ,
então
37
f ∈ F(R; R).
α∈R
Teorema 3.29.
uma função
{fn } ∈ F(R; R) converge simplesmente para
{fn (α)}α∈R converge para {f (α)}α∈R na Topo-
Uma sequência de funções
f ∈ F(R; R)
se, e somente se,
logia Produto.
{fn (α)}α∈R converge para {f (α)}α∈R
seja > 0. Considere
Demonstração. Suponhamos que
duto. Seja
t∈R
arbitrário e
U = (f (t) − , f (t) + ) ×
Y
na Topologia Pro-
Rα
α∈R−{t}
{f (α)}α∈R , existe N ∈ N tal que, se n > N , {fn (α)}α∈R ∈ U , ou seja,
|fn (t) − f (t)| < e assim, fn (t) → f (t) na topologia usual de R, ou seja, fn converge
simplesmente para f .
aberto contendo
Reciprocamente, suponha que
seja
t ∈ R, fn (t) → f (t).
fn
convirja simplesmente para
f.
Então, qualquer que
Seja
Y
V = U α1 × . . . × U αk ×
Rα
α∈R−{α1 ,...,αk }
{f (α)}α∈R . Para cada i = 1, ..., k , desde
que Uα1 é vizinhança de f (αi ) em R, existe Ni tal que se n > Ni , fn (αi ) ∈ Uαi . Tomando
N = max{N1 , ..., Nk } temos que se n > N ⇒ {fn (α)}α∈R ∈ V . Logo {fn (α)}α∈R converge
para {f (α)}α∈R na Topologia Produto.
um aberto básico da Topologia Produto contendo
Agora deniremos uma outra topologia bastante importante nos espaços de funções.
Denição 3.30.
J um conjunto de índices. Considere
a métrica denida no Exemplo 1.5 d(a, b) = min{d(a, b), 1} oriunda da métrica d. Se
x = (xα )α∈J e y = (yα )α∈J são pontos do produto cartesiano Y J = F(J; Y ), seja
Seja
(Y, d)
um espaço métrico e
ρ(x, y) = sup{d(xα , yα )|α ∈ J}.
Métrica Uniforme em Y J correspondente à métrica d em Y . A
topologia induzida por tal métrica é chamada Topologia da Convergência Uniforme
Tal métrica é chamada
em
Y J.
Observação 3.31.
de
J
em
Y.
Observe que os elementos de
Desse modo, se
Y J = F(J; Y )
são simplesmente funções
f, g ∈ F(J; Y ) nós denimos a Métrica Uniforme como segue:
ρ(f, g) = sup{d(f (α), g(α))|α ∈ J}.
38
3. Topologias em Produtos Cartesianos
Teorema 3.32.
A Topologia Uniforme em
RJ
é mais na que a Topologia Produto e
menos na que a Topologia Box.
Demonstração. Suponha que são dados um ponto
Q
x = (xα )α∈J
e um elemento básico da
x. Seja α1 , ..., αn os índices tais que Uα 6= R. Então,
para cada i = 1, ..., n, escolha i > 0 tal que a bola aberta com centro em x e raio i
na métrica d esteja contida em Uαi , o que é possível porque Uαi é um aberto de R. Seja
= min{1 , ..., n }. Então a bola aberta de centro x e raio na métrica ρ está contida em
Q
Uα . Agora, se z é um ponto de RJ tal que ρ(x, z) < , então d(xα , zα ) < para todo
Q
α e assim z ∈ Uα . segue então que a Topologia Uniforme é mais na que a Topologia
Topologia Produto
Uα
sobre
Produto.
Ainda, seja
x
B
a bola aberta de centro
x
e raio
na métrica
ρ.
Então a vizinhança de
α,
e assim,
na Topologia Box
U=
está contida em
B.
Se
y ∈ U,
Y
então
1
1
xα − , xα + 2
2
d(xα , yα ) <
1
2
para todo
ρ(x, y) ≤
Portanto, a Topologia Uniforme é menos na que a Topologia Box.
1
.
2
Findaremos o trabalho mostrando uma importante aplicação do Teorema de Tychonov.
Esta consiste na demonstração de um resultado bastante utilizado na matemática, sendo
mais conhecida a versão denominada Teorema de Arzelà-Ascoli. Provaremos aqui uma
parte da versão mais geral de tal resultado, denominada Teorema de Ascoli. Antes disso,
precisaremos de algumas denições e alguns resultados, os quais não demonstraremos.
Tais demonstrações podem ser encontradas no livro [2].
Indicaremos por
Cs (X; M )
o conjunto das funções contínuas de
X
denotará o subespaço formado pelas funções contínuas do
todas as funções de
Cu (X; M )
C(X; M )
X
em
M
com a Topologia da Convergência Simples enquanto que
denotará o subespaço formado pelas funções contínuas de
as funções de
X
em
Denição 3.33.
M
M . Além disso,
espaço Fs (X; M ) de
em
Fu (X; M )
de todas
munido da Topologia de Convergência Uniforme.
(Y, d) um espaço métrico e seja X um espaço topológico. Dados
X
um elemento f do conjunto Y
= F(X; Y ), um subespaço compacto C de X e um número
> 0, seja BC (f, ) o conjunto de todos os elementos g de Y X para os quais
Seja
sup{d(f (x), g(x)) | x ∈ C} < .
Os conjuntos
BC (f, )
logia da Convergência Compacta.
Observação 3.34.
Fc (X; Y ).
Y X , denominada
Fc (X; Y ).
formam uma base para uma topologia em
O símbolo
Tal será denotada por
Cc (X; Y )
Topo-
denotará o subconjunto das funções contínuas de
3.4. Topologia da Convergência Simples e Topologia da Convergência
Uniforme
Denição 3.35. Sejam X um espaço topológico e M
39
um espaço métrico. Um conjunto
E
f : X → M é equicontínuo no ponto x0 ∈ X quando, para todo > 0 existe
uma vizinhança V de x0 em X tal que, para todo x ∈ V , d(f (x), f (x0 )) < , qualquer que
seja f ∈ E . O conjunto E é equicontínuo quando é equicontínuo em todos os pontos.
de funções
Teorema 3.36.
X um espaço
E ⊂ Fs (X; M )
Sejam
conjunto equicontínuo
Corolário 3.37.
M
E ⊂ F(X; M ) equicontínuo.
de E em Fc (X; M ).
E ⊂ F(X; M )
E.
Dados
e
um espaço métrico. O fecho de um
é ainda um conjunto equicontínuo.
Seja
coincide com o fecho
percorre
topológico e
x ∈ X , E(x)
Então o fecho de
E
indicará o conjunto dos valores de
em
f (x)
Fs (X; M )
quando
f
O resultado que será demonstrado abaixo consiste de uma parte do Teorema de Ascoli,
cuja formulação completa pode ser encontrada no livro [2] da Bibliograa.
Teorema 3.38.
E um conjunto de funções contínuas de um espaço topológico X
num espaço métrico M . A m de que E seja relativamente compacto em Fc (X; M ), é
suciente que E(x) ⊂ M seja relativamente compacto para todo x ∈ X e que E seja
Seja
equicontínuo.
Demonstração. Suponhamos que
X
E
e que
seja equicontínuo.
E(x) ⊂ M
seja relativamente compacto para todo
Assim, para cada
x ∈ M , E(x) ⊂ M
x∈
é um conjunto
compacto. Pelo Teorema de Tychonov (Teorema 3.26) temos que o produto cartesiano
Q
E(x)
é um subconjunto compacto do espaço de Hausdor
Fs (X; M )
e portanto é
x∈X
fechado nesse espaço. Denotando o fecho de
Ec ,
como
E⊂
Q
E(x),
temos que
Es ⊂
x∈X
Corolário
logo,
Ec
3.37
Es = Ec , logo Ec
de E em Cc (X; M ),
que
é o fecho
Q
E em Fs por Es e o fecho de E em Fc por
E(x) e daí Es é compacto. Mas, segue do
x∈X
é compacto.
Pelo Teorema
3.36, Ec ⊂ Cc (X; M )
o que demonstra a suciência das condições.
41
Referências Bibliográcas
[1] HALMOS, P. R., Teoria Ingênua dos Conjuntos, Univ. S. Paulo e Polígono, 1970.
[2] LIMA, E. L., Elementos de topologia geral, Textos universitários, SBM, 2009.
[3] MUNKRES, J.R., Topology: A First Course, Prentice Hall-New Jersey, 1975.
[4] STEEN, L. A. e SEEBACH, J. A., Counterexamples in Topology, Dover Publications,
Nova Iorque, 1995