6 Matrizes

Matrizes
Preparação Tecnológica
6
Matrizes
Definição: Chama-se matriz do tipo m x n toda tabela A formada
por números reais distribuı́dos em m linhas e n colunas.
Para exemplificar o uso de uma matriz, podemos visualizar a seguir
uma tabela representando as notas de quatro alunos alunos em três
matérias:
Logo, a nota do aluno B em Eletricidade Básica é 9.
Como já vimos, as matrizes têm m linhas e n colunas. Matrizes
com m linhas e n colunas ( m e n são números naturais diferentes de
0) são denominadas matrizes m x n.
Na tabela com as notas dos alunos temos, portanto, uma matriz 4
x 3 (4 linhas e 3 colunas).
Veja mais alguns exemplos:
Você saberia identificar qual foi a nota do aluno B em Eletricidade
Matriz 3x4 (3 linhas e 4 colunas):
Básica?
Vamos considerar uma tabela de números dispostos em linhas e


colunas, como na tabela de notas, mas colocando as notas entre col1 9 −3 15
chetes:
A =  −6 12 0 8 
4 3 2 11
Aluno
A
B
C
D
Matemática
7
8
6
3
Eletricidade Básica
5
9
4
7
Desenho Técnico
8
7
5
4
Matriz 2x2 (2 linhas e 2 colunas):
B=
1
2
1
6
3
2
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus
elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois ı́ndices que
Para encontrar a nota do aluno B na matéria de Eletricidade Básica, indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
Assim, uma matriz C do tipo m x n é representada por:
basta procurar na segunda linha e na segunda coluna:
21
Matrizes
Preparação Tecnológica
6.1.2

a11 a12 a13 a14 a15 ... a1n
 a21 a22 a23 a24 a25 ... a2n


C =  a31 a32 a33 a34 a35 ... a3n
 ..
..
..
..
..
..
..
 .
.
.
.
.
.
.
am1 am2 am3 am4 am5 ... amn
6.1

A subtração de matrizes é feita de forma similar a adição de matrizes.
As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma
ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz,
mas de mesma ordem.
Assim temos: Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma
ordem, A - B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E
para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A
com os elementos correspondentes de B, assim: a21 − b21 = c21 .






Operações com Matrizes
6.1.1
Adição
As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. Ou
seja, uma matriz 3x4 só pode ser somada com uma matriz 3x4. O
resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.
Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B
= C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para
formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes
de A e B, assim: a11 + b11 = c11 .
Exemplo:

 
0
3 −5
5 7 −1
 6 0 −3  −  2
0
0 ⇒
−1 −5 3
−4 3 0


 
5 4 4
5−0
7−3
−1 − (−5)
6−2
0−0
−3 − 0  =  4 0 −3 
=
−3 2 −3
−4 − (−1) 3 − (−5)
0−3

Exemplo:

 
0
3 −5
5 7 −1
 6 0 −3  +  2
0
0 ⇒
−1 −5 3
−4 3 0


=
Subtração


6.1.3

5 10 −6
5+0
7+3
−1 + (−5)


8
0 −3 
6+2
0+0
−3 + 0
=
−5 −2 3
−4 + (−1) 3 + (−5)
0+3
Multiplicação de um número real por matriz
Para multiplicar um número real k por uma matriz A, basta multiplicar cada elemento da matriz pelo número real k.
Exemplo:
Dada a matriz
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Matrizes
Preparação Tecnológica
Matriz 3x4 (3 linhas e 4 colunas):

−1 4 12 −5
A= 6 1 0 8 
−3 7 2 1

A operação 3 · A é feita da seguinte maneira:

1 9 −3 15
C = 3 · A ⇒ C = 3 ·  −6 12 0 8 
4 3 2 11



1 · 3 9 · 3 −3 · 3 15 · 3
C =  −6 · 3 12 · 3 0 · 3 8 · 3 
4 · 3 3 · 3 2 · 3 11 · 3
6.1.4
Na multiplicação de matrizes precisamos ter muita atenção para
resolver a multiplicação.
Dada uma matriz A do tipo m x n e B uma matriz do tipo n x p,
define-se produto da matriz A pela matriz B uma matriz C, do tipo
m x p.
Vamos por meio de exemplos, demonstrar como efetuar tais
cálculos. A operação deverá ser feita multiplicando os membros da
linha da 1a matriz pelos membros da coluna da 2a matriz, onde os
elementos devem ser somados, constituindo um único item posicional
da matriz. Observe a seguinte multiplicação:
Dadas as matrizes A3x3 e B3x2 :


2 1 2
A =  3 −2 0 
1 −1 2


3 27 −9 45
=  −18 36 0 24 
12 9 6 33

1 2
B =  −2 4 
−1 3

Multiplicação de matrizes
A multiplicação de matrizes é realizada de acordo com a seguinte
condição: o número de colunas da 1a matriz deve ser igual ao número
As matrizes A e B podem ser multiplicadas?
de linhas da 2a matriz. Observe alguns modelos de matrizes que
A matriz A tem 2 colunas e a matriz B tem 2 linhas. Logo, a
podem ser multiplicadas, considerando o formato m x n.
multiplicação é possı́vel.
3x3e3x2

 

1 2
2 1 2
A · B =  3 −2 0  ·  −2 4  ⇒
−1 3
1 −1 2
23
Matrizes
Preparação Tecnológica
Agora vamos multiplicar cada elemento da primeira linha da matriz
A, pelos elemento da primeira e da segunda coluna coluna da matriz
B.


2 · 1 + 1 · (−2) + 2 · (−1)
2·2+1·4+2·3
3 · 1 + (−2) · (−2)
3 · 2 + (−2) · 4 + 0 · 3  =
A·B =
1 · 1 + (−1) · (−2) + 2 · (−1) 1 · 2 + (−1) · 4 + 2 · 3

 
−2 14
2−2−2 4+4+6
A · B =  3 + 4 + 0 6 − 8 + 0  =  7 −2 
1
4
1+2−2 2−4+6

6.2
2. Dadas as matrizes A e B, calcule:
A=
1 4 0
1 −3 1

1 −1
B =  −1 1 
5
0

(a) A · B
(b) B · A
3. Dadas as matrizes A, B e C encontre a matriz X tal que:
Exercı́cios
X + 2C = A + 3B
1. Dados os valores das matrizes A e B, calcule:
A=
B=
5 2
3 4
1 1
2 5
A=
1 3
0 2
B=
−2 1
0 −3
C=
−1 −2
−3 0
(a) A · B
(b) B · A
4. Calcule a matriz C, sabendo que:
(c) A2
A=
(d) B 2
24
2 −3 0
3 −2 −1
Preparação Tecnológica

2 1
B= 4 3 
0 2

C = A · 2B
5. Sabe-se que:
4 1
11 3
x y
1 0
·
=
z w
0 1
Determine o valor das variáveis x,y,z e w.
6. Dadas as matrizes A e B. Determine x e y de modo que a matriz
A seja igual à matriz B.
4y
2
A=
9 x2 + 4
B=
12 2
9 53
7. Calcule o valor de x para que as matrizes A e B sejam iguais:
3x2 − 4x 3x
A=
5
0
−1 1
B=
5 0
25
Matrizes
Matrizes e Determinantes
Preparação Tecnológica
7
Operações entre linhas de matrizes
A · A−1 = I
Onde I é uma matriz identidade.
1. Trocar uma linha por outra
Exemplo: L2 ↔ L3

2
0
 4 −2 
−5 1

Definições:

2
0
→  −5 1 
4 −2

Matriz quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número
de colunas.
Matriz identidade, definida como uma matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal valem 1 e os demais valem zero.
2. Multiplicação de uma linha um escalar (número real) não nulo:
Exemplo:
Exemplo: L3 ↔ −2 · L3


1 0 0




2
0
2
0
A= 0 1 0 
 4 −2  →  −5 1 
0 0 1
10 −2
−5 1
3. Substituição de uma linha por ela mesma mais k vezes outra
8.1 Procedimento para achar a matriz inversa
linha.
Seja a matriz A e desejamos saber sua inversa A−1 .
Exemplo: L2 ↔ L2 + 3 · L1






2 1 1
2
0
2
0
A= 1 1 1 
 4 −2  →  10 −2 
2 3 2
−5 1
−5 1
O primeiro passo é acrescentar uma matriz identidade no lado direito de A.
8 Inversão de Matrizes


2 1 1 1 0 0
Definição: Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A,
 1 1 1 0 1 0 
denotada por A−1 , é aquela que satisfaz a condição:
2 3 2 0 0 1
26
Matrizes e Determinantes
Preparação Tecnológica
1. L1 = L1 + L2 · (−1)
6. L2 = L2 + L3 · (−1)

1 0 0 1 −1 0
 0 1 0 0 −2 1 
0 0 1 −1 4 −1


1 0 0 1 −1 0
 1 1 1 0 1 0 
2 3 2 0 0 1

E a matriz inversa é a parte da direita.


1 −1 0
A−1 =  0 −2 1 
−1 4 −1
2. L2 = L2 + L1 · (−1)

1 0 0 1 −1 0
 0 1 1 −1 2 0 
2 3 2 0
0 1

8.2
3. L3 = L3 + L1 · (−2)
Exercı́cios
1. Encontre a matriz inversa das seguintes matrizes:

1 0 0 1 −1 0
 0 1 1 −1 2 0 
0 3 2 −2 2 1

D=
6 2
11 4
E=
3 1
2 1
4. L3 = L3 + L2 · (−3)



2 1 1
G= 1 1 1 
2 3 2

1 0 0
1 −1 0
 0 1 1 −1 2 0 
0 0 −1 1 −4 1
5. L3 = L3 · (−1)

1 0 0 1 −1 0
 0 1 1 −1 2
0 
0 0 1 −1 4 −1

27


1 2 3
F = 2 5 3 
1 0 8
2
 1
H=
 0
−1


1 0 0
0 −1 1 

1 1 1 
0 0 3