Prova Comentada - IBGE - Analista

Raciocínio Lógico Quantitativo e Estatística - IBGE
Prof. Guilherme Neves
26. (IBGE 2016/FGV) Em uma caixa há doze dúzias de laranjas, sobre as quais
sabe-se que:
I - há pelo menos duas laranjas estragadas;
II - dadas seis quaisquer dessas laranjas, há pelo menos duas não estragadas.
Sobre essas doze dúzias de laranjas, deduz-se que:
a) pelo menos 96 estão estragadas;
b) no mínimo 140 não estão estragadas;
c) exatamente duas estão estragadas;
d) no máximo 96 estão estragadas;
e) exatamente 48 não estão estragadas.
Resolução
Princípio da Casa dos Pombos!!!
Há 12 x 12 = 144 laranjas. O enunciado afirma que dadas seis quaisquer
dessas laranjas, há pelo menos duas não estragadas. Assim, podemos garantir
que o número de laranjas estragadas é no máximo 4.
Como eu concluí isso? Ora, imagine que houvesse 5 laranjas estragadas. Assim,
eu não poderia garantir que ao pegar 6 laranjas teríamos pelo menos duas não
estragadas, porque poderia acontecer de termos 5 estragadas dentre as 6.
Se o número máximo de laranjas estragadas é 4, então temos, no mínimo, 140
laranjas não estragadas.
Letra B
27. (IBGE 2016/FGV) De um grupo de controle para o acompanhamento de
uma determinada doença, 4% realmente têm a doença. A tabela a seguir
mostra as porcentagens das pessoas que têm e das que não têm a doença e
que apresentaram resultado positivo em um determinado teste.
Entre as pessoas desse grupo que apresentaram resultado positivo no teste, a
porcentagem daquelas que realmente têm a doença é aproximadamente:
a) 90%;
b) 85%;
c) 42%;
www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves
1
Raciocínio Lógico Quantitativo e Estatística - IBGE
Prof. Guilherme Neves
d) 26%;
e) 4%.
Resolução
Vamos supor que são 1000 pessoas. Sabemos que 40 (4%) realmente têm a
doença e 960 não têm a doença.
Dos que têm a doença, 85% apresentaram teste positivo, ou seja 85% de 40 =
34 pessoas que tem a doença apresentaram teste positivo.
Dos 960 que não têm, 10% apresentaram teste positivo. Portanto, 96 não têm
a doença e apresentaram teste positivo.
O total de pessoas que apresentou teste positivo é igual a 34+96 = 130.
Destes, 34 têm a doença.
Assim, entre as pessoas desse grupo que apresentaram resultado positivo no
teste, a porcentagem daquelas que realmente têm a doença é 34/130 ≈ 0,2615
26%.
Letra D
28. (IBGE 2016/FGV) Dos 40 funcionários de uma empresa, o mais novo tem
25 anos e o mais velho tem 37 anos. Considerando a idade de cada funcionário
como um número inteiro de anos, conclui-se que:
a) a média das idades de todos os funcionários é 31 anos;
b) a idade de pelo menos um funcionário é 31 anos;
c) nenhum funcionário tem idade igual a 31 anos;
d) no máximo 25 funcionários têm a mesma idade;
e) no mínimo 4 funcionários têm a mesma idade.
Resolução
Mais uma questão envolvendo o princípio da casa dos pombos.
Há 13 possíveis idades: {25,26,27,...,35,36,37}.
Imagine que são 13 gavetas: na gaveta 25, colocaremos as pessoas de 25
anos; na gaveta 26 colocaremos as pessoas de 26 anos, e assim por diante.
A letra A é falsa, pois não podemos calcular a média sem saber as idades das
pessoas.
A letra B é falsa, pois não podemos garantir que há alguém na gaveta 31, ou
seja, alguém com 31 anos.
www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves
2
Raciocínio Lógico Quantitativo e Estatística - IBGE
Prof. Guilherme Neves
A letra C é falsa, pois nada impede que alguém tenha 31 anos.
A letra D é falsa, pois poderia ocorrer o caso de todos os 40 funcionários terem
a mesma idade, por exemplo.
A letra E é verdadeira. Observe que são 13 gavetas. Se colocarmos 3 pessoas
em cada gaveta, ainda sobra 1 pessoa. Esta pessoa deverá entrar em alguma
gaveta. Portanto, em alguma gaveta terá 4 funcionários. Concluímos que pelo
menos 4 pessoas têm a mesma idade, mesmo pensando na pior das hipóteses.
Letra E
29. (IBGE 2016/FGV) Sem A, não se tem B. Sem B, não se tem C. Assim,
conclui-se que:
a) A é suficiente para B e para C;
b) B é necessário para A e para C;
c) C é suficiente para A e para B;
d) A e B são suficientes para C;
e) B é necessário para A e suficiente para C.
Resolução
Lembre-se que a proposição “Se p, então q” quer dizer que:
-
p é suficiente para q.
q é necessário para p.
Vamos reescrever as frases do enunciado no “padrão da lógica”.
-
Se não tem A, então não se tem B.
Se não tem B, então não se tem C.
Utilizando a equivalência entre “Se p, então q” e “Se não q, então não p”,
podemos reescrever:
-
Se tem B, então tem A.
Se tem C, então tem B.
Assim:
-B é suficiente para A.
- A é necessário para B.
- C é suficiente para B.
- B é necessário para C.
Observe ainda que temos a seguinte estrutura:
www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves
3
Raciocínio Lógico Quantitativo e Estatística - IBGE
Prof. Guilherme Neves
C --> B
B --> A
O que podemos concluir?
Podemos concluir que se tem C, então tem A.
Portanto, C é suficiente para A.
Letra C
30 (IBGE 2016/FGV) Sobre os amigos Marcos, Renato e Waldo, sabe-se que:
I - Se Waldo é flamenguista, então Marcos não é tricolor;
II - Se Renato não é vascaíno, então Marcos é tricolor;
III - Se Renato é vascaíno, então Waldo não é flamenguista. Logo, deduz-se
que:
a) Marcos é tricolor;
b) Marcos não é tricolor;
c) Waldo é flamenguista;
d) Waldo não é flamenguista;
e) Renato é vascaíno.
Resolução
Como não temos uma proposição simples entre as premissas, vamos chutar
que Waldo é, de fato, flamenguista.
Olhando I, concluímos que Marcos não é tricolor.
Marcos não sendo tricolor, a partir de II, concluímos que a proposição Renato
não é vascaíno é falsa. Portanto, Renato é vascaíno.
Indo agora para a premissa III: Sabemos que Renato é vascaíno. Como não
pode haver VF, concluímos que Waldo não é flamenguista.
Temos uma contradição, pois “Waldo é flamenguista” e “Waldo não é
flamenguista” são ambas verdadeiras.
Isto significa que nosso chute inicial foi errado, ou seja, Waldo não é
flamenguista.
Letra D
www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves
4
Raciocínio Lógico Quantitativo e Estatística - IBGE
Prof. Guilherme Neves
31. (IBGE 2016/FGV) Após a extração de uma amostra, as observações obtidas
são tabuladas, gerando a seguinte distribuição de frequências:
Considerando que E(X) = Média de X, Mo(X) = Moda de X e Me(X) = Mediana
de X, é correto afirmar que:
a) E(X) = 7 e Mo(X) = 10;
b) Me(X) = 5 e E(X) = 6,3;
c) Mo(X) = 9 e Me(X) = 9;
d) Me(X) = 9 e E(X) = 6,3;
e) Mo(X) = 9 e E(X) = 7.
Resolução
Pessoal, MODA não foi explicitado no edital. Apesar de achar muito difícil a
anulação da questão, não custa tentar.
Por definição, a moda é o valor que possui a maior frequência. Portanto, Mo(X)
= 9, pois tem frequência máxima.
São 5+9+10+3 = 27 termos. A mediana é o termo de ordem (27+1)/2 = 14.
Colocando os termos em ordem crescente, o 14º termo é 5 (observe que o
número 3 aparece 5 vezes e o número 5 aparece 9 vezes).
Portanto, Me(X) = 5.
Vamos agora calcular a média. Devemos multiplicar cada termo pela sua
frequência e dividir pela soma das frequências.
𝐸 𝑋 =
3 ∙ 5 + 5 ∙ 9 + 9 ∙ 10 + 13 ∙ 3 189
=
=7
27
27
Letra E
www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves
5
Raciocínio Lógico Quantitativo e Estatística - IBGE
Prof. Guilherme Neves
32. (IBGE 2016/FGV) Raíza e Diego resolvem disputar um jogo em que cada
um deles lança uma moeda honesta de forma independente e simultânea. Ela
será vencedora no caso de dois resultados iguais, e ele, de dois diferentes. As
probabilidades de vitória dela e dele são, respectivamente, iguais a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2/3 e 1/3;
1/4 e 3/4;
1/3 e 2/3;
1/2 e 1/2;
3/4 e 1/4.
Resolução
Quando lançamos duas moedas, há 4 possíveis resultados.
-
(Cara, Cara)
(Coroa, Coroa)
(Cara, Coroa)
(Coroa, Cara).
Assim, a probabilidade de termos dois resultados iguais é 2/4 = 1/2 e a
probabilidade de termos dois resultados diferentes também é 2/4 = 1/2.
Letra D
33. (IBGE 2016/FGV) Suponha que, de um baralho normal, contendo 52 cartas
de quatro naipes, é extraído, sem reposição e aleatoriamente, um total de
quatro cartas. Se a carta “Ás” é equivalente a uma figura (ou seja, são 4 figuras
e 9 números de cada naipe), é correto afirmar que a probabilidade de que todas
sejam:
a) do mesmo naipe é igual a (13/52).(12/51).(11/50).(10/49).
b) figuras é igual a (10/52).(9/51).(8/50).(7/49).
c) do mesmo número é igual a (4/52).(3/51).(2/50).(1/49).
d) números é igual a (36/52).(35/51).(34/50).(33/49).
e) de naipes diferentes é igual a 4.(16/52).(12/51).(8/50).(4/49).
Resolução
A letra A está errada porque faltou multiplicar por 4. Lembre-se que são 4
naipes. Aquele produto descrito na alternativa A é a probabilidade de todas as
cartas serem de um mesmo naipe específico.
Se são 4 figuras em cada naipe, então há um total de 16 figuras. A
probabilidade de serem 4 figuras é igual a (16/52).(15/51).(14/50).(13/49). A
alternativa B está errada.
www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves
6
Raciocínio Lógico Quantitativo e Estatística - IBGE
Prof. Guilherme Neves
A alternativa C está errada por um motivo parecido com o da alternativa A.
Como são 9 números, deveríamos multiplicar por 9.
Há 16 figuras e 36 números. Assim, a probabilidade de serem sorteados 4
números é (36/52).(35/51).(34/50).(33/49).
Letra D
34. (IBGE 2016/FGV) Sejam Y, X, Z e W variáveis aleatórias tais que Z = 2Y –
3X, sendo E(X2) = 25, E(X) = 4, Var(Y) = 16, Cov(X,Y) = 6. Então a variância
de Z é:
a) 55
b) 73
c) 108
d) 145
e) 217
Resolução
Vamos primeiro calcular a variância de X, que será necessária.
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
Var(X) = 25 – 42 = 9
Lembre-se da fórmula da variância da diferença de duas variáveis aleatórias.
Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2cov(X,Y)
Queremos calcular a variância de Z, ou seja, a variância de 2Y – 3X.
Var(2Y – 3X) = Var(2Y) + Var(3X) – 2cov(2Y,3X)
Quando multiplicamos uma variável por k, a sua média é multiplicada por k e
sua variância é multiplicada por k2.
É importante também saber que cov(aX,bY) = ab.cov(X,Y). Portanto,
Var(2Y – 3X) = 22.Var(Y) + 32.Var(X) – 2.2.3cov(Y,X)
Var(2Y – 3X) = 4.16 + 9.9 – 2.2.3.6 = 64 + 81 – 72 = 73
Letra B
www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves
7
Raciocínio Lógico Quantitativo e Estatística - IBGE
Prof. Guilherme Neves
35. (IBGE 2016/FGV) Sabe-se que as notas de uma prova têm distribuição
Normal com média µ = 6,5 e variância 𝜎 ! = 4. Adicionalmente, são conhecidos
alguns valores tabulados da normal-padrão.
Ø(1,3)≈0,90
Ø(1,65)≈0,95
Ø(1,95)≈0,975
Onde Ø(z) é a função distribuição acumulada da normal-padrão.
Considerando-se que apenas os 10% que atinjam as maiores notas serão
aprovados, a nota mínima para aprovação é:
a) 9,10
b) 9,30
c) 9,50
d) 9,70
e) 9,80
Resolução
O que significa Ø(1,3)≈0,90?
Significa que P(Z<1,3) = 90%. Portanto, P(Z>1,3) = 10%.
Desta maneira, vamos utilizar o valor Z = 1,3 na fórmula de transformação.
𝑍=
1,3 =
𝑋−𝜇
𝜎
𝑋 − 6,5
2
𝑋 − 6,5 = 2,6
𝑋 = 9,1
Letra A
www.pontodosconcursos.com.br | Prof. Guilherme Neves
8