Deixando de odiar Matemática – Parte 4

Matemática
Prof. Guilherme Neves
DeixandodeodiarMatemática–Parte4
Fatoração
2
Quantidadededivisoresdeumnúmeronatural
3
MínimoMúltiploComum
5
SimplificaçãodeFrações
7
MáximoDivisorComum
MétododaFatoraçãoSimultânea
AlgoritmodeEuclides
8
9
10
RelaçãoentreMMCeMDC
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Matemática
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Olá, pessoal!
Na parte 3 da série “Deixando de odiar Matemática”, introduzimos o conceito de
fração.
Antes de prosseguirmos nas operações com frações, precisamos
familiaridade com múltiplos, divisores, fatoração, MMC e MDC.
ter
Ademais, aproveitarei este artigo de hoje para ensinar como simplificar
qualquer fração (ou verificar que a fração é irredutível, ou seja, que não dá
mais para simplificar).
Se você acha que é besteira, tente simplificar, por exemplo, a fração 851/1.147
(simplificarei esta fração no final deste artigo).
Fatoração
Fatorar um número natural significa transformá-lo em um produto de números
primos.
Para quem não lembra, número primo é aquele que possui apenas dois
divisores naturais. Os números primos naturais são {2,3,5,7,11,13,...}.
É muito importante saber fatorar números naturais. Qual é o procedimento?
Imagine que queremos fatorar o número 360. Fique na mente com os primeiros
números primos. Tem algum número primo naquela lista que divide 360? Sim!
O número 2 divide 360 e o quociente é 180. Repita o procedimento até
encontrar o quociente 1.
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
Observe a coluna da direita: o produto destes números é exatamente 360.
Portanto, a fatoração prima de 360 é 23 x 32 x 51.
Fácil, não?
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Vamos fazer novamente. Fatore 784.
784
392
196
98
49
7
1
2
2
2
2
7
7
Assim, a fatoração prima de 784 é 24 x 72.
Observação: Um número é par quando 2 faz parte de sua fatoração prima. Caso
2 não figure na fatoração prima, o número será ímpar. Por exemplo: 34 x 53 é
um número ímpar, enquanto 27x32 é um número par. Verifique na calculadora!
Quantidadededivisoresdeumnúmeronatural
Depois que temos a fatoração prima de um número, é muito fácil calcular a sua
quantidade de divisores.
Vou mostrar com um número pequeno.
Os divisores naturais de 12 são {1,2,3,4,6,12}. São 6 divisores naturais.
Observe a fatoração prima de 12.
12
6
3
1
2
2
3
12 = 22 x 31.
A regra é a seguinte. Para calcular a quantidade de divisores, adicione 1 a cada
expoente e multiplique os resultados.
Neste exemplo, temos que a quantidade de divisores de 12 é (2+1)*(1+1)
=3*2 = 6.
Esta regra é facilmente explicada pelo princípio fundamental da contagem
(assunto de Análise Combinatória), mas isso fica para outro dia.
E em casos como 16 = 24, que só tem um fator primo?
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Basta adicionar 1 ao expoente! Portanto, 16 tem 4 + 1 = 5 divisores. São eles
{1,2,4,8,16}.
Vejamos mais um exemplo: vamos calcular a quantidade de divisores de 60.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
Portanto, 60 = 22 . 31 . 51
A quantidade de divisores naturais é (2+1)(1+1)(1+1) = 12.
Mais um exemplo: vamos calcular a quantidade de divisores de 125.
125
25
5
1
5
5
5
Como 125 = 53, então 125 possui 3+1 = 4 divisores.
Mais fácil do que passar manteiga em beiço de bode, não? (Expressão
nordestina kkkk...)
Isso foi cobrado na semana passada no concurso do TRF 3ª Região. Veja!
(Técnico Judiciário – TRF 3ª Região 2016/FCC) A diferença entre o menor
número natural ímpar com cinco divisores positivos distintos e o menor número
natural par, também com cinco divisores positivos distintos, é igual a
(A) 39.
(B) 27.
(C) 83.
(D) 65.
(E) 41.
Para que um número seja ímpar, 2 não pode aparecer em sua fatoração prima.
Portanto, o menor número ímpar com 5 divisores naturais é 34 = 81 (observe
que devemos adicionar 1 ao expoente para calcular a quantidade de divisores).
O menor número par com 5 divisores é 24 = 16.
A diferença entre eles é 81 – 16 = 65.
Letra D
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MínimoMúltiploComum
Para obtermos os múltiplos do número 4, multiplicamos cada elemento do
conjunto dos números naturais pelo número 4.
4×0 = 0
4×1 = 4
4×2 = 8
4×3 = 12
4×4 = 16
⋮
Os múltiplos de 4 são {0,4,8,12,16,20,24, … }.
Percebe-se facilmente que esse conjunto tem infinitos elementos.
Devemos nos lembrar dos seguintes fatos:
è O zero é múltiplo de qualquer número.
è Todo número é múltiplo de 1 e de si mesmo.
è O único múltiplo de zero é o próprio zero.
O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números
chama-se mínimo múltiplo comum (m.m.c.).
Qual o m.m.c. entre 8 e 12?
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 8 = {0,8,16, 𝟐𝟒, 32,40, 𝟒𝟖, 56,64, 𝟕𝟐, 80, … }
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 12 = {0,12, 𝟐𝟒, 36, 𝟒𝟖, 60, 𝟕𝟐, 84, … }
Observe que existem infinitos múltiplos comuns não-nulos. Dentre todos os
múltiplos comuns não-nulos, o menor é 24. Portanto, 𝑚𝑚𝑐 8,12 = 24.
Normalmente os problemas
periodicidades. Por exemplo:
envolvendo
mmc
são
aqueles
que surgem
Imagine que Guilherme tenha folga no trabalho a cada 8 dias. Sua esposa
Manuella folga no seu trabalho a cada 12 dias. Se os dois folgaram juntos hoje,
quando folgarão juntos novamente?
A resposta é dada pelo mmc. Os dois folgarão juntos novamente daqui a 24
dias!
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Obviamente eles não folgarão juntos APENAS daqui a 24 dias. Esta é apenas a
PRÓXIMA vez em que folgarão juntos. Pelo conjunto dos múltiplos que escrevi
anteriormente, percebemos que eles também daqui a 48 dias, daqui a 72 dias,
etc.
Normalmente, utilizamos o método da fatoração simultânea para calcular o
mmc.
Vejamos: mmc(8,12) = ?
8, 12
Devemos pensar em um número que divida algum deles. Que tal 2?
8, 12
4, 6
2
Continuando...
8, 12
4, 6
2, 3
2
2
Agora não temos mais como dividir 2 e 3 pelo mesmo número. Vamos continuar
a fatoração. Dividindo por 2 (repetimos o 3).
8, 12
4, 6
2, 3
1, 3
2
2
2
E agora dividimos por 3.
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8, 12
4, 6
2, 3
1, 3
1, 1
2
2
2
3
Desta forma, 𝑚𝑚𝑐 8,12 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24
Caso você tenha a fatoração prima dos números, o MMC é o produto dos fatores
comuns elevados aos maiores expoentes e dos fatores não-comuns.
- Como assim, Guilherme?????
Calma, meu amigo. Fique tranquilo.
Vejamos um exemplo. Qual o MMC entre 24x35x112 e 23x37x51?
Quais são os fatores comuns? 2 e 3. Coloquei até em vermelho para que você
perceba.
Observe que no número da esquerda o expoente de 2 é 4 e no número da
direita o expoente de 2 é 3. Pois bem, escolha o MAIOR expoente, beleza?
Assim, no MMC o expoente de 2 será 4. Da mesma maneira, o expoente de 3
no MMC será 7.
Os fatores que não são comuns também vão entrar no bolo.
Portanto, o MMC entre os números dados é 24x37x51x112.
SimplificaçãodeFrações
Para simplificar uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador pelo
mesmo número.
Por exemplo, a fração 6/8 pode ser simplificada por 2.
6:2 = 3 e 8:2 = 4. Portanto, 6/8 = 3/4.
Às vezes, não conseguimos pensar em bons números para simplificar de uma
vez só. Por exemplo, vamos simplificar 48/60.
Se você consegue perceber que 48 e 60 são divisíveis por 12, ótimo!
48:12 = 4 e 60:12 =5. Portanto, 48/60 = 4/5.
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Caso você não perceba, vá simplificando aos poucos:
48 24 12 4
=
=
=
60 30 15 5
No caso, simplifiquei por 2, por 2 e depois por 3.
O ideal é simplificar pelo MDC, que é o próximo tópico deste artigo.
Quando não dá para simplificar, dizemos que a fração é irredutível.
MáximoDivisorComum
Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o
primeiro é divisível pelo segundo, ou que o segundo número é divisor do
primeiro. Desta forma temos que:
15 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 3
3 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 15
O conjunto dos divisores de um número é aquele que comporta todos os
divisores do número em questão. Por exemplo, o conjunto dos divisores de 6 é:
𝐷! = {1,2,3,6}
O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo
divisor comum (m.d.c.).
Vejamos...
Qual é o m.d.c. entre 8 e 12?
Vamos listar os divisores de cada número.
𝐷! = {𝟏, 𝟐, 𝟒, 8}
𝐷!" = {𝟏, 𝟐, 3, 𝟒, 6,12}
Os números em vermelho são os divisores comuns de 8 e 12. Dentre os
divisores comuns, qual é o maior? A resposta é 4. Portanto, 𝑚𝑑𝑐 8,12 = 4.
Se mdc(x,y) = 1, dizemos que x e y são primos entre si (ou co-primos). Isto
significa dizer que apenas o número 1 divide x e y simultaneamente.
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Observe que é possível que x e y sejam primos entre si, mesmo que x e y não
sejam primos. Por exemplo, mdc(8,9) = 1, ou seja, 8 e 9 são primos entre si,
mas 8 não é primo e 9 não é primo.
Observe que a fração 8/9 é irredutível, pois o único divisor comum entre 8 e 9 é
o número 1.
Assim, sempre que mdc(x,y) = 1, a fração x/y é irredutível.
Vamos aprender dois métodos para calcular
“simpáticos” e outro para números feios. Rs...
MDC:
um
para
números
MétododaFatoraçãoSimultânea
Vamos calcular o 𝑚𝑑𝑐(84,144,60). Utilizaremos o método da fatoração
simultânea. Como bem diz o nome do método, devemos fatorar os três
números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. Para isto, devemos
procurar números que dividam simultaneamente os três números.
Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2?
84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por
2 é igual a 30.
84, 144 , 60
2
42, 72 , 30
Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente?
42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2
é igual a 15.
84, 144 , 60
2
42, 72 , 30
2
21, 36, 15
Pense em um número que divida 21, 36 e 15... Que tal 3?
21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é
igual a 5.
84, 144 , 60
42, 72 , 30
21, 36, 15
7, 12, 5
2
2
3
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Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5
simultaneamente? Não! Então devemos parar. Para calcular o MDC, devemos
multiplicar 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
Vamos agora aprender o chamado Algoritmo de Euclides.
AlgoritmodeEuclides
Vamos começar com um exemplo bem fácil. Calculemos o MDC(20,25). Estes
números são “simpáticos”. Poderíamos utilizar o método da fatoração
simultânea, mas vou utilizá-lo para ensinar o algoritmo de Euclides.
O Algoritmo de Euclides pode requisitar muitas divisões sucessivas (ele também
é chamado de Método das Divisões Sucessivas) até que se chegue ao resto zero
(sempre se chegará!). Por conta disso, é melhor usar uma chave que aproveita
melhor os resultados anteriores e deixa espaço para os próximos, caso sejam
necessários.
Para começar, monte uma grade com, pelo menos, 3 colunas e exatamente 3
linhas (deixe espaço à direita):
Na grade, insira os números envolvidos na linha do meio (vou manter os
números do nosso exemplo inicial). Assim,
25
20
Sempre na primeira linha, sobre o último divisor usado, escreva o quociente
da divisão atual. Na divisão de 25 por 20, o quociente é 1. Ficamos com:
25
1
20
O resto da divisão atual é registrado abaixo do dividendo da divisão
atual. Na divisão de 25 por 20 o resto é 5.
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25
5
1
20
Como o resto não foi igual a 0, copiamos o resto (5) ao lado do 10, na próxima
casa. Repete-se todo o processo anterior, lembrando que agora devemos dividir
20 por 5.
25
5
1
20
5
Na divisão de 20 por 5, o quociente é 4 e o resto é 0. Registre assim:
25
5
1
20
0
4
5
Como o resto é 0, você para! O MDC será o último divisor utilizado. No nosso
caso, o MDC é 5.
Vamos fazer mais um exemplo: Calcule MDC(117,81).
Resolução
Comece construindo a grade para efetuar a divisão de 117 por 81.
117
81
Na divisão de 117 por 81, o quociente é 1 e o resto é 36. Registre assim:
117
36
1
81
Como o resto foi diferente de 0, copiamos o resto (36) ao lado do 81.
117
36
1
81
36
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Devemos agora dividir 81 por 36. Nesta divisão, o quociente é 2 e o resto é 9.
Registre assim na tabela:
117
36
1
81
9
2
36
Como o resto é diferente de 0, devemos copiá-lo ao lado de 36.
117
36
1
81
9
2
36
9
Devemos agora dividir 36 por 9. Nesta divisão, o quociente é 4 e o resto é 0.
Pode parar!
117
36
1
81
9
2
36
0
4
9
Como o resto é 0, então o MDC é o último divisor utilizado. Portanto,
MDC(117,81) = 9.
Vamos agora responder a pergunta inicial deste artigo. Como simplificar a
fração 851/1.147?
Para simplificar esta fração, devemos pensar em um número que divida 851 e
1.147. Para ter menos trabalho e simplificar a fração de uma só vez, devemos
calcular o MDC.
A grade do algoritmo de Euclides ficará assim:
1.147
296
1
851
259
2
296
37
1
259
0
7
37
Portanto, MDC(1.147,851) = 37.
A fração 851/1.147 deve ser simplificada por 37.
851 dividido por 37 é igual a 23.
1.147 dividido por 37 é igual a 31.
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Resposta
𝟖𝟓𝟏
𝟐𝟑
=
𝟏. 𝟏𝟒𝟕 𝟑𝟏
Caso você tenha a fatoração prima dos números, o MDC é o produto dos fatores
comuns elevados aos menores expoentes. APENAS OS FATORES COMUNS!!
Vejamos um exemplo. Qual o MDC entre 24x35x112 e 23x37x51?
Quais são os fatores comuns? 2 e 3. Coloquei até em vermelho para que você
perceba. O menor expoente de 2 é 3 e o menor expoente de 3 é 5.
Portanto, o MDC entre os números dados é 23 x 35.
RelaçãoentreMMCeMDC
Qual é a relação entre o MMC e o MDC de DOIS números naturais?
Preste atenção!! Eu falei DOIS!! A propriedade seguinte é válida para apenas
dois números, ok?
É o seguinte. Se temos dois números x e y, é válida a seguinte relação:
𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑚𝑚𝑐(𝑥, 𝑦) ⋅ 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦)
Ou seja, o produto entre o MMC e o MDC é igual ao produto entre os próprios
números!
Por exemplo: mmc(6,8) = 24 e mdc(6,8) = 2.
6 x 8 = 48
mmc(6,8) x mdc(6,8) = 24 x 2 = 48
Ficamos por aqui. Espero que vocês tenham gostado da aula.
Um forte abraço, bons estudos e até o próximo artigo.
Guilherme Neves
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