Matemática Financeira - ISS/Cuiabá

Matemática Financeira – ISS/Cuiabá
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13. (ISS-Cuiabá 2016/FGV) Suponha um título de R$ 500,00, cujo prazo de
vencimento se encerra em 45 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1%
ao mês, o valor do desconto simples será́ igual a
a) R$ 7,00.
b) R$ 7,50.
c) R$ 7,52.
d) R$ 10,00.
e) R$ 12,50.
Resolução
Desconto “por fora” é o mesmo que desconto comercial.
O valor nominal do título é de R$ 500,00, a taxa é de 1% ao mês e o prazo é de
45 dias = 1,5 mês.
D = N*i*n = 500*0,01*1,5 = 7,50
Letra B
14. (ISS-Cuiabá 2016/FGV) Suponha um título cujo valor seja igual a R$
2000,00 e o prazo de vencimento é de 60 dias. Sob uma taxa de desconto “por
fora” igual a 1% ao mês, o valor do desconto composto é igual a
a) R$ 40,00.
b) R$ 39,80.
c) R$ 39,95.
d) R$ 38,80.
e) R$ 20,00.
Resolução
Desconto “por fora” é o mesmo que desconto comercial. Neste caso, teremos
que utilizar a fórmula do desconto composto.
O valor nominal do título é de R$ 2.000,00, a taxa é de 1% ao mês e o prazo é
de 2 meses.
A = N*(1-i)n
A = 2.000*(1-0,01)2
A = 2.000*0,992 = 2.000*0,9801 = 1.960,20
O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
D = N – A = 2.000 – 1.960,20 = 39,80 à Letra B
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15. (ISS-Cuiabá 2016/FGV) Nesta questão considere apenas a parte
inteira da resposta. As taxas efetivas trimestrais equivalentes a uma taxa
nominal de 3% ao trimestre, sob capitalizações mensal e bimestral, são iguais,
respectivamente, a
a) 3% e 3%.
b) 3% e 2%.
c) 3% e 1%.
d) 1% e 2%.
e) 2% e 2%.
Resolução
Vamos separar a resolução.
1) Taxa nominal de 3% ao trimestre sob capitalização mensal. Queremos a taxa
efetiva trimestral.
Neste caso, a taxa efetiva mensal é de 3%/3 = 1%.
Vamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente.
(1+it) = (1+im)3
(1+it) = (1+0,01)3
1+it = 1,030301
it = 0,030301 = 3,0301%
O problema manda considerar apenas a parte inteira da resposta: 3%
2) Taxa nominal de 3% ao trimestre com capitalização bimestral. Queremos a
taxa efetiva trimestral.
Neste caso, a taxa efetiva bimestral é de 2%.
Vamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente.
(1+it)2 = (1+ib)3
(1+it)2 = (1+0,02)3
(1+it)2 = 1,061208
1+it ≈ 1,0301
it ≈ 3,01%
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O problema manda considerar apenas a parte inteira da resposta: 3%
Letra A
16. (ISS-Cuiabá 2016/FGV) Suponha que João tenha obtido um financiamento
de R$ 100,00 à taxa efetiva de 50% ao ano, no regime de juros compostos. Por
sua vez, Maria obteve um financiamento de R$ 1000,00 sob as mesmas
condições de João. Em ambos os casos, o prazo de operação é de dois anos. As
prestações anuais para João e Maria são, respectivamente, iguais a
a) R$ 100,00 e R$ 1000,00.
b) R$ 95,00 e R$ 1200,00.
c) R$ 90,00 e R$ 900,00.
d) R$ 85,00 e R$ 1000,00.
e) R$ 80,00 e R$ 800,00.
Resolução
Para apenas duas prestações, não precisamos utilizar a fórmula do valor atual
de uma série de pagamentos. Vamos calcular primeiramente a prestação de
João. A prestação de Maria será 10 vezes maior, já que 1.000/100 = 10.
Escolhemos a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o
futuro devemos multiplicar o seu valor por (1 + 𝑖)! .
A equação da equivalência fica:
𝑋 + 𝑋 ∙ (1 + 𝑖)! = 100 ∙ (1 + 𝑖)!
𝑋 + 1,5 ∙ 𝑋 = 100 ∙ (1 + 0,5)!
2,5 ∙ 𝑋 = 225
𝑋 = 90
A prestação de Maria será 10 x 90 = 900 reais.
Letra C
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17. (ISS-Cuiabá 2016/FGV) Relacione o tipo de plano de amortização de
empréstimos à respectiva característica.
1. Pagamento Periódico de Juros.
2. Modelo Price.
3. SAC
( ) No final do prazo do financiamento, além dos juros anuais, é feito o
pagamento integral do principal.
( ) As prestações são iguais e divididas em juros do ano e amortização do
principal.
( ) As prestações são linearmente decrescentes.
Assinale a opção que indica a relação correta, de cima para baixo.
a) 1 – 2 – 3.
b) 1 – 3 – 2.
c) 2 – 1 – 3.
d) 2 – 3 – 1.
e) 3 – 2 – 1.
Resolução
O plano de amortização 1 é conhecido como Sistema Americano. O Sistema de
Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se
caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor
da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento.
( 1 ) No final do prazo do financiamento, além dos juros anuais, é feito o
pagamento integral do principal.
Vamos falar agora do sistema que utiliza prestações iguais. É o sistema Francês
e ele admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o período
de amortização.
Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros.
A quota de amortização diminui o valor da dívida e os juros remuneram o
capital.
Sabemos que, para aplicar as fórmulas de Matemática Financeira, a unidade da
taxa de juros deve ser a mesma do número de períodos. Se por acaso isso não
acontecer, isto é, estivermos trabalhando com taxas nominais, o Sistema
Francês será chamado de Sistema Price ou Tabela Price, em homenagem ao
teólogo, filósofo e especialista em finanças e seguros Richard Price.
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O modelo price é apenas um caso particular do Sistema Francês.
Em suma, o Sistema Price tem as mesmas características do Sistema Francês.
O único detalhe é que a taxa de juros será dada em termos nominais.
Achei um pouco estranha a maneira como a FGV se expressou: “juros do ano”.
Apesar de achar estranho, acho difícil a FGV anular esta questão. No item sobre
o sistema americano, a FGV também assumiu que as prestações eram anuais.
Seria melhor se a FGV tivesse deixado isso claro no enunciado.
( 2 ) As prestações são iguais e divididas em juros do ano e amortização do
principal.
Finalmente o SAC, Sistema de Amortização Constante. As prestações são
decrescentes e a sequência de prestações é uma P.A. de razão –iA, onde A é a
quota de amortização.
( 3 ) As prestações são linearmente decrescentes.
Letra A
18. (ISS-Cuiabá 2016/FGV) Em relação à taxa mínima de atratividade, em um
contexto de análise de investimentos, analise as afirmativas a seguir.
I. A taxa mínima de atratividade representa o custo de oportunidade do capital,
podendo ser maior ou menor do que a taxa interna de retorno do investimento
avaliado.
II. A taxa mínima de atratividade é a taxa que iguala o fluxo líquido presente no
projeto analisado a zero.
III. Se a taxa mínima de atratividade for menor do que o payback descontado
bruto, o projeto deve ser executado.
Assinale:
a) se somente a afirmativa I estiver correta.
b) se somente a afirmativa II estiver correta.
c) se somente a afirmativa III estiver correta.
d) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
e) se todas as afirmativas estiverem corretas.
Resolução
I. Verdadeiro.
II. Falso. O correto seria “taxa interna de retorno”.
III. Falso. Não tem como comparar a taxa mínima de atratividade com o
payback. Payback é o tempo necessário para recuperação do investimento. Não
dá para comparar uma taxa com um período de tempo.
Letra A
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19.(ISS-Cuiabá 2016/FGV) Suponha que VF seja o valor futuro, VP o valor
presente, i a taxa de juros e n o prazo. Logo, o valor do desconto racional é
igual a
𝑎)
(𝑉𝑃 1 + 𝑖 ! − 1 )
1+𝑖 !
𝑏)
(𝑉𝐹 1 + 𝑖 ! )
1+𝑖 !
c) VP – VF
𝑑)
(𝑉𝐹 (1 + 𝑖𝑛) − 1 )
(1 + 𝑖𝑛)
𝑒)
(𝑉𝐹 1 + 𝑖 ! − 1 )
1+𝑖 !
Resolução
Aqui cabe recurso. A FGV não foi explícita se o desconto é simples ou
composto. O gabarito fornecido pela banca utiliza um desconto composto.
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 ∙ 1 + 𝑖
!
O desconto é a diferença entre o valor futuro e o valor presente.
𝐷 = 𝑽𝑭 − 𝑉𝑃
𝐷 = 𝑽𝑷 ∙ 𝟏 + 𝒊
𝒏
− 𝑉𝑃
Colocando VP em evidência, temos:
𝐷 = 𝑉𝑃 ∙ [ 1 + 𝑖
!
− 1]
Não temos alternativas ainda. Vamos voltar e calcular o desconto em função de
VF.
Da primeira equação, sabemos que:
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
1+𝑖
!
Portanto,
𝐷 = 𝑉𝐹 − 𝑽𝑷
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𝐷 = 𝑉𝐹 −
𝑽𝑭
𝟏+𝒊
𝒏
𝐷=
𝑉𝐹 1 + 𝑖 ! − 𝑉𝐹
1+𝑖 !
𝐷=
𝑉𝐹[ 1 + 𝑖 ! − 1]
1+𝑖 !
Letra E
20.(ISS-Cuiabá 2016/FGV) Suponha dois fluxos de caixa de 3 anos, cujas
entradas no primeiro e segundo ano são iguais entre si e que, no terceiro ano, a
entrada do primeiro fluxo é de R$ 1000,00 e a do segundo é de R$ 500,00. Se
o primeiro fluxo de caixa representa as receitas e o segundo as despesas, o
valor presente do lucro a uma taxa de 2%, sob o regime de juros compostos é
igual aproximadamente a
a) R$ 530,60.
b) R$ 520,60.
c) R$ 500,00.
d) R$ 430,40.
e) R$ 420,60.
Resolução
Queremos calcular o valor presente do lucro. Vamos, portanto, transportar
receitas e despesas para a data 0.
Como as entradas nos dois fluxos (receitas e despesas) são iguais entre si no
primeiro e segundo anos, não precisamos transportá-los para calcular o lucro,
pois eles irão se cancelar.
No terceiro ano, a receita é de R$ 1.000,00 e a despesa é de R$ 500,00. A
diferença (lucro) no terceiro ano é de R$ 1.000,00 – R$ 500,00 = R$ 500,00.
Queremos calcular o valor presente deste lucro.
Para retroceder uma entrada para a data 0, basta dividir por (1+i)n.
𝑉𝑃𝐿 =
500
= 471,16
1,02!
Não há resposta correta e a questão deve ser anulada.
A FGV colocou como gabarito a alternativa A. No caso, eles pegaram o valor
500 e multiplicaram por 1,023. Está errado, pois este valor de R$ 500,00 está
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na data 3 e queremos calcular seu valor presente, ou seja, devemos retroceder
para a data 0.
21. (ISS-Cuiabá 2016/FGV) Sabendo-se que um investimento é remunerado a
uma taxa efetiva de 10% ao mês, sob o regime de juros compostos, calcule o
valor do investimento necessário para garantir um recebimento mensal de R$
200,00, ao final de cada um dos próximos dois meses.
a) R$ 350,00.
b) R$ 340,00.
c) R$ 345,00.
d) R$ 347,00.
e) R$ 344,00.
Resolução
Mais uma questão sobre equivalência de capitais. Queremos um recebimento de
200 reais ao final do primeiro mês e outro recebimento de 200 reais ao final do
segundo mês. Para saber o investimento necessário, vamos transportar estes
valores para a data 0. Para tanto, devemos dividir cada um dos valores por
(1+i)n.
𝑉𝑃 =
200
1 + 0,1
!
+
200
1 + 0,1
!
= 181,82 + 165,29 = 347,11
O valor mais próximo está na alternativa D.
Se é para brigar, vamos brigar. Na questão 15, a FGV mandou considerar
apenas a parte inteira da resposta. Aqui, eles levaram em consideração apenas
a parte inteira da resposta, mas não falaram isso no enunciado.
Se você quiser tentar um recurso, mostre que um investimento de R$ 347,00
não garante dois recebimentos de R$ 200,00 a uma taxa de 10% ao mês.
Observe:
Escolhemos a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o
futuro devemos multiplicar o seu valor por (1 + 𝑖)! .
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𝑋 + 𝑋 ∙ (1 + 𝑖)! = 347 ∙ (1 + 𝑖)!
𝑋 + 1,1 ∙ 𝑋 = 347 ∙ (1 + 0,1)!
2,1 ∙ 𝑋 = 419,87
𝑋 = 199,93
Assim, um investimento de R$ 347,00, a uma taxa de 10% ao mês, garante
dois recebimentos de R$ 199,93.
22.(ISS-Cuiabá 2016/FGV) Em relação ao modelo pós-fixado no tratamento da
inflação, assinale V para a afirmativa verdadeira e F para a falsa.
( ) A inflação é calculada a posteriori, ao longo do prazo da operação
contratada, à medida que aos valores do índice de preços se tornem
conhecidos.
( ) A inflação pode ficar em aberto no início da operação.
( ) Os cálculos financeiros são realizados com o fluxo de caixa expresso em
moeda estável, a preços constantes e com uma taxa de juros real, sem
inflação. As afirmativas são, respectivamente,
a) V, V e V.
b) V, V e F.
c) V, F e V.
d) F, V e V.
e) F, F e V.
Resolução
As três afirmativas são verdadeiras.
Letra A
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