1 1a Lista de Exercícios Carga Elétrica

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1a Lista de Exercícios
Carga Elétrica-Lei de Gauss
R
θ
P
1. Uma carga de 3, 0µC está afastada 12, 0cm de uma
carga de −1, 5µC. Calcule o módulo da força que atua
em cada carga.
Figura 2: Exercício 7.
2. Qual deve ser a distância entre duas cargas pontuais q1 = 26, 0µC e q2 = −47, 0µC para que o módulo da
força de atração elétrica entre elas seja de 5, 7N ?
Calcule a força com que atua sobre uma carga puntiforme
q colocada à distância ρ do fio (figura 3).
3. Duas pequenas esferas estão positivamente carregadas. O valor total das duas cargas é de 5, 0 × 10−5 C.
As esferas repelem-se com uma força de 1, 0N , quando
estão separadas por uma distância de 2, 0m. Sendo
assim, calcule a carga em cada uma delas. Trate-as
como cargas pontuais.
4. Duas cargas fixas de 1, 0µC e −3, 0µC estão fixas
e separadas por uma distância de 10, 0cm. Onde você
deverá localizar uma terceira carga, para que nenhuma
força atue sobre ela?
ρ
O
q
θ
z
dz
Figura 3: Exercício 8.
5. Duas partículas carregadas são mantidas fixas
no plano xy nas posições x1 = 3, 5cm; y1 = 0, 50cm
e x2 = −2, 0cm; y2 = 1, 5cm. Elas possuem cargas
q1 = 3, 0µC e q2 = −4, 0µC , respectivamente. (a)
Determine o módulo e a direção da força elétrica na
carga q2 . (b) Onde deverá ser localizada uma terceira
carga q3 = 4, 0µC para que a resultante das forças que
atuam em q2 seja nula?
6. As cargas q , 2q e 3q são colocadas nos vértices
de um triângulo equilátero de lado a, como mostrado na
figura 1. Uma carga Q de mesmo sinal que as outras
três é colocada no centro do triângulo. Obtenha a força
elétrica resultante sobre Q (módulo e direção).
2q
9. Uma linha de carga com uma densidade uniforme
de 35nC/m encontra-se ao longo da linha y = −15cm,
entre os pontos com corrdenadas x = 0 e x = 40, 0cm.
Encontre a força elétrica que atua numa carga de 1, 0µC
colocada na origem.
10. Duas pequenas esferas condutoras com 10, 0g de
massa estão suspensas por dos fios de seda de 120cm de
comprimento e possuem a mesma carga elétrica q, como
mostrado na figura 4. Considerando que o ângulo θ é tão
pequeno que tan θ possa ser aproximada por sin θ e que
este sistema esteja em equilíbrio, com x = 5, 0cm, calcule
o valor de q.
a
a
θ θ
Q
L
L
q
3q
a
x
q
q
Figura 1: Exercício 6.
Figura 4: Exercício 10.
7. Uma carga Q é distribuída uniformemente sobre um
fio semicircular de raio R. Calcule a força com que atua
sobre uma carga de sinal oposto −q colocada no centro
(ver figura 2).
8. Um fio retilíneo muito longo (trate-o como infinito)
está eletrizado como uma densidade linear de carga λ.
11. A figura 5 mostra uma longa barra isolante sem
massa, com comprimento L, presa por um pino no seu
centro e equilibrada com peso W a uma distância x de
sua extremidade esquerda. Nas extremidades esquerda
e direita da barra são colocadas cargas positivas q e 2q,
respectivamente. A uma altura h imediatamente abaixo
dessas cargas está fixada uma carga positiva +Q. (a)
2
Determine a distância x para o peso na situação de equilíbrio da barra. (b) Qual deverá ser o valor de h para
que a barra não exerça nenhuma força vertical sobre o
suporte quando em equilíbrio?
L
x
2q
q
h
W
Q
Q
Figura 7: Exercício 15.
Figura 5: Exercício 11.
12. Quatro cargas pontuais idênticas (q = 10µC) estão
localizadas nos vértices de um retângulo, como mostrado
na figura 6. As dimensões do retângulo são L = 60cm
e W = 15cm. Calcule a magnitude e a direção da força
elétrica resultante exercida na carga situada no vértice
esquerdo inferior pelas outras três cargas.
y
q
q
16. Duas cargas pontuais de módulo 2, 0 × 10−7 C
e 8, 5 × 10−8 C, respectivamente, estão 12cm distantes
uma da outra. (a) Qual é o campo elétrico que cada
uma produz no lugar da outra? (b) Qual é a força que
atua sobre cada uma delas?
17. Duas cargas pontuas estão fixas e separadas por
uma distância d, como mostrado na figura 8. Esboce
E (x), supondo x = 0 na carga da esquerda. Considere
ambos os valores de x como positivo e negativo. Esboce
E positivo, se o campo elétrico apontar para a direita e
negativo, se apontar para a esquerda. Considere q1 =
1, 0µC; q2 = 3, 0µC e d = 10cm.
W
q
L
q
x
Figura 6: Exercício 12.
Figura 8: Exercício 17.
13. Uma linha de carga está uniformemente carregada
e encontra-se sobre o eixo ox, de modo que seu centro
esteja na origem de sistema de coordenadas. Esta linha
possui 50cm de comprimento e sua carga total vale 3µC.
Uma carga pontual de valor −5µC está sobre o eixo oy,
a uma distância y do centro da linha. (a) Calcule a
força elétrica da linha sobre a carga pontual em função
de y. (b) Qual a direção e sentido desta força? (c)
Mostre que se y for grande em relação ao comprimento
da linha, esta se comporta como uma carga pontual. (d) Neste caso, qual o valor da força elétrica para
y = 10m? (e) Compare este resultado com o valor exato.
14. Uma partícula α, o núcleo de hélio, tem massa de
−
6, 7 × 10−27 kg e uma carga de 2 e. Quais são o módulo e
a direção do campo elétrico que equilibrará o seu peso?
15. Na figura 7 as cargas estão localizadas nos vértices
de um triângulo equilátero. Para qual valor de Q, tanto
em sinal como em magnitude, o campo elétrico total se
anula no centro do triângulo?
18. Duas cargas, q1 = 2, 1µC e q2 = −8, 4µC, estão
fixas e distantes 50cm uma da outra. Determine o ponto
ao longo da linha reta que passa pelas cargas no qual o
campo elétrico é nulo.
19. Calcule o valor da força devido a um pequeno dipolo elétrico com momento de dipolo de valor
3, 6 × 10−29 Cm sobre um elétron distante 25nm ao longo
do eixo do dipolo.
20. Um anel, com 2, 5cm de raio, está uniformemente
carregado com uma densidade linear de carga de valor
3, 0nC/m. O anel está no plano xy com seu centro na
origem. Determine o ponto ao longo do eixo do anel,
eixo z, no qual o campo elétrico produzido pelo anel
é máximo. Calcule a intensidade deste campo elétrico
máximo.
21. Uma barra isolada “semi-infinita” possui uma
carga constante por unidade de comprimento de valor
3
λ. Mostre que o campo elétrico no ponto P da figura 9
forma um ângulo de 45o com a barra e que este resultado
é independente da distância R.
Figura 9: Exercício 21.
22. Uma linha de carga com uma densidade uniforme
de 35x, em nC/m, encontra-se ao longo da linha
y = −15cm, entre os pontos com corrdenadas x = 0 e
x = 40, 0cm. Encontre o campo elétrico criado por esta
distribuição de cargas na origem.
23. Uma carga Q é distribuída sobre um fio semicircular com 5, 0cm de(raio,
) de modo que a densidade linear
de carga é 35 cos θ2 , em nC/m. (a) Calcule a carga
elétrica total desta linha de cargas e (b) calcule o campo
elétrico criado por ela no centro (ver figura 10).
25. Um próton (1, 67 × 10−27 kg) acelera a partir do repouso em um campo elétrico uniforme de
640N/C. Algum tempo depois, sua velocidade alcança
1, 20 × 106 m/s. Calcule a aceleração do próton, o tempo
que leva para ele atingir esta velocidade, a distância
por ele percorrida e sua energia cinética nesta velocidade.
26.
Em um canal de irrigação, cuja largura é
w = 3, 22m e profundidade d = 1, 04m, a água flui com
uma velocidade de 0, 207m/s. Determine o fluxo de
massa através das seguintes superfícies: (a) uma superfície de área wd, totalmente na água e perpendicular ao
fluxo; (b) uma superfície de área 3wd/2, da qual wd está
na água e perpendicular ao fluxo; (c) uma superfície de
área wd/2, totalmente na água, perpendicular ao fluxo;
(d) uma superfície de área wd metade na água e metade
fora, perpendicular ao fluxo; (e) uma superfície de área
wd, totalmente na água, fazendo um ângulo de 34o com
a direção do fluxo.
27. Um cubo com 1, 35m de aresta está orientado com
um dos vértice na origem de um sistema cartesiano, como
mostrado na figura 12. Nesta região existe um campo
elétrico uniforme. Calcule o valor do fluxo elétrico que
atravessa a face direita do cubo, que é paralela ao plano
xz, se o campo elétrico, em newton/coulomb, for dado
por: (a) 6î; (b) −2ĵ; (c) −3î + 4k̂. (d) Qual é o valor
total do fluxo através de todo o cubo para cada um destes
campos?
R
θ
z
P
Figura 10: Exercício 23.
24. Um elétron (9, 1 × 10−31 kg), com velocidade
inicial de 3000km/s, horizontal para a direita, penetra
numa região onde existe um campo elétrico uniforme
⃗ = 200N/C ĵ. Este campo uniforme é gerado
dado por E
por duas placas paralelas, de comprimento L = 0, 100m
(figura 11). Calcule (a) a aceleração do elétron enquanto
ele estiver na região do campo; (b) o tempo que demora
para o elétron atravessar esta região e (c) o deslocamento
vertical do elétron após atravessar a região do campo.
Figura 11: Exercício 24.
y
x
Figura 12: Exercício 27.
28. Determinou-se, através de experiências, que o
campo elétrico situado numa certa região da atmosfera
terrestre está dirigido verticalmente para baixo. Numa
altitude de 300m, o campo vale 60N/C e, numa altitude
de 200m, ele vale 100N/C. Determine a carga total
resultante contida num cubo de 100m de aresta e
localizado numa altitude entre 200m e 300m. Despreze
a curvatura da Terra.
29. Determine o fluxo líquido através do cubo do
exercício 27. se o campo elétrico for dado por: (a)
⃗ = 3y ĵ e (b) E
⃗ = −4î + (6 + 3y) ĵ. (c) Em cada caso,
E
qual é o valor da carga elétrica contida no interior do
4
cubo?
30. Uma esfera condutora uniformemente carregada,
de 1, 2m de diâmetro, possui uma densidade superficial
de cargas de 8, 1µC/m2 . (a) Determine a carga sobre
a esfera. (b) Qual é o valor do fluxo elétrico total que
está deixando a superfície da esfera?
31. Uma infinita linha de cargas produz um campo
de 4, 5 × 104 N/C a uma distância de 2, 0m. Calcule a
densidade de carga linear.
32. Considere um tubo de metal cujas paredes são
finas. O tubo tem um raio R e uma carga por unidade de
comprimento λ sobre sua superfície. Obtenha expressões
para E para várias distâncias r a partir do eixo do
tubo, considerando ambas: (a) r > R e (b) r < R.
Faça um gráfico dos seus resultados para a faixa de
r = 0 a r = 5, 0cm, supondo que λ = 2, 0 × 10−8 C/m e
R = 3, 0cm.
Figura 13: Exercício 38.
39. Uma esfera isolante sólida de raio a tem uma densidade de carga uniforme ρ e carga total Q. Uma esfera
condutora oca, não carregada, cujos raios interno e externo são b e c, como mostra a figura 14, é concêntrica
a essa esfera. (a) Encontre a magnitude do campo elétrico nas regiões r < a, a < r < b, b < r < c e r > c.
(b) Determine a carga induzida por unidade de área nas
superfícies interna e externa da esfera oca.
33. Dois cilindros carregados, longos e concêntricos,
têm raios de 3, 0cm e 6, 0cm. A carga, por unidade de
comprimento, sobre o cilindro interno é de 5, 0µC/m
e sobre o cilindro externo é de −7, 0µC/m. Calcule o
campo elétrico em: (a) r = 4, 0cm e (b) r = 8, 0cm.
34. Cargas são distribuídas uniformemente através de
um cilindro não condutor infinitamente longo de raio R.
(a) Mostre que E a uma distância r do eixo do cilindro
ρr
, onde ρ é a densidade
(r < R) é dado por E = 2ε
o
volumétrica de cargas. (b) Que resultado podemos
esperar para r > R?
Figura 14: Exercício 39.
35. Uma placa metálica de 8, 0cm de lado possui uma
carga total de 6µC. (a) Usando a aproximação de uma
placa infinita, calcule o campo elétrico 0, 50mm acima
da superfície da placa e próximo do seu centro. (b)
estime o valor do campo a uma distância de 30m.
40. Uma esfera condutora sólida com raio de 2, 0cm
tem carga de 8, 0µC. Uma casca esférica condutora
com raio interno de 4, 0cm e raio externo de 5, 0cm é
concêntrica com a esfera sólida e tem uma carga total
de −4, 0µC. Encontre o campo elétrico a uma distância
do centro dessa configuração de carga de r = 1, 0cm,
r = 3, 0cm, r = 4, 5cm e r = 7, 0cm.
36. Uma esfera condutora de 10, 0cm de raio possui
uma carga total de valor desconhecido. Se o campo
elétrico a 15cm do centro da esfera é igual a 3000N/C e
aponta radialmente para dentro, qual é o valor da carga
total da esfera?
41. Um pedaço de isopor de 10, 0g tem uma carga
líquida de −0, 70µC e flutua acima do centro de uma
folha horizontal grande de plástico que tem densidade
de carga uniforme sobre sua superfície. Qual é a carga
por unidade de área sobre a folha plástica?
37. Duas esferas carregadas e concêntricas têm raios
de 10cm e 15cm. A carga sobre a esfera interna é de
4, 0 × 10−8 C e sobre a esfera externa é de 2, 0 × 10−8 C.
Calcule o campo elétrico em (a) r = 12cm e em (b)
r = 20cm.
42. Uma placa quadrada de cobre de 50, 0cm de lado
não tem carga líquida alguma e é colocada em uma
região de campo elétrico uniforme de 80kN/C orientado
perpendicularmente à placa. Encontre a densidade de
carga de cada face da placa e a carga total em cada face.
38. A figura 13 mostra uma casca esférica, feita de
material isolante, com densidade uniforme de carga ρ.
Faça um gráfico da variação de E com r (distância do
ponto considerado ao centro da casca no intervalo de 0
a 30cm). Suponha que ρ = 1, 0µC/m3 ; a = 10cm e
b = 20cm.
43. Uma casca cilíndrica de raio 7, 00cm e comprimento de 240cm tem sua carga distribuída uniformemente sobre sua superfície curva. A magnitude do
campo elétrico em um ponto raialmente distante 19, 0cm
do seu eixo (medido a partir do centro da casca) é de
36, 0kN/C. Encontre (a) carga líquida sobre a casca e
5
(b) o campo elétrico em um ponto a 4, 00cm do eixo,
medido radialmente para fora a partir do eixo da casca.
44. Resolva o exercício 39. supondo dois cilindros
longos e concêntricos, como mostrados na figura 15.
Figura 15: Exercício 44.
RESPOSTAS
1. F = 2, 81N
2. r = 1, 39m
3. 38, 4µC e 11, 6µC
4. −13, 66cm a esquerda da carga de 1µC, supondo
que esta esteja carga esteja na origem
5. F = 34, 56N e θ = −10, 3o ; x3 = −8, 4cm e y3 =
2, 7cm
√
6. Fx = 3 3kqQ/a2 e Fy = 0. Direção horizontal
para a direita.
7. Fy = 2KqQ
πR2 . Direção vertical para cima.
8. F = 2Kqλ/ρ, na direção radial.
9. Fx = −1, 36mN ; Fy = 1, 97mN ; F = 2, 39mN ;
θ = −55, 4o
10. ±23, 8µC
√
(
)
3KqQ
11. x = L2 1 + KqQ
W h2 ; h =
W
12. Fx = −4, 79N ; Fy = −40, 5N ; θ = 83, 2o
13. Fy = √ 0,135 2 , vertical para baixo.
y
y 2 >> 0, 0625
0,0625+y
Fy ≈ 0,135
y 2 . Em
Se
y = 10m Fy = 0, 00135N
enquanto que o valor exato é Fy = 0, 001348...N
14. E = 20, 5 × 10−8 N/C
15. Q = 1µC
16. E1 = 0, 125 × 106 N/C, E2 = 0, 53125 × 105 N/C.
F12 = F21 = 0, 010625N
18. −50cm
19. 6, 63 × 10−15 N
√
20. E é máximo em z = ±R/ 2. Neste caso Emax =
2, 61kN/C.
22. Ex = 242N/C; Ey = 204N/C; 139, 9o
23. Ex = 3, 59 × 105 N/C; Ey = 7, 20 × 105 N/C; 63, 4o
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
−3, 52 × 1013 m/s2 ĵ; 33, 3ns; −1, 95cm
19, 6µs; 11, 7m; 1, 2 × 10−15 J
693kg/s; 693kg/s; 346kg/s; 346kg/s; 0, 575m3 /s
0; −3, 645N m2 /C; 0; 0
3, 54µC
7, 38N m2 /C; 7, 38N m2 /C; 65, 3pC
37µC; 4, 2 × 106 N m2 /C
5µC/m
0 para r < R; 2πελo r para r > R
2, 25 × 106 N/C; −4, 5 × 105 N/C
5, 3 × 107 N/C; 60N/C
−7, 5nC
0, 25 × 105 N/C; 0, 135 × 105 N/C
(
)
3
38. E = 3ερo r − ar para a < r < b
33.
35.
36.
37.
39. E =
40.
41.
42.
43.
44.
Q
4πεo r 2
6
para r > c; σext =
Q
4πc2
0; 80 × 10 N/C; 0; 7, 3 × 106 N/C
2, 5 × 10−8 C/m2
±708nC/m2 ; ±177nC
913nC
λ
E = 2πελo r para a < r < b; σext = 2πc