Resolução da Prova de Raciocínio Lógico

ESAF/MPOG/2008
Resolução da Prova de Raciocínio Lógico-Quantitativo
(Referência: Provas 1 e 2 - Gabarito 1, dos cargos EPPGG - Especialista em Políticas Públicas e Gestão
Governamental / APO - Analista de Planejamento e Orçamento, aplicadas em 07/06/2008)
Opus Pi.
Rio de Janeiro, 20 de março de 2009.
Opus Pi. [email protected]
1
26 - Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes
de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24
meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos
não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que
Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é igual a:
a) 30
b) 40
c) 246
d) 124
e) 5
Resolução
Questão que aborda o Princípio da Casa dos Pombos. A resposta é direta: Marcos deverá tirar da gaveta
uma quantidade de meias que supera, no mínimo, em uma unidade o número de cores existentes. Temos 4
cores (preta, branca, azul e amarela), logo o número mínimo de meias é 5 (= 4 + 1).
Resposta: E
Gabarito oficial: E
27 - Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. Pedro afi rma para Paulo
que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de vista lógico,
Paulo pode afirmar corretamente que:
a) X ≠ B e Y ≠ D
b) X = B ou Y ≠ D
c) X ≠ B ou Y ≠ D
d) se X ≠ B, então Y ≠ D
e) se X ≠ B, então Y = D
Resolução
Considere as proposições:
p: X = B
q: Y = D
Pedro afirma que p ^ q. Do ponto de vista lógico, dizer que Pedro sempre mente é dizer que é verdade que
~(p ^ q). Pela Lei de Morgan, ~(p ^q) = ~p v ~q.
~p: X ≠ B
~q: Y ≠ D
Portanto, ~p v ~q significa X ≠ B ou Y ≠ D.
Resposta: C
Gabarito oficial: C
Opus Pi. [email protected]
2
28 - No último mês, cinco vendedores de uma grande loja realizaram as seguintes vendas de
pares de calçados: Paulo vendeu 71, Ricardo 76, Jorge 80, Eduardo 82 e Sérgio 91. Ana é diretora
de vendas e precisa calcular a venda média de pares de calçados realizada por estes cinco
vendedores. Para este cálculo, a empresa disponibiliza um software que calcula
automaticamente a média de uma série de valores à medida que os valores vão sendo digitados.
Ana observou que, após digitar o valor de cada uma das vendas realizadas pelos vendedores, a
média calculada pelo software era um número inteiro. Desse modo, o valor da última venda
digitada por Ana foi a realizada por:
a) Sérgio
b) Jorge
c) Paulo
d) Eduardo
e) Ricardo
Resolução
Primeiramente, observa-se que a soma de todos os valores é 400 e a média é 80. Se após cada valor
digitado a média é um número inteiro (o que se verifica para a média final), então para descobrir qual o
último número digitado, temos que verificar qual soma dos quatro primeiros é múltipla de 4. Se ocorrer
mais de uma satisfazendo essa condição, procura-se qual soma dos três primeiros é múltipla de três e assim
sucessivamente. Sendo 400 o valor total, então temos as seguintes possibilidades de soma para os quatro
primeiros:
1) 400 – 71 = 329
2) 400 – 76 = 324
3) 400 – 80 = 320
4) 400 – 82 = 318
5) 400 – 91 = 309
Observamos que apenas nas situações 2 e 3 o resultado é múltiplo de 4. Portanto, os valores 80 e 76 são
candidatos a ser o último digitado. Precisamos verificar se a soma dos três primeiros, nessas duas
condições é múltipla de 3.
Caso o 76 seja o último a ser digitado:
1) 324 – 71 = 253
2) 324 – 82 = 242
3) 324 – 91 = 233
4) 324 – 80 = 244
Nenhum dos resultados acima é múltiplo de 3 e 76 não pode ser o último digitado. Resta que o valor de 80
foi o último a ser digitado, que é o número de venda de Jorge.
Resposta: B
Gabarito oficial: B
Nota
Apenas por verificação, vamos proceder com o número 80:
1) 320 – 71 = 249
2) 320 – 82 = 238
2) 320 – 91 = 229
Opus Pi. [email protected]
3
3) 320 – 76 = 244
Observa-se que apenas na situação 1 o resultado é divisível por 3. Continuando, precisamos verificar em que situação
a soma dos dois primeiros é divisível por dois.
1) 249 – 82 = 167
2) 249 – 91 = 158
3) 249 – 76 = 173
É divisível por 2 apenas a situação 2. Restaram, portanto, os números 82 e 76. É indiferente a ordem na qual são
digitados, sendo assim, há duas seqüências que atendem às condições do enunciado, pois a cada número digitado a
média é um valor inteiro. São elas:
1) 82, 76, 91, 71, 80
2) 76, 82, 91, 71, 80
Em ambas o último número é o de Jorge.
29 - Se X > Y, então Z > Y; se X < Y, então Z > Y ou W > Y; se W < Y, então Z < Y; se W > Y, então X
> Y. Com essas informações pode-se, com certeza, afirmar que:
a) X > Y; Z > Y; W > Y
b) X < Y; Z < Y; W < Y
c) X > Y; Z < Y; W < Y
d) X < Y; W < Y; Z > Y
e) X > Y; W < Y; Z > Y
Resolução
Considere as seguintes proposições:
p: Se X > Y, então Z > Y
q: Se X < Y, então Z > Y ou W > Y
r: Se W < Y, então Z < Y
s: Se W > Y, então X > Y
Como todas as proposições são condicionais, então é recomendado assumir, se usarmos o antecedente,
que ele seja V, e caso se use o conseqüente, que ele seja F. Usaremos antecedente V. Assim, de p, por
hipótese vamos supor que v(X > Y) = V, logicamente implica v(Z > Y) = V. Observe que a hipótese torna v(X <
Y) = F, e segundo q, o conseqüente pode ser tanto V como F. Neste caso a informação do antecedente de q
não serve muito.
Suponhamos, por hipótese, que v(W < Y) = V. Por r, resta que v(Z < Y) = V, contradiz a primeira conclusão.
Isso significa que não devemos considerar v(W < Y) = V, portanto, vamos temos que usar v(W > Y) = V.
Sendo assim, por s, v(X > Y) = V (confirma a hipótese inicial). Resta saber se realmente v(Z > Y) = V. Ora, se
isso não fosse verdade, então teríamos v(Z > Y) = F, o que resulta de p que v(X > Y) = F, que não é verdade.
Logo v(Z > Y) = V.
Em resumo, X > Y, Z > Y e W > Y.
Resposta: A
Gabarito oficial: A
Opus Pi. [email protected]
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Nota
Particularmente, considero que a questão não está completamente fechada em sua resposta, visto que se tivermos X
= Y, Z = Y e W = Y, todas as proposições também são verdadeiras pelo fato de seus antecedentes e conseqüentes
serem todos falsos. Isso torna os condicionais (as premissas) verdadeiros. A resolução acima, implicitamente, está
admitindo que se é falso que A > B então temos é verdade que A < B. O que não é completamente correto pois
podemos ter A = B e não necessariamente A < B. Por este detalhe, o mais correto teria sido a anulação da questão. É
claro que a alternativa A também torna todas as premissas verdadeiras, mas não é a única coisa que se pode afirmar
com certeza dada as premissas do enunciado.
30 - Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida
multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz
B é igual a:
a) 10-6
b) 105
c) 1010
d) 106
e) 103
Resolução
É suficiente considerar a seguinte propriedade dos determinantes: se A é uma matriz de ordem n e B é uma
matriz formada por todos os elementos de A multiplicados por k, então det(B) = kn.det(B). Na questão, n = 5,
k = 10 e det(A) = 10. Assim, det(B) = 105.10 = 106.
Resposta: D
Gabarito oficial: D
31 - Sabe-se que os números x, y e z são números racionais. Sabe-se, também, que z =
x−2 3
3− y 3
.
Com essas informações, conclui-se que:
a) x ⋅ y = −6
b) x + y = 6
c) x ⋅ y = 0
x
d) = 6
y
e) x ⋅ y = 6
Resolução
Racionalizando o denominador da expressão de z temos:
z=
(x − 2 3 )(3 + y 3 ) = 3x + (xy − 6) 3 − 6 y .
9 − 3y
(3 − y 3 )(3 + y 3 )
Como x e y são números racionais, então os termos 9 – 3y e 3x - 6y também são. Como z é racional, então
devemos ter ( xy − 6 ) = 0 , o que implica xy = 6 .
Resposta: E
Gabarito oficial: E
Opus Pi. [email protected]
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Nota
A imposição de que (xy − 6 ) = 0 advém da necessidade de anularmos o único termo que pode tornar z irracional , o
(xy − 6 ) 3 . Poderíamos ser tentado a não anular, mas torná-lo racional impondo que (xy − 6 ) = k 3 , com k racional.
Acontece que esta condição resulta que xy = 6 + k 3 , que é sempre irracional para k diferente de zero; e sendo
sempre irracional não pode resultar do produto de dois racionais (no caso, x e y), infringindo a hipótese do enunciado.
Em verdade, a única condição que satisfaz é quando k é nulo, que gera a condição imposta para a solução do
problema.
32 - Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente,
três bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a:
1
10
8
b)
5
11
c)
120
11
d)
720
41
e)
360
a)
Resolução
Total de bolas: 10. Como a retirada é sem reposição, as probabilidades de termos três bolas
separadamente da cada cor são:
Retirar 3 bolas pretas: P(3 pretas) = (5/10).(4/9).(3/8) = 1/12
Retirar 3 bolas brancas: P(3 brancas) = (3/10).(2/9).(1/8) = 1/120
Retirar 3 bolas vermelhas: P(3 vermelhas) = (2/10).(1/9).(0/8) = 0.
A probabilidade retirar 3 bolas P( 3 bolas) da mesma cor é:
P(3 bolas) = P(3 pretas) + P(3 brancas) + P(3 vermelhas) = 1/12 + 1/120 + 0 = 11/120.
Resposta: C
Gabarito oficial: C
33 - Beatriz aposentou-se e resolveu participar de um curso de artesanato. Em sua primeira aula,
ela precisou construir uma caixa retangular aberta na parte de cima. Para tanto, Beatriz colou
duas peças retangulares de papelão, medindo 200 cm2 cada uma, duas peças retangulares,
também de papelão, medindo 300 cm2 cada uma e uma outra peça retangular de papelão
medindo 600 cm2. Assim, o volume da caixa, em litros, é igual a:
a) 48
b) 6
c) 36
d) 24
e) 12
Opus Pi. [email protected]
6
Resolução
O desenho abaixo representa a caixa de papelão construída por Beatriz, com a medida das três dimensões
(a = altura, b = largura e c = comprimento).
a
c
b
Pelos dados do enunciado temos ab = 200cm², ac = 300cm³ e bc = 600cm². Deseja-se saber quanto vale o
volume abc.
Multiplicando as três áreas acima, tem-se (ab).(ac).(bc) = 200cm² x 300cm² x 600cm² = 62 x 10002 cm6, isto
é, (abc)2 = 62 x 10002 cm6, o que resulta em abc = 6000cm³. Como 1 litro equivale a 1000cm³, então abc = 6
litros.
Resposta: B
Gabarito oficial: B
34 - Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se
que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5° (cinco graus).
Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a:
a) 9 e 8
b) 8 e 9
c) 9 e 10
d) 10 e 11
e) 10 e 12
Resolução
Esta questão foi anulada. Acredito que por impropriedade no enunciado, ao citar os polígonos A e B em vez
de X e Y. Para chegarmos a uma resposta teríamos que assumir que A é X e B é Y. Em questão de concurso
o enunciado tem que ser claro e conter todas as informações, de forma que o candidato não seja obrigado
a assumir nada além do que nele está contido.
De qualquer forma, vou resolver conforme o enunciado abaixo (acredito que seria o correto):
“Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo
interno do polígono X excede o ângulo interno do polígono Y em 5° (cinco graus). Desse modo, o número de
lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a:”
O ângulo interno α de um polígono regular com n lados é dado por α = 180(n – 2)/n. Assim, para os
polígonos X e Y, temos:
α X = 180(n + 1 – 2)/(n + 1) = 180(n – 1)/(n + 1)
α Y = 180(n – 2)/n
Foi dito que α X = α Y + 5, então;
180(n – 1)/(n + 1) = 180(n – 2)/n + 5
Opus Pi. [email protected]
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180(n – 1)n = 180(n – 2)(n + 1) + 5n(n + 1)
180(n2 – n) = 180(n2 – n – 2) + 5(n2 + n)
180(n2 – n) = 180(n2 – n) – 360 + 5(n2 + n)
n2 + n – 72 = 0
n(n + 1) = 72
Dois números inteiros positivos consecutivos cujo produto é 72 são 8 e 9, logo, n = 8. Conclui-se que o
polígono X tem 9 (= n + 1) lados e o Y tem 8 (= n) lados.
Se a questão tivesse com o enunciado correto, a resposta seria A, como constava no gabarito preliminar.
Resposta: sem resposta
Gabarito oficial: questão anulada
35 - Sabendo-se que as alturas de um triângulo medem 12, 15 e 20 e que x é seu maior ângulo
interno, então o valor de (1 – sen2x) é igual a:
a) -1
b) 2
c) 1
d) 0
2
e)
3
Resolução
Da identidade fundamental da trigonometria, sen2x + cos2x = 1, temos que 1 – sen2x = cos2x. O maior lado
de um triângulo tem como vértice oposto o que corresponde ao maior ângulo. E a altura relativa ao maior
lado é á menor delas. Com essas informações, podemos montar a seguinte figura genérica, onde o
triângulo ABC é o do encunciado e tem lados de medidas a, b e c. As dimensões mostradas são
autoexplicativas e o circulo pequeno preto representa ângulo reto.
E
D
15 c
e
dA
20
x
b
12
B
a
C
A área do triângulo ABC é A = 12a/2 = 15b/2 = 20c/2, o que resulta, 2A = 12a = 15b = 20c. O mínimo
múltiplo comum entre 12, 15 e 20 é mmc(12, 15, 20) = 60. A área A é um múltiplo da metade deste mmc.
Note que o único valor que respeita as restrições geométricas de um triângulo é o 150. Assim, A = 150 e a =
25, b = 20 e c = 15. Como dois lados são iguais a duas alturas em tão trata-se de um triângulo retângulo. O
maior ângulo de um triângulo retângulo é o ângulo reto, cuja medida é 90°. Portanto x = 90° e cos(x) = 0.
Resulta cos2x = 0.
Resposta: D
Gabarito oficial: D
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