X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável ESTRATÉGIA DE OTIMIZAÇÃO PARA ALOCAÇÃO DE REGULADORES DE TENSÃO EM REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA José Federico Vizcaino González1 Celso Cavellucci2 Christiano Lyra Filho3 Departamento de Engenharia de Sistemas – DENSIS Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação – FEEC Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP Av. Albert Einstein, 400. C. P.: 6101 – Cidade Universitária. 13083-970 – Campinas, SP, BRASIL 1 [email protected], [email protected], [email protected] RESUMO Este trabalho propõe uma metodologia para a alocação de reguladores de tensão em redes de distribuição de energia elétrica. A metodologia proposta consiste de uma meta-heurística dividida em duas fases: construtiva e evolutiva. Na primeira fase os reguladores são alocados de forma a obter uma solução factível (todos as barras do sistema dentro dos limites de tensão desejados). Um algoritmo memético é utilizado na fase evolutiva para melhorar a solução obtida na fase construtiva, otimizando uma função objetivo considerando os custos das perdas elétricas e dos reguladores de tensão. Um estudo de caso é apresentado para mostrar o desempenho da metodologia em redes de distribuição de energia elétrica. PALAVRAS CHAVE. alocação de reguladores de tensão, algoritmos evolutivos, otimização combinatória, redes de distribuição de energia elétrica ABSTRACT This paper discusses a methodology to solve the voltage regulator allocation problem in power distribution systems. The proposed methodology is a meta-heuristic method divided in two phases: constructive and evolutive. The constructive phase allocates voltage regulator in such a way to find a feasible solution (all voltage nodes in the system must be inside certain limits). A memetic algorithm is used in the evolutive phase to improve the solution obtained by the constructive algorithm to find an adequate solution that optimizes an objective function considering loss and voltage regulator costs. A case study presents the results of methodology application on power distribution network. KEYWORDS. voltage regulator allocation, evolutive algorithms, combinatorial optimization, power distribution networks XXXIX SBPO [526] X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável 1. Introdução Os níveis de tensões nos sistemas de distribuição de energia elétrica decrescem ao longo dos circuitos que alimentam seus usuários, conseqüência de dissipações de energia (perdas) nas resistências elétricas das linhas e equipamentos. Estas perdas podem ser reduzidas utilizando estratégias como alteração da configuração de operação da rede (Bueno, Lyra e Cavellucci, 2004) e instalação de capacitores (Mendes, França, Lyra, Pissarra e Cavellucci, 2005). Porém, estas estratégias podem mostrar-se insuficientes para manter os níveis de tensão dentro de valores regulamentados, ± 5% do valor da tensão de operação do sistema de distribuição. Nestes casos, quando as variações dos níveis de tensão atingem valores críticos (acima ou abaixo dos níveis de regulamentados), reguladores de tensão são instalados na rede de distribuição. Os reguladores de tensão são projetados para manter níveis de tensão constante na sua saída, quando submetidos a uma variação de tensão na sua entrada fora de limites previamente especificados (Gönen, 1986). Além de manter os níveis de tensão, os reguladores de tensão contribuem também para redução de perdas, pois aumentado o nível de tensão à jusante de sua instalação o fluxo de corrente elétrica diminui. Entretanto, a amplitude desses benefícios depende de políticas adequadas de definição da quantidade, localização e níveis de regulação. Matematicamente, o problema de alocação de reguladores de tensão (PART) pode ser formulado como um problema de otimização inteira mista não-linear. A solução desse problema define estratégias de alocação e controle buscando um compromisso entre os investimentos em equipamentos, a regulação de tensões em limites desejados e as reduções de perdas técnicas nos sistemas de distribuição. Na literatura da área poucos são os trabalhos que propõem uma metodologia para resolver o PART. Grainger e Cinvalar (1985), Cinvalar e Grainger (1985a e 1985b), propõem um método heurístico para resolver o problema de controle de tensão e de reativos. Salama et al. (1996) resolve de forma desacoplada o problema de controle de tensão e de reativos, usando um método de programação dinâmica para alocação de capacitores e um método heurístico para a instalação de reguladores de tensão em redes de distribuição de energia elétrica. Safigianni e Salis (2000) utilizam um algoritmo heurístico com duas etapas para resolver o problema de alocação ótima de reguladores de tensão em redes de distribuição. Um algoritmo genético para alocação de reguladores de tensão é proposto em De Souza et al. (2004). Outros trabalhos ficam restritos ao controle de tensão e de reativos na subestação (Lu e Hsu, 1995; Lu e Hsu, 1997). Este trabalho descreve uma metodologia de duas fases para a resolução do problema de alocação de reguladores de tensão. A solução deste problema busca definir a melhor estratégia possível de localização e o tipo de regulador de tensão a ser instalado de forma a satisfazer as restrições de tensão e de corrente da rede de distribuição. Na seção a seguir apresenta-se a formulação do PART. Na Seção 3 descreve-se a metodologia proposta para resolver o PART. Os resultados obtidos pela aplicação da metodologia são mostrados na Seção 4. Conclusões e comentários são apresentados na Seção5. 2. Formulação do Problema A formulação do PART apoia-se na representação da rede de distribuição por meio de grafos (Ahuja et al., 1993; Cavelucci e Lyra, 1997). Grafos são entidades matemáticas formadas por um conjunto de nós (N) e ligações entre esses nós, denominadas arcos (M). Nesta representação, pode-se associar o grafo G = [N, M] ao sistema de distribuição, sendo os nós do conjunto N representam pontos significativos da rede, como transformadores, barramentos de carga e pontos de ramificações de linhas - um nó raiz é incluído em N para evitar dificuldades associadas ao tratamento computacional de aspectos de conectividade da rede. Os arcos do conjunto M estão associados a linhas de distribuição e chaves. Uma formulação para o problema de localização e controle de reguladores de tensão, Prt, é apresentada a seguir. XXXIX SBPO [527] X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável Prt = maxrt {(F ( p)0 − F ( p)) − F (r )} s.a.: (1) Ai = d v = g (i, z) (2) (3) v ≤ v j ≤ v , ∀j ∈ N (4) i k ≤ i ( r ) k , ∀r ∈ R , ∀k ∈ M (5) A função objetivo é representada pela equação (1), sendo F(p)0 o custo inicial das perdas (antes da otimização), F(p) o custo das perdas depois da otimização e F(r) é o custo dos reguladores de tensão instalados. Quando se aumenta a tensão nos nós da rede pela utilização de reguladores de tensão, a corrente nos respectivos arcos tende a diminuir, e como resultado é obtida uma redução das perdas na rede de distribuição. A Equação (2) representam o fornecimento da energia requerida pelos usuários do sistema de distribuição, sendo A a matriz incidência da rede de distribuição (nó-arco), i o vetor de correntes nos arcos e d o vetor de demandas nos nós (potência requerida pelos usuários da rede). Na equação (3) v representa o vetor das tensões e z o vetor das impedâncias. As equações (2) e (3) representam as equações de fluxo de carga do sistema. Os limites de tensão em cada nó estão representados pela equação (4), sendo N o conjunto de todos os nós da rede de distribuição. A equação (5) representa a restrição de corrente dos reguladores de tensão (i(r)k é a capacidade de corrente do regulador instalado à jusante do arco k e R são os tipos de reguladores disponíveis). A função de custo de perdas pode ser descrita pela equação (6) a seguir: F ( p) = ce ∑k∈M rk ik2 , (6) Onde: rk é a resistência do arco k, ik a corrente que circula pelo arco k e ce o custo do kW de energia elétrica dissipada. A solução do problema Prt define uma política de alocação que maximize o lucro obtido com a instalação dos reguladores de tensão, satisfazendo a demanda de energia elétrica dos usuários e mantendo as tensões entre limites regulamentados. 3. Metodologia para a Solução do Problema Uma metodologia de duas fases é proposta para resolver o PART: uma fase construtiva e a fase evolutiva. Na fase construtiva obtém-se uma solução factível de custo elevado por meio de uma heurística gulosa. Em seguida, na fase evolutiva, busca-se melhorar a solução obtida utilizando um algoritmo memético, diminuindo o número de reguladores de tensão alocados na primeira fase e/ou encontrando melhores locais para sua instalação. 3.1 Heurística Construtiva Na fase construtiva é utilizado o algoritmo guloso proposto por Safigianni e Salis (2000), resumido no procedimento apresentado a seguir. ConstruirSoluçãoInicial() para i = 0 até i < NÚMERO_DE_NOS faça: se a tensão no nó i é menor que MAX_TENSÃO incluir o regulador de tensão apropriado; calcular novo estado da rede usando FluxoCarga(); i=0; senão i = i + 1; XXXIX SBPO [528] X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável O objetivo deste primeiro passo é construir uma solução inicial factível (as tensões de todos os nós dentro dos limites) do PART, utilizada pelo algoritmo genético para a construção do cromossomo. Para incluir o regulador de tensão apropriado é necessário adequar a capacidade do regulador escolhido ao fluxo de corrente no arco à montante. O novo estado da rede é obtido resolvendo as equações (2) e (3) do problema Prt usando o procedimento FluxoCarga(). Este procedimento é baseado no método proposto por Shirmohammadi e Hong (1989). Pode-se observar que nesta primeira fase não é levado em consideração nenhum tipo de custo envolvido. 3.2 Algoritmo Memético Uma alternativa para melhorar a solução obtida na fase construtiva desta metodologia é utilizar o paradigma da computação evolutiva, que compreende métodos baseados na evolução natural de uma população de indivíduos através de seleção, cruzamento e mutação randômica (Bäck, Fogel e Michalewicz; 2000). Em particular utiliza-se a abordagem por algoritmos meméticos (Moscato,1999), geralmente citados como algoritmos genéticos híbridos. Algoritmos meméticos (AM) podem ser considerados como uma extensão dos algoritmos genéticos (AG). De forma geral, ambos consistem em fazer uma população de indivíduos (soluções do problema) evoluir através de processos de recombinação, mutação e seleção natural. Os indivíduos mais adaptados deverão sobreviver por mais tempo, perpetuando assim suas características. Após um número suficiente de gerações, espera-se que a população esteja assim formada por indivíduos que representem as melhores soluções para o problema. A principal diferença entre os AM e os AG situa-se na inclusão de uma fase de otimização a que são submetidos os novos indivíduos gerados (Moscato, 1999), é importante destacar que é usual incluir uma fase de busca local no algoritmo genético associada ao conhecimento do problema abordado. A seguir mostra-se um pseudo-código simplificado de um AM, ressaltando a função de busca local no algoritmo. Algoritmo Memético() GerarPopulaçãoInicial(); geração = 1; faça Selecionar(); Reconbinar(); Mutação(); BuscaLocal(); AtualizaPopulação(); geração = geração + 1; enquanto(critério de parada não for satisfeito) Observa-se que a realização da busca local a cada geração depende da complexidade do algoritmo de busca utilizado. Caso seja necessário é possível fazer uma busca local ao final de um determinado número de gerações (ou época) ou no final do algoritmo de forma a diminuir o impacto da busca no tempo computacional do algoritmo. Na metodologia proposta é implementada a busca local ao final de uma época. 3.2.1 Factibilidade Existem duas possibilidades nas quais uma determinada solução é infactível para o PART. A primeira, ou de tensão, é quando pelo menos um dos nós da rede tem seu nível de tensão fora dos limites preestabelecidos. A segunda, ou de corrente, é quando a corrente fluindo através do regulador de tensão ultrapassa sua capacidade, representada no grafo pela capacidade do trecho à montante de um regulador instalado. Quando existe infactibilidade de corrente é XXXIX SBPO [529] X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável possível factibilizar a solução modificando o tipo de regulador instalado se isto é possível (se existe um regulador de maior capacidade). Ao existir infactibilidade de tensão a solução deve ser descartada. 3.1.2 Codificação do Cromossomo O cromossomo de cada um dos indivíduos da população, que representa uma solução para o PART, possui uma codificação inteira onde cada posição ou alelo no cromossomo corresponde a uma determinada barra do sistema (nó), com informação de se existe ou não regulador instalado e, se existir, qual a capacidade de regulador (“-1” – Não existe regulador instalado e “0...n” – Tipo de regulador instalado). A Figura 3.1 mostra um exemplo da codificação do cromossomo. -1 0 -1 1 -1 -1 Figura 3.1: Codificação inteira do cromossomo. A solução obtida na fase construtiva é usada para determinar o número de alelos do cromossomo e posição de cada nó dentro do mesmo, com o objetivo de diminuir o espaço de busca do algoritmo memético. O cromossomo é formado a partir de um vetor com os nós (barras do sistema de distribuição) contidos nos caminhos entre os nós com reguladores instalados e o primeiro nó do alimentador da rede de distribuição. A Figura 3.2 mostra como são determinados as posições dos nós no cromossomo e seu tamanho, em (a) é apresentada uma rede exemplo com dois reguladores alocados nos nós 5 e 9. 5 4 1 6 3 2 7 9 8 (a) -1 -1 -1 -1 1 2 3 4 (b) 0 5 -1 -1 0 7 8 9 Figura 3.2: Formação do cromossomo. Na Figura 3.2 (b) mostra-se o vetor resultante da união dos dois caminhos representados pelos vetores [1, 2, 3, 4, 5] e [1, 2, 3, 7, 8, 9], usados na formação do cromossomo dos indivíduos. A população inicial é composta por indivíduos gerados aleatoriamente que possuem um número de reguladores igual ou menor ao número de reguladores encontrados na fase construtiva, garantindo a factibilidade de cada um dos indivíduos gerados. 3.2.3 Operadores A população inicial será evoluída pelos operadores de seleção, recombinação, mutação e busca local com o compromisso de garantir sempre a factibilidade de cada indivíduo e avaliada pela função de adaptação que corresponde à função objetivo do problema descrita pela Equação 1 apresentada na Seção 2. XXXIX SBPO [530] X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável Seleção Os indivíduos que vão participar da recombinação são escolhidos através do operador de seleção, esta seleção é aleatória com maior probabilidade para indivíduos mais aptos, i.e. aqueles que apresentam maiores valores da função de aptidão. Este procedimento é conhecido como método da roleta (Goldberg, 1989). Para selecionar o indivíduo que será substituído na população pelo novo indivíduo utiliza-se também o método da roleta. Neste caso, a maior probabilidade é para os indivíduos com menor função de aptidão. Recombinação O operador de recombinação é aplicado a um par de indivíduos (cromossomos) selecionados da população pelo operador de seleção. Os indivíduos selecionados, Pai-1 e Pai-2 na Figura 3.3, são recombinados por cruzamento com um ponto de corte (Goldberg, 1989), resultando um novo indivíduo (Filho). A Figura 3.3 mostra um exemplo da aplicação do operador de recombinação. Ponto de corte Pai 1 -1 0 -1 -1 1 Pai 2 -1 -1 1 -1 -1 Filho -1 0 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 Figura 3.3: Cruzamento de um ponto Através da recombinação é possível transmitir as características dos pais ao novo indivíduo. O indivíduo resultante da recombinação (Filho) será aceito apenas se ele representa uma solução factível (a tensão de todos os nós está dentro dos limites e as capacidades dos reguladores estão respeitadas). Mutação O operador de mutação tem como objetivo modificar o cromossomo do indivíduo selecionado acrescentando ou removendo reguladores de tensão para introduzir mudanças aleatórias na população. A mutação pode melhorar, ou piorar, o indivíduo selecionado, portanto retarda a convergência da população até um máximo local. Para melhorar a eficiência do algoritmo cada indivíduo mantém informação dos reguladores existentes no seu cromossomo e a localização de cada um deles. Este procedimento acelera a seleção do regulador que vai ser retirado. Sempre que aconteça uma adição de um regulador é necessário verificar que não ultrapasse a quantidade máxima indicada pelo algoritmo da fase construtiva. 3.2.5 Busca Local O objetivo da busca local é reduzir o número de reguladores instalados na melhor solução da população atual e/ou melhorar a localização dos reguladores instalados visando aumentar o valor da função de aptidão. A busca local é executada ao final de cada época. A seguir é apresentado o procedimento resumido do algoritmo de busca local. XXXIX SBPO [531] X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável Procedimento BuscaLocal(n) construir lista L de reguladores existentes no cromossomo C; faça todos os contadores de vizinhança CVi iguais a 0; enquanto existir reguladores na lista L faça: selecionar regulador i em L; alocar o regulador i no nó predecessor a Ci, seja este o pred_no; se CVi igual a n retirar i de L; senão faça CVi = CVi + 1; se já existe regulador instalado em pred_no reduzir reguladores; verificar a nova solução; se a nova solução é factível e melhor que a solução atual faça melhor_solução = nova_solução; senão realocar o regulador i na posição Ci e retirá-lo da lista L; retornar melhor_solução A busca local recebe um parâmetro n que define a vizinhança que cada regulador pode percorrer. Observe que em alguns casos não é possível abranger todo o espaço de busca, sendo assim este mecanismo de redução de vizinhança pode resultar vantajoso. A Figura 3.4 ilustra o funcionamento da busca local. Na inicialização do algoritmo são incluídos dois reguladores, 5 e 9, na lista L e atribui-se o valor zero aos respectivos contadores de vizinhança. Em seguida, os reguladores são selecionados conforme a profundidade no grafo do nó no qual ele está instalado. No caso representado pelo diagrama mostrado na Figura 3.4, suponha que o regulador instalado no nó 9 seja escolhido por ser de maior profundidade. Por exemplo, se ao parâmetro n atribui-se o valor 5, os reguladores seguiriam o caminho indicado pelas setas até chegar ao nó 1. No caso de n igual a 2 as posições limite para cada regulador são os nós 3 e 7 respectivamente, como mostra a Figura 3.4. n=2 4 1 2 5 6 3 7 8 9 Posição final dos reguladores para n = 2 Figura 3.4: Busca Local. A cada passo verifica-se a factibilidade e a qualidade da solução, assim, se a nova solução obtida é infactível por tensão ou corrente, ou a função de aptidão da mesma é menor que a da solução no passo anterior, o regulador i é retirado da lista e não participa nos passos subseqüentes. Na Figura 3.4 é indicada a posição final dos reguladores (para n igual a 2) se não é verificada infactibilidade e/ou piora na qualidade da solução. 4. Resultados Para verificar o desempenho da metodologia proposta neste trabalho foi realizado um estudo de caso utilizando uma instância que representa uma rede de distribuição de energia elétrica de 819 barras (nós) com características de topologia e carga baseadas numa rede real. A Figura 4.1 mostra a topologia da rede utilizada no estudo. XXXIX SBPO [532] X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável SUBESTAÇÃO Figura 4.1: Topologia da rede de distribuição estudada. O estudo foi realizado considerando o perfil de carga diária representado pelo gráfico mostrado na Figura 4.2. Os valores dos patamares de carga foram adotados consultando técnicos da área. Perfil de Carga 100% 80% 80% 60% 30% Madrugada 0 Manha 6 Tarde 12 Pico 18 Noite 21 24 Horas Figura 4.2: Perfis de carga horária considerada para o estudo de caso. Os valores do preço médio da energia elétrica adotados para o estudo de caso foram de 100,00 R$ /MWh no horário de pico e 20,00 R$ /MWh nos outros horários, utilizando juros de 12 % ao ano e uma taxa de amortização de 5 anos. No estudo foram usados dois tipos de reguladores de tensão cujos dados são apresentados na Tabela 4.1, o custo dos reguladores é aproximadamente igual ao praticado no mercado. O horizonte de tempo do estudo é 1 ano. Capacidade Regulação (MVA) (%) 5 10 10 10 Número de taps 16 16 Custo (R$) 40.000 50.000 Tabela 4.1: Reguladores de Tensão utilizados no estudo. Na Figura 4.3 mostra-se a condição inicial da rede de distribuição submetida ao estudo. Pode-se observar no traçado mais escuro as regiões com tensões dentro dos limites desejados e com traçado cinza claro aquelas regiões onde as tensões estão abaixo do limite regulamentado. XXXIX SBPO [533] X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável Figura 4.3: Níveis de tensões iniciais na rede de distribuição estudada. Na implementação do algoritmo genético vários parâmetros precisam ser determinados para obter um funcionamento adequado. O ajuste destes parâmetros é uma tarefa difícil na implementação dos algoritmos evolutivos em geral. Neste estudo de caso, os parâmetros foram ajustados utilizando os resultados obtidos na execução do algoritmo para várias instâncias, e com os quais verificou-se a melhor relação custo-benefício. Os melhores resultados foram obtidos para uma população de 40 indivíduos, com uma taxa de mutação de 10%, com probabilidade de retirada de regulador de 85% e adição de 15%. Cada época é definida por 20 gerações e ao final da mesma é realizada uma busca local. O critério de parada é alcançado quando são detectadas 20 épocas sem melhoria na solução do problema. A Figura 4.4 mostra a posição dos reguladores proposta na solução obtida na fase construtiva do método. Figura 4.4: Reguladores de tensão propostos na fase construtiva. Como pode ser observado, na solução obtida pela fase construtiva são propostos 5 reguladores de tensão (na Figura 4.4 indicados em círculos tracejados), que poderão ser reduzidos na fase do algoritmo memético. A importância desta fase construtiva resume-se a obter uma solução factível que permita fazer uma redução do cromossomo no algoritmo genético, possibilitando melhor desempenho do algoritmo na exploração do espaço de busca. Por exemplo, neste estudo de caso temos 819 (total de nós na rede) possíveis nós para fazer a alocação de XXXIX SBPO [534] X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável reguladores de tensão, esse número é reduzido a 136 (resultado da união dos 5 conjuntos de nós), usando os resultados do algoritmo construtivo. A Figura 4.5 mostra a melhor solução obtida pelo algoritmo genético. Figura 4.5: Reguladores de tensão propostos pelo algoritmo genético. Na Figura 4.5 observa-se que o número de reguladores definidos pelo algoritmo genético foi reduzido de 5 para 2, obtendo assim uma solução otimizada sem violar as restrições de factibilidade do PART. A Tabela 4.2 resume os resultados obtidos pelo algoritmo para a melhor solução. Número de gerações 520 Tempo computacional (s) 18 Custo Inicial Custo Final das Custo dos das Perdas Perdas Reguladores (R$) (R$) (R$) 34.786 32.976 23.865 Tabela 4.2: Resultados computacionais. Custo Total (R$) -22.055 O custo negativo na última coluna é decorrente do alto custo dos reguladores de tensão se comparado com a economia obtida pela redução das perdas, porém os níveis das tensões em todos os nós da rede são mantidos nos limites regulamentares (esta condição é uma restrição do problema que deve ser satisfeita), justificando a instalação dos reguladores de tensão propostos. 5. Conclusões Este artigo descreveu uma metodologia de duas fases para definir estratégias de instalação de reguladores de tensão em redes de distribuição de energia elétrica. Na primeira fase é definida uma solução factível do problema. Esta solução é melhorada na segunda fase pela aplicação de um algoritmo evolutivo, em particular um algoritmo memético. A metodologia mostrou-se promissora, observando a boa qualidade dos resultados obtidos quanto os níveis de tensão. O tempo computacional do algoritmo é adequado se considerando a dimensão das redes submetidas a teste (819 nós). Como continuidade do trabalho será considerado no modelo de otimização o controle do taps (degraus de regulação) dos reguladores e dos transformadores da subestação. Agradecimentos Este trabalho teve o apoio da CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico), entidade do governo brasileiro voltada para pesquisa e desenvolvimento. XXXIX SBPO [535] X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável Referências Ahuja, R., Magnanti, T. and Orlin, J. (1993). Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Prentice Hall, Englewood Cliffs. Bäck, T.; Fogel, D. B. e Michalewicz, T. (2000). Evolutionary Computation 1. Basic Algorithms and Operators. Taylor&Francis, New York. Bueno, E. A.; Lyra, C. e Cavellucci, C., (2004). Distribution Network Configuration for Loss Reduction with Variable Demands. IEEE/PES T&D Latin America, pp. 384-389, São Paulo, Brasil. Cavellucci, C. and Lyra, C. (1997). Minimization of energy losses in electric power distribution systems by intelligent search strategies, International Transactions in Operational Research 4(1): 23-33. Civanlar, S. e Grainger, J. J. (1985a). Volt/Var Control on Distribution System with Lateral Branches Using Shunt Capacitor and Voltage Regulators. Part II: The Solution Method. IEEE Transaction on Power Apparatus and System, PAS-104(11), 3284-3290. Civanlar, S. e Grainger, J. J. (1985b). Volt/Var Control on Distribution System with Lateral Branches Using Shunt Capacitor and Voltage Regulators. Part II: The Numerical Results. IEEE Transaction on Power Apparatus and System, PAS-104(11), pp 3291-3297. De Souza, B. A.; Alves, H. D. N. e De Almeida, A. M. F., (2004). Um Algoritmo Genético para Localização Ótima de Reguladores de Tensão em Redes de Distribuição, XV Congresso Brasileiro de Automação, Gramado-RS. Goldberg, D. E. (1989). Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addisson-Wesley Reading, MA. Gönen, T. (1986). Electric Power Distribution System Engineering, McGraw-Hill. Grainger, J. J. e Civanlar, S. (1985). Volt/Var Control on Distribution System with Lateral Branches Using Shunt Capacitor and Voltage Regulators. Part I: The Overall Problem. IEEE Transaction on Power Apparatus and System, PAS-104(11), pp 3278-3283. Lu, F. C., Hsu, Y. Y. (1995). Reactive power/voltage control in a distribution substation using dynamic programming, IEE Proceedings-Generation, Transmission and Distribution, 142(6). Lu, F. C., Hsu, Y. Y. (1997). Fuzzy dynamic programming approach to reactive power/voltage control in a distribution substation, IEEE Transactions on Power Systems, 12(2): 681–688. Lyra-Filho, C. Pissara, C. M. A., Cavellucci, C. (2000). Redução das Perdas em Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica. Anais do XIII Congresso Brasileiro de Automática – CBA. Mendes, A., França, P. M., Lyra, C., Pissarra, C., Cavellucci, C., (2005). Capacitor placement in large-sized radial distribution networks. IEE Proceedings Generation, Transmission & Distribution, 152(4), pp. 496-502. Moscato, P., (1999). Memetic algorithms: A short introduction. Em D. Corne, M. Dorigo e F. Glover, editores, New Ideas in Optimization, MacGraw-Hill, pp. 219-234. Safigianni, A. S., Salis, G. J., (2000) Optimum Voltage Regulator Placement in Radial Power Distribution Network, IEEE Transaction on Power Systems, 15(2): 879-886. Salama, M. M. A., Manojlovic, N., Quintana, V. H. e Chikhani, A. Y., (1996). Real-Time Optimal Reactive Power Control for Distribution Networks, International Journal of Electrical Power & Energy Systems, vol. 18, no. 3, pp. 185–193. Shirmohammadi, D., Hong, H. W. (1989). Reconfiguration of electric distribution networks for resistive line losses reduction, IEEE Transactions on Power Delivery 4(2), 1492-1498. XXXIX SBPO [536]