carga e descarga de capacitores

CARGA E DESCARGA DE CAPACITORES
O assunto discutido neste artigo, a carga e a descarga de capacitores, apareceu dois anos consecutivos em
vestibulares do Instituto Militar de Engenharia (2001_2002 e 2002_2003). Neste estudo, serão mostradas as
deduções das equações de carga e descarga, um dos exercícios do vestibular do IME será resolvido e o outro será
deixado como trabalho para o aluno, juntamente com um exercício proposto pela Equipe SEI.
Cabe ressaltar que, para o bom aproveitamento do estudo, são necessários conhecimentos em Cálculo (resolução
de integrais definidas e equações diferenciais).
Carregamento de capacitor
O princípio básico da carga de um capacitor é o seguinte: em t = 0 o capacitor está ligado a algum circuito, mas descarregado.
Por conta de uma fonte presente no restante do circuito, começa a fluir corrente elétrica. A parcela de corrente elétrica que
chega ao capacitor é utilizada para carregá-lo. Logo, o primeiro objetivo para encontrar a equação de carregamento do
capacitor é determinar qual é a corrente que chega até ele.
Considere o circuito abaixo:
Quando a chave S é fechada, começa a fluir corrente pelo circuito. Precisamos encontrar qual é a parcela desta corrente que
chega ao capacitor C. Na figura (b), queremos encontrar a corrente I. Para isso, utilizamos as Leis de Kirchhoff.
Sabemos que a capacitância é dada por:
C=
Q
V
Logo, percorrendo o circuito, podemos escrever:
ε−
q
− I .R = 0
C
(1)
onde q é a carga acumulada no capacitor até o instante t e I é a corrente que passa pelo circuito neste instante. Com isso, a
q
parcela C é a diferença de potencial através do capacitor e I.R é a diferença de potencial através do resistor. Note que I e q
são instantâneos e dependem do instante de observação.
Em t = 0, a carga acumulada no capacitor é nula. Logo, pela equação (1), podemos perceber que a corrente é máxima neste
instante. Logo, I0 é a corrente máxima que passa por este circuito.
I0 =
ε
( 2)
R
Muito tempo depois que a chave S foi fechada, o capacitor está carregado e, com isso, não flui mais corrente pelo circuito.
Logo, a carga máxima Q acumulada no capacitor ocorre quando I = 0. Pela equação (1), podemos escrever:
Q = ε .C
(3)
Isolando I na equação (1), temos:
I=
ε
R
q
RC
−
Como a corrente que carrega o capacitor é exatamente I, podemos dizer que
I=
Assim, temos:
dq
dt
dq ε
q
= −
dt R RC
⇒
dq Cε − q
dq
q − Cε
=
⇒
=−
dt
RC
dt
RC
Multiplicando por dt e dividindo por - (q – Cε), temos:
dq
dt
=−
q − Cε
RC
Integrando os dois lados da equação, vem:
q
t
dq
1
∫0 q − Cε = − RC ∫0 dt
( 4)
Observe os limites de integração. No instante t = 0, a carga acumulada no capacitor é nula. Logo, para t = 0, q = 0. Em
compensação, no instante t, a carga acumulada é q. Encontraremos q em função do tempo t.
Para resolver as integrais da equação (4), podemos, do lado esquerdo, fazer uma troca de variáveis.
Usaremos f(q) = q – Cε. Como
df
= 1 , podemos simplesmente trocar dq por df. Assim, a equação pode ser reescrita como:
dq
q
∫
0
Sabemos que
∫
t
df
1
=−
dt
f (q)
RC ∫0
df
t
q
= ln f . Logo, temos: ln(q − Cε )]0 = −
f
RC
⇒ ln(q − Cε ) − ln(−Cε ) = −
t
t
⎛ q − Cε ⎞
⇒ ln⎜
⎟=−
RC
RC
⎝ − Cε ⎠
−
−
−
q − Cε
⇒
= e RC ⇒ q − Cε = Cε .e RC ⇒ q = Cε − Cε .e RC
Cε
t
t
t
−
⎛
q = Cε ⎜⎜1 − e RC
⎝
t
−
⎛
⎞
⎟ = Q⎜1 − e RC
⎜
⎟
⎝
⎠
t
⎞
⎟
⎟
⎠
Acima, acabamos de encontrar a carga acumulada no capacitor em função do tempo. Se quisermos calcular a corrente que
percorre o circuito, no instante t, podemos lembrar que
I=
I=
Ao traçarmos os gráficos das funções q(t) e I(t), temos:
dq
.
dt
ε
R
e
−
t
RC
Descarga de capacitor
Agora vamos considerar a descarga de um capacitor. Para isso, consideramos que o capacitor está totalmente carregado no
início. Com a chave S aberta, toda a diferença de potencial
Q
C
do circuito é através do capacitor, uma vez que I = 0.
Com a chave S fechada, começa a fluir corrente pelo circuito, devido à descarga do capacitor.
Percorrendo o circuito, podemos escrever:
−
Mas
I=
q
− I .R = 0
C
(5)
dq
, logo, temos:
dt
− R.
⇒
dq q
=
dt C
dq
1
=−
dt
q
RC
Repetindo o raciocínio utilizado no carregamento do capacitor, vamos integrar os dois lados da equação. Porém, agora
devemos perceber que q = Q em t = 0.
q
t
1
dq
∫Q q = − RC ∫0 dt
⇒ ln(q)]Q = −
q
t
RC
t
⇒ ln q − ln Q = −
−
t
q
t
q
⇒ ln = −
⇒ = e RC
RC
Q
RC
Q
q = Q.e
Como I =
−
t
RC
dq
, podemos calcular a corrente I em função de t:
dt
t
Q − RC
I =−
.e
RC
Exercício resolvido
(IME 2001_2002) Após muito tempo aberta, a chave S do circuito da figura 1 é fechada em t = 0. A partir deste instante,
traça-se o gráfico da figura 2, referente à tensão elétrica VS. Calcule:
a) o valor do capacitor C;
b) a máxima corrente admitida pelo fusível F;
c) a tensão VS, a energia armazenada no capacitor e a potência dissipada por cada um dos resistores, muito tempo depois da
chave ser fechada.
Dados (use os que julgar necessários):
ln (0,65936) = -0,416486
ln (1,34064) = 0,293147
ln (19,34064) = 2,962208
ln (4) = 1,386294
ln = (10) = 2,302585
Solução
O enunciado diz que a chave S estava fechada há muito tempo. Isto significa que o capacitor está descarregado em t = 0.
Precisamos encontrar a corrente iC.
i1 = iC + i3
Vs = 10.i3
20 = 90i1 + Vs
(1)
(2)
(3)
Além disso, temos a capacitância C, dada por:
C=
q
q
⇒C =
V
Vs
(4)
Logo, isolamos i1 na equação (3), usando a equação (2). Na equação (2), isolamos i3.
20 − Vs
(5)
90
V
i 3 = s ( 6)
10
i1 =
Substituindo (5) e (6) na equação (1), temos iC.
iC =
iC =
20 − Vs Vs
−
90
10
20 − 10Vs
2 − Vs
⇒ iC =
90
9
iC =
(7)
2−q
C ⇒ i = 2C − q
C
9
9C
(8)
Como iC =
dq 2C − q
dq
, temos:
.
=
dt
dt
9C
Q
t
dq
dt
dq
dt
⇒
=
⇒∫
=∫
2C − q 9C
2C − q 0 9C
0
(9)
Fazendo a troca de variáveis, chamamos f(q) = 2C - q. Com a derivação de f(q) em relação à variável q, temos df = -dq. Com
isso, temos:
Q
Q
t
t
1
df
dt
df
−∫
=∫
⇒∫
=−
dt
9C
9C ∫0
f
f
0
0
0
⇒ ln(2C − q )]0 = −
Q
⇒ ln(2C − Q ) − ln(2C − 0) = −
t
t
⎛ 2C − Q ⎞
⇒ ln⎜
⎟=−
9C
9C
⎝ 2C ⎠
−
−
−
2C − Q
= e 9C ⇒ 2C − Q = 2C.e 9C ⇒ Q = 2C − 2C.e 9C
2C
t
⇒
t
9C
t
t
−
⎛
⇒ Q = 2C ⎜⎜1 − e 9C
⎝
t
⎞
⎟
⎟
⎠
Porém, da equação (4), podemos dizer que:
t
−
⎛
9C
⎜
Vs = 2⎜1 − e
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(10)
Observando o gráfico da figura 2, temos as coordenadas do ponto onde ocorre mudança de comportamento de Vs. Neste
ponto, temos o valor de Vs e o instante t. Substituindo tais valores na equação (10), temos:
18
−
⎛
9C
⎜
0,65936 = 2⎜1 − e
⎝
−
−
−
0,65936
0,65936
2 − 0,65936
= 1− e C ⇒ e C = 1−
⇒e C =
2
2
2
2
2
−
⎛ 1,34064 ⎞
1,34064
⇒ − = ln⎜
⎟
⇒e C =
C
⎝ 2 ⎠
2
2
⇒ − = ln(1,34064) − ln 2
C
2
⇒
⎞
⎟
⎟
⎠
2
2
Neste ponto, podemos olhar para os dados da questão e verificar ln(1,34064). Lembrando que ln4 = 2.ln2, podemos continuar.
2
1,386294
= 0,293147 −
C
2
2 0,586294 − 1,386294
2
⇒− =
⇒ − = −0,4
C
C
2
⇒−
C = 5F
b) A máxima corrente admitida pelo fusível F acontece quando ocorre a mudança de comportamento de Vs. Quando o fusível
se queima, o ramo onde ele estava passa a não fazer parte do circuito. Ou seja, não passa mais corrente por aquele ramo.
Observando o gráfico da figura 2, verificamos que isto ocorre em t = 18s. Da equação (6), temos como calcular i3.
i3 =
Vs
0,65936
⇒ i max =
10
10
imax = 0,065936 A
c) Muito tempo após a chave S ser fechada, o fusível F já queimou e o capacitor C já se carregou. Logo, o ramo do capacitor
também funciona como chave aberta, ou seja, não passa mais corrente por ali. Sendo assim, não existe corrente no circuito.
E capacitor
Vs = 20V
Presistores = 0
1
1
= CV 2 ⇒ E capacitor = .5.20 2 ⇒ E capacitor = 1000 J
2
2
Exercícios propostos
1. (IME 2002_2003) Um circuito composto por uma fonte, três resistores, um capacitor e uma chave começa a operar em t
= -∞ com o capacitor inicialmente descarregado e a chave aberta.
No instante t = 0, a chave é fechada. Esboce o gráfico da diferença de potencial nos terminais do capacitor em função do
tempo, indicando os valores da diferença de potencial para t =∞, t = 0 e t = +∞.
2. (Equipe SEI) Determine a equação de carregamento do capacitor C, em função do tempo, sabendo que a chave S estava
aberta por muito tempo anteriormente.
Respostas
1.
− t ⎞
500C ⎛⎜
1 − e 50 ⎟⎟
⎜
11 ⎝
⎠
11
2. q (t ) =