listama114

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO IVProf. Flávio José - MAR./07
Turma:EI4
QUESTÕES
1. Determine a série de Fourier gerada por f no intervalo dado
0 ,  2  x  0

a ) f ( x )   x, 0  x  1
 1, 1  x  2

uma serie de Fourier.
 0, 0 x 

b ) f ( x )   1,   x  2 obter uma série de senos
2 , 2  x  3

c ) f ( x )  x 2 , 0  x  2 . a) em uma serie de Fourier
b) em uma serie de Fourier de senos
c) em uma serie de Fourier de cossenos
2. Mostrar que, para 0  x   tem-se:
x(  x) 
8  sen x sen 3x sen 5 x



 .........

  13
33
53

3. Utilize o metodo de separação de variaveis para achar, soluções em forma
de produto para a equação de derivadas parciais abaixo:
k
 2u
x 2
u 
u
 0 ; k>0.
t
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO IVProf. Flávio José - MAR./07
Turma:EI4
4. Resolva a equação do calor sujeita as condições indicadas. Suponha que a
barra tenha comprimento l.
u (0, t )  0 ; u (l , t )  0
u ( x,0)  x(l  x)
5. A equação da condução do calor em duas dimensões espaciais pode ser
expressa em termos das coordenadas retangulares por
 2 u xx  u yy  u t .
Com as hipóteses u( x, y, t )  X ( x)Y ( y)T (t ) , achar as equações
diferenciais satisfeitas por X ( x) , Y ( y) e T (t ).


6. A equação da condução do calor em duas dimensões espaciais pode ser
expressa em termos das coordenadas polares na forma:
 2 urr  (1/ r )ur  (1/ r 2 )u   ut .


u (r , , t )  R(r )( )T (t ) , encontre as equações diferenciais
Supondo
ordinárias satisfeitas por R(r ) , ( ) , e T (t ).
7. Considere a condução de calor em uma barra com 40cm de comprimento
cujas extremidades são mantidas a 0ºC a partir do instante t=0.Encontre
uma expressão para a temperatura u(x,t), se a distribuição inicial de
temperatura na barra é a função dada por:
0  x  20
 x,
a) u ( x,0)  
;
40  x , 20  x  40
b) u ( x,0)  x , 0  x  40 .
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO IVProf. Flávio José - MAR./07
Turma:EI4
8. Determine a solução em estado estacionário do problema de contorno

2
 2u
 x2

u
u
; u (0, t )  u0 ; t
x
x 
 u (  , t )  u1
u ( x,0)  0 ; 0  x  
9. Para o problema 7, calcular o tempo necessário para a barra esfriar o
suficiente a fim de que a temperatura não seja maior do que 1ºC em
nenhum de seus pontos.
a) barra de tijolo refratário , 
 0.0054cm 2 / s .
2
2
b) barra de cobre ,   1,14cm / s
2
10.Suponha que uma barra metálica de 20cm de comprimento se encontra
incialmente a uma temperatua de 100ºC. No instante t=0, as extremidades
da barra estão a 0ºC, e a superfície lateral é isolada de modo que nenhum
calor possa passar . Encontre uma expressão para a temperatura em
qualquer ponto da barra e determine a temperatura no centro da barra no
instante t=30s se a barra for feita de: a) prata, b)alumínio e c) cobre..
11.Consideremos uma barra de comprimento l, com a temperatura inicial dada
x
por sen
, 0  x  l . Vamos admitir que as duas extremidades estejam
l
isoladas . Achar o desenvolvimento em série que dá a temperatura u(x,t).
Qual a temperatura no estado permanente?
12.Para o problema 11), determine o tempo necessário para que o centro da
barra atinja a temperatura de 5ºC se a barra for feita de: a) prata b)alumínio
e c) ferro fundido
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO IVProf. Flávio José - MAR./07
Turma:EI4
13. Uma barra de cobre de 20cm de comprimento se encontra inicialmente a
uma temperatura de 25ºC. Suponha que no instante t=0 a extremidade x=0
seja resfriada para 0ºC e a extremidade x=20 seja aquecida a 60ºC e as
duas extremidades sejam mantidas nessas temperaturas. Determine a
distribuição de temperatura na barra em função de t.
14. Consideremos uma barra uniforme, de comprimento L, com a distribuição
inicial de temperatura dada por f(x). Vamos admitir que a temperatura, na
extremidade x=0 , seja mantida a 0ºC, enquanto a extremidade em x=L ,
seja isolada termicamente, não possibilitando a passagem do calor.
Mostrar que as soluções fundamentais da equação diferencial parcial e da
condições de contorno são:
u n ( x, t )  e ( 2n1)
2  2 2t / 4 L2
sen[( 2n  1) x / 2 L] ; n  1,2,3......
15.Consideremos uma barra uniforme, de comprimento l, com distribuição de
temperatura dada por f(x). Vamos admitir que a temperatura na
extremidade x=0, seja mantida a 0ºC, enquanto a extremidade em x=l seja
isolada termicamente de modo a não possibilitar a passagem de calor.
Achar o desenvolvimento em série para a temperatura u(x,t).
16.Estabeleça o problema de valores de contôrno para a temperatura de estado
estacionário u ( x, y ) , em chapa retangular com a região definida por
0  x  4 , 0  y  4 . A extremidade esquerda e a base da chapa são
isoladas. A extremidade superior da chapa é mantida a temperatura zero e a
extremidade direita é mantida a temperatura f ( y) .
17. Suponha que é gerado calor a uma taxa constante C , num tubo onde sua
superfície lateral é isolada termicamente , suas extremidades são mantidas
a 0ºC e a temperatura inicial seja f(x). Neste caso, a equação do calor nos
fornece
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO IVProf. Flávio José - MAR./07
Turma:EI4
 2u xx  C  ut .
Encontre a distribuição de temperatura no estado permanente .
18. Resolva o problema de condições de contorno , abaixo:
 2u
u
k
 hu 
, 0  x 
x
t
u(0,t)  u 1 , u(  , t)  u 0
u ( x ,0 )  0 , 0  x  
______________//_______________