DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES DE MASSA FERMIÔNICAS

DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES DE MASSA FERMIÔNICAS
Mailema Celestino dos Santos (IC)* ; Mauro Donizeti Tonasse (PQ)=
Divisão de Engenharia Aeronáutica
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
12.228-900 São José dos Campos, SP
[email protected]
Resumo
Um modelo eletrofraco conhecido como “modelo 3-3-1” fornece matrizes de massa para os
quarks numa forma diferente da usual. Nesse trabalho estudamos essas matrizes e comparamos as
massas previstas com os respectivos valores experimentais. Nossos resultados sugerem que uma
conclusão recente, obtida por outros autores, sobre os “ansatz” para diagonalização de matrizes de
massa fermiônicas não se aplica para o modelo 3-3-1.
Abstract
An electroweak model called “3-3-1 model” predicts mass matrices for the quarks that have a
different form compared with the usual ones. In this work we studied these matrices and we compared
the predict quark masses with the respective experimental values. Our results suggest that a recent
conclusion, obtained by other authors, concerning the “ansatz” for diagonalization of fermionic mass
matrices is not appropriate to the 3-3-1 model.
1- INTRODUÇÃO
O problema das massas das partículas elementares vem merecendo a atenção dos físicos teóricos e
experimentais há bastante tempo. Existe um modelo chamado “modelo eletrofraco padrão” que é bem
sucedido na explicação de quase todos os resultados experimentais disponíveis hoje no campo das
partículas elementares [1]. Entretanto, esse modelo deixa várias perguntas sem resposta. Em particular,
os físicos de partículas elementares não estão satisfeitos com a maneira pela qual as massas das
partículas são introduzidas na teoria. Esses e outros fatos servem como motivação para se estudar
possíveis generalizações e modelos alternativos ao modelo padrão.
O tema desse trabalho é especificamente o problema das matrizes de massa dos quarks. O quarks
são os constituintes dos núcleons, as partículas subatômicas que formam o núcleo do átomo. Os
modelos fornecem as massas dos quarks na forma de matrizes, isto é,
mij = aij w
(1)
onde a ij são constantes adimensionais (constantes de Yukawa) e w é um parâmetro com dimensão de
massa, com i, j = 1, 2, 3. Existem seis tipos (ou sabores) de quarks, três deles com 2/3 e outros três
com -1/3 da unidade da carga elétrica elementar. Logo, temos uma matriz de massa para cada setor de
carga dos quarks.
A característica relevante das matrizes de massas fermiônicas é que elas dependem de apenas
um parâmetro com dimensão de massa. Mesmo no caso das extensões do modelo padrão essa regra
tem que ser respeitada por causa de um vínculo experimental. Nota-se também que essas matrizes 3´3
têm em geral nove parâmetros para descrever três massas físicas. Como não se sabe como eliminar
parâmetros espúrios, é usual admitir certos “ansatz” para reduzir o número de parâmetros.
Recentemente foi mostrado que dos dezoito “ansatz” encontrados na literatura, apenas um deles ainda
está de acordo com os dados experimentais recentes [2].
*
=
Estudante de graduação (Bolsista PIBIC)
Orientador
A motivação para o nosso trabalho é que existe um modelo alternativo ao modelo padrão,
chamado “modelo 3-3-1”, que prevê matrizes de massa para os quarks na forma:
M ij = Gij v + Fij u
(2)
com Gaj = F1j = 0, a = 2, 3 para os quarks de carga 2/3. Esta matriz difere daquela da equação (1)
porque tem dois parâmetros com dimensão de massa, v e u [3]. No outro setor de carga a matriz de
massa é obtida pela troca de v com u e a introdução de constantes de acoplamento apropriadas na
equação (2). O problema com o vínculo experimental mencionado acima nesse caso não existe, porque
devido a certas peculiaridades do modelo essa restrição só pode aparecer para energias muito altas,
fora do alcance dos atuais laboratórios. Portanto é interessante verificar se as conclusões da referência
[2] se aplicam também para o modelo 3-3-1. Para fazer isso temos que diagonalizar as matrizes de
massa do modelo aplicando os “ansatz” conhecidos e comparar os resultados com os dados
experimentais.
2- DIAGONALIZAÇÃO DAS MATRIZES
Diagonalização de matrizes é um procedimento bem conhecido em Álgebra Linear. A condição
para que uma matriz seja diagonalizável é dada pelo teorema espectral. Esse teorema diz que uma
matriz normal A, sobre um espaço vetorial V, é diagonal com respeito a alguma base ortonormal para
V. Por outro lado, se uma matriz é normal, ela é diagonalizável [4]. Uma matriz normal A é aquela
que satisfaz a condição A† A = AA† .
Em física de partículas, entretanto, a diagonalização de matrizes pode estar sujeita a certas sutilezas. O
teorema espectral não garante, por exemplo, que os autovalores da matriz A são reais e positivos e isso
é essencial para que eles possam ter interpretação física se estamos trabalhando com matrizes de
massa. Por outro lado, as matrizes de massa fermiônicas não são normais em geral e seus autovalores
nem sempre são reais e positivos. Entretanto, é fácil ver que matrizes hermitianas são também
normais. Portanto, esses problemas podem ser contornados diagonalizando-se não a matriz A, mas H =
AA† , que é sempre hermitiana (e portanto normal). A matriz H pode ser diagonalizada por uma
transformação unitária dando autovalores reais e positivos que são os quadrados dos autovalores da
matriz A nos quais estamos interessados. Para uma interessante discussão sobre a diagonalização de
matrizes de massa fermiônicas e sua interpretação física veja a referência [5].
As matrizes foram diagonalizadas utilizando o código Maple de computação algébrica. O
procedimento utilizado foi encontrar os autovalores em função das constantes de Yukawa e dos
parâmetros de massa. Os valores das constantes de Yukawa devem ser tais que o modelo seja
perturbativo, isto é, os parâmetros da teoria devem poder ser expandidos em séries convergentes.
Essas expansões são um procedimento essencial para que cálculos possam ser feitos analiticamente.
Analisando processos eletrofracos fundamentais em função de uma certa constante de acoplamento
adimensional f mostra-se que é conveniente levar em conta no estudo da convergência das séries não o
valor da constante de acoplamento diretamente fornecido pelo modelo, mas sim ± f 2 /4p [1, 6]. Os
parâmetros de massa u e v que aparecem na equação (2) precisam estar de acordo com um vínculo
para que o modelo 3-3-1 coincida com o modelo padrão em energias baixas, isto é, v2 + u2 = 2462
GeV2 [2].
Os resultados são discutidos na seção seguinte.
3 - RESULTADOS
Nossos resultados estão apresentados nas tabelas 1 e 2, correspondentes aos quarks de carga 2/3 e
-1/3, respectivamente. Como estamos interessados em comparar nossos resultados com os dos autores
da referência [2] é necessário esclarecer que os nossos cálculos não são tão rigorosos quanto os deles.
Eles não trabalharam diretamente com as matrizes de massa, mas sim com as matrizes de mistura de
Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM). Trabalhar com essas matrizes é mais difícil, mas elas
representam as taxas de decaimento das partículas e essas taxas são bem medidas. Já as massas dos
quarks não. Os quarks são confinados nos núcleons e os valores de suas massas são inferidos de
maneiras indiretas. Mesmo assim podemos fazer esse confronto de resultados e ele poderá indicar se o
nosso problema merece ou não um estudo mais rigoroso. Outra diferença das nossas matrizes com
relação àquelas da referência [2], é que eles consideraram a possibilidade da existência de parâmetros
complexos. Entretanto, a teoria prevê que o efeito desse tipo de parâmetro é muito pequeno. Além
disso, lembramos que a diferença relevante é que as nossas matrizes têm dois parâmetros de massa
enquanto as da referência [2] têm apenas um [ver equações (1) e (2)].
Nas tabelas 1 e 2 as matrizes que representam os “ansatz” encontrados na literatura estão escritas
na coluna 1. Na coluna 2 estão os valores dos parâmetros com dimensão de massa encontrados. Na
coluna 3 aparecem os valores encontrados para as constantes adimensionais de Yukawa. Com os
dados das colunas 2 e 3 são obtidas as massas dos quarks que estão relacionadas na coluna 4. Os
valores experimentais para as massas dos quarks u, c e t, de carga 2/3 são mu = (1,5 – 4,5) MeV, mc =
(1,0 – 1,4) GeV e mt = (169,2 – 179,4) GeV. Para os de carga -1/3 temos md = (5,0 – 8,5) MeV, ms =
(80 – 155) MeV e mb = (4,0 – 4,5) GeV [7]. Note na tabela 1 que o valor da massa do quark top que
estamos ajustando é de aproximadamente 300 GeV (exceto para a quarta matriz) e não o valor dado
pela experiência. Isto é porque os autores da referência [2] empregaram esse valor. Entretanto, o valor
medido mencionado acima é valido apenas para o modelo padrão já que a experiência, nesse caso, é
fortemente dependente do modelo. Portanto o valor de mt no modelo 3-3-1 não é, na verdade,
conhecido. No caso da quarta matriz da tabela 1, o melhor valor que conseguimos ajustar foi de 179,9
GeV, que está quase de acordo com o resultado experimental para o modelo padrão. As constantes de
Yukawa devem estar no intervalo entre –3 e 3 aproximadamente (ver discussão sobre constantes de
acoplamento na seção anterior). Dentro desse intervalo escolhemos os valores que melhor representam
os dados experimentais.
Nossas conclusões são obtidas por inspeção das tabelas 1 e 2, sua comparação com os valores
experimentais mencionados acima e com os resultados da referência [2]. Com relação às tabelas 1 e 2
é importante esclarecer ainda que as matrizes dos dois setores de carga devem satisfazer ao mesmo
“ansatz”. Isto significa que a primeira matriz de massa da tabela 1 deve ser analisada em conjunto com
a primeira matriz da tabela 2, a segunda matriz da tabela 1 junto com a segunda da tabela 2 e assim por
diante.
Tabela 1: Autovalores e constantes de acoplamento encontrados para cada matriz de massa u, c, t.
Matrizes de
Massa
æ 0
çF u
ç 21
ç 0
è
G12 v
F22 u
æ 0
ç
ç 0
çF u
è 31
0
0
F22u
0
0 ö
0 ÷÷
F33u ÷ø
G13 v ö
÷
0 ÷
F33u ÷ø
u (GeV)
150
Constantes de
Acoplamento
G12 = 0,5
F21 = -2,76956´10-3
F33 = 3,4´10-5
F22 = 2,009
G13 = -2,76956´10-3
150
F22 = 3,4´10-5
F33 = 2,009
F31 = 0,5
Autovalores
(GeV)
1,35
300
5,1´10-3
1,35
300
5,1´10-3
F21 = 1´10-6
G12v G13v ö
æ 0
ç
÷
0
0 ÷
ç F21u
çF u
0
F33u ÷ø
è 31
100
F31 = -1,8
1,349308315
G13 = 0,01
298,6453372
F33 = 3
5,354498182´10-3
G12 = -0,32
F21 = 0,003
G12v
0 ö
æ 0
ç
÷
0
F23 u ÷
ç F21u
ç 0
F32u F33u ÷ø
è
224,76
F32 = -0,8
4,07´10-3
F33 = -0,02
1,31
F23 = -0,005
179,9
G12 = 0,002
Continuação da Tabela 1.
Matrizes de
Massa
u (GeV)
Constantes de
Acoplamento
G12 = 0,5
F21 = -0,0276956
G12v
0 ö
æ 0
ç
÷
ç F21u F22 u F23u ÷
ç 0
F32u F33u ÷ø
è
F33 = 3,4´10-5
150
F22 = 2,009
Autovalores
(GeV)
1,349999955
300,0000000
0,5100002844´10-3
F32 = 1´10-4
F33 = 1´10-4
G13 = -0,0276956
æ 0
ç
ç 0
çF u
è 31
0
F22u
F32 u
F22 = 3,4´10-5
G13 v ö
÷
F23u ÷
F33u ÷ø
F33 = 2,009
150
1,349999955
300,0000000
F31 = 0,5
5,100002844´10-3
F23 = 10-5
F32 = 10-3
F23 = 1´10-4
G12v
æ 0
çF u F u
22
ç 21
çF u
0
è 31
F31 = 1´10-4
0 ö
F23u ÷÷
F33u ÷ø
1,349946098
G12 = 0,5
150
F21 = -0,0276956
-5
F33 = 3,4´10
299,9999995
5,154368741´10-3
F22 = 2,009
F21 = 1´10-6
F31 = -1,8
G12v G13v ö
æ 0
ç
÷
0
F23 u ÷
ç F21u
çF u F u F u÷
è 31
32
33 ø
100
G13 = 0,01
1,348984220
F33 = 3
298,6453386
G12 = -0,32
0,5677134443´10-3
-7
F23 = 10
F32 = 5´10-5
Tabela 2: Autovalores e constantes de acoplamento encontrados para cada matriz de massa d, s e b.
Matrizes de
Massa
æ 0 G%12u
ç %
%
ç F21 v F22 v
ç 0
0
è
0 ö
÷
0 ÷
F%33v ÷ø
æ 0
0 G%13u ö
ç
÷
F%22v
0 ÷
ç 0
ç F%31v 0
F%33v ÷ø
è
Constantes de
Acoplamento
u (GeV)
150
F%21 = -6,34263 ´10 -5
F%33 = 4,56464 ´10-5
F% = 0,0280802
22
150
G%12 = 0,5
G%13 = -6,34263 ´ 10 -5
F% = 4,56464 ´10-5
22
F%33 = 0,0280802
F%31 = 0,5
Autovalores
(GeV)
5,3
8,9´10-3
0,175
5,3
8,9´10-3
0,175
Continuação da Tabela 2.
Matrizes de
Massa
æ 0 G% 12u G% 13u ö
ç %
÷
0
0 ÷
ç F21v
ç F%31v
0
F%33v ÷ø
è
æ 0 G% 12u
ç %
0
ç F21 v
ç 0
F%32v
è
0 ö
÷
F%23 v ÷
F%33v ÷ø
æ 0 G% 12u
0 ö
ç %
%
% ÷
ç F21 v F22 v F23 v ÷
ç 0
F%32v F%33v ÷ø
è
Constantes de
Acoplamento
u (GeV)
100
F%31 = -4,336743 ´10-4
G%13 = 0,1003
F% = 10 -4
21
G%12 = -7,11044 ´ 10 -4
F%33 = 0,02440161662
G% = 0,003
Autovalores
(GeV)
5,3
9,44986705´10-3
0,1750000730
12
100
F%23 = -0,006
F%33 = -0,043
F%21 = 0,00004
0,0039
0,672
4,4
F%32 = -0,008
150
F%21 = -6,34263 ´10 -5
F%33 = 4,56464 ´ 10-5
F%22 = 0,0280802
G% 12 = 0 , 5
F%23 = 10 -5
F% = 1´ 10-5
0,1749994989
5,299991420
8,900033057´10-3
32
æ 0
0 G%13u ö
ç
÷
F%22 v F%23v ÷
ç 0
ç F%31v F%32 v F%33v ÷
è
ø
æ 0 G% 12u
ç %
%
ç F21 v F22 v
ç F%31v
0
è
0 ö
÷
F%23 v ÷
F%33 v ÷ø
150
150
G%13 = -6,34263 ´ 10 -5
F%22 = 4,56464 ´ 10 -5
F%33 = 0,0280802
F%31 = 0,5
F%23 = 10-5
F%32 = 10-3
F%21 = -6,34263 ´10 -5
F%33 = 4,56464 ´ 10-5
F%22 = 0,0280802
G% 12 = 0 , 5
F%23 = 10 -6
F% = 1´ 10-6
0,1749221275
5,300064978
0,8903846139´10-3
0,1749969310
5,299990782
8,903238858´10-3
32
æ 0 G% 12u G% 13u ö
ç %
÷
0
F%23 v ÷
ç F21 v
ç F%31v F%32 v F%33v ÷
è
ø
G% 12 = - 4 ´ 10-4
F%23 = -0,05
F% = 0,0245
33
100
F%21 = 1,338687512 ´10 -4
F%32 = 3,793745508 ´ 10 -4
G% 13 = 10 -4
9,525640293´10-3
0,1749217582
5,300002544
F%31 = 10 -5
3- CONCLUSÃO E PERSPECTIVAS
Uma inspeção das tabelas 1 e 2 mostra então que com uma escolha conveniente de parâmetros,
com todos os valores dentro de intervalos fisicamente razoáveis, indica que todos os “ansatz”
encontrados na literatura para as matrizes de massa estão ainda de acordo com os valores
experimentais das massas dos quarks quando aplicados ao modelo 3-3-1. Embora os cálculos da
referência [2] sejam mais cuidadosos que os nossos, a discrepância entre os resultados daqueles
autores e os nossos é bastante grande: de acordo com os resultados deles apenas um dos “ansatz” de
diagonalização, aquele em que os elementos (1,1), (1,3) e (3,1) se anulam, ainda está de acordo com os
dados experimentais, enquanto nós obtivemos acordo com todas as formas de matriz de massa.
Portanto podemos concluir que um estudo mais rigoroso das matrizes de massa do modelo 3-3-1, de
acordo com os “ansatz” usuais, merece ser feito. Por causa do tamanho da discrepância entre os nossos
resultados e os da referência [2], é praticamente certo que se fizermos um estudo deste problema via
matrizes CKM, ainda encontraremos resultados diferentes daqueles da referência [2] pelo menos para
alguns casos.
Neste trabalho as formas das matrizes de massa foram admitidas como “ansatz”. Entretanto, é
possível reduzir o número de parâmetros dessas matrizes através da aplicação de simetrias discretas.
Isso pode ser o caminho para justificar a forma dessas matrizes, mas isso será estudado na próxima
etapa do trabalho.
AGRADECIMENTOS
M. C. S. agradece ao Professor e Orientador Mauro Donizeti Tonasse, ao Professor e Coorientador Tobias Frederico, ao Professor da graduação Gilberto Petraconi Filho e aos demais alunos e
orientados de iniciação científica, mestrado e doutorado por terem trabalhado comigo e colaborado nos
mais diversos aspectos. Agradece também ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico (CNPq) pelo incentivo sem o qual a realização deste trabalho não teria sido possível. M.
D. T. agradeçe à FAPESP pelo suporte financeiro (processos no. 99/07956-3 e 99/02556-7).
REFERÊNCIAS
[1] Ver, por exemplo, Halzen, F. H. & Martin, A. D., Quarks & Leptons; 1984; John Wiley & Sons,
Inc.
[2] Randhawa, M., Bhatnagar, V., Gill, P.S. & Gupta, M., Phys. Rev. D 60, 051301; 1999.
[3] Pisano, F. & Pleitez, V., Phys. Rev. D 46, 410; 1992; Frampton, P. H., Phys. Rev. Lett. 69, 2889;
1992.
[4] Ver, por exemplo, Boldrini, J. L. et al., Álgebra Linear; 1980; Harbra.
[5] Mohapatra, R. N. & Pal, P. B.; Massive Neutrinos in Physics and Astrophysics; 1998; World
Scientific (Section 4.7).
[6] Griffiths, D., Introduction to Elementary Particles, 1987, John Willey & Sons Inc.;
[7] Groom, D. E. et al. (Particle Data Group), Eur. Phys. J. C 15, 1; 2000.