E assim por diante - FCT

Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB14
2005/2006
Problema 1 – O dia em Marte
O dia em Marte tem 40 horas. Sabendo que o número de
horas já passadas é 1 do número de horas que restam,
4
quantas horas já passaram e quantas horas restam?
RESOLUÇÃO
Neste problema, queremos determinar duas coisas: o número de horas passadas e o número
de horas que faltam passar num dia em Marte. Sabemos que o número de horas já passadas é
um quarto do número de horas que restam. Esta informação, que nos é dada, estabelece uma
relação entre os dois números. Por outro lado, sabemos que o dia em Marte tem 40 horas, pelo
que a soma das horas passadas e das que restam terá de ser igual a 40.
Um facto interessante da resolução de problemas é a possibilidade de existirem diferentes
processos para chegar à solução. Isto acontece em muitos casos e verifica-se também neste
problema. Com efeito, chegaram-nos diversas formas de resolução.
1. Por tentativa e erro
De entre as várias respostas que seguiram o método de tentativa e erro, referimos as que nos
enviaram o Gonçalo Oliveira, da EB 2,3 Mário Beirão (Beja), o José Quintas, da EB 2,3 Dr.
Garcia Domingues (Silves), o Bruno Falcato, o Rui Pardal e o Nuno Ramalho, da EBI de
Mourão e o Rui Ribeiro, da EB 2,3 Vasco da Gama (Sines).
O Gonçalo Oliveira, por exemplo, diz que utilizou um factor, a Sorte! O que ele quererá dizer é
que andou a experimentar, fazendo cálculos, até encontrar um número cuja quarta parte
somada com esse número fosse 40. Começou com o 40, calculou a quarta parte, que é 10, e
viu que a soma não dava o número de horas do dia em Marte. Depois, tentou o 36 e viu que
também não servia. Passou ao 32 e verificou que um quarto de 32, que é 8, somado com 32 dá
40. É interessante notar que o Gonçalo só experimentou com múltiplos de 4.
Já o José Quintas começou por pensar em dois números cuja soma fosse 40. Foi
experimentando até chegar à situação de 8 horas passadas e 32 horas por passar. Estes
valores cumprem a segunda condição, uma vez que 8 é um quarto de 32.
Ainda por este método, a Patrícia Reis, da EB 2,3 Padre João Coelho Cabanita (Loulé) e o
Sandro Belchior, da EB 2,3 Dr. António Francisco Colaço (Castro Verde) limitaram as suas
tentativas aos múltiplos de 4. Claro que, ao fazê-lo, estavam a admitir que os números
procurados eram inteiros. Como diz o Gonçalo, tiveram sorte!
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2. Divisão do dia em partes iguais
O Filipe Velosa, da EB 2,3 Dr. Horácio Bento Gouveia (Funchal) foi um dos participantes que
se lembrou de dividir o dia em 5 partes iguais. Para isso ele utilizou o seguinte esquema:
Dividi em 5 para que o número
de horas em cada bola seja um
quarto das horas passadas.
Assim 8 é o número de horas
passadas e 32 é o número de
horas que faltam passar.
Outra resposta que recorre a um esquema é a do Diogo Martins, da EB 2,3 Jacinto Correia
(Lagoa). Veja-se como ele representou a situação:
* - horas passadas
+
*
→
8
8
8
8
8
horas
horas
horas
horas
horas
n.º de horas que restam
40 horas = 1 dia
1 dia
A Ana Carina Sousa, da EB 2,3 Bartolomeu Perestrelo (Funchal) e a Nina Solyukova, da EBI
de Salir pensaram de forma idêntica. A Ana Carina explicou:
Temos um círculo com uma parte cortada como se fosse uma fatia de um bolo. Essa fatia é a
das horas já passadas e a outra parte é a das horas que restam. Como é dito que o tempo que
passou é um quarto do que resta, esta fatia tem que ser a quarta parte do restante. Assim, o
círculo fica dividido em 5 partes iguais: quatro que restam e uma que já passou. Agora é dividir
as 40 horas por cinco. Dá 8 horas que é o tempo que já passou, logo restam 32 horas.
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3. Por meio de uma equação
A maioria dos participantes que apresentou uma resposta correcta fê-lo, colocando o problema
em equação.
Foi o caso do Dário Andrade, da Ticiana Lourenço e da Mara Romeiro, da EBI da Praia da
Vitória que consideraram um dos valores pedidos como a sua incógnita. Representaram o
número de horas que restam por x. Então o número de horas que já passaram é
1
x eo
4
problema fica traduzido pela seguinte equação:
x+
1
x = 40
4
Também surgiram respostas em que foram utilizadas duas variáveis: uma para o número de
horas passadas e outra para o número de horas que restam. O João Manuel Pires, da EB 2,3
José Régio (Portalegre) optou por trabalhar com duas equações: p =
substituir p por
r
e r + p = 40 . Ao
4
r
, na segunda equação, obteve uma equação idêntica à do caso anterior.
4
4. Criando uma tabela
Alguns alunos chegaram à solução do problema a partir da construção de uma tabela. O
objectivo da construção de uma tabela é criar duas ou mais colunas que permitam relacionar
os valores das horas passadas e das horas que restam de uma forma sequencial. Como
exemplo, apresentamos a tabela criada pelo António Pica e pelo Fábio Alves, da EB 2,3 de
Vila Nova de S. Bento.
Nº de horas que passaram
Nº de horas que restam
¼ (40 – x)
x
40 - x
1
39
1/4x39 = 9.75
2
38
1/4x38 = 9.5
3
37
1/4x37 = 9.25
4
36
1/4x36 = 9
5
35
1/4x35 = 8.75
6
34
1/4x34 = 8.5
7
33
1/4x33 = 8.25
8
32
1/4x32 = 8
9
31
1/4x31 = 7.75
10
30
1/4x30 = 7.5
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COMENTÁRIOS
Na resolução de um problema há várias etapas, duas das quais são muito importantes e
merecem toda a atenção:
Ö Compreender o problema;
Ö Questionar a solução obtida.
Neste problema, recebemos um grande número de respostas que não tiveram em conta estas
duas fases.
De facto, muitos alunos responderam que o número de horas passadas era 10 e o número de
horas por passar era 30. É verdade que a soma destes dois números é 40, mas uma das
condições do problema foi ignorada. Recorde-se que o número de horas passadas deverá ser
um quarto do número de horas que restam. Ora, 10 não é um quarto de 30!
Acerca dos vários métodos de resolução do problema, podes perguntar se serão todos
igualmente eficazes. Na verdade, o método de tentativa e erro pode revelar-se pouco eficaz
uma vez que nada nos garante que seja encontrada a solução, ou seja, como dizia o Gonçalo
Oliveira, é preciso alguma sorte. Isto não quer dizer que seja errado fazer experiências e
tentativas, principalmente numa primeira abordagem do problema. As tentativas e experiências
podem ser um meio para melhorar a compreensão do problema e encontrar uma estratégia de
resolução. Mas atenção, podemos correr o risco de ficar a fazer tentativas o resto da vida!
Já o método de traduzir o problema por uma equação será mais eficaz desde que o problema
esteja bem equacionado e saibas resolver equações. Perceber que a relação entre as horas
passadas e as horas que restam permite dividir o total de horas em 5 partes iguais, é também
um processo seguro.
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