Aritmetica lista 2

Aritmética – lista 2 de exercícios (aprofundamento)
1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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1) O dia 03/02/2016, início das aulas na Etec Rio Pardo, caiu numa 4ª feira, em qual dia da semana,
cairá 03/02/2020?
Resposta: 2ª feira
2) Sabendo que um número é divisor de outro quando o resto da divisão é igual a 0. Determine os
divisores naturais de 1 e de 0.
O conjunto dos divisores da unidade é um conjunto unitário formado pelo elemento 1, ou seja:
D(1) = { 1 }
O conjunto dos divisores do ZERO é um conjunto infinito formado por todos os números naturais
diferentes de 0, ou seja:
D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....}
ATENÇÃO: Zero dividido por zero é uma indeterminação.
3) Determine os divisores inteiros de 12.
O exercício pede o conjunto dos números inteiros, então teremos divisores positivos e negativos, ou
seja:
D(12) = { -12, - 6, - 4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
4) Sabendo que a quantidade de divisores ímpares de um número pode ser obtida através do produto
dos expoentes dos números primos ímpares adicionados de uma unidade, determine a quantidade de
divisores pares do número 36.
Fatorando o 36, temos, 22 . 32, portanto o total de divisores do 36 é: 3 . 3 = 9.
Do enunciado temos que o total de divisores ímpares é dado por 3 2, ou seja, 2 + 1 = 3.
Logo, a quantidade de divisores pares será: 9 – 3 = 6.
5) Um número de três algarismos, 2m3, é somado ao número 326, resultando no número de três
algarismos, 5n9, divisível por 9. Encontre o valor de m + n.
Se 5n9 é divisível por 9, então, a soma dos algarismos tem que ser divisível por 9.
5+9= 14 (Menor resultado)
5 + 9 + 9= 23 (Maior)
O único número divisível por 9 nesse intervalo é o 18. Então:
5 + n + 9 = 18
14 + n = 18
n=4
Do enunciado, (2m3)+326=5n9, mas 5n9=549, portanto 549 – 326 = 223, m = 2.
Logo, a soma m + n = 2 + 4 = 6
6) Considere todas as divisões entre números naturais tais que o divisor é 13 e o resto é o triplo do
quociente. Determinar a soma dos possíveis quocientes dessas divisões.
Sejam D o dividendo e q o quociente na situação descrita. Como o resto é o triplo do quociente,
escrevemos:
Sabemos que o resto deve ser menor do que o divisor. Portanto, devemos encontrar todos os valores
de q para os quais 3q < 13. Assim, temos:
Para q = 0 ⇒ 3q = 0 < 13
Aritmética – lista 2 de exercícios (aprofundamento)
2
Para q = 1 ⇒ 3q = 3 < 13
Para q = 2 ⇒ 3q = 6 < 13
Para q = 3 ⇒ 3q = 9 < 13
Para q = 4 ⇒ 3q = 12 < 13
Para q = 5 ⇒ 3q = 15 > 13 (não convém)
Portanto, os possíveis valores de q são 0, 1, 2, 3 e 4. A sua soma é igual a 10.
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7) Verifique se 97 é primo.
√97 = 9,85 (aproximadamente)
Os primos menores do que √97 são 2, 3, 5 e 7.
Observe que 97 não é divisível por nenhum desses números, ou seja, 97 é primo.
8) Um colecionador possui uma determinada coleção de moedas. Contando-as de 12 em 12 ou de 15
em 15 ou de 36 em 36, sempre obteve uma quantidade exata de grupos, sem sobrar nenhuma moeda.
Quantas moedas possui?
O mmc é o número de moedas procurado, porque ele pode ser simultaneamente dividido por 12, por
15 e por 36. Logo, mmc(12; 15; 36) = 180, que é o número de moedas que o colecionador possui.
9) O produto de dois números é 2400 e o mdc deles é 20. Calcule o seu mmc.
mmc (a, b) . mdc (a, b) = 2400, propriedade: o produto do mdc pelo mmc de dois números é igual ao
produto dos dois números.
mmc (a, b) . 20 = 2400
2400
𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) =
= 120
20
10) Calcule o maior número pelo qual dividindo-se 690 e 387, obtemos, respectivamente, os restos 15
e 27.
Subtraindo 15 de 690 e 27 de 387, obtemos os números 675 e 360 e o mdc(675, 360) = 45.
11) (UNICAMP) Dividindo-se 7.040 por n, obtém-se resto 20. Dividindo-se 12.384 por n, obtém-se resto
9. O valor de n é:
Seguindo o raciocínio do exemplo acima, temos: mdc(7020; 12375) = 45
12) Obtenha todos os números compreendidos entre 1000 e 2300 que sejam divisíveis
simultaneamente por 10; 21 e 60.
O menor número divisível simultaneamente por 10; 21 e 60 é o mmc(10; 21; 60) = 420. Entre 1000 e
2300 estão os seguintes múltiplos que satisfazem a condição do exercício: 3 . 420 = 1260; 4 . 420 =
1680 e 5 . 420 = 2100, logo os números procurados são: 1260; 1680 e 2100.
13) A capacidade de 3 reservatórios é de 6000 litros, 3200 litros e 2500 litros, respectivamente. Quer
se construir um quarto reservatório, de modo que, ao ser usada a sua capacidade total, venha a ser
preenchido um número exato de vezes com o líquido contido em cada um dos três reservatórios citados,
separadamente. Qual deve ser a capacidade do reservatório construído?
Basta calcularmos o mdc das três litragens dadas, mdc(6000; 3200; 2500) = 100 litros. Dessa forma, o
reservatório de 6000 litros poderá preencher 60 vezes o quarto reservatório; o de 3200 litros, 32 vezes,
o de 2500 litros, 25 vezes.
14) Uma empresa de transporte de cargas possui cinco caminhões: A, B, C, D e E. O caminhão A
permanece fora do recinto da empresa a ela retornando a cada 12 dias; o caminhão B, a cada 5 dias;
o caminhão C, a cada 10 dias; o caminhão D, a cada 4 dias e o caminhão E, a cada 3 dias. No dia 20
de um determinado mês, os 5 caminhões encontravam-se no recinto da empresa. Na próxima vez em
que os 5 caminhões voltarem a se encontrar no recinto da empresa, quantas viajens terão sido
realizadas pelo caminhão D?
mmc(12; 5; 10; 4; 3) = 60 dias e 60 : 4 = 15 viagens.
Aritmética – lista 2 de exercícios (aprofundamento)
3
15) (Unesp) Durante um evento, o organizador pretende distribuir, como brindes, a alguns dos
participantes, caixas (kits), com o mesmo conteúdo, formado de camisetas e chaveiros. Sabe-se que
ele possui exatamente 200 camisetas e 120 chaveiros. Determine o número máximo de caixas, com o
mesmo conteúdo, que o organizador conseguirá formar utilizando todos os chaveiros e camisetas
disponíveis.
Todas as n caixas devem ter o mesmo conteúdo, isto é, o mesmo número x de camisetas e o mesmo
número y de chaveiros. Logo 200 = nx, 120 = ny e, portanto, n é um divisor comum de 200 e 120.
Assim, o número máximo de caixas é mdc (200, 120) = 23 ⋅ 5 = 40
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16) Uma sala retangular de dimensões 36 m e 40 m deverá ter o seu piso preenchido com placas
idênticas, de formato quadrado e dimensões inteiras. Qual é o menor número de placas quadradas
necessário para revestir esse piso nas condições dadas, de maneira que não haja cortes ou sobras de
material?
Seja x a medida do lado de cada placa quadrada. Observe que, para que não haja sobra de material,
a medida x deve ser um divisor de 36 e de 40. Para que tenhamos o menor número de placas, é
necessário que a medida x seja a maior possível. Portanto, x = MDC (36, 40) = 4 m.
O número de placas é obtido dividindo-se a área total da sala pela área de uma das placas quadradas.
Logo, 90 placas
17) Calcule o mmc e o mdc entre A e B, sendo A = a5 . b3 . x4 . y2 . t e B = a3 . b4 . x6 . y . s.
mmc(A,B) = a5b4x6y2ts, que é o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente;
mdc(A,B) = a3b3x4y, que é o produto só dos fatores comuns e de menor expoente.
18) Determine o algarismo das unidades de N = 52014 . 72015.
O número N é ímpar e múltiplo de 5, logo o seu algarismo das unidades só pode ser 5.
Você conhece a curiosidade das divisões por 5? É muito fácil, por exemplo, dividir 137,68 por
5. E a curiosidade dos quadrados de números terminados em 5?
19) Encontre o algarismo das unidades do número 2 . 52014 + 62015 + 42012.
Primeiro devemos observar que 52014 (como ocorre com toda potência de 5) termina em 5, logo 2 . 52014,
termina em 0 e, por isso, não contribui para o algarismo das unidades da soma dada. Dessa forma, o
algarismo das unidades da soma será igual ao algarismo das unidades de 6 2015 + 42012. Como todas as
potências de 6 terminam em 6, o número 62015 termina em 6. Quanto às potências de 4, temos o
seguinte padrão, o resultado termina em 4 se o expoente é ímpar e termina em 6 se o expoente é par.
Como 2012 é par, 42012 termina em 6 e, portanto, as contribuições de 2 . 52014, 62015 e 42012 para o
algarismo das unidades da soma são, respectivamente, 0, 6 e 6. Assim, o algarismo das unidades de
2 . 52014 + 62015 + 42012 é o mesmo de 0 + 6 + 6, ou seja, é 2.
20) O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto da divisão de N por 5?
Considerando que o quociente da divisão de N por 20 é x, como o resto é 8. Então:
Considerando que o quociente da divisão de N por 5 é y e o resto é R. Então:
Igualando N = N, temos:
Reescrevendo o lado esquerdo tentando colocar o 5 em evidência, temos que 20x = (5*4)x e 8 = 5+3,
então:
Comparando os dois lados da equação, temos que y = (4x+1) e R = 3
Aritmética – lista 2 de exercícios (aprofundamento)
4
21) Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 780 degraus e a outra com 700 degraus.
Sabendo que os degraus das duas escadas só estão no mesmo nível quando conduzem a um andar,
descubra quantos andares tem o prédio.
780 = 2.2.3.5.13 e 700 = 2.2.5.5.7. Assim, 2.2.5 são os fatores comuns entre os dois números, de modo
que: 780 = (2.2.5).3.13 e 700 = (2.2.5) .5.7, onde (3.13) e (5.7) são primos entre si. Assim, a escada de
780 degraus tem 39 = 13.3 degraus por andar e a escada de 700 degraus tem 35 = 5 .7 degraus por
andar, pois, uma vez que elas só estão no mesmo nível quando conduzem a um andar, então os
números de degraus por andar de cada uma devem ser primos entre si. Logo o prédio tem 2 .2.5 = 20
andares.
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22) (UFF) Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual
ao dobro do maior. Dentre esses números, o maior é:
Três múltiplos consecutivos: 5a, 5a + 5, 5a + 10. O triplo do menor é igual ao dobro do maior:
3 ∙ 5a = 2 ∙ (5a+10), Assim, temos: 3 ∙ 5a = 2 ∙ (5a + 10) ⇒ 5a = 20 ⇒ a = 4 ⇒ os três números são
20, 25 e 30. Portanto, o maior número, é o 30.
23) A maioria dos seres humanos entendem o sistema decimal, enquanto os computadores digitais
usam o sistema de base 2 ou numeração binária. Tratando com números binários o termo bit significa
digito binário. Um byte possui 8 bits. Para converter um decimal em binário, basta dividi-lo
sucessivamente por 2. Agora vamos ver abaixo, como converter 11001 de binário em decimal:
1
1
0
0
1
24
23
22
21
1 . 24
1 . 16
16
1 . 23
1.8
8
0 . 22
0.4
0
0 . 21
0.2
0
20
1 . 20
1.1
1
+
+
+
+
25
24) Dado f(x) . f(y) = f(x + y), tal que f(1) = 2 e f(√2) = 4, calcule f(3 + √2).
f(x) . f(y) = f(x + y)
f(x) . f(y) = f(x + y)
f(1) . f(1) = f(1 + 1)
f(1) . f(2) = f(1 + 2)
.
2 2 = f(2)
2 . 4 = f(3)
f(2) = 4
f(3) = 8
.
f(3 + √2) = f(3) (√2)
f(3 + √2) = 8 . 4
f(3 + √2) = 32
25) Seja a função definida por f(x . y) = f(x) + f(y), sendo x e y números inteiros positivos quaisquer,
sabendo-se que f(10) = 14 e f(40) = 20, o valor de f(2) é:
f(10 . 4) = f(10) + f(4)
f(2 . 2) = f(2) + f(2)
f(40) = 14 + f(4)
f(4) = 2.f(2)
20 = 14 + f(4)
6 = 2.f(2)
f(4) = 6
f(2) = 3
EXERCÍCIOS
PROPOSTOS
1) Escreva o número um, um, zero, zero, em base dois, usando o índice.
2) Converta os seguintes números binários em seus equivalentes decimais:
a) 10112 b) 11112 c) 12 d) 10002 e) 1012 f) 1112
3) Converta os seguintes números decimais em seus equivalentes binários:
a) 2310 b) 3910 c)5510 d)4810 e)210 f)1010
g) 02
Aritmética – lista 2 de exercícios (aprofundamento)
5
4) Lúcia levou um pacote de balas para os amigos e observou que, se as dividisse por 2, sobrava uma
bala; por 3, não sobrava nenhuma; por 5, também sobrava uma bala. Quantas balas Lúcia levou,
sabendo que é um número inferior a 25?
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5) Três torneiras estão com vazamento. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 minutos; da segunda, uma
de 6 em 6 minutos e da terceira, uma 10 em 10 minutos. Exatamente às 2 horas cai uma gota de cada
torneira. A próxima vez em que pingarão juntas novamente será às:
6) Um serralheiro precisa cortar duas barras de ferro, uma com 180 centímetros de comprimento e
outra com 150 centímetros de comprimento, em pequenos pedaços, todos do mesmo tamanho e do
maior comprimento possível. Qual deve ser o comprimento de cada pedaço? Quantos desses pedaços
o serralheiro vai obter?
7) Hoje, Joana e Antônia estão num mesmo cinema que costumam frequentar. Joana vai a cada 18
dias, e Antônia vai a cada 24 dias. Daqui a quantos dias as duas amigas irão se encontrar nesse
cinema?
8) Três navios fazem viagem entre dois portos: o 1º, a cada 4 dias; o 2º, a cada 9 dias; e o 3º, a cada
6 dias. Se os três partirem juntos no dia 26/06, em que data eles voltarão a partir juntos novamente?
9) Dois números decompostos em fatores primos são expressos assim: 2 3 . 3 . 5 e 2 . 3 . 5. Indique o
m.m.c. e o m.d.c. desses números.
10) Calcule o maior valor de a para que o número 5.210.45a seja divisível por 5.
11) Qual o menor valor de a para que o número 35.45a seja divisível por 6?
12) Quais são os divisores naturais de:
a) 8 b) 20 c) 7
13) Determine quantos divisores possui o número:
a) 70 b) 23 . 5 . 72 . 11
c) 52 . 63
14) Calcule k, sabendo que 22 . 3k . 5 . 62 . 103 tem 240 divisores.
15) O produto de dois números é 2400 e o mdc deles é 20. Calcule o seu mmc.
16) Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos
comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que haja perda de material.
O menor número total possível de pedaços é:
17) Na fila da bilheteria de um teatro há menos de 50 pessoas. Contando essas pessoas de 6 em 6,
sobram 5. Contando de 7 em 7 também sobram 5. Quantas pessoas estão na fila nesse momento?
18) Entre as datas indicadas qual coincide com ano bissexto?
a) 1792 – Execução de Tiradentes;
b) 1930 – Revolução de 30;
c) 1876 – Invenção do telefone por Alexandre Graham Bell;
d) 1992 – Olimpíadas de Barcelona.
19) O ano de 2100 será bissexto?
20) O menor número que se deve adicionar a 457 para se obter um número divisível por 3 é:
21) Carlos produziu, em sua pequena fábrica, uma quantidade de parafusos menor do que 400 e
obviamente maior do que zero. Quando desejou colocar esses parafusos em caixas com exatamente
17 parafusos, sobraram 5 deles; quando desejou colocá-los em caixas com exatamente 23 parafusos,
também sobraram 5. Calcule a quantidade de parafusos que Carlos tinha.
Aritmética – lista 2 de exercícios (aprofundamento)
6
22) Considere a e b dois números inteiros tais que a - b = 23, sendo b > 0. Sabendo-se que na divisão
de a por b, o quociente é 8 e o resto é o maior possível, nessa divisão, então, a + b é igual a:
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23) Observe a sequência infinita de símbolos: ▼, ◄, ►, ▲, Δ, ▼, ◄, ►, ▲, Δ, ..., qual símbolo
ocupará a 2016º posição?
24) A televisão de Marco consegue sintonizar os canais de 1 até 50. Se Marco começa sintonizando o
canal 11 e aperta o botão que avança o canal 2020 vezes, em que canal estará sintonizado ao parar?
25) A televisão de Maria consegue sintonizar os canais de 2 até 42. Se Maria começa sintonizando o
canal 15 e aperta o botão que avança o canal 2005 vezes, em que canal estará sintonizado ao parar?
26) Antonio vai a um supermercado que vende uma garrafa de suco de laranja por R$ 2,80 e uma caixa
com 6 garrafas por R$ 15,00. Ele precisa comprar 22 garrafas para o seu aniversário. Quanto ele
gastará, no mínimo?
27) Em uma sala retangular de piso plano nas dimensões 8,80m por 7,60m, deseja-se colocar ladrilhos
quadrados iguais, sem necessidade de recortar peça alguma. Calcule a medida máxima, em
centímetros, do lado de cada ladrilho.
28) (UFV) Seja x = 3600, se p é o número de divisores naturais de x, e q é o número de divisores
naturais pares de x, então os valores de p e q são?
29) (UNIFESP) O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 21 4 . 353 é:
30) (FGV) Quantos divisores tem o número 105000?
31) Encontre o algarismo das unidades de 19891989.
32) o quociente da divisão de um número inteiro por outro número inteiro é 12 e o resto é 8. Se a soma
do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 145, encontre o divisor.
33) A altura aproximada de um prédio de 13 andares, em metros, é:
34) Frações equivalentes são frações que visivelmente são diferentes, mas se fizermos as devidas
representações percebemos que representam a mesma quantidade. As frações 15 e 120 são
8
x
equivalentes. Então, o valor de x é:
35) O valor de
2
é:
0,666   
36) Se x e y são números inteiros tais que x > y > 0, é correto afirmar que:
1 1
(a) x  y
(b) 
(c)  y   x
(d) x  6  y  6
x y
(e) y 2  x 2
37) A margem de erro em uma pesquisa eleitoral é inversamente proporcional à raiz quadrada do
𝑘
tamanho n da amostra, Isto é 𝑀𝑒 = , onde k é a constante de proporcionalidade. Se, em uma pesquisa
√𝑛
com 3600 eleitores, a margem de erro é de 2%, em uma pesquisa com 1600 eleitores será de:
38) Uma loja de doces apresenta as seguintes ofertas:
I – Um chocolate de 100g custa R$2,00
II – Um pacote com dois chocolates de 100g cada um custa R$3,00
III– Um pacote com 4 chocolates de 100g cada um custa R$4,00
IV- Um pacote com 4 chocolates de 100g cada um mais um bombom de 50g custam, juntos, R$5,00
V- Um pacote com 4 chocolates de 100g cada um mais dois bombons de 50g cada um custam, juntos,
R$6,00
Pensando simplesmente no custo benefício, a opção mais vantajosa é:
Aritmética – lista 2 de exercícios (aprofundamento)
7
39) Dada a sequência de números reais ( 2 , 5 , 10 , 17 , 26 , ...) . O 8°(oitavo) termo dessa sequência
é:
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40) Dos números abaixo, escritos na forma de potência, o único divisível por 9 é:
a) 10 2015  5
b) 10 2015  6
c) 10 2015  7
d) 10 2015  8
e) 10 2015  9
41) Se 3a  2 , o valor de 27 2a é :
42) O valor de
18
é:
2
0,666   
43) Claudiomira resolveu dar 5 voltas em torno de uma praça quadrada. Ela partiu do vértice P, no
2
sentido indicado pela flecha. Faltando
do percurso total para percorrer as 5 voltas, ela caiu e teve
7
que interromper o passeio. Qual é o ponto na figura que indica o lugar em que Claudiomira caiu?
(a) A
(b) B
(c) C
(d) D
(e) E
Dica: chame de x o lado do quadrado, calcule o perímetro e a distância
total após 5 voltas e ache os 5/7 percorridos.
44) Qual é o algarismo das dezenas da soma:
Respostas: 1)11002
2)a)1110 b)1510 c)110 d)810 e)510 f)710 g) 010
3)a)101112 b)1001112
c)1101112 d)1100002 e)102(o 2 disse para o 10: “-você é grande, mas não é 2”. O 10 respondeu: “vá
estudar binário”.) f)10102 4)21 5)3 horas 6)30cm e 11 pedaços 7)72 8)01/08 9)mmc=23
. 3 . 5 = 120, que é o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente e mdc=2 . 3 . 5 =
30, que é o produto só dos fatores comuns e de menor expoente. 10)a=5 11)a=4 12)a) {1, 2, 4,
8} b) {1, 2, 4, 5, 10, 20} c) {1, 7} 13)a)8 b)48 c)48 14)k=3 15) mmc (a, b) . mdc (a, b) = 2400,
propriedade: o produto do mdc pelo mmc de dois números é igual ao produto dos dois números. Logo,
2400
mmc (a, b) . 20 = 2400 e portanto 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) = 20 = 120 16)13 17)47 18)a, c e d. 19)Não,
pois termina em 00 e não é múltiplo de 400.
20)2
21)396
22)29
23)◄
24)13
25)11
26)R$56,20 27)40cm 28)45 e 36 29)8 30)80 31)9 32)9 33)40 34)64 35)3 36)A
37)3% 38)III 39)65 40)D 41)64 42)6 43)D 44)5