Integração por substituição trigonométrica

II.3 - Técnicas de Integração
Integração por substituições trigonométricas
São integrais racionais que possibilitam a solução substituindo-se as funções trigonométricas
seno, cosseno e tangente.
Estas integrais envolvem as relações
triângulo conforme serão apresentadas.
1.
, possui solução desde que:
Observando o triângulo retângulo:
Em geral:
Substituindo-se:
Desta forma:
Lembrando a relação trigonométrica fundamental.
Substituindo-se.
e estão relacionadas com o
Integração por substituições trigonométricas
Portanto:
É uma integral por substituição:
Portanto:
Lembrando a relação:
Substituindo na integral:
Agora é necessário retornar o valor de x.
Verificando o triângulo:
Sendo assim:
Integração por substituições trigonométricas
Retornando a integral.
Exemplo 1: Calcule a integral:
Fazendo a substituição trigonométrica:
A integral fica:
Daqui resolve-se como na aula anterior com a relação:
A integral fica:
Integração por substituições trigonométricas
Substituindo x
Substituindo na integral:
2.
A solução geral para a integral:
Fazendo a substituição.
Desta forma, I fica:
Colocando
em evidência e extraindo a raiz quadrada:
Integração por substituições trigonométricas
Substituindo na integral:
Esta integral é tabelada. Também pode ser resolvida conforme Aula 5.
Substituindo os valores:
Desta forma fica:
Exemplo 2: Calcule a integral
:
Substituindo na integral:
Integração por substituições trigonométricas
Fazendo a substituição
A integral fica:
Substituindo x.
3. Envolvendo a expressão
2
para
Integração por substituições trigonométricas
Exemplo 3: Calcule a integral:
Fazendo:
Substituindo as funções trigonométricas na integral.
Substituindo em :