Matemática Básica Humberto José Bortolossi Números Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 5 Parte 5 Matemática Básica 1 O que é um número? Parte 5 Matemática Básica 2 O que é um número? Wikipédia: Dicionário Aurélio: Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras). Número. Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton). [Do lat. numeru.] S. m. Número é um composto da unidade (Euclides). 1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc. Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra considerada arbitrariamente como unidade (Euler). 2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc. Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux). 3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).] Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin Constant). 4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e que é matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntos equivalentes a um conjunto dado. Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles). Número é uma coleção de unidades (Condorcet). Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer). Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell). Parte 5 Matemática Básica 3 Parte 5 Matemática Básica 4 O que é um número? Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e por qual motivo foram inventados os números: Números naturais Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Se a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma medição e o resultado é um número real. Parte 5 Matemática Básica 5 Números naturais Parte 5 Matemática Básica 6 Números naturais como números ordinais Axiomas de Peano números naturais interpretados como interpretados como N é um conjunto, cujos elementos são chamados números naturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintes propriedades: interpretados como (a) Todo número natural tem um único sucessor. (b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes. números ordinais números cardinais código numérico (substantivo) (adjetivo) (CEP, RG, CPF, . . . ) Parte 5 Matemática Básica (c) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro. (d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X , então X = N. 7 Parte 5 Matemática Básica 8 Números naturais como números ordinais Números naturais como números ordinais: símbolos N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}. 2 3 4 .. . é o sucessor de é o sucessor de é o sucessor de .. . Sucessor de n é {n} 1 2 3 .. . Deve ficar claro que o conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} dos números naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são desprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural) possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outra propriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único) e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é sucessor). 0 ∅ 1 {∅} {0} 2 {{∅}} {1} 3 .. . {{{∅}}} .. . {2} .. . n {n − 1} [Lima, Carvalho, Wagner e Morgado, 2003] Parte 5 Matemática Básica 9 Números naturais como números ordinais: símbolos Parte 5 Matemática Básica 10 Números naturais como números ordinais: símbolos Escrita Cuneiforme Babilônica Sucessor de n é n ∪ {n} 0 ∅ 1 {∅} 0 ∪ {0} 2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1} 3 .. . {∅, {∅}, {∅, {∅}}} .. . 2 ∪ {2} .. . n Parte 5 (n − 1) ∪ {n − 1} Matemática Básica 11 Parte 5 Matemática Básica 12 Números naturais como números ordinais: símbolos Números naturais como números ordinais: símbolos Escrita Maia Escrita Chinesa Parte 5 Matemática Básica 13 Números naturais como números ordinais: símbolos Parte 5 Matemática Básica 14 Números naturais como números ordinais: símbolos Escrita Egípcia Escrita Romana 1 I 2 II 3 III Parte 5 4 IV 5 V 10 X 50 L 100 C 500 D Matemática Básica 1000 M 15 Parte 5 Matemática Básica 16 Números naturais como números ordinais: símbolos Números naturais como números ordinais: símbolos Escrita Egípcia Escrita Braille Parte 5 Matemática Básica 17 Parte 5 Matemática Básica 18 Números naturais como números cardinais Apresentaremos os números naturais como números cardinais posteriormente! Parte 5 Matemática Básica O Princípio da Indução Finita 19 Parte 5 Matemática Básica 20 O Principio da Indução Finita O Principio da Indução Finita Axioma da Indução de Peano (d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X , então X = N. Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N, P(n)” (estamos escrevendo P(n) ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja Moral: X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}. O Princípio da Indução Finita é uma técnica para tentar demonstrar que sentenças do tipo “∀n ∈ N, P(n)” são verdadeiras! Se mostramos que (1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda, que P(1) é verdadeira), (2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda, que se P(k ) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira), então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo número natural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N, P(n)” é verdadeira! Parte 5 Matemática Básica 21 Protocolo de uma prova por indução Parte 5 Matemática Básica 22 Exemplo Mostre que Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema: ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · · + n = n (n + 1) . 2 Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado P(n) : 1 + 2 + · · · + n = n (n + 1)/2. (1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual será a estrutura da demonstração. (2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todo n ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N). (3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfaz o predicado P). (4) Passo indutivo: mostre que se P(k ) é verdadeira (isto é, se k satisfaz o predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfaz o predicado P). (Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso, isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1. (Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar que P(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k ) é verdadeira, então k (k + 1) . (hipótese de indução) 1 + 2 + ··· + k = 2 (k + 1)((k + 1) + 1) Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) = . 2 Mas, 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) (∗) = = k (k + 1) + 2 (k + 1) (k + 1)(k + 2) k (k + 1) + (k + 1) = = 2 2 2 (k + 1)((k + 1) + 1) , 2 onde, em (∗), usamos a hipótese de indução. Parte 5 Matemática Básica 23 Parte 5 Matemática Básica 24 Exemplo Onde está o erro? Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n. Todos os cavalos têm uma mesma cor. Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado “Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado 3 P(n) : 3 é divisor de n − n. P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor. (Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 é divisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0. (Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor. Logo, P(1) é verdadeira. (Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira. Agora, se P(k ) é verdadeira, então 3 é divisor de k 3 −k . Para mostrar que P(k +1) é verdadeira, devemos mostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora: (Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com k cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1) é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1 , c2 , . . . , ck , ck +1 }. Pela hipótese de indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1 , c2 , . . . , ck }. Também pela hipótese de indução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2 , . . . , ck , ck +1 }. Logo todos os cavalos em {c1 , c2 , . . . , ck , ck +1 } têm uma mesma cor. (k + 1)3 − (k + 1) = k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 − (k + 1) = k 3 − k + 3 k 2 + 3 k . Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k 3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k 2 + 3 k , segue-se que 3 é divisor de k 3 − k + 3 k 2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1). O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1 , c2 , . . . , ck , ck +1 } têm uma mesma cor a partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1 , c2 , . . . , ck } e B = {c2 , . . . , ck , ck +1 } possuírem uma mesma cor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1 }, B = {c2 } e A ∩ B = ∅. Parte 5 Matemática Básica 25 Parte 5 Matemática Básica 26 Ainda sobre o princípio da indução finita Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças do tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras! Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo Ainda Sobre O Princípio da Indução Finita ∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n) ∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n) ∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n) ∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n) são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D são tão bons quanto o conjunto N. Parte 5 Matemática Básica 27 Parte 5 Matemática Básica 28 Exemplo Mostre que ∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0. Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0. (Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0. (Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira. Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora: (k + 1)2 − (k + 1) − 6 = O Segundo Princípio da Indução Finita k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k. Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k = (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Parte 5 Matemática Básica 29 O Segundo Princípio da Indução Parte 5 Matemática Básica 30 Exemplo Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo). Primeiro Princípio da Indução Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado Dado um predicado P(n), P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos. • se P(1) é verdadeira e (Passo básico ) • se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) (Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2 pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2). então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. (Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1) também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1). Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos. Segundo Princípio da Indução Dado um predicado P(n), • se P(1) é verdadeira e (Passo básico ) • se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Parte 5 Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui. Matemática Básica 31 Parte 5 Matemática Básica 32 Exemplo (sem pegar pela mão) O Segundo Princípio da Indução Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo). Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo. Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos. Primeiro Princípio da Indução Dado um predicado P(n), • se P(1) é verdadeira e (Passo básico ) • se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Segundo Princípio da Indução Dado um predicado P(n), • se P(1) é verdadeira e (Passo básico ) • se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstra o outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode ser convertida em uma demonstração usando o outro. Parte 5 Matemática Básica 33 Demonstração do teorema Parte 5 Matemática Básica Demonstração do teorema Primeiro Princípio da Indução Primeiro Princípio da Indução Dado um predicado P(n), Dado um predicado P(n), • se P(1) é verdadeira e (Passo básico ) • se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) • se P(1) é verdadeira e (Passo básico ) • se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Segundo Princípio da Indução Segundo Princípio da Indução Dado um predicado P(n), Dado um predicado P(n), • se P(1) é verdadeira e (Passo básico ) • se P(1) é verdadeira e (Passo básico ) • se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) • se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. (Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo ) é n ∈ N. Defina P(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1) = P(1) é verdadeira. Se P(k verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k Indução (aplicado ao predicado P(n)), P(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Parte 5 34 Matemática Básica 35 (Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, em particular, P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Parte 5 Matemática Básica 36 Outros nomes para o Segundo Princípio da Indução O Segundo Princípio da Indução também é conhecido como Princípio da Indução Completa Outras Aplicações ou Princípio da Indução Forte. Parte 5 Matemática Básica 37 Exemplo Parte 5 Matemática Básica 38 Exemplo Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos? É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos. Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado: Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos. P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n. 0 1 2 3 4 5 ··· 0 0 5 10 15 20 25 ··· 1 3 8 13 18 23 28 ··· 2 6 11 16 21 26 31 ··· 3 9 14 19 24 29 34 ··· 4 12 17 22 27 32 37 ··· 5 .. . 15 .. . 20 .. . 25 .. . 30 .. . 35 .. . 40 .. . ··· .. . (Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1), 9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2). (Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que k − 2 = 3 r + 5 s. Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r + 5 s, com r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0. Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s: 23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6). Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos. Parte 5 Matemática Básica 39 Parte 5 Matemática Básica 40 Exemplo Exemplo Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em um quadrado central. Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em um quadrado central. Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer quadrado. (Passo básico ) P(1) é verdadeira: B B , , B B , . B (Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k . O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução. B 2k 2k +1 2k B 2k Parte 5 Matemática Básica 41 Exemplo: A Torre de Hanoi Parte 5 2k Matemática Básica 42 Matemática Básica 44 Torre de Hanoi com 1 Anel 1 2 3 4 Torre A Torre B Torre C O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duas regras: (1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido. (2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor. Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz que existe uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro. Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz que o mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência. Parte 5 Matemática Básica 43 1 Parte 5 Torre de Hanoi com 1 Anel Torre de Hanoi com 1 Anel 1 1 OK Anel transferido da torre A para a torre C. Parte 5 Matemática Básica 45 Torre de Hanoi com 2 Anéis Parte 5 Matemática Básica 46 Torre de Hanoi com 2 Anéis 1 2 2 1 Anel transferido da torre A para a torre B. Parte 5 Matemática Básica 47 Parte 5 Matemática Básica 48 Torre de Hanoi com 2 Anéis Torre de Hanoi com 2 Anéis 1 1 2 2 Anel transferido da torre B para a torre C. Anel transferido da torre A para a torre C. Parte 5 Matemática Básica 49 Torre de Hanoi com 2 Anéis Parte 5 Matemática Básica 50 Matemática Básica 52 Torre de Hanoi com 3 Anéis 1 2 3 1 2 OK Parte 5 Matemática Básica 51 Parte 5 Torre de Hanoi com 3 Anéis Torre de Hanoi com 3 Anéis 2 3 3 1 Anel transferido da torre A para a torre C. Parte 5 Matemática Básica 2 1 Anel transferido da torre A para a torre B. 53 Parte 5 Matemática Básica Torre de Hanoi com 3 Anéis Torre de Hanoi com 3 Anéis 1 2 1 2 Anel transferido da torre C para a torre B. Anel transferido da torre A para a torre C. 3 Parte 5 Matemática Básica 55 Parte 5 54 3 Matemática Básica 56 Torre de Hanoi com 3 Anéis 1 Torre de Hanoi com 3 Anéis 3 2 1 Anel transferido da torre B para a torre C. Anel transferido da torre B para a torre A. Parte 5 2 3 Matemática Básica 57 Torre de Hanoi com 3 Anéis Parte 5 Matemática Básica Torre de Hanoi com 3 Anéis 1 2 3 1 2 3 OK Anel transferido da torre A para a torre C. Parte 5 58 Matemática Básica 59 Parte 5 Matemática Básica 60 Torre de Hanoi com 4 Anéis Torre de Hanoi com 4 Anéis 1 2 3 4 2 3 4 1 Anel transferido da torre A para a torre B. Parte 5 Matemática Básica 61 Torre de Hanoi com 4 Anéis 3 4 Matemática Básica 62 Torre de Hanoi com 4 Anéis 1 3 4 2 Matemática Básica 1 2 Anel transferido da torre B para a torre C. Anel transferido da torre A para a torre C. Parte 5 Parte 5 63 Parte 5 Matemática Básica 64 Torre de Hanoi com 4 Anéis Torre de Hanoi com 4 Anéis 1 2 3 4 1 4 Anel transferido da torre A para a torre B. Parte 5 Matemática Básica 65 Parte 5 Matemática Básica 66 Torre de Hanoi com 4 Anéis 2 3 1 2 3 4 Anel transferido da torre C para a torre B. Parte 5 2 Anel transferido da torre C para a torre A. Torre de Hanoi com 4 Anéis 1 4 3 Matemática Básica Anel transferido da torre A para a torre B. 67 Parte 5 Matemática Básica 68 Torre de Hanoi com 4 Anéis Torre de Hanoi com 4 Anéis 1 2 3 2 3 4 Anel transferido da torre B para a torre C. Anel transferido da torre A para a torre C. Parte 5 Matemática Básica 69 Torre de Hanoi com 4 Anéis 1 4 1 2 Anel transferido da torre B para a torre A. Parte 5 Parte 5 Matemática Básica 70 Torre de Hanoi com 4 Anéis 3 2 1 4 Matemática Básica 3 4 Anel transferido da torre C para a torre A. 71 Parte 5 Matemática Básica 72 Torre de Hanoi com 4 Anéis Torre de Hanoi com 4 Anéis 3 4 1 2 2 Anel transferido da torre B para a torre C. Parte 5 1 Anel transferido da torre A para a torre B. Matemática Básica 73 Torre de Hanoi com 4 Anéis Parte 5 Matemática Básica 74 Torre de Hanoi com 4 Anéis 1 2 3 4 2 3 4 1 Anel transferido da torre A para a torre C. Parte 5 3 4 Matemática Básica Anel transferido da torre B para a torre C. 75 Parte 5 Matemática Básica 76 Torre de Hanoi com 4 Anéis Exemplo: A Torre de Hanoi A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1. Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C. 1 2 3 4 A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que, também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim, usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos. Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. OK Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un . Assim, Un = Parte 5 Matemática Básica 77 Exemplo: A Torre de Hanoi 2n e, portanto, Tn = 2n − 1. Parte 5 Matemática Básica 78 Exemplo: Permutações Para n = 64 anéis são então necessários T64 = 264 − 1 movimentos. Quantas e quais são as permutações da lista (a, b)? Resposta: são 2 permutações, a saber, (a, b), 264 − 1 = 18446744073709551615. (b, a). Quantas e quais são as permutações da lista (a, b, c)? Resposta: são 6 permutações, a saber, (a, b, c), (a, c, b), Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). E o caso geral? 584 bilhões de anos para eles transferirem todos os 64 anéis! Parte 5 Matemática Básica 79 Parte 5 Matemática Básica 80 Exemplo: Permutações Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!. Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um único elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas em k + 1 grupos: a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 , a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 , .. . ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1 ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak Quantos e quais são os subconjuntos de {a, b}? Resposta: são 4 subconjuntos, a saber, ∅, {a}, {b}, {a, b}. Quantos e quais são os subconjuntos de {a, b, c}? Resposta: são 8 subconjuntos, a saber, ∅, ∅ ∪ {c}, , . {a}, {a} ∪ {c}, {b}, {a, b}, {b} ∪ {c}, {a, b} ∪ {c}. E o caso geral? Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a · · + k ! + k! = (k + 1) k ! = (k + 1)!. k ! + k ! + · k +1 vezes Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular permutações de listas. Parte 5 Matemática Básica 81 Parte 5 Matemática Básica 82 Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n . Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0 elementos) é igual a 1 = 20 . Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementos seja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1 , . . . , ak , ak +1 } com k + 1 elementos é igual a 2k +1 . Ora, os subconjuntos de {a1 , . . . , ak , ak +1 } podem ser divididos em 2 grupos: os subconjuntos de {a1 , . . . , ak , ak +1 } dos quais ak +1 não é um elemento e os subconjuntos de {a1 , . . . , ak , ak +1 } dos quais ak +1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igual ao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak +1 de um subconjunto do segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeiro grupo são subconjuntos do conjunto {a1 , . . . , ak } com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução, segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dos grupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k +1 subconjuntos do conjunto {a1 , . . . , ak , ak +1 }. Números Naturais (Continuação) Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos de um conjunto finito. Parte 5 Matemática Básica 83 Parte 5 Matemática Básica 84 Números naturais como números cardinais X Y Parte 5 Matemática Básica Números naturais como números cardinais 85 Números naturais como números cardinais X Y Parte 5 Matemática Básica 86 Números naturais como números cardinais A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo matemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”. Definições Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode definir uma função bijetiva f : X → Y . Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se pode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos. Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X . Parte 5 Matemática Básica 87 X Y Parte 5 Matemática Básica 88 Números naturais como números cardinais Números naturais como números cardinais Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade? Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade? (Ir para o GeoGebra) (Ir para o GeoGebra) Parte 5 Matemática Básica 89 Números naturais como números cardinais Parte 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 Matemática Básica 90 Semelhança dos nomes dos números O Hotel Infinito de Hilbert Parte 5 Matemática Básica 91 Sânscrito Grego Antigo Latim Alemão Inglês Francês Russo eka dva tri catur panca sas sapta asta nava daca cata sehastre en duo tri tetra pente hex hepta octo ennea deca ecaton xilia unus duo tres quatuor quinque sex septem octo novem decem centum mille eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun zehn hundert tausend one two three four five six seven eight nine ten hundred thousand un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix cent mille odyn dva tri chetyre piat shest sem vosem deviat desiat sto tysiaca Parte 5 Matemática Básica 92 Giuseppe Peano David Hilbert Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932) Parte 5 Matemática Básica Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943) 93 Parte 5 Matemática Básica 94 Existem “infinitos” diferentes! Os conjuntos N = {1, 2, 3, . . .} Existem “infinitos” diferentes! e ]0, 1[= {x ∈ R | 0 < x < 1} são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal. Em um certo sentido, o intervalo ]0, 1[ é “mais infinito” do que o conjunto N dos números naturais! Parte 5 Matemática Básica 95 Parte 5 Matemática Básica 96 O argumento da diagonal de Cantor O argumento da diagonal de Cantor (5) Temos então: N e ]0, 1[ não possuem o mesmo número cardinal. f (1) = 0.d1,1 d1,2 d1,3 d1,4 . . . , Demonstração. f (2) = 0.d2,1 d2,2 d2,3 d2,4 . . . , (1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e ]0, 1[. f (3) = 0.d3,1 d3,2 d3,3 d3,4 . . . , (2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N →]0, 1[. (3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r . (4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo, 0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para 0.5 escolhemos 0.49). (5) Temos então: f (1) = 0.d1,1 d1,2 d1,3 d1,4 . . . , f (2) = 0.d2,1 d2,2 d2,3 d2,4 . . . , f (4) = 0.d4,1 d4,2 d4,3 d4,4 . . . , .. . Matemática Básica 97 Georg Cantor Matemático alemão (3 de março de 1845 – 6 de janeiro de 1918) Parte 5 Matemática Básica (6) Vamos construir um número real x = 0.p1 p2 p3 p4 . . . da seguinte maneira: Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5. Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5. Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5. E assim por diante. (7) O número real x = 0.p1 p2 p3 p4 . . . pertence ao intervalo ]0, 1[, mas x = f (1) (pois p1 = d1,1 ), x = f (2) (pois p2 = d2,2 ), x = f (3) (pois p3 = d3,3 ), etc. Isto contradiz o fato de f : N →]0, 1[ ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e ]0, 1[. f (3) = 0.d3,1 d3,2 d3,3 d3,4 . . . , Parte 5 f (4) = 0.d4,1 d4,2 d4,3 d4,4 . . . , .. . 99 Parte 5 Matemática Básica 98