parte 2 dos slides das aulas

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Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Números
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 5
Parte 5
Matemática Básica
1
O que é um número?
Parte 5
Matemática Básica
2
O que é um número?
Wikipédia:
Dicionário Aurélio:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número.
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
[Do lat. numeru.]
S. m.
Número é um composto da unidade (Euclides).
1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra considerada
arbitrariamente como unidade (Euler).
2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin
Constant).
4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e que
é matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntos
equivalentes a um conjunto dado.
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Parte 5
Matemática Básica
3
Parte 5
Matemática Básica
4
O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e por
qual motivo foram inventados os números:
Números naturais
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Se
a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado
é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma
medição e o resultado é um número real.
Parte 5
Matemática Básica
5
Números naturais
Parte 5
Matemática Básica
6
Números naturais como números ordinais
Axiomas de Peano
números
naturais
interpretados como
interpretados como
N é um conjunto, cujos elementos são chamados números
naturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintes
propriedades:
interpretados como
(a) Todo número natural tem um único sucessor.
(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.
números
ordinais
números
cardinais
código
numérico
(substantivo)
(adjetivo)
(CEP, RG, CPF, . . . )
Parte 5
Matemática Básica
(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento
de X ainda pertence a X , então X = N.
7
Parte 5
Matemática Básica
8
Números naturais como números ordinais
Números naturais como números ordinais: símbolos
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}.
2
3
4
..
.
é o sucessor de
é o sucessor de
é o sucessor de
..
.
Sucessor de n é {n}
1
2
3
..
.
Deve ficar claro que o conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} dos números
naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são
desprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)
possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outra
propriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)
e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é
sucessor).
0
∅
1
{∅}
{0}
2
{{∅}}
{1}
3
..
.
{{{∅}}}
..
.
{2}
..
.
n
{n − 1}
[Lima, Carvalho, Wagner e Morgado, 2003]
Parte 5
Matemática Básica
9
Números naturais como números ordinais: símbolos
Parte 5
Matemática Básica
10
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Cuneiforme Babilônica
Sucessor de n é n ∪ {n}
0
∅
1
{∅}
0 ∪ {0}
2
{∅, {∅}}
1 ∪ {1}
3
..
.
{∅, {∅}, {∅, {∅}}}
..
.
2 ∪ {2}
..
.
n
Parte 5
(n − 1) ∪ {n − 1}
Matemática Básica
11
Parte 5
Matemática Básica
12
Números naturais como números ordinais: símbolos
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Maia
Escrita Chinesa
Parte 5
Matemática Básica
13
Números naturais como números ordinais: símbolos
Parte 5
Matemática Básica
14
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Escrita Romana
1
I
2
II
3
III
Parte 5
4
IV
5
V
10
X
50
L
100
C
500
D
Matemática Básica
1000
M
15
Parte 5
Matemática Básica
16
Números naturais como números ordinais: símbolos
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Escrita Braille
Parte 5
Matemática Básica
17
Parte 5
Matemática Básica
18
Números naturais como números cardinais
Apresentaremos os números naturais como números cardinais
posteriormente!
Parte 5
Matemática Básica
O Princípio da Indução Finita
19
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20
O Principio da Indução Finita
O Principio da Indução Finita
Axioma da Indução de Peano
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento
de X ainda pertence a X , então X = N.
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N, P(n)” (estamos escrevendo P(n)
ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
Moral:
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
O Princípio da Indução Finita é uma técnica para tentar
demonstrar que sentenças do tipo “∀n ∈ N, P(n)” são
verdadeiras!
Se mostramos que
(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),
(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,
que se P(k ) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo número
natural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N, P(n)”
é verdadeira!
Parte 5
Matemática Básica
21
Protocolo de uma prova por indução
Parte 5
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22
Exemplo
Mostre que
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
∀n ∈ N, 1 + 2 + · · · + n =
n (n + 1)
.
2
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · · + n = n (n + 1)/2.
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual será
a estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todo
n ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfaz
o predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k ) é verdadeira (isto é, se k satisfaz
o predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfaz
o predicado P).
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,
isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar que
P(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k ) é verdadeira,
então
k (k + 1)
.
(hipótese de indução)
1 + 2 + ··· + k =
2
(k + 1)((k + 1) + 1)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) =
.
2
Mas,
1 + 2 + · · · + k + (k + 1)
(∗)
=
=
k (k + 1) + 2 (k + 1)
(k + 1)(k + 2)
k (k + 1)
+ (k + 1) =
=
2
2
2
(k + 1)((k + 1) + 1)
,
2
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Matemática Básica
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Parte 5
Matemática Básica
24
Exemplo
Onde está o erro?
Mostre que
∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
3
P(n) : 3 é divisor de n − n.
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 é
divisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.
Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então 3 é divisor de k 3 −k . Para mostrar que P(k +1) é verdadeira, devemos
mostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com k
cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)
é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têm
uma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1 , c2 , . . . , ck , ck +1 }. Pela hipótese de
indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1 , c2 , . . . , ck }. Também pela hipótese de indução,
os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2 , . . . , ck , ck +1 }. Logo todos os cavalos
em {c1 , c2 , . . . , ck , ck +1 } têm uma mesma cor.
(k + 1)3 − (k + 1)
=
k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 − (k + 1) = k 3 − k + 3 k 2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k 3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k 2 + 3 k , segue-se que 3
é divisor de k 3 − k + 3 k 2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1 , c2 , . . . , ck , ck +1 } têm uma mesma cor
a partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1 , c2 , . . . , ck } e B = {c2 , . . . , ck , ck +1 } possuírem uma mesma
cor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1 },
B = {c2 } e A ∩ B = ∅.
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Matemática Básica
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Parte 5
Matemática Básica
26
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças
do tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
Ainda Sobre
O Princípio da Indução Finita
∀n ∈ A = { 2, 3, 4,
. . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5,
. . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2,
. . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1,
. . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D
são tão bons quanto o conjunto N.
Parte 5
Matemática Básica
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Parte 5
Matemática Básica
28
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
O Segundo Princípio da Indução Finita
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Parte 5
Matemática Básica
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O Segundo Princípio da Indução
Parte 5
Matemática Básica
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Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Primeiro Princípio da Indução
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
Dado um predicado P(n),
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Parte 5
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Matemática Básica
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Parte 5
Matemática Básica
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Exemplo (sem pegar pela mão)
O Segundo Princípio da Indução
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstra
o outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode ser
convertida em uma demonstração usando o outro.
Parte 5
Matemática Básica
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Demonstração do teorema
Parte 5
Matemática Básica
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
) é
n ∈ N. Defina P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
+ 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Parte 5
34
Matemática Básica
35
(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos
que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, em particular, P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é
verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Parte 5
Matemática Básica
36
Outros nomes para o Segundo Princípio da Indução
O Segundo Princípio da Indução também é conhecido como
Princípio da Indução Completa
Outras Aplicações
ou
Princípio da Indução Forte.
Parte 5
Matemática Básica
37
Exemplo
Parte 5
Matemática Básica
38
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r + 5 s, com r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Parte 5
Matemática Básica
39
Parte 5
Matemática Básica
40
Exemplo
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
B
,
,
B
B
,
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
B
2k
2k +1
2k
B
2k
Parte 5
Matemática Básica
41
Exemplo: A Torre de Hanoi
Parte 5
2k
Matemática Básica
42
Matemática Básica
44
Torre de Hanoi com 1 Anel
1
2
3
4
Torre A
Torre B
Torre C
O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duas
regras:
(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido.
(2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.
Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz que
existe uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro.
Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz que
o mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência.
Parte 5
Matemática Básica
43
1
Parte 5
Torre de Hanoi com 1 Anel
Torre de Hanoi com 1 Anel
1
1
OK
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5
Matemática Básica
45
Torre de Hanoi com 2 Anéis
Parte 5
Matemática Básica
46
Torre de Hanoi com 2 Anéis
1
2
2
1
Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5
Matemática Básica
47
Parte 5
Matemática Básica
48
Torre de Hanoi com 2 Anéis
Torre de Hanoi com 2 Anéis
1
1
2
2
Anel transferido da torre B para a torre C.
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5
Matemática Básica
49
Torre de Hanoi com 2 Anéis
Parte 5
Matemática Básica
50
Matemática Básica
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Torre de Hanoi com 3 Anéis
1
2
3
1
2
OK
Parte 5
Matemática Básica
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Parte 5
Torre de Hanoi com 3 Anéis
Torre de Hanoi com 3 Anéis
2
3
3
1
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5
Matemática Básica
2
1
Anel transferido da torre A para a torre B.
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Parte 5
Matemática Básica
Torre de Hanoi com 3 Anéis
Torre de Hanoi com 3 Anéis
1
2
1
2
Anel transferido da torre C para a torre B.
Anel transferido da torre A para a torre C.
3
Parte 5
Matemática Básica
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Parte 5
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3
Matemática Básica
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Torre de Hanoi com 3 Anéis
1
Torre de Hanoi com 3 Anéis
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Anel transferido da torre B para a torre C.
Anel transferido da torre B para a torre A.
Parte 5
2
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Matemática Básica
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Torre de Hanoi com 3 Anéis
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Matemática Básica
Torre de Hanoi com 3 Anéis
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2
3
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OK
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5
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Matemática Básica
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Matemática Básica
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Torre de Hanoi com 4 Anéis
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
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Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5
Matemática Básica
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Torre de Hanoi com 4 Anéis
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Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
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Matemática Básica
1
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Anel transferido da torre B para a torre C.
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5
Parte 5
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Matemática Básica
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Torre de Hanoi com 4 Anéis
Torre de Hanoi com 4 Anéis
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Anel transferido da torre A para a torre B.
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Matemática Básica
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Parte 5
Matemática Básica
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Torre de Hanoi com 4 Anéis
2
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1
2
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Anel transferido da torre C para a torre B.
Parte 5
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Anel transferido da torre C para a torre A.
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Matemática Básica
Anel transferido da torre A para a torre B.
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Parte 5
Matemática Básica
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Torre de Hanoi com 4 Anéis
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
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Anel transferido da torre B para a torre C.
Anel transferido da torre A para a torre C.
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Matemática Básica
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Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
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Anel transferido da torre B para a torre A.
Parte 5
Parte 5
Matemática Básica
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Torre de Hanoi com 4 Anéis
3
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Matemática Básica
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Anel transferido da torre C para a torre A.
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Matemática Básica
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Torre de Hanoi com 4 Anéis
Torre de Hanoi com 4 Anéis
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Anel transferido da torre B para a torre C.
Parte 5
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Anel transferido da torre A para a torre B.
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Torre de Hanoi com 4 Anéis
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Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
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Anel transferido da torre A para a torre C.
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Matemática Básica
Anel transferido da torre B para a torre C.
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Parte 5
Matemática Básica
76
Torre de Hanoi com 4 Anéis
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
1
2
3
4
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
OK
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
Parte 5
Matemática Básica
77
Exemplo: A Torre de Hanoi
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Parte 5
Matemática Básica
78
Exemplo: Permutações
Para n = 64 anéis são então necessários
T64 = 264 − 1 movimentos.
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b)?
Resposta: são 2 permutações, a saber,
(a, b),
264 − 1 = 18446744073709551615.
(b, a).
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b, c)?
Resposta: são 6 permutações, a saber,
(a, b, c),
(a, c, b),
Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de
(b, a, c),
(b, c, a),
(c, a, b),
(c, b, a).
E o caso geral?
584 bilhões de anos
para eles transferirem todos os 64 anéis!
Parte 5
Matemática Básica
79
Parte 5
Matemática Básica
80
Exemplo: Permutações
Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
Quantos e quais são os subconjuntos de {a, b}?
Resposta: são 4 subconjuntos, a saber,
∅, {a}, {b}, {a, b}.
Quantos e quais são os subconjuntos de {a, b, c}?
Resposta: são 8 subconjuntos, a saber,
∅,
∅ ∪ {c},
,
.
{a},
{a} ∪ {c},
{b},
{a, b},
{b} ∪ {c},
{a, b} ∪ {c}.
E o caso geral?
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
· · + k ! + k! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k ! + k ! + ·
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Parte 5
Matemática Básica
81
Parte 5
Matemática Básica
82
Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito
O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n .
Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0
elementos) é igual a 1 = 20 . Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementos
seja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1 , . . . , ak , ak +1 }
com k + 1 elementos é igual a 2k +1 . Ora, os subconjuntos de {a1 , . . . , ak , ak +1 } podem ser divididos em
2 grupos: os subconjuntos de {a1 , . . . , ak , ak +1 } dos quais ak +1 não é um elemento e os subconjuntos
de {a1 , . . . , ak , ak +1 } dos quais ak +1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igual
ao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak +1 de um subconjunto
do segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeiro
grupo são subconjuntos do conjunto {a1 , . . . , ak } com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,
segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dos
grupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k +1 subconjuntos do conjunto {a1 , . . . , ak , ak +1 }.
Números Naturais (Continuação)
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos de
um conjunto finito.
Parte 5
Matemática Básica
83
Parte 5
Matemática Básica
84
Números naturais como números cardinais
X
Y
Parte 5
Matemática Básica
Números naturais como números cardinais
85
Números naturais como números cardinais
X
Y
Parte 5
Matemática Básica
86
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo
matemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles
respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Definições
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode
definir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se
pode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e
In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal
do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o
conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X
não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Parte 5
Matemática Básica
87
X
Y
Parte 5
Matemática Básica
88
Números naturais como números cardinais
Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
(Ir para o GeoGebra)
Parte 5
Matemática Básica
89
Números naturais como números cardinais
Parte 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
Matemática Básica
90
Semelhança dos nomes dos números
O Hotel Infinito de Hilbert
Parte 5
Matemática Básica
91
Sânscrito
Grego
Antigo
Latim
Alemão
Inglês
Francês
Russo
eka
dva
tri
catur
panca
sas
sapta
asta
nava
daca
cata
sehastre
en
duo
tri
tetra
pente
hex
hepta
octo
ennea
deca
ecaton
xilia
unus
duo
tres
quatuor
quinque
sex
septem
octo
novem
decem
centum
mille
eins
zwei
drei
vier
fünf
sechs
sieben
acht
neun
zehn
hundert
tausend
one
two
three
four
five
six
seven
eight
nine
ten
hundred
thousand
un
deux
trois
quatre
cinq
six
sept
huit
neuf
dix
cent
mille
odyn
dva
tri
chetyre
piat
shest
sem
vosem
deviat
desiat
sto
tysiaca
Parte 5
Matemática Básica
92
Giuseppe Peano
David Hilbert
Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)
Parte 5
Matemática Básica
Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)
93
Parte 5
Matemática Básica
94
Existem “infinitos” diferentes!
Os conjuntos
N = {1, 2, 3, . . .}
Existem “infinitos” diferentes!
e
]0, 1[= {x ∈ R | 0 < x < 1}
são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.
Em um certo sentido, o intervalo ]0, 1[ é “mais infinito” do que o
conjunto N dos números naturais!
Parte 5
Matemática Básica
95
Parte 5
Matemática Básica
96
O argumento da diagonal de Cantor
O argumento da diagonal de Cantor
(5) Temos então:
N e ]0, 1[ não possuem o mesmo número cardinal.
f (1) = 0.d1,1 d1,2 d1,3 d1,4 . . . ,
Demonstração.
f (2) = 0.d2,1 d2,2 d2,3 d2,4 . . . ,
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e ]0, 1[.
f (3) = 0.d3,1 d3,2 d3,3 d3,4 . . . ,
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N →]0, 1[.
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1 d1,2 d1,3 d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1 d2,2 d2,3 d2,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1 d4,2 d4,3 d4,4 . . . ,
..
.
Matemática Básica
97
Georg Cantor
Matemático alemão (3 de março de 1845 – 6 de janeiro de 1918)
Parte 5
Matemática Básica
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1 p2 p3 p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1 p2 p3 p4 . . . pertence ao intervalo ]0, 1[, mas x = f (1) (pois
p1 = d1,1 ), x = f (2) (pois p2 = d2,2 ), x = f (3) (pois p3 = d3,3 ), etc. Isto contradiz
o fato de f : N →]0, 1[ ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e ]0, 1[.
f (3) = 0.d3,1 d3,2 d3,3 d3,4 . . . ,
Parte 5
f (4) = 0.d4,1 d4,2 d4,3 d4,4 . . . ,
..
.
99
Parte 5
Matemática Básica
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