Aula 18 19 20 Modelos Atômicos Semiclássicos [Modo de

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FÍSICA MODERNA I
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
MODELOS ATÔMICOS
SEMICLÁSSICOS
“Deve haver qualquer
coisa por trás de tudo
isso… Não acredito que o
valor da constante de
Rydberg possa ser obtido
corretamente por acaso” –
Albert Einstein ao
comentar o resultado
obtido por Bohr
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. A Espectroscopia de Vapor de Hidrogênio
3. O Modelo Atômico de Bohr
a. Os Postulados de Bohr
b. A Quantização da Energia
4. Regras de Quantização de Wilson-Sommerfeld
5. O Modelo Atômico de Sommerfeld
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
O que é Espectroscopia
Espectroscopia de uma maneira geral, consiste no
estudo da radiação eletromagnética (luz) emitida ou
absorvida por um corpo.
Esta técnica é largamente empregada na Química, Física,
Engenharias, Astronomia, e várias outras áreas.
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
Definição de espectro
Espectro é a relação da intensidade de radiação
transmitida, absorvida ou refletida em função do
comprimento de onda ou frequência da dita radiação.
Espectro de lâmpada HgAr
Espectro da estrela HR3018
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
O arco-íris, um exemplo de espectro natural
O arco-íris é um exemplo de espectro contínuo.
Exemplo de espectro natural: o arco-íris
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
Os tipos de espectroscopia
Espectroscopia de Emissão: analisa a quantidade de
fótons emitidos por uma amostra em função do comprimento
de onda.
Espectro de emissão do
plasma de Ar
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
A espectroscopia de emissão
Espectroscopia de Emissão: analisa a quantidade de
fótons emitidos por uma amostra em função do comprimento
de onda.
Espectro de emissão do
plasma de argônio – Ar
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
A espectroscopia de absorção
Espectroscopia de Absorção: correlaciona a quantidade
de fótons absorvidos pela amostra em função do
comprimento de onda da luz incidente.
Espectro de absorção de uma
mistura metálica de Mg e Al
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
Uso da espectroscopia na Astronomia
Em Astronomia, ela permite obter informações sobre
evolução das reações que lá acontecem assim como a
expansão do universo.
Espectros de
estrelas por classe
espectral.
A Constelação
de Órion.
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
Mais usos da espectroscopia na Astronomia
Ainda em Astronomia, ela permite saber informações
sobre a constituição química das estrelas.
Espectros
fotográficos de
baixa resolução
de estrelas do
sistema MorganKeenan
Espectros de
emissão de uma
estrela
simbiótica
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
Ainda o uso da espectroscopia na Astronomia
Em Astronomia, ela permite saber informações sobre a
constituição química das estrelas.
Espectros de alta resolução
da estrela solar HR6094
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
Os espectros no infravermelho distante (FIR)
Na Física e na Química, a espectroscopia nos fornece
informações sobre as propriedades nucleares, atômicas e
moleculares da matéria.
Espectros de FIR da Terra
obtida pela sonda LCROSS
Espectro de FIR do
dimetilsulfóxido
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
A espectroscopia e a Tabela Periódica
A espectroscopia é usada para identificar um
determinado átomo, molécula ou uma dada estrutura
atômica-molecular .
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
Um pouco da história da espectroscopia
Robert Wilheim Bunsen (1811-1899) associou-se a Gustav
Robert Kirchoff (1824-1877) na criação de um equipamento
que ficou conhecido como espectroscópio.
Gustav Kirchoff
(1824-1877)
Robert Bunsen
(1811-1899)
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
O espectroscópio de Bunsen e Kirchoff
O espectroscópio é usado para medir a intensidade da
luz em comparação com a de uma luz procedente de uma
fonte padrão.
Essa comparação permite determinar a concentração da
substância que produz esse espectro.
O espectroscópio de
Bunsen e Kirchoff.
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
O espectroscópio de prisma
Abaixo mostramos dois espectrômetros que usam prisma
de vidro para separar (dispersar) os comprimentos de onda.
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
O espectroscópio de rede de difração
Abaixo
mostramos
o
funcionamento
de
um
espectrômetro que utiliza uma rede de difração para separar
(difratar) os comprimentos de onda.
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. A Espectroscopia de Vapor de Hidrogênio
3. O Modelo Atômico de Bohr
a. Os Postulados de Bohr
b. A Quantização da Energia
4. Regras de Quantização de Wilson-Sommerfeld
5. O Modelo Atômico de Sommerfeld
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
O avanço da espectroscopia
No final do Século XIX James Dewar (1842-1923) e
Livering obtiveram longas séries (linhas espectrais) a partir
de vapores atômicos de átomos alcalinos.
James Dewar
(1842-1923)
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Espectros de
átomos alcalinos.
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
O espectro do vapor de hidrogênio
No entanto, para uma melhor compreensão do átomo, os
espectroscopistas do final do Século XIX (principalmente os
alemães) resolveram estudar o espectro de emissão de uma
ampola contendo hidrogênio.
Ampola de gás hidrogênio (ao lado) e as raias
espectrais do átomo de hidrogênio (abaixo).
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
A escolha do vapor de hidrogênio
A ampola de vapor atômico de hidrogênio (H2) foi
escolhida pois já se sabia à época que este era o átomo mais
simples (contém apenas um elétron).
Ampola de gás hidrogênio
(abaixo) e as raias
espectrais do átomo de
hidrogênio (acima).
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2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
A série de Lyman
A primeira série espectral importante é devida a Theodore
Lyman (1874-1954).
Ela foi obtida por Lyman em 1906 na Universidade de
Harvard.
Lyman obteve o espectro (discreto!!!) para
o hidrogênio na região do ultravioleta (UV).
Linhas espectrais obtidas por
Lyman para o hidrogênio: 91,1
nm, 91,9 nm, 92,1 nm, 92,3 nm,
92,6 nm, 93,0 nm, 93,7 nm, 94,9
nm, 97,2 nm, 102,5 nm, 121,6 nm.
Theodore Lyman
(1874-1954)
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
A série de Balmer
A segunda série espectral importante é devida a Johann
Balmer (1825-1898).
Em 1885 Balmer propôs empiricamente uma fórmula
matemática (fórmula de Balmer) que descrevia as linhas
espectrais para o hidrogênio na região de luz visível.
Balmer estudou o espectro (também
discreto!!!) para o hidrogênio na região do
ultravioleta (UV) ao visível (VIS).
Johann Balmer
(1825-1898)
Linhas espectrais estudadas por Balmer para o
hidrogênio: 365 nm, 397 nm, 410 nm, 434 nm, 486
nm e 656 nm.
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
A série de Paschen
A terceira série espectral importante é devida a Louis Karl
Heinrich Friedrich Paschen (1865-1947).
Ela foi obtida por Paschen em 1908 na Universidade de
Tübingen.
Paschen obteve o espectro (também
discreto!!!) para o hidrogênio na região do
infravermelho (IR).
Linhas espectrais obtidas por
Paschen para o hidrogênio:
1870 nm, 1280 nm, 1090 nm,
1000 nm, 954 nm, 820 nm.
Karl Paschen
(1865-1947)
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
A série de Brackett
A quarta série espectral é devida a Frederick Sumner
Brackett (1896-1988).
Ela foi obtida por Brackett em 1922 na John Hopkins
University.
Brackett obteve o espectro (também
discreto!!!) para o hidrogênio na região do
infravermelho próximo (NIR).
Frederick
Brackett
(1865-1947)
Linhas espectrais obtidas
por Brackett para o
hidrogênio: 1460 nm, 1820
nm, 1940 nm, 2170 nm,
2630 nm e 4050 nm.
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2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
A série de Pfund
A quinta série espectral é devida a August Herman Pfund
(1879-1949).
Ela foi obtida por Pfund em 1924 na John Hopkins
University.
Pfund
obteve
o
espectro
(também
discreto!!!) para o hidrogênio na região do
infravermelho distante (FIR).
August Pfund
(1879-1949)
Linhas espectrais obtidas por Pfund
para o hidrogênio: 2280 nm, 3040 nm,
3300 nm, 3740 nm, 4650 nm e 7460 nm.
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2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
A série de Humphreys
A sexta série espectral importante é devida a Curtis
Judson Humphreys (1898-1986).
Ela foi obtida por Humphreys em 1953 no National Bureau
of Standars (USA).
Humphreys obteve o espectro (também
discreto!!!) para o hidrogênio na região do
infravermelho distante (FIR).
Linhas espectrais obtidas por Humphreys para o hidrogênio:
3280 nm, 4670 nm, 5130 nm, 5910 nm, 7500 nm e 12400 nm.
Curtis Humphreys
(1898-1986)
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
Tratamento matemático da série de Lyman
Linhas espectrais obtidas por
Lyman para o hidrogênio: 91,1
nm, 91,9 nm, 92,1 nm, 92,3 nm,
92,6 nm, 93,0 nm, 93,7 nm, 94,9
nm, 97,2 nm, 102,5 nm, 121,6 nm.
bL = 1,099 ×107
Série de Lyman
1/lambda (m -1)
12000000
6000000
0
0,05
0,1
1/n
2
1 1 
= bL ⋅  2 − 2 
λ
1 n 
1
m −1
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
2
0,2500
1,22×10-7
8,224×106
3
0,1111
1,03×10-7
9,756×106
4
0,0625
9,72×10-8
10,29×106
5
0,0400
9,49×10-8
10,54×106
6
0,0278
9,37×10-8
10,67×106
7
0,0204
9,30×10-8
10,75×106
8
0,0156
9,26×10-8
10,80×106
9
0,0123
9,23×10-8
10,83×106
10
0,0100
9,21×10-8
10,86×106
11
0,0082
9,19×10-8
10,88×106
∞
0
9,15×10-8
10,92×106
0,15
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
Tratamento matemático da série de Balmer
Linhas espectrais obtidas por Balmer
para o hidrogênio: 365 nm, 397 nm,
410 nm, 434 nm, 486 nm e 656 nm.
bBA = 1,096 ×10
7
m
1 
 1
= bBA ⋅  2 − 2 
λ
2 n 
1
−1
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
3
0,1111
6,56×10-7
1,524×106
4
0,0625
4,86×10-7
2,058×106
5
0,0400
4,34×10-7
2,304×106
6
0,0278
4,10×10-7
2,439×106
7
0,0204
3,97×10-7
2,519×106
∞
0
3,65×10-7
2,740×106
Série de Balm er
3000000
1500000
0
0
0,06
1/ n 2
0,12
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
Tratamento matemático da série de Paschen
Linhas espectrais obtidas por Paschen
para o hidrogênio: 820 nm, 954 nm,
1000 nm, 1090 nm, 1280 nm e 1870 nm.
bBA = 1,097 ×10
Série de Paschen
7
m
1 1 
= bPA ⋅  2 − 2 
λ
3 n 
1
−1
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
4
0,0625
1,88×10-6
5,333×105
5
0,0400
1,28×10-6
7,802×105
6
0,0278
1,09×10-6
9,142×106
7
0,0204
1,00×10-6
10,00×105
8
0,0156
9,55×10-7
10,48×105
9
0,0123
9,23×10-7
10,84×105
10
0,0100
9,02×10-7
11,09×105
11
0,00826
8,86×10-7
11,28×105
12
0,00694
8,75×10-7
11,43×105
13
0,00592
8,67×10-7
11,54×105
∞
0
8,20×10-7
12,19×105
1/lambda (m -1)
1400000
700000
0
0
0,04
1/n2
0,08
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
Tratamento matemático da série de Brackett
Linhas espectrais obtidas por Brackett
para o hidrogênio: 1460 nm, 1820 nm,
1940 nm, 2170 nm, 2630 nm e 4050 nm.
bBR = 1,094 ×10 7
Série de Brackett
1/lambda (m -1)
8,00E+05
4,00E+05
0,00E+00
0
0,025
1/n2
m −1
1 
 1
= bBR ⋅  2 − 2 
λ
4 n 
1
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
5
0,0400
4,050×10-6
2,469×105
6
0,02778
2,630×10-6
3,802×105
7
0,02041
2,170×10-6
4,608×105
8
0,01562
1,940×10-6
5,155×105
9
0,01235
1,820×10-6
5,495×105
∞
0
1,460×10-6
6,849×105
0,05
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
Tratamento matemático da série de Pfund
Linhas espectrais obtidas por Pfund
para o hidrogênio: 2280 nm, 3040 nm,
3300 nm, 3740 nm, 4650 nm e 7460 nm.
bPF = 1,096 ×10
Série de Pfund
5,000E+05
2,500E+05
0,000E+00
0
0,015
1/ n
7
m
1 1 
= bPF ⋅  2 − 2 
λ
5 n 
1
−1
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
6
0,02778
7,460×10-6
2,469×105
7
0,02041
4,650×10-6
3,802×105
8
0,01562
3,740×10-6
4,608×105
9
0,01235
3,300×10-6
5,155×105
10
0,0100
3,040×10-6
5,495×105
∞
0
2,280×10-6
6,849×105
0,03
2
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
Tratamento matemático da série de Humphreys
Linhas espectrais obtidas por Humphreys
para o hidrogênio: 3280 nm, 4670 nm,
5130 nm, 5910 nm, 7500 nm e 12400 nm.
bHU = 1,099 ×10
7
m
−1
1 1 
= bHU ⋅  2 − 2 
λ
6 n 
1
Série de Hum phreys
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
7
0,02041
12,40×10-6
8,065×104
8
0,01562
7,500×10-6
1,333×105
9
0,01235
5,910×10-6
1,692×105
10
0,01000
5,130×10-6
1,949×105
11
0,008264
4,670×10-6
2,141×105
∞
0
3,280×10-6
3,049×105
3,500E+05
1,750E+05
0,000E+00
0
0,0125
0,025
1/ n 2
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
O trabalho de Rydberg
Analisando todos estes resultados experimentais,
Johannes Robert Rydberg (1854-1919) construiu uma fórmula
que generalizou todos estes resultados.
Johannes Rydberg
(1854-1919)
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPOR DE HIDROGÊNIO
A fórmula de Rydberg
Esta fórmula, conhecida como fórmula de Rydberg, é
dada abaixo.
 1

1
= RH ⋅  2 − 2 
n

λ
n
i 
 f
1
A constante RH é conhecida como constante de Rydberg,
para o átomo de hidrogênio.
(RH )EXP = (1,09677576 ± 0,00000012)×107
(RH )EXP = 10.967.757,6 ± 1,2
m −1
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
m −1
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. A Espectroscopia de Vapor de Hidrogênio
3. O Modelo Atômico de Bohr
a. Os Postulados de Bohr
b. A Quantização da Energia
4. Regras de Quantização de Wilson-Sommerfeld
5. O Modelo Atômico de Sommerfeld
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os primórdios da descrição quântica da matéria
Em 1913, Niels Heinrich David
desenvolveu um novo modelo atômico.
Bohr
(1885-1962)
Como vimos, todos os modelos clássicos apresentados
padecem do mesmo problema, que é o da instabilidade.
A solução para a instabilidade do átomo foi
apresentada por Bohr.
Bohr adicionou regras de quantização à
dinâmica do movimento do átomo.
Niels Bohr
(1885-1962)
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Regras de quantização e a constante de Planck
Contudo, estas regras de quantização foram propostas
sem a preocupação de seguir uma dada lógica.
Podemos afirmar isto porque, apesar de propor regras de
quantização, Bohr continua a usar conceitos clássicos para
obter seus resultados.
Apesar desta falta de consistência lógica, o Modelo de
Bohr tem o mérito de por em dúvida a adequação da
concepção clássica da matéria a partir da relação entre
estabilidade atômica e a constante de Planck.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
O Modelo de Bohr e o cálculo da constante de Rydberg
Outro mérito do Modelo de Bohr é a sua aplicação ao
átomo de hidrogênio.
O átomo de hidrogênio é a situação mais simples, pois
trata-se de um átomo de um único elétron.
O cálculo da constante de Rydberg usando o Modelo de
Bohr para o átomo de hidrogênio leva a um valor muito
próximo ao daquele medido experimentalmente.
A semelhança entre os valores calculados por Bohr e
medidos por Rydberg fez com que a comunidade científica
levasse a sério o Modelo de Bohr, apesar das suas
inconsistências lógicas.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
O Modelo de Bohr e a necessidade de uma nova teoria
Isto despertou na comunidade científica a consciência de
que era necessário elaborar uma nova teoria que fosse capaz
de descrever os fenômenos atômicos.
Esta nova teoria, como já vimos, recebe o nome de
Mecânica Quântica.
O trabalho de Bohr que vamos descrever a seguir
influenciou diretamente as ideias de Heisenberg e de De
Broglie, que por sua vez teve grande influência sobre as
ideias de Schroedinger.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. A Espectroscopia de Vapor de Hidrogênio
3. O Modelo Atômico de Bohr
a. Os Postulados de Bohr
b. A Quantização da Energia
4. Regras de Quantização de Wilson-Sommerfeld
5. O Modelo Atômico de Sommerfeld
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – motivações
Como já descrevemos anteriormente, a principal
motivação de Bohr ao propor o seu modelo foi contornar as
dificuldades dos modelos de Thomson e Rutherford.
Estas dificuldades estavam relacionadas principalmente
à questão da estabilidade.
Bohr já conhecia à época de sua proposição que alguns
fenômenos recém descobertos permitiam questionar a
validade da aplicação da Eletrodinâmica Clássica a sistemas
de dimensão atômica.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – mais motivações
Bohr intuiu que era necessário incluir a constante de
Planck no contexto da Física Atômica.
É desta questão que trata o seu primeiro trabalho escrito
em 1913.
Este artigo pode ser sintetizado em dois postulados,
descritos a seguir.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – o 1o Postulado
Postulado 1:
“Um sistema atômico baseado no Modelo de Rutherford
só pode existir em determinados estados estacionários
(órbitas) com energias definidas {E1, E2, E3,...} e pode ser
parcialmente descrito pelas leis da Mecânica Clássica.”
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – o 2o Postulado
Postulado 2:
“A emissão (ou absorção) de radiação eletromagnética
só ocorre durante a transição entre estados estacionários, tal
que a frequência ν da radiação emitida (ou absorvida) pelo
elétron é dada por
ν=
E f − Ei
h
Nesta equação h é a constante de Planck,
e Ef e Ei são, respectivamente, os valores das
energias dos estados estacionários final e
inicial envolvidos na transição. ”
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – hipóteses importantes
Entretanto, neste artigo de Bohr há uma série de outras
hipóteses importantes, que valem a pena serem descritas
aqui.
1) Os átomos produzem as linhas espectrais uma de
cada vez.
2) O átomo de Rutherford oferece uma base satisfatória
para os cálculos exatos dos comprimentos de onda das
linhas espectrais.
3) A produção dos espectros atômicos é um fenômeno
quântico.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – mais hipóteses importantes
4) Um simples elétron é o agente responsável por este
processo.
5) Dois estados distintos do átomo estão envolvidos na
produção de uma linha espectral.
6) A equação que relaciona as energias dos estados
estacionários com a frequência da radiação é válida tanto
para a emissão quanto para a absorção.
Um princípio implícito no artigo de Bohr é que “é
necessário renunciar as tentativas de visualizar ou explicar
classicamente o comportamento do elétron ativo durante
uma transição do átomo entre dois estados estacionários”.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os Postulados de Bohr e a fórmula de Balmer
A partir do Modelo de Rutherford, Bohr admitiu que o
elétron se move ao redor do núcleo em órbitas elípticas
estacionárias.
A velocidade do elétron nestas órbitas estacionárias é
muito menor do que a velocidade da luz no vácuo.
Por ser uma órbita estacionária, embora acelerado, o
elétron não perde energia por radiação.
No Modelo de Bohr a interação
entre o elétron e o núcleo é descrita
por uma força eletrostática de
natureza coulombiana dada por
r
F =−
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
e2
⋅ rˆ
2
4 ⋅π ⋅ ε 0 ⋅ r
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – a força coulombiana
r
F =−
e2
⋅ rˆ
2
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ r
Nesta equação, r é a distância entre o núcleo e o elétron.
Admitindo que a órbita do elétron seja elíptica, ele
executa um movimento periódico, exibindo uma frequência
de revolução ao redor do núcleo.
Esta frequência de revolução f em termos do módulo da
energia total é dada por
2 ⋅ε0 2 ⋅ E
f = 2 ⋅
e
m
3
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – o semieixo maior da elipse
Além disso, o semieixo maior da elipse descrita pelo
movimento do elétron também pode ser calculada.
e2
a=
8 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ E
Sem outras restrições, tanto a força, quanto o semieixo
maior podem admitir quaisquer valores, limitados àqueles
que respeitem as equações acima.
Porém, de acordo com o Postulado 1, o conjunto da
valores para a energia dos estados estacionários é discreto,
dado por {En}, com n = 1, 2, 3,....
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – relação entre a energia e a
frequência
Bohr admitiu ainda que a energia de cada estado
dependia da frequência de revolução do elétron em torno do
núcleo.
Baseado nesta hipótese, Bohr impôs uma segunda
relação entre a energia e a frequência de revolução do
elétron de um estado estacionário.
E = g (n ) ⋅ h ⋅ f
Nesta equação, g(n) é uma função a ser determinada.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – a energia e a frequência
Bohr obteve então expressões para a energia e para a
frequência em termos desta função a ser determinada g(n).
m ⋅ e4
1
E =
⋅ 2
2
2
8 ⋅ ε 0 ⋅ h g (n )
1
m ⋅ e4
⋅ 3
f =
2
3
8 ⋅ ε 0 ⋅ h g (n )
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Aplicação do 2o Postulado de Bohr
Bohr aplicou então a fórmula da energia para a transição
entre dois estados estacionários n e l, com correspondentes
energias En e El.
f → i: emissão
i→
→ f: absorção
ν nl =
El − En
h
ν=
m ⋅ e4
ν nl =
8 ⋅ ε 02 ⋅ h 2
E f − Ei
h
 1
1 
⋅ 2 − 2 
 g (l ) g (n ) 
É muito importante observar aqui que a frequência de
emissão de radiação ν é diferente da frequência de revolução
do elétron em torno do núcleo f.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Proposição para g(n)
Esta expressão para a frequência de emissão de radiação
só é compatível com a fórmula de Rydberg quando
g (n ) = b ⋅ n
Nesta equação b é uma constante a ser determinada.
A constante b é determinada a partir da transição entre
dois estados vizinhos com energias En e El tais que n = l + 1,
no limite de grandes valores de n.
Neste caso, Bohr considerou que a frequência da
radiação emitida deve ser igual à frequência de revolução do
elétron em torno do núcleo.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
A determinação da constante b
Esta última hipótese foi denominada por Bohr de
Princípio da Correspondência.
Com esta hipótese, Bohr determinou o valor da constante
b.
1
b=
2
Com isto, finalmente Bohr determinou o espectro de
energia para o átomo de hidrogênio.
m ⋅ e4
1
En = −
⋅ 2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h ) n
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Cálculo de RH
Bohr mais uma vez aplicou o seu 2o Postulado e
determinou o valor da constante de Rydberg.

  1
m ⋅ e4
1 1
1 
m ⋅ e4
1


En = −
⋅
=
⋅
⋅
−


2
2
2
2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h ) n λ h ⋅ c  2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h )   ni n f 
(RH∞ )TEO


m ⋅ e4
=
2
3
 4 ⋅ π ⋅ h ⋅ c ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) 
(RH∞ )TEO = 11.048.823,5
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
m
−1
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Comparação entre teoria e experimento
Comparamos então o resultado experimental com o valor
teórico obtido pelo Modelo de Bohr.
(RH )EXP = 10.967.757,6 ± 1,2
(RH∞ )TEO = 11.048.823,5
E % = 0,7%
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
m
m
−1
−1
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. A Espectroscopia de Vapor de Hidrogênio
3. O Modelo Atômico de Bohr
a. Os Postulados de Bohr
b. A Quantização da Energia
4. Regras de Quantização de Wilson-Sommerfeld
5. O Modelo Atômico de Sommerfeld
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
A contribuição de Hass
Com isto, finalmente Bohr determinou o espectro de
energia para o átomo de hidrogênio.
Arthur Hass
(1884-1941)
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados Alternativos de Bohr – o 1o Postulado
Postulado 1:
“Um elétron em um átomo se move em uma órbita
circular em torno do núcleo sob influência da atração
coulombiana entre o elétron e o núcleo, obedecendo as leis
da Mecânica Clássica.”
2
e
Fe =
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ r 2
mv 2
Fc =
r
2
e
v ⋅r =
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ m
2
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados Alternativos de Bohr – o 2o Postulado
Postulado 2:
“Em vez da infinidade de órbitas que seriam possíveis
segundo a Mecânica Clássica, um elétron só pode se mover
em uma órbita na qual seu momento angular orbital L é
múltiplo inteiro de h/2⋅π.”
L = m⋅v⋅r
L = n⋅h
h
v⋅r = n⋅
m
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – consequências
Levando em conta estes dois postulados, temos que
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h2 2
rn =
⋅n
2
m⋅e
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h2
−11
ao =
=
5
,
29
×
10
m ⋅ e2
m
a0 ⇒ raio de Bohr
e2
1
vn =
⋅
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h n
e2
v0 =
= 2,19 ×106
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h
m ⋅ e4
1
En = −
⋅ 2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h ) n
m ⋅ e4
EI = −
= 2,17 ×10 −18
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h )
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
m/s
J = −13,56
eV
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados Alternativos de Bohr – o 3o Postulado
Postulado 3:
“Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron
que se move em uma destas órbitas possíveis não emite
radiação eletromagnética; logo, sua energia total E
permanece constante. ”
m⋅e
1
En = −
⋅ 2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h ) n
4
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados Alternativos de Bohr – o 4o Postulado
Postulado 4:
“É emitida radiação se um elétron, que se move
inicialmente sobre uma órbita de energia total Ei, muda seu
movimento descontinuamente de forma a se mover em uma
órbita de energia total Ef. ”
f → i: emissão
i→
→ f: absorção
ν=
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
E f − Ei
h
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – consequências
A partir da expressão para os níveis de energia do elétron
no átomo de hidrogênio, calculamos então a frequência de
emissão de radiação.
m⋅e
1
En = −
⋅ 2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h ) n
4
f → i: emissão
i→
→ f: absorção
ν=
c
λ
=
E f − Ei
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
h
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – o espectro de energia
Levando em conta estes dois postulados, temos que
1
En = −13,56 ⋅ 2
n
eV
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – cálculo da constante de Rydberg
Obtemos então

  1
1 
1
m ⋅ e4


⋅
−
=
⋅

λ h ⋅ c  2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h )2   ni2 n 2f 
1
(RH )TEO


m ⋅ e4
=
2
3
 4 ⋅ π ⋅ h ⋅ c ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) 
(RH )TEO = 11.048.823,5
m
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
−1
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – cálculo da constante de Rydberg
Comparamos então o resultado experimental com o valor
teórico obtido pelo Modelo de Bohr.
(RH )EXP = 10.967.757,6 ± 1,2
(RH )TEO = 11.048.823,5
E % = 0,7%
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
m
m
−1
−1
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
O espectro de energia do átomo de hidrogênio e as séries
espectroscópicas
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os trabalhos de Bohr
Todo o trabalho de Bohr foi descrito em três artigos
científicos, todos eles publicados em 1913.
O primeiro deles chama-se “On the Constitution of Atoms
and Molecules” e foi publicado na revista Philosophical
Magazine, volume 26 S 6, no 151, pgs. 1-25.
Em português o título deste
constituição de átomos e moléculas”.
artigo
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
é
“Sobre
a
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os trabalhos de Bohr
O segundo artigo chama-se “On the Constitution of
Atoms and Molecules – Part II: Systems Containing only a
Single Nucleon” e também foi publicado na revista
Philosophical Magazine, volume 26 S 6, no 151, pgs. 476-502.
Em português o título deste artigo é “Sobre a
constituição de átomos e moléculas – Parte II: sistemas
contendo apenas um único nucleon”.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Os trabalhos de Bohr
Por fim, o terceiro artigo chama-se “On the Constitution
of Atoms and Molecules – Part III” e também foi publicado na
revista Philosophical Magazine, volume 26 S 6, no 151, pgs.
857-875.
Em português o título deste artigo é
constituição de átomos e moléculas – Parte III”.
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
“Sobre
a
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. A Espectroscopia de Vapor de Hidrogênio
3. O Modelo Atômico de Bohr
a. Os Postulados de Bohr
b. A Quantização da Energia
4. Regras de Quantização de Wilson-Sommerfeld
5. O Modelo Atômico de Sommerfeld
Física Moderna I – Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
A ideia de Ehrenfest
Na tentativa de estender as regras de quantização para
outros sistemas além do átomo de hidrogênio, em 1917 Paul
Ehrenfest (1880-1933) generalizou a regra de quantização do
momento angular.
Ele definiu o que chamou de invariantes
adiabáticos e propôs a quantização destas
grandezas.
Paul Ehrenfest
(1880-1933)
Um invariante adiabático é um parâmetro
que resulta da combinação de outras grandezas
associadas ao sistema.
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
Os invariantes adiabáticos
Invariantes adiabáticos permanecem constantes caso
outros parâmetros variem “lentamente” durante a evolução
do sistema.
Para sistemas mecânicos periódicos com um grau de
liberdade e frequência ν, um invariante adiabático é dado por
2⋅
EC
ν
Nesta equação <EC> é o valor médio temporal da energia
cinética do sistema.
É fácil observar que este invariante adiabático tem
dimensão de momento angular.
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
Uma tentativa de “salvar” a Física Clássica
A formulação de Ehrentest foi feita no sentido de “salvar”
a Física Clássica, com o objetivo de conseguir um argumento
teórico que desse suporte aos Postulados de Bohr.
Algumas outras tentativas também foram feitas nesta
direção.
As mais importantes foram feitas, independentemente,
em 1915 por William Wilson (1875-1965) e em 1916 Arnold
Johannes Wilhelm Sommerfeld (1868-1951).
Elas generalizaram os postulados
formulados por Planck, Bohr e Ehrenfest.
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
de
quantização
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
O trabalho de Ehrenfest
Ehrenfest
publicou
seus
resultados
no artigo
“Adiabatische Invarianten und Quantentheorie” na revista
Annalen der Physik, volume 51, n 19, pgs. 327-352.
Em português, o título deste artigo é “Invariantes
Adiabáticos e a Teoria Quântica”.
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
A contribuição de Wilson e de Sommerfeld
Wilson desenvolveu seu trabalho no Kings College da
Universidade de Londres.
Já Sommerfeld desenvolveu sua teoria na Universidade
de Munique.
Arnold Sommerfeld
(1868-1951)
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
A integral de ação
Em linhas gerais, as proposições de
Sommerfeld podem ser resumidas como segue.
Wilson
e
“Se uma das coordenadas (q) que descrevem um sistema
é periódica e dependente do tempo, a integral do momentum
(pq) conjugado a essa coordenada, sobre o período, é um
múltiplo da constante de Planck”
p
⋅
dq
=
n
⋅
h
q
q
∫
Integral de ação
p e q: variáveis de ação
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
Regras de quantização
Desta forma, Wilson e Sommerfeld estenderam as regras
de quantização para outros sistemas periódicos.
Com isso, eles postularam que nestes sistemas haviam
energias dos estados estacionários (energia constante).
Tais estados estacionários correspondem às órbitas
clássicas para as quais a condição de quantização da
variável de ação é satisfeita.
A integral abaixo faz com que as regras de quantização
de Planck e Bohr sejam casos particulares dela.
∫p
q
⋅ dq = n q ⋅ h
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
A integral de ação: aplicação ao oscilador harmônico
Consideremos uma partícula de massa m que executa um
movimento harmônico simples (MHS) de freqüência ν.
Temos então que a coordenada generalizada (q) neste
caso é a variável x.
Logo, o momento conjugado a esta coordenada (pq) é o
momento linear px.
Então, neste caso, a integral de ação toma a forma
p
⋅
dx
=
n
⋅
h
x
∫ x
p: momento linear
x: variável
nx: número quântico
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
A energia do oscilador harmônico
Para resolver a integral de ação, precisamos escrever px
em termos da variável x.
Para fazer isto, lembremos que no MHS a energia total E é
uma constante de movimento.
Em termos do momento linear e da posição da partícula,
a energia mecânica deste sistema é dada por
2
1
m
⋅
ω
E=
⋅ p2 +
⋅ x2
2⋅m
2
⇒
p2
x2
+
=1
(2 ⋅ m ⋅ E )  2 ⋅ E 

2 
m
ω
⋅


Equação da elipse no espaço de fases (px,x).
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
O espaço de fases
A integral de ação é numericamente igual a área sob a
curva px(x) no espaço de fases.
∫p
N
x
⋅ dx = Área no
espaço de
fases
Como sabemos, dados o semieixo maior (a) e semieixo
menor (b) da elipse, a sua área é igual a
A = π ⋅a ⋅b
⇒
p
⋅
dx
=
π
⋅
a
⋅
b
x
∫
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
Identificação dos parâmetros da elipse do espaço de fases
De posse da equação da elipse no espaço de fases (px,x),
identificamos facilmente o semieixo maior e o semieixo
menor.
p2
x2
+
=1
(2 ⋅ m ⋅ E )  2 ⋅ E 

2 
 m ⋅ω 
2
2
p
x
+
=
1
2
2
a
b
Logo, temos que
a = 2⋅m⋅ E
b=
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
2⋅ E
2
m ⋅ω
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
O cálculo da área no espaço de fases
Obtemos então a área do espaço de fases.
∫p
x
⋅ dx =
2 ⋅π ⋅ E
ω
Usando a Regra de Quantização de Wilson-Sommerfeld,
temos finalmente que
En = n ⋅ h ⋅ν
Como vimos, a Regra de Quantização de WilsonSommerfeld forneceu a proposta de quantização da energia
formulada por Planck.
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
A integral de ação: aplicação ao átomo de Bohr
Consideremos agora um elétron de massa m que se
move em movimento circular uniforme (MCU) em uma órbita
de raio r.
Neste caso, a posição do elétron pode ser determinada
pelas coordenadas polares r e ϕ.
Temos então duas coordenadas generalizadas (r e ϕ), e
portanto devemos ter também dois momenta conjugados,
respectivamente, pr e pϕ.
Logo, devemos ter também duas regras de quantização
associadas ao movimento do elétron.
Física Moderna I - Modelos Atômicos Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
A regra de quantização para a variável angular
Estas regras de quantização são dadas por
∫p
r
⋅ dr = n r ⋅ h
∫ pϕ ⋅ dϕ = nϕ ⋅ h
Vamos nos ater agora apenas à variável ϕ, com o seu
respectivo momentum conjugado pϕ.
O momentum conjugado associado à coordenada polar ϕ
é o momento angular L, que para o MCU é uma constante de
movimento.
L = m⋅r2 ⋅
dϕ
dt
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
O cálculo da integral de ação para a variável angular
O cálculo da integral de ação no caso da variável ϕ é
bastante simples.
2⋅π
∫ pϕ ⋅ dϕ = ∫ L ⋅ dϕ = L ⋅ ∫ dϕ
⇒
∫ pϕ ⋅ dϕ = 2 ⋅ π ⋅ L
0
Usando a Regra de Quantização de Wilson-Sommerfeld,
temos finalmente que
Ln = n ⋅ h
Como sabemos, esta última equação é a regra de
quantização proposta por Bohr em seu modelo de átomo.
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4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
A regra de quantização para a variável radial
Já para a variável r, o seu momentum conjugado pr é
nulo, pois no MCU o raio é constante.
Assim, temos que
dr
=0
dt
⇒
pr = 0
Logo, neste caso temos que a integral de ação é nula.
∫p
r
⋅ dr = 0
⇒
nr = 0
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
4. REGRAS DE QUANTIZAÇÃO DE WILSON-SOMMERFELD
Os trabalhos de Wilson e Sommerfeld
Wilson publicou o artigo “The Quantum Theory of
Radiation and Line Spectra” na revista Philosophical
Magazine S. 6, volume 24, no 173, pgs. 795-802.
Em português o título deste artigo é “A Teoria Quântica
da Radiação e as Linhas Espectrais”
Já Sommerfeld publicou o artigo “Zur Quantentheorie der
Spektrallinien I: Theorie der Balmerschen Serie” na revista
Annalen der Physik, volume 51, no 18, pgs. 125-167.
Em português o título deste artigo é “A Teoria Quântica
das Linhas Espectrais I: Teoria sobre a Série de Balmer”
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. A Espectroscopia de Vapor de Hidrogênio
3. O Modelo Atômico de Bohr
a. Os Postulados de Bohr
b. A Quantização da Energia
4. Regras de Quantização de Wilson-Sommerfeld
5. O Modelo Atômico de Sommerfeld
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MODELOS ATÔMICOS SEMICLÁSSICOS
5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A motivação de Sommerfeld: a estrutura fina
Com o aperfeiçoamento das técnicas de espectroscopia,
verificou-se que cada raia do espectro do hidrogênio era
formada por raias bem mais finas.
Estas raias distam uma das outras em torno de 10-4 vezes
a distância entre duas raias adjacentes.
A este comportamento damos o nome de estrutura fina
do átomo de hidrogênio.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
Um Modelo de Bohr mais geral...
Sommerfeld tentou explicar este fenômeno considerando
o Modelo Atômico de Bohr de maneira mais geral.
Assim, Sommerfeld considerou que o elétron poderia
descrever órbitas elípticas.
Lembremos que por ter apenas uma regra de
quantização, o Modelo Atômico de Bohr apresenta um único
número quântico.
Logo, ao considerar o movimento tridimensional do
elétron, mais coordenadas surgiriam, e portanto mais regras
de quantização apareceriam.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
Mais variáveis.... mais números quânticos
Com mais regras
quânticos surgiriam.
de
quantização,
mais
números
Um número maior de números quânticos explicaria o
aparecimento das linhas da estrutura fina.
No caso da órbita circular do Modelo Atômico de Bohr o
número quântico associado à variável radial r é nulo.
Sommerfeld calculou então a forma e o tamanho das
órbitas elípticas, bem como a energia do elétron ao se mover
em tais órbitas.
Para o cálculo das órbitas elípticas, Sommerfeld utilizou
as leis da Física Clássica.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
O Átomo de Sommerfeld: regras de quantização
Sommerfeld aplicou as Regras de Quantização de WilsonSommerfeld em termos das coordenadas polares r, θ e ϕ.
Desta forma, tais regras são escritas na forma
p
⋅
dr
=
n
⋅
h
r
r
∫
p
⋅
d
θ
=
n
⋅
h
θ
θ
∫
p
⋅
d
ϕ
=
n
⋅
h
ϕ
∫ ϕ
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A regra de quantização para a variável ϕ
Vamos começar a resolver estas integrais de ação pela
situação mais simples, que é o caso da variável ϕ.
∫ pϕ ⋅ dϕ = nϕ ⋅ h
Lembremos que, mesmo no caso da órbita elíptica, a
força que a define é uma força central.
Neste caso, o vetor momento angular é uma constante de
movimento.
Se o vetor momento angular é constante de movimento,
também o são cada uma de suas coordenadas.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A quantização da componente z do momento angular
Em particular, a coordenada z do momento angular, Lz
também é constante de movimento.
Mas Lz é o momentum associado à variável ϕ, uma vez
que a coordenada z é perpendicular ao plano onde definimos
a variável ϕ.
Vamos aplicar esta observação à Regra de Quantização
de Wilson-Sommerfeld.
p
⋅
d
ϕ
=
n
⋅
h
ϕ
ϕ
∫
Neste caso, pϕ = Lz, que é uma constante de movimento.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
O valor de Lz
Resolvemos a integral para obter o valor para Lz.
Lz = m ⋅ h
m = 0,±1,±2...
m∈Z
Este resultado mostra que a componente z do momento
angular não pode admitir quaisquer valores, mas apenas
aqueles múltiplos de h/2⋅π.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A regra de quantização para a variável θ
Vamos agora resolver a integral de ação associada à
variável θ.
p
⋅
d
θ
=
n
⋅
h
θ
θ
∫
Faremos isso introduzindo uma variável auxiliar χ e seu
momento angular conjugado pχ.
Neste caso, pχ = L, o momento angular total do elétron em
órbita ao redor do núcleo.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A variável χ
Para melhor visualizarmos a coordenada χ, seja a figura
abaixo.
A coordenada χ define o plano da órbita elíptica.
O plano da órbita
elíptica é definido por X’Y’.
O eixo Z’
direção
do
angular pχ, que
ser normal ao
movimento.
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define a
momento
sabemos
plano do
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
Relação entre as variáveis variáveis θ, ϕ e χ
Há uma expressão matemática relacionando pθ com pχ e
pϕ.
p χ ⋅ dχ = pθ ⋅ dθ + pϕ ⋅ dϕ
Esta equação é apenas a
expressão da conservação do
momento angular.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A quantização do módulo do momento angular
Como pχ = L (o módulo do momento angular total), então
ele também é uma constante de movimento.
Resolvemos a integral para obter o valor para L.
L = l ⋅h
l = 0,+1,+2...
l∈Z
*
Este resultado mostra que o módulo do momento angular
não pode admitir quaisquer valores, mas apenas aqueles
múltiplos de h/2⋅π.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A importância da variável χ
Como vimos, a variável χ é mais importante do que a
variável θ, uma vez que ela define uma grandeza (o momento
angular total), que é constante de movimento.
Desta forma, mesmo que indiretamente, a Regra de
Quantização de Wilson-Sommerfeld para a variável θ implica
na quantização do momento angular total L.
Isto significa que, no Modelo de Sommerfeld para o
átomo, o momento angular total orbital L fica restrito a
valores múltiplos de h/2⋅π.
L = l ⋅h
l∈Z
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*
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A regra de quantização para a variável r
Para calcular a integral na variável r, devemos lembrar
que o potencial central coulombiano define que a trajetória
do elétron ao redor do núcleo seja uma elipse.
Como sabemos, a equação da elipse é escrita na forma
(
)
a ⋅ 1− ε
r (χ ) =
1 + ε ⋅ sin (χ − χ 0 )
2
2
(
)
2
⋅
4
⋅
⋅
⋅
E
⋅
L
π
ε
0
1− ε 2 = −
µ ⋅ e2
2
2
e
a=−
8 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ E
a: semi-eixo maior da elipse.
ε: excentricidade da elipse.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A trajetória elíptica do elétron
A figura abaixo mostra como é a trajetória do elétron ao
redor do núcleo.
(
)
a ⋅ 1− ε 2
r (χ ) =
1 + ε ⋅ sin (χ − χ 0 )
2
e
a=−
8 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ E
b = a ⋅ 1− ε 2
2
(
)
2
⋅
4
⋅
⋅
⋅
E
⋅
L
π
ε
0
1− ε 2 = −
µ ⋅ e2
2
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
O cálculo da integral de ação da variável r
Lembremos que queremos calcular
∫p
r
⋅ dr = n r ⋅ h
Para isto, vamos relacionar a variável r à variável χ
através da equação da elipse.
Ao fazer este procedimento e após alguma manipulação
matemática, obtemos a relação
 1

2 ⋅ π ⋅ L ⋅ 
− 1 = nr ⋅ h
2
 1− ε

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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A razão entre o semieixo maior e o semieixo menor
Vamos agora levar em conta a quantização do momento
angular L = l⋅h/2⋅π.
Com isto, obtemos a relação entre o semieixo maior e o
semieixo menor da elipse.
a
1
nr + l n
=
=
=
2
b
l
l
1− ε
n = nr + l
Na equação acima introduzimos um novo número
quântico n (o número quântico principal), que é a soma dos
outros dois números quânticos n e l.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A quantização da energia
A partir da relação entre os semieixos da elipse,
calculamos a energia do elétron em órbita em torno do
núcleo.
1
13,56
µ ⋅e
En = −
⋅ 2 =− 2
2
n
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h ) n
4
eV
Como vemos, a energia do elétron no Modelo de
Sommerfeld é idêntica àquela calculada no Modelo de Bohr.
Além disso, esta energia depende apenas do número
quântico principal n.
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
A quantização dos semieixos maior e menor da elipse
Podemos também calcular o valor do semieixo maior e do
semieixo menor da elipse.
(
4 ⋅ π ⋅ ε 0 )⋅ h 2 2
a=
⋅n = a
µ ⋅e
2
2
⋅
n
0
(
4 ⋅ π ⋅ ε 0 )⋅ h 2
b=
⋅ n ⋅l = a
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h2
−11
ao =
=
5
,
29
×
10
2
µ ⋅e
µ ⋅e
2
m
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0
a0 ⇒ raio de Bohr
⋅ n ⋅l
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
Órbitas para n = 1 (l = 1) e n = 2 (l = 1 e l = 2)
À direita vemos a órbita para n = 1 e l = 1.
À esquerda vemos a órbita para n = 2, com l = 1 e l = 2.
a n
=
b l
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
Órbitas para n = 3 (l = 1, l = 2 e l = 3)
Na figura vemos as órbitas para n = 3 com l = 1, l = 2 e l =
3.
a n
=
b l
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5. MODELO ATÔMICO DE SOMMERFELD
Valores para a componente z do momento angular
Na figura vemos valores de Lz para l = 1 e l = 2.
Lz = m ⋅ h
m∈Z
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Valores para a componente z do momento angular
Na figura vemos valores de Lz para l = 3.
Lz = m ⋅ h
m∈Z
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