Gabarito Lista 6 - Casa 2015 - IME-USP

MAE116 – Noções de Estatística
Grupo A - 1º semestre de 2015
Lista de exercícios 6 – Distribuição Normal – C A S A
Exercício 1
Suponha que os tempos de vida de dois aparelhos elétricos D1 e D2 tenham distribuições
N(42, 36) e N(45, 9), respectivamente. Se os aparelhos são feitos para serem usados
por um período de 45 horas,
(a) (1,25) qual aparelho deve ser preferido?
Seja X1 o tempo de vida do aparelho eléctrico D1 com X1 ~ N(42; 36) e X2 o tempo de vida
do aparelho eléctrico D2 com X2 ~N(45; 9). Logo, calculamos
P(X1 < 45) = P(Z < 0,5) = 0,6915
e
P(X2 < 45) = P(Z < 0) = 0,5.
Portanto, o aparelho a ser preferido é o D2, pois a probabilidade que dure menos de 45
horas é menor que a do aparelho D1.
(b) (1,25) E se for por um período de 49 horas?
Para o segundo período temos
P(X1 < 49) = P(Z < 1,2) = 0,8849
e
P(X2 < 49) = P(Z < 1,3) = 0,9032:
Portanto, o aparelho a ser preferido é o D1, pois a probabilidade que dure menos de 49
horas é menor que a do aparelho D2.
Exercício 2
A durabilidade de um tipo de pneu da marca Michelin é descrita por uma variável
aleatória Normal de média 60.000 km e desvio padrão de 8.300 km.
(a) (1,25) Se a Michelin garante os pneus pelos primeiros 48.000 km, qual é a proporção
de pneus que deverão ser trocados na garantia?
Solução
Se X: Durabilidade do pneu, então X~N(60.000, (8.300)2 ).
Precisamos calcular P(X  48.000)
48.000  60.000 
12.000 


P(X  48.000) = P Z 
 = P Z  
 = P(Z  -1,45) =
8300 
8.300



= P(Z  1,45) = 1 – P(Z < 1,45) = 1 – A(1,45) = 1 – 0,9265 = 0,0735.
Portanto, 7,35% dos pneus devem ser trocados pela garantia.
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(b) (1,25) Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante
trocaria sob garantia no máximo 2% dos pneus?
Solução
A garantia desejada é a constante c tal que P(X  c) conforme a figura a seguir:
0,02
0,98
X
C
X~N(60.000, 8.3002)
c  60.000 

P(X  c) = P Z 
  0,02
8.300 



60.000  c 

1  P Z 
  0,02
8.300 

60.000  c 

P Z 
  0,02 (por simetria)
8.300 


60.000  c 

P Z 
  0,98
8.300 

Pela tabela da N(0,1), o valor que deixa uma área de 0,98 a esquerda é 2,06.
Então,
60.000  c
 2,06  c  60.000 – (2,06 x 8.300)  c  42.902 km.
8.300
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Exercício 3
(2,5) A distribuição das relações altura/comprimento de conchas de mexilhões Perna
perna, num ambiente de costão batido, pode ser representada por uma distribuição
normal, com média de 0,5 e desvio padrão de 0,02414. Um pesquisador pretende
classificá-los de acordo com a relação acima, do seguinte modo: 25% dos mais leves,
como pequenos, os 50% seguintes como médios e os 25% restantes como grandes. Quais
os valores de altura/comprimento que classificam os mexilhões como pequenos, médios
e grandes?
Seja X: A distribuição das relações altura/comprimento de conchas de mexilhões Perna
perna.
Então 𝑋~𝑁(0,5; 0,024142 ).
Assim,
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥1 ) = 0,25 ⟺ 𝑃 (𝑍 ≤
𝑥1 − 0,5
) = 0,25
0,02414
𝑥 −0,5
1
Então,𝑧 = 0,02414
= −0,67. Logo 𝑥1 = 0,5 + (0,02414) ∗ (−0,67) = 0,48.
e
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥2 ) = 0,75 ⟺ 𝑃 (𝑍 ≤
𝑥2 − 0,5
) = 0,75
0,02414
𝑥 −0,5
2
Então,𝑧 = 0,02414
= 0,67. Logo 𝑥2 = 0,5 + (0,02414) ∗ (0,67) = 0,52.
Assim os valores de altura/comprimento que classificam os mexilhões como pequenos, médios e
grandes são 0,48 e 0,52
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Exercício 4
Uma máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição
normal, com média  e desvio padrão 10 g.
(a) (0,5)Em quanto deve ser fixado o peso médio para que apenas 10% dos pacotes
tenham menos de 500 g?
Seja X: peso dos pacotes obtidos por essa máquina. Então 𝑋~𝑁(𝜇; 102 ).
Se 10% dos pacotes têm menos de 500 g, temos a seguinte relação,
𝑃(𝑋 < 500) = 0,10 ⟺ 𝑃 (𝑍 <
500 − 𝜇
) = 0,10
10
Temos que a é tal que A(a)=0,90 e z = – a. Pela tabela, a = 1,28 e, assim, z = – 1,28.
500−𝜇
Então, 𝑧 = 10 = −1,28. Logo 𝜇 = 500 + 12,8 = 512,8.
Portanto, para que apenas 10% dos pacotes tenham menos de 500 g, o peso médio deve ser
𝜇 = 512,8 g.
Com a máquina assim regulada,
(b) (0,5)qual é a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 550 g?
Do item (a) temos que 𝜇 = 512,8, ou seja, 𝑋~𝑁(512,8; 102 ).
Então, a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 600 g é
𝑃(𝑋 > 550) = 𝑃 (𝑍 >
550 − 512,8
) = 𝑃(𝑍 > 3,72) = 1 − 𝐴(3,72) = 1 − 0,9999 = 0,0001.
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Logo, P(X > 550) = 0,0001
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(c) (0,75) Determine a porcentagem de pacotes em que o peso não se afasta da média
em mais que dois desvios padrões.
Temos que a porcentagem de pacotes em que o peso não se afasta da média em mais que dois
desvios padrão é dado por
𝑃(𝜇 − 2𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝜎) = 𝑃(−2 < 𝑍 < 2) = 𝑃(𝑍 < 2) − 𝑃(𝑍 < −2)
= 𝑃(𝑍 < 2) − 𝑃(𝑍 ≥ 2) = 𝑃(𝑍 < 2) − (1 − 𝑃(𝑍 < 2)) = 2 × 𝑃(𝑍 < 2) − 1
= 2 × 𝐴(2) − 1 = 2 × 0,9772 − 1 = 0,9544.
(d) (0,75) Se forem selecionados 12 pacotes, qual é a probabilidade de que pelo menos
dois pacotes tenham peso inferior a 500 g?
Do item (a) temos que a probabilidade de que o peso de um pacote tenha menos de 500 g é p=0,10. Seja a
variável N: número de pacotes com menos de 500g, então 𝑁~ 𝐵𝑖𝑛(12; 0,10). Obtenha a distribuição de
probabilidades de 𝐵𝑖𝑛(12; 0,10) usando o MINITAB: Na planilha: Na coluna C1 da planilha coloque os
dados 0,1,2,…,12
No menu: Calc -> Probability Distributions -> Binomial -> Probability
Number of trials = 12
Event probability = 0,10
Input column = C1
OK
E obtenha a saída:
Probability Density Function
Binomial with n = 12 and p = 0,1
x P( X = x )
0
0,282430
1
0,376573
2
0,230128
3
0,085233
4
0,021308
5
0,003788
6
0,000491
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0,000047
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Então, a probabilidade de que pelo menos 2 tenham peso inferior a 500 g é
𝑃(𝑁 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑁 < 2) = 1 − (𝑃(𝑁 = 0) + 𝑃(𝑁 = 1)) = 1 − (0,282430 + 0,376573) = 0,340997
Ou, faça no menu do MINITAB: Calc -> Probability Distributions -> Binomial -> Cumulative Probability
Number of trials = 12
Event probability = 0,10
Input column = C1
OK
E obtenha a saída:
Cumulative Distribution Function
Binomial with n = 12 and p = 0,1
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P( X <= x )
0,28243
0,65900
0,88913
0,97436
0,99567
0,99946
0,99995
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
onde é fornecida, diretamente, a probabilidade na 𝐵𝑖𝑛(12; 0,10) de ocorrer um valor menor ou igual a x, e
temos 𝑃(𝑁 ≤ 1) = 𝑃(𝑁 = 0) + 𝑃(𝑁 = 1) = 0,65900.
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