Exercícios

setor 1108
11080509
11080509-SP
Aula 35
MATRIZ INVERSA
Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não
singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos
por A –1, tal que:
2. Obtenha a matriz inversa da matriz:
⎡ 1 –1 ⎤
A=⎢
⎥
⎢⎣ 0 2 ⎥⎦
A ⋅ A–1 = A–1 ⋅ A = In
I — det. A = 2 → ( ∃A– 1)
onde In é a matriz identidade de ordem n.
⎡a
⎣c
b ⎤
⎥
d ⎦
II — seja A– 1 = ⎢
Observação
Pode-se provar que:
1º-) Se A ⋅ A–1 = I então A–1 ⋅ A = I.
2º-) A é invertível se, e somente se, det A ≠ 0.
1
3º-) det A–1 =
det A
⎡1 –1 ⎤ ⎡a
⎥⋅⎢
⎣0 2 ⎦ ⎣c
A ⋅ A– 1 = I → ⎢
⎡a – c
⎢
⎣ 2c
b – d ⎤ ⎡1 0 ⎤
⎥=⎢
⎥
2d ⎦ ⎣ 0 1 ⎦
Exercícios
b–d=0
a–c=1
1. Determinar x de modo que a matriz
2c = 0 ∴ c = 0
⎛ 1 0 2 ⎞
⎟
⎜
A = ⎜ 2 x 1 ⎟ seja invertível.
⎜⎝ 1 3 0 ⎟⎠
2d = 1 ∴ d =
a–0=1∴a=1
b–
Devemos ter det A ≠ 0
⏐ 1
⏐ 2
⏐
⏐ 1
0
x
3
2⏐
1 ⏐ ≠0
⏐
0⏐
ALFA-5 ★ 850750509
1
1
2
0
1
2
Resposta: A– 1 =
12 – 2x – 3 ≠ 0
2x ≠ 9
x≠ 9
2
12
b ⎤ ⎡1 0 ⎤
⎥
⎥=⎢
d ⎦ ⎣0 1 ⎦
1
2
1
1
=0∴b=
2
2
ANGLO VESTIBULARES
⎛
⎞
1
3. Seja A = ⎜ 5 x ⎟ . O valor de x tal que det A–1 =
é:
x
–1
3
3
⎝
⎠
a) 1
b) 2
c) 3
det A– 1
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Livro 1 — Unidade IV
d) 4
e) 0
Caderno de Exercícios — Unidade III
Tarefa Mínima
1
=
⇒ det A = x – 1
x–1
⎜5
⎜3
det A = ⎜
•
•
Leia os itens 1 a 5, cap. 3.
Resolva os exercícios 1 (a, b), 2, 3 e 4, série 3.
x⎜
⎜ = 15 – 3 x
3⎜
Tarefa Complementar
Assim:
x – 1 = 15 – 3x
4x = 16 ∴ x = 4
•
Resolva os exercícios 5 a 7, série 3.
Aula 36
SISTEMAS LINEARES — NOÇÕES GERAIS DE CRAMER
Exemplo:
I. NOÇÕES GERAIS
No sistema
1. EQUAÇÃO LINEAR
Chamamos de equação linear nas incógnitas x1, x 2, …, x n,
toda equação do tipo
a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 + … + a n ⋅ x n = b
onde,
a1, a2, …, an são números quaisquer chamados coeficientes
e b também é um número chamado termo independente.
x+y=7
x–y=3
O conjunto (5, 2) é solução, pois
↓ ↓
x y
5 + 2 = 7 (V)
5 – 2 = 3 (V)
2. SISTEMA LINEAR
É um conjunto de n (n ⭓ 1) equações lineares nas mesmas
incógnitas.
Exemplos:
3.
2.
3 + 4 = 7 (V)
3 – 4 = 3 (F)
x + 2 y + 3 z = 14
x – 2y + z = 1
3x + z = 7
1.
Porém, o conjunto (3, 4) não é solução, pois
4. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA
Dado um sistema linear, se ele tiver pelo menos uma solução
diremos que é possível, caso contrário diremos que é impossível (ou que suas equações são incompatíveis).
Se o sistema for possível e tiver uma só solução chamaremos o sistema de determinado.
Se o sistema for possível e tiver mais de uma solução chamaremos o sistema de indeterminado.
x+y–z=0
2x – y + z = 0
x–y–z=0
2x + y + z = 1
3x – y – 7z = 4
Chamamos de sistema linear homogêneo aquele onde todos
os termos independentes valem zero. É o caso do exemplo 2.
Em resumo:
determinado
3. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA
Possível
Chamamos de solução de um sistema linear, todo conjunto ordenado de números (α1, α2, …, αn) que colocados, respectivamente, nos lugares de x1, x2, …, xn fazem com que
todas as equações fiquem sentenças verdadeiras (isto é, igualdades numéricas).
ALFA-5 ★ 850750509
Sistema
indeterminado
Impossível
13
ANGLO VESTIBULARES
Exemplos:
1. O sistema
a
D = 1
y
a2
x + y = 10
x–y=2
c1
o determinante da matriz de substituição
dos termos independentes na 2ª- coluna.
c2
O teorema de Cramer afirma que:
“Se D ≠ 0, então o sistema linear é determinado e a solução
única (x, y) é dada por
é possível e determinado, pois só admite a solução (6, 4).
2. O sistema
x=
x–y=0
3x – 3y = 0
Dx
e y=
D
Justificativa:
⎛ 1 1⎞
(0, 0), (4, 4), (– 7, – 7), ⎜ , ⎟ , (π, π), …, (α, α) …
⎝ 2 2⎠
O sistema linear
α∈⺓
de I
3. O sistema
y=
:
⇒x=
é impossível (a última equação nunca é satisfeita).
b1 c 2 – b 2 c1
a 2 b1 – a1 b 2
OBSERVAÇÃO
O sistema homogêneo sempre admite solução (pelo menos a
nula). Portanto o sistema homogêneo é sempre possível.
ou ainda: x =
Exemplo:
O sistema
logo:
y=
admite a solução nula (0, 0, 0), pois
3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 = 0 (V)
2⋅0+0–4⋅0=0
(V)
a1 x + b 1 y = c 1
a2x + b2y = c2
b1
c2
b2
o determinante da matriz dos coeficientes.
ALFA-5 ★ 850750509
Dx
D
,
(D ≠ 0)
Dy
D
,
(D ≠ 0)
O enunciado geral é:
“Se um sistema de n equações a n incógnitas tiver D ≠ 0,
então ele será determinado e o valor de cada incógnita é dado por
uma fração que tem D no denominador, e, no numerador, o determinante da matriz dos coeficientes, substituindo-se a coluna
dos coeficientes da incógnita, pela coluna dos termos independentes do sistema.”
Sejam,
c1
a1 b 2 – a 2 b1
OBSERVAÇÃO:
O teorema que acabamos de verificar para sistemas de duas
equações a duas incógnitas é válido também para qualquer
sistema de n equações a n incógnitas (desde que, D ≠ 0).
II. TEOREMA DE CRAMER
Consideremos o sistema linear
Dx =
x=
b 2 c1 – b1 c 2
Substituindo em uma das equações teremos que
3x + 2y + 5z = 0
2x + y – 4z = 0
b2
b1
(a2 b1 – a1 b2) x = b1 c2 – b2c1
x + 2y = 3
0⋅x+0⋅y=1
a2
II
a2 b1x + b2 c1 – a1b2 x = b1 c2
4. O sistema
b1
a2x + b 2y = c2
c1 – a1x
⎛ c – a x⎞
a2 x + b2 ⎜ 1 1 ⎟ = c 2
⎝ b1 ⎠
é claramente impossível.
a1
I
substituindo em II :
x+y=1
x+y=2
D=
a1 x + b1 y = c1
é possível e indeterminado, pois admite as soluções
Dy ”
.
D
o determinante da matriz de substituição
dos termos independentes na 1ª- coluna.
14
ANGLO VESTIBULARES
3. Resolver pela Regra de Cramer:
Exercícios
⎧ ax + y = b
⎨
⎩ bx + y = a
1. Resolver, aplicando a regra de Cramer:
⎧ x+y=1
⎨ – 2x + 3y – 3z = 2
⎩ x+z=1
⏐ 1
D = ⏐– 2
⏐
⏐ 1
1
3
0
0 ⏐
–3 ⏐ = 2
⏐
1 ⏐
⏐ 1
Dx = ⏐ 2
⏐
⏐ 1
1
3
0
0 ⏐
–3 ⏐ = _2
⏐
1 ⏐
⏐ 1
Dy = ⏐ – 2
⏐
⏐ 1
1
2
1
0 ⏐
–3 ⏐ = 4
⏐
1 ⏐
⏐ 1
Dz = ⏐ – 2
⏐
⏐ 1
1
3
0
1⏐
2⏐ =4
⏐
1⏐
Logo, x =
Dx
= –1
D
y=
⏐a
D= ⏐
⏐b
(a ≠ b)
1 ⏐
⏐ =a–b
1 ⏐
⏐b
Dx = ⏐
⏐a
1 ⏐
⏐ = b – a = – (a – b)
1 ⏐
⏐a
Dy = ⏐
⏐b
b⏐
⏐ = a2 – b2 = (a + b) (a – b)
a⏐
x=
Dx
– (a – b)
=
= –1
a–b
D
Dy
(a + b) (a – b)
=
=a+b
a–b
D
S = {(– 1, a + b)}
y=
Dy
=2
D
Dz
=2
D
S = {(– 1, 2, 2)}
z=
2. Para que valores de m o sistema:
⎧ mx + 3y = 7
⎨
⎩ 4x + 2y = 9
a)
b)
c)
d)
e)
é possível e determinado?
m≠3
m ≠ –3
m≠6
m=6
∀m, m ∈ IR.
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
Devemos ter: D ≠ 0
⏐m
D= ⏐
⏐4
3⏐
⏐ ≠ 0 ∴ 2m – 12 ≠ 0
2⏐
Tarefa Mínima
•
•
Leia os itens 1, 2, 3, 5 e 6, cap. 4.
Resolva os exercícios 1, 2, 3 e 11, série 4.
∴m≠6
Tarefa Complementar
•
ALFA-5 ★ 850750509
15
Resolva os exercícios 12(a), 13, 14 e 15, série 4.
ANGLO VESTIBULARES
Aulas 37 e 38
SISTEMAS LINEARES — SISTEMAS ESCALONADOS — ESCALONAMENTO
Exemplo:
SISTEMAS ESCALONADOS
⎧x – y + z = 4
⎨
⎪⎩ y – z = 2
1. DEFINIÇÃO
Consideremos um sistema linear onde, em cada equação
há pelo menos um coeficiente não nulo. Diremos que o sistema
está na forma escalonada (ou escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.
A única variável livre é z (não aparece no começo de nenhuma equação). Transpondo z para o 2º- membro, teremos
⎧x – y = 4 – z
⎨
⎪⎩ y = 2 + z
Exemplos:
1)
⎧ x + y + 3z = 1
⎪
y–z=4
⎨
⎪
2z = 5
⎩
2)
⎧4x – y + z + t + w = 1
⎪
z–t+w=0
⎨
⎪
2t – w = 1
⎩
3)
atribuindo a z um valor arbitrário α, teremos
⎧x – y = 4 – α I
⎨
⎪⎩ y = 2 + α II
então,
em I
Eis algumas:
α = 1 ⎯→ (6; 3; 1)
α = – 6 ⎯→ (6; – 4; – 6)
α = 0 ⎯→ (6; 2; 0)
Há dois tipos de sistemas escalonados a considerar, vejamos quais são, e como se resolvem.
1º- tipo) Número de Equações Igual ao de Incógnitas
Nesse caso, o sistema será determinado e cada incógnita é
obtida resolvendo-se o sistema de “baixo para cima”.
Exemplo:
de
3. ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA
A) Sistemas Equivalentes
Dados dois sistemas lineares S1 e S2, diremos que eles são
equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução.
I
II
III
Exemplo:
III ⎯⎯→ z = 2
em
II ⎯⎯→ 3y – 2 = 1 ⎯→ y = 1
em
I
⎧ x + 2y = 3
S1 ⎨
⎪⎩2 x + y = 1
⎯⎯→ x + 2 + 2 = 4 → x = 0
e
⎧x + 2 y = 3
S2 ⎨
⎪⎩ – 3 y = – 5
são equivalentes, pois ambos são determinados (D ≠ 0) e admitem como solução
Solução: (0, 1, 2)
⎛ 1 5⎞
⎜⎝ – 3 ; 3 ⎟⎠
2º- tipo) Número de Equações é Menor que o de Incógnitas
Nesse caso, escolhemos as incógnitas que não aparecem no
começo de nenhuma equação (variáveis livres) e as transpomos
para o 2º- membro.
Em seguida, para cada variável livre atribuímos um valor
arbitrário e resolvemos o sistema nas incógnitas do 1º- membro. O
fato de atribuirmos valores arbitrários a algumas das incógnitas
faz com que o sistema tenha mais do que uma solução e seja,
portanto, indeterminado.
ALFA-5 ★ 850750509
⎯→ x – (2 + α) = 4 – α → x = 6
Portanto, as soluções do sistema são as triplas ordenadas
(6; 2 + α; α), onde α é um número qualquer (real ou complexo).
2. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA ESCALONADO
⎧x + 2 y + z = 4
⎪
3y – z = 1
⎨
⎪
3z = 6
⎩
⎯→ y = 2 + α
II
⎧x + y + z = 5
⎨
y–z=0
⎪⎩
Já que sistemas equivalentes têm as mesmas soluções, o que
iremos fazer é transformar um sistema linear qualquer num outro equivalente, porém na forma escalonada. Isto, porque sistemas escalonados são fáceis de se resolverem.
Precisamos então saber que recursos usar para transformar
um sistema S1 num outro equivalente S2, na forma escalonada.
Os recursos são os teoremas que veremos a seguir.
16
ANGLO VESTIBULARES
Exercícios
TEOREMA 1
Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de
um sistema S, por um número k ≠ 0, o novo sistema S’ será
equivalente a S.
1. Classificar e resolver os sistemas:
⎧x – y + z = 6
⎪
a) ⎨ y – z = – 1
⎪
3z = 6
⎩
TEOREMA 2
Se substituirmos uma equação de um sistema S, pela soma
membro a membro, dela com uma outra multiplicada por
um número obteremos um sistema S’ equivalente a S.
O sistema é SPD
III 3z = 6
∴z=2
II y – 2 = – 1 ∴ y = 1
I x–1+2=6 ∴x=5
S = {(5, 1, 2)}
Exemplo:
Os sistemas
⎧ 2x + y = 4
⎧2 x + y = 4
e S’ ⎨
S⎨
⎪⎩ – 2 x + 3 y = 8
⎪⎩ 4 y = 12
são equivalentes, pois S’ foi obtido a partir de S, substituindo a
2ª- equação de S, pela soma membro a membro, dela com a 1ª-.
⎧x – y + 2 z = 2
b) ⎨
y + z =1
⎪⎩
B) Escalonamento de um Sistema
Para escalonarmos um sistema, teremos que seguir vários
passos, todos eles baseados nos teoremas 1 e 2.
⎧ x + 2 y + z = 9 (– 2)
⎪
+
⎨2 x + y – z = 3
⎪3 x – y – 2 z = – 4
⎩
O sistema é SPI
Variável livre: z = α, ∀α
II y + α = 1 ∴ y = 1 – α
I x – 1 + α + 2α = 2 ∴ x = 3 – 3α
S = {(3 – 3α, 1 – α, α), ∀ α}
⎧ x + 2 y + z = 9 (– 3)
⎪
⎨ – 3 y – 3 z = – 15
+
⎪3 x – y – 2 z = – 4
⎩
⎧x + 2y + z = 9
⎪
⎨ – 3 y – 3z = – 15 (– 1 / 3)
⎪ – 7 y – 5z = – 31
⎩
2. Classificar e resolver os sistemas:
⎧x + 2y + z = 9
⎪
y+z=5
⎨
⎪
2z = 4
⎩
Solução, de “baixo para cima”
z = 2, y = 3, x = 1 ∴ S = {(1, 3, 2)}
OBSERVAÇÃO
Se durante o escalonamento ocorrer:
1º-) Uma equação do tipo
0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + … + 0 ⋅ xn = b
⎧x + 2 y + z = 9
⎪
y+z=5
(7 )
⎨
⎪ – 7 y – 5 z = – 31 +
⎩
x + y+ z=6
0 + y + 2z = 8
0 + 2 y + 3 z = 13
⎧ x+ y+ z=6
⎪
a) ⎨ 2 x + 3 y + 4 z = 20
⎪– x + y + 2 z = 7
⎩
x+y + z=6
0 + y + 2z = 8
0 + 0 – z = –3
x + y + z=6
2 x + 3 y + 4 z = 20
–x + y + 2z = 7
+
+
(– 2) (1)
(– 2)
+
(III) → z = 3
(II): y + 2 ⋅ 3 = 8 → y = 2
(I): x + 2 + 3 = 6 → x = 1
S = {(1, 2, 3)}
SPD
(b ≠ 0)
então, o sistema será impossível, pois esta equação nunca será
satisfeita.
2º-) Uma equação do tipo
0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + … + 0 ⋅ xn = 0
esta equação poderá ser suprimida do sistema, pois ela é verificada por quaisquer valores das incógnitas.
ALFA-5 ★ 850750509
17
ANGLO VESTIBULARES
x – y + z=2
2x + y + z = 1
3x + 0y + 2z = 5
⎧2 x + y + z = 1
⎪
b) ⎨ x – y + z = 2
⎪ 3 x + 2z = 5
⎩
x – y+z=6
0 + 3y – z = –3
0 + 0 + 0 = 2 (falso)
x – y+z=2
0 + 3y – z = –3
0 + 3y – z = –1
(– 2) (– 3)
⎧2 x + y + z = 1
⎪
y – z =1
c) ⎨
⎪ 2x + 2 y = 2
⎩
(I)
(II)
x + y = –1
–y = 2
0=0
⎧ x – y + 2z = 1
b) ⎨
⎩⎪3 x – 2 y + 6 z = 4
SI
S=∅
2x + y + z = 1
0+y–z=1
0+y–z=1
(– 1)
Como o número de equações na forma escalonada é igual
ao número de incógnitas: SPD.
II y = – 2
I x–2=–1 ∴ x=1
S = {(1, – 2)}
(– 1)
2x + y + z = 1
0 + y – z=1
2x + 2y + 0 = 2
x + y = –1
–y = 2
–y = 2
x – y + 2z = 1
3x – 2y + 6z = 4
(– 3)
x – y + 2z = 1
y + 0z = 1
Como o número de equações na forma escalonada é menor
que o número de incógnitas: SPI.
Variável Livre: z = α, ∀α
II y = 1
I x – 1 + 2α = 1 ∴ x = 2 – 2α
S = {(2 – 2α, 1, α), ∀α}
(– 1)
+
(– 1)
+
2x + y + z = 1
0+y–z=1
0+0+0=0
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Variável livre: z = α, ∀α
(II): y – α = 1 ∴ y = 1 + α
(I): 2x + 1 + α + α = 1
2x = – 2α
x=–α
SPI
S = {(– α, 1 + α, α), ∀α}
•
•
3. Classificar e resolver os sistemas:
•
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
Tarefa Mínima
AULA 37
Leia o item 4, cap. 4.
Resolva os exercícios 7, 17 e 18, série 4.
AULA 38
⎧ x + y = –1
⎪
a) ⎨2 x + y = 0
⎪4 x + 3 y = – 2
⎩
x + y = –1
2x + y = 0
4x + 3y = –2
ALFA-5 ★ 850750509
Resolva os exercícios 21 a 23, série 4.
Tarefa Complementar
AULA 37
•
(– 2) ⋅ (– 4)
Resolva os exercícios 8, 19 e 20, série 4.
AULA 38
•
18
Resolva os exercícios 25, 26, 27, 29 e 30, série 4.
ANGLO VESTIBULARES
Aulas 39 e 40
SISTEMAS LINEARES — DISCUSSÃO
Da 2ª- equação temos:
2 – 3m ≠ 0 ⇒ sistema possível indeterminado
2 – 3m = 0 ⇒ sistema impossível
isto é:
1. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer para que valores do(s) parâmetro(s) o
sistema é
a) determinado
b) indeterminado
c) impossível
⎧
⎪⎪m ≠
⎨
⎪m =
⎪⎩
Exemplos:
a) Número de equações igual ao número de incógnitas.
Vamos discutir em função de m o sistema
mx + y = 1
x + my = 1
2) Discutir segundo m o sistema:
x – 2y = 3
2x + y = 1
mx – y = 2
D = m 1 = m2 – 1
1 m
(raízes 1ou –1)
Resolução:
Substituindo y = – 1 na última equação temos:
(2 m – 1) (– 1) = 2 – 3 m
m=1
isto é:
m = 1 ⇒ sistema possível determinado
m ≠ 1 ⇒ sistema impossível
x–y=1
–x + y = 1
0⋅x+0⋅y=2
Escalonando-o obteremos
que é um sistema impossível.
Exercícios
Em resumo
m ≠ 1 e m ≠ – 1 ⎯⎯⎯→ sistema determinado
⎯⎯⎯⎯⎯→ sistema indeterminado
m=1
m = –1
⎯⎯⎯⎯⎯→ sistema impossível
1. Discutir em função de k o sistema
kx + y = 1
2x + y = 3
⏐k
D ≠ 0 ⇔ ⏐2
(SPD) ⏐
b) Número de equações diferentes do número de incógnitas.
1) Discutir segundo m o sistema:
3 x + 2y – 3z = 4
Se k ≠ 2 → SPD
2x + y = 1
Se k = 2
2x + y = 3
⋅ (– 3)
(– 1)
+
x + my – z = 1
Resolução:
3 x + 2 y – 3z = 4
1 ⏐
⏐
1 ⏐ ≠0⇔k≠2 ∴
2x + y = 1
0 + 0 = 2 (falso)
x + my – z = 1
x + my – z = 1
↑
0 + y = – 1 ⎯⎯⎯→ y = – 1
0 + (2 m – 1) y = 2 – 3 m
–x + y = 1
o sistema será
+
x – 2 y = 3 ⎯⎯⎯⎯→ x = 1
x+y=1
Escalonando-o obteremos { x + y = 1 que é um sistema
indeterminado.
m = –1
⋅ (– m)
+
x – 2y = 3
0 + 5y = –5
0 + (2 m – 1) y = 2 – 3 m
x+y=1
o sistema será
⋅ (– 2)
x – 2y = 3
2x + y = 1
mx – y = 2
Sabemos pelo Teorema de Cramer que se D ≠ 0, então o
sistema é possível e determinado. Logo:
D ≠ 0 ⇔ m2 – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 e m ≠ – 1
Resta analisar o que acontece com o sistema para m = 1 e
m = – 1. Temos:
m=1
2
⇒ sistema possível indeterminado
3
2
⇒ sistema impossível
3
Resposta:
k ≠ 2 ⇒ SPD
k = 2 ⇒ SI
0 + (2 – 3 m) y + 0z = 1
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ANGLO VESTIBULARES
⏐k
D ≠ 0 ⇔ ⏐1
⏐
(SPD)
k≠1
⎧ kx + y = 1
⎨
⎩ x + ky = 1
1 ⏐
2
⏐
k ⏐≠0 ⇔ k –1≠0 ⇔
Resposta:
x+y=1
(– 1)
∴ x+y=1
x+y=1 +
0=0
–x + y = 1
(1)
k = –1
x–y=1 +
–x + y = 1
0 + 0 = 2 SI
a = 4 ⇒ SPD
a ≠ 4 ⇒ SI
2. SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS
Sistemas lineares homogêneos são aqueles onde todos os
termos independentes valem zero. Isto é:
SPI
S
k ≠ 1 e k ≠ – 1 ⇒ SPD
Resposta: k = 1 ⇒ SPI
k = – 1 ⇒ SI
⎧x + y + z = 1
⎨ mx + y + mz = 0
⎩ x + my + 2z = 1
⏐1
D ≠ 0 ⇔ ⏐m
⏐
(SPD)
⏐1
1
1
m
OBSERVAÇÃO (VÁLIDA SOMENTE PARA SISTEMAS
HOMOGÊNEOS)
Se o sistema homogêneo tiver n equações e n incógnitas,
então, usando o teorema de Cramer, teremos
1⏐
m⏐ ≠ 0
⏐
2⏐
D ≠ 0 ⇔ sistema possível e determinado
D = 0 ⇔ sistema possível e indeterminado
2 + m + m2 – 1 – 2 m – m2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Se m = 1
x+y + z=1
x+y + z=0
x + y + 2z = 1
Exercícios
(– 1) (– 1)
5. Discutir em função de k o sistema:
x–y+z=0
⎧
⎨ 2x + 3y + z = 0
⎩ kx + 2y + 2z = 0
x + y +z =1
0 + 0 + 0 = – 1 (falso) SI
0 + 0+z =0
Resposta:
O sistema é homogêneo
m ≠ 1 ⇒ SPD
m = 1 ⇒ SI
⏐1
⏐2
⏐
⏐k
⎧x – y = 2
⎨ 2x – y = 5
⎩x + y = a
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–1
3
2
1⏐ 1
1⏐ 2
⏐
2⏐ k
–1
3
2
– 3k – 2 4
6 –k
4
= 6 – k + 4 – 3k – 2 + 4 = – 4k + 12
Então: – 4k + 12 = 0 → k = 3
Resposta: k ≠ 3 ⇒ SPD
(isto é, somente sol. trivial)
k = 3 ⇒ SPI
(além do trivial, outras soluções chamadas
próprias)
4. Discutir em função de a o sistema:
x–y=2
2x – y = 5
x+y=a
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0
am1 x1 + am2 x 2 + … + amn x n = 0
Este tipo de sistema admite sempre a solução
(α1 , α2, …., αn) onde αi = 0 ∀ i ∈ {1, 2, …, n} chamada
solução nula, trivial ou imprópria.
PORTANTO OS SISTEMAS HOMOGÊNEOS SÃO SEMPRE
POSSÍVEIS. Se o sistema for determinado, apresentará apenas
uma solução (a nula); se for indeterminado apresentará, além
da solução nula, outras soluções diferentes da nula, que são
chamadas próprias.
3. Discutir em função de m:
x–y=2
y=1
0=a–4
k ≠ –1
e
k=1
(1)
x–y=2
(2)
0+y=1
(– 2) ∴
(3) 0 + 2 y = a – 2 +
2. Discutir em função de k o sistema:
(– 2) (– 1)
20
ANGLO VESTIBULARES
6. (FUVEST) O sistema linear
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
⎧x + y + z = 0
⎨x + z = 0
⎩ y + mz = 0
Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
é indeterminado para:
a) todo m real
b) nenhum m real
c) m = 1
d) m = – 1
e) m = 0
Tarefa Mínima
AULA 39
•
•
Como o sistema é homogêneo, basta D = 0
⏐1
1
1 ⏐
⏐1
0
1 ⏐ =0
⏐
⏐
1
m ⏐
⏐0
Leia o item 7, cap. 4.
Resolva os exercícios 34 a 37, série 4.
AULA 40
•
•
Leia o item 8, cap. 4.
Resolva os exercícios 43 a 45, série 4.
Tarefa Complementar
1–m–1=0 ∴ m=0
AULA 39
•
Resolva os exercícios 38, 40, 41 e 42, série 4.
AULA 40
•
ALFA-5 ★ 850750509
21
Resolva os exercícios 46 a 48, série 4.
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