Estrelas Politrópicas Newtonianas Carregadas

Anais do 12O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA – XII ENCITA / 2006
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, Outubro, 16 a 19, 2006
Estrelas Politrópicas Newtonianas Carregadas
Eder Nascimento de Albuquerque
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 - Vila das Acácias
CEP 12228-900 – São José dos Campos – SP – Brasil
Bolsista PIBIC-CNPQ
[email protected]
Manuel Máximo Bastos Malheiro de Oliveira
Instituto Tecnológico de Aeronáutica – Departamento de Física, Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 - Vila das Acácias
CEP 12228-900 – São José dos Campos – SP – Brasil
Orientador
[email protected]
Resumo
Este trabalho tem como principal objetivo fazer um estudo numérico da equação de Lane-Emden para estrelas
politrópicas carregadas. Investigamos o efeito da carga na estrutura da estrela e, para isso, utilizamos a hipótese
de uma relação linear entre as densidades de massa e de carga. Verificou-se que a equação de Lane-Emden não
muda, mas esta hipótese gera um novo escalonamento do raio, com efeito no volume e, conseqüentemente, na
massa total da estrela. A estrela carregada aumenta de volume e é mais massiva.
Palavras-chaves: estrelas politrópicas, carga, equação de Lane-Emden.
Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubro, 16-19, 2006
,
1. Introdução
A presença de carga nas estrelas, principalmente, na superfície, é um fenômeno que merece ser analisado,
tendo-se em vista os processos que ocorrem no interior dessas estrelas. Modelando-se a estrela como uma bola de
gás ionizado, temos que os elétrons tenderiam a mover-se para a superfície. Isso geraria um campo elétrico, que
provavelmente seria de enorme intensidade, a ponto de influir na força gravitacional resultante, ou seja, cirar um
campo gravitacional aparente.
Apesar disso, vale a pena fazer um estudo teórico de como seria o efeito de uma carga distribuída em todo o
volume da estrela, isto é, considerando a estrela como um isolante. O Sol é tomado como modelo de estrela para
análise.
Este trabalho objetivou realizar um estudo numérico da equação de Lane-Emden para estrelas politrópicas
newtonianas carregadas. Inicialmente, elas foram consideradas sem carga e, posteriormente, analisou-se a
influência da presença de carga na massa e no raio dessas estrelas.
Consideramos a inclusão da força coulombiana na equação de equilíbrio hidrostático, conseqüência da
hipótese de carga na estrela. Trabalha-se no sistema CGS, uma vez que este simplifica os cálculos (neste sistema,
1/ 4πε 0 = 1 ). Modifica-se a equação proveniente do equilíbrio hidrostático, tal como vista em Reddy [1],
acrescentando-se a parcela originada pela força coulombiana:
dP
ρ GM ρ Q
= − 2 + ch2
dr
r
r
(1)
Fazendo-se a hipótese de que a densidade volumétrica de carga da estrela está relacionada com a densidade
da estrela pela relação
ρch = αρ
e substituindo esta hipótese na Eq. (1), temos:
(2)
dP
ρ GM αρ Q
=− 2 + 2
dr
r
r
⇔
dP
αQ  M ρ

= −G −
.

dr
M  r²

Define-se uma nova constante gravitacional
(3)
G* = G −
αQ
M
. Desta forma, devido à hipótese usada, o efeito
resultante da carga pode ser entendido como um enfraquecimento da força gravitacional atrativa. Usando esta
nova constante gravitacional, pode-se deduzir novamente a equação de Lane-Emden conforme a referência [2],
porém a constante a, definida como r/x, onde x é adimensional, fica alterada. Temos uma nova constante a*
definida da seguinte forma:
Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubro, 16-19, 2006
,
[a* ]2 =
(n + 1) K
*
4π G ρc
n −1
n
.
(4)
G * > 0 (para que a força resultante mantenha-se atrativa), tem-se que há um limite para α .
Como
Ainda, pode-se afirmar que, sendo
r = a* x e G * < G , tem-se a* > a , de onde resultam maiores raios e, por
conseguinte, maiores massas, visto que a massa é proporcional ao volume da estrela.
O próximo passo foi desenvolver um programa de modo a resolver numericamente a equação de LaneEmden, visto que ela apresenta solução analítica apenas para três casos (n = 0, 1 e 5). Utilizou-se a linguagem
Fortran e aplicou-se o método de Runge-Kutta de 4 ordem.
a
2. Resultados
Para uma estrela politrópica definida por uma equação de estado onde a pressão é proporcional à densidade
de acordo com
P = Kρ
1+
(5)
1
n
a equação de equilíbrio hidrostático, Eq. (3), e a equação da conservação da massa
dM = 4π r²ρdr podem ser
reescritas numa única equação diferencial de segunda ordem, conhecida como equação de Lane-Emden:
d 2 y 2 dy
+
+ yn = 0
dx ² x dx
(6)
onde n é o índice politrópico da Eq. (5) e as variáveis adimensionais x e y são definidas como
ρ = ρc y n
(7)
r=a x
(8)
em que a constante a é dada por:
a2 =
(n + 1) K
4π G ρc
n −1
n
Tomando n = 3 (considerado o modelo politrópico padrão), será estudado o caso de uma estrela com massa
1MS e raio 1RS, onde MS e RS são a massa e o raio do Sol, respectivamente, com ausência de carga. Podem-se
(9)
Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubro, 16-19, 2006
,
encontrar os valores das constantes K e
ρc , usando
o fato de que a densidade da estrela, seu raio e a pressão são
dadas pelas expressões acima. Tais constantes podem ser calculadas, tendo-se em mente que, na superfície,
r → R, x → x( R) = R / a e ρ → 0 , ou seja, y → 0 . Além disso, no centro da estrela x → 0 e y → 1
para r → 0 . Assim, R = ax ( R ) , ou seja, pode-se determinar a, conhecendo-se RS e x(RS). Para o cálculo de
ρc , notemos que da equação de Lane-Emden, pode-se escrever
como
d ( x² y, )
− x ² y = x ² y + 2 xy =
.
dx
,,
n
,
que pode ser substituída na equação da massa total , ou seja,
x( R)
M = 4π a 3 ρc
∫
x( R )
x ² y n dx = −4π a 3 ρ c
0
Resulta que M = −4π a
3
∫
d ( x² y, ) .
0
4
3
4
3
ρc [ x( R)]² y , ( R). Por outro lado, M = π R ³ ρ = π a ³[ x( R)]³ ρ , em que ρ
éa
densidade média. Comparando as duas últimas expressões, pode-se escrever a razão
ρc
1 x( R)
.
=−
ρ
3 y , ( R)
(10)
Logo, a partir do resultado da equação de Lane-Emden, podem-se achar os valores de a e
valor da densidade média
ρ c , conhecendo-se o
ρ . Com eles, calculam-se ρ , r e P .
No caso em questão, o programa gerou uma tabela contendo valores de x, y e y’. A fim de verificar o
comportamento da curva y versus x, tomaram-se valores de x começando em x = 0,01, depois x = 0,50 e a partir
daí com passo 0,5 até x = 6,5, finalizando com x = 6,9. Para cada x anterior, tomou-se o respectivo valor de y. Os
pares encontrados encontram-se esboçados no gráfico da Fig. (1). Tomaram-se também os valores de y’
correspondentes a cada x e os pares encontram-se no gráfico da Fig. 2.
Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubro, 16-19, 2006
,
Fig. 1 – Gráfico da solução da equação de Lane-Emden com n = 3 para uma estrela com massa e raio
iguais a 1MS e 1RS.
Fig. 2 – Gráfico da derivada da solução da equação de Lane-Emden com n = 3 para uma estrela com
massa e raio iguais a 1MS e 1RS.
Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubro, 16-19, 2006
,
Calculando-se as propriedades da estrela em questão, para y = 0, temos da tabela gerada pelo programa que
x(RS) = 6,89001 e y’(RS) = -0,04251. Sendo
RS = ax ( RS ) e RS = 6,96 x 1010 cm, obtém-se a = 1,01 x 1010 cm.
Será admitdo que a densidade média da estrela seja igual à densidade média do Sol. Isso é razoável, uma vez que
estamos lidando com uma estrela com massa 1MS e raio 1RS. Então,
(7), tem-se
ρ = 1, 41g .cm −3 . Assim, utilizando a Eq.
ρc = 76, 4 g.cm −3 . Da Eq. (9), calcula-se a constante K, obtendo-se K = 3,84 x 1014 din.cm².g-4/3.
Para cada par (x,y) gerado pelo programa, é possível calcular
ρ, r
e P correspondentes. Nas figuras 3, 4 e 5,
tem-se o esboço das variações da massa, pressão e densidade da estrela, respectivamente, com o seu raio. A
massa, como mostrado anteriormente, é calculada pela expressão
M = −4π a 3 ρc [ x( R)]² y , ( R).
Raio ( 1010 cm)
Fig. 3 – Gráfico da variação da massa da estrela em função de seu raio.
Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubro, 16-19, 2006
,
Raio ( 1010 cm)
Fig. 4 – Esboço da variação da pressão da estrela em função de seu raio.
Raio ( 1010 cm)
Fig. 5 – Esboço da variação da densidade da estrela em função de seu raio.
Os gráficos acima encontram-se condizentes com o estudo de uma estrela com massa 1MS e raio 1RS feito
por Maciel [2], mostrando que se conseguiu reproduzir bem aquele caso.
Será considerada, agora, a presença de carga na estrela estudada anteriormente. Lembrando que
dQ = 4π r²ρchdr
= 4π r ²αρ dr
= α dM ,
Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubro, 16-19, 2006
,
integramos e obtemos Q
=αM ⇔
no primeiro relatório, G
*
> 0 ⇒ α < 2,58 x 10-4, considerando-se o valor de G no sistema CGS. Fica claro,
também, que a dimensão de
carga correspondente.
Q
αQ
*
= α . Como G * = G −
, então G = G − α ². Como foi mostrado
M
M
α
deve ser [ α ] = [G]1/2. Variando-se
α
e sendo M = 1MS, pode-se encontrar a
Alterando o programa Fortran que resolve a equação de Lane-Emden de modo a
*
considerar G no lugar de G, é possível verificar o efeito da carga nas propriedades da estrela. Como G* < G, da
Eq. (7) concluímos que a* > a e, da Eq. (5), vem que o raio será reescalonado (aumentará). Por conseguinte, a
massa e o volume aumentarão.Definindo-se
i=
G*
⇔ G * = iG , portanto iG = G − α ² ⇒ α = G (1 − i ) .
G
Assim, pode-se escolher a razão de G*/G, variando-se o valor de i. Deve-se atentar para o fato de que
o que está de acordo com a condição de que
α< G
,
0 < i < 1.
Foram obtidas as curvas massa versus raio para i = 0,25, i = 0,50 e i = 0,75. Os valores numéricos de
α correspondentes são, respectivamente, 1,29 x 10-4, 1,82 x 10-4 e 2,23 x 10-4. Percebe-se na Fig. 6 que, quanto
maior a carga, maior a massa da estrela. Para i → 1 , temos que
α → 0 e, portanto, Q → 0 . De fato, observa-
se no gráfico da Fig. 6 que a situação para i = 0,75 gera uma curva próxima a da Fig. 3, onde há ausência de
carga. Pelo gráfico, nota-se essa tendência, à medida que i aumenta. Se i = 1, vê-se que o programa gera os
mesmos resultados que gerou para o caso com ausência de carga. Na Fig.7, como conseqüência do aumento do
raio, a densidade cai mais lentamente, chegando a zero na superfície.
Raio ( 1010 cm)
Fig. 6 – Esboço da variação massa da estrela em função do raio, considerando três valores de
ρ.
Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubro, 16-19, 2006
,
Raio ( 1010 cm)
Fig. 7 – Gráfico da densidade da estrela em função do raio, considerando diferentes cargas.
A Tab. 1 resume os valores de massa, carga e raio para cada valor de i, ou seja, de
α.
De acordo com
Malheiro [3], a carga da estrela pode ser encontrada da seguinte forma:
Q=(
αM
2.998 x10
9
)C = 6.638 x10 23α
M
C
MS
(11)
A massa da estrela é aquela correspondente ao raio máximo na curva massa versus raio. Sendo MS = 1,99 x 1033
g, utilizando a Eq. (11), acha-se a carga correspondente em coulombs.
Tabela 1 - Configuração da estrela para diferentes valores de carga.
i
Alpha (10-4)
Massa (MS)
Carga (10 20 C)
Raio (RS)
0,25
2,23
8,0
1,5
2,0
0,50
1,82
2,8
1,2
1,4
0,75
1,29
1,5
0,9
1,2
Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubro, 16-19, 2006
,
3. Comentários e Conclusão
Conforme esperado, verificou-se que a presença de carga na estrela aumenta o seu raio e,
conseqüentemente, o seu volume. De fato, a carga gera forças repulsivas que permitem uma maior força
gravitacional atrativa (maior massa). Usando a hipótese de que a densidade de carga é proporcional à densidade
massa, o que é razoável, no sentido de que uma massa maior pode segurar uma maior quantidade de carga,
mostrou-se que é possível chegar a uma equação de Lane-Emden idêntica a do caso sem carga. A diferença está
no fato de que o raio muda de escala. Para um mesmo valor de x, o raio passa a ser maior quando a estrela é
carregada.
É válido ressaltar a elevadíssima carga necessária para se variar o raio da estrela. Para aumentar o raio em
20%, a carga correspondente é de 0,9 x 1020 C. Ainda, aumentando-se o valor da densidade central, nota-se que o
raio diminui (o que é esperado, pois a forte concentração de matéria no centro atrai ainda mais a matéria das
regiões periféricas), porém a massa da estrela permanece constante.
O campo de estudos das estrelas carregadas é enorme e há muito ainda por estudar. Neste trabalho, foi
mostrada a influência da carga na estrutura da estrela, de forma simplificada, sem considerar efeitos relativísticos
e baseando-e apenas nas equações da mecânica newtoniana. Há muito o que se pesquisar ao considerarmos outros
efeitos.
4. Agradecimentos
Gostaria de agradecer a minha família pela força de sempre, ao meu orientador Prof. Manuel Malheiro pela
paciência e disponibilidade e, por fim, ao CNPQ pela oportunidade de conhecer o universo da pesquisa.
5. Referências
[1] Maciel, Walter J,1999, “Introdução à Estrutura e Evolução Estelar”,Ed. Edusp.
[2] R. R. Silbar and S. Reddy, Am. J. Phys. 72, 892 (2004).
[3] Subharthi Ray, Aquino L. Espíndola , Manuel Malheiro, José P.S. Lemos e VilsonT. Zanchin – Electrically
charged compact stars and formation of charged black holes, Phys.Rev. D.68.084004 (2003).