Desenho Geométrico Fernandes

1
desenho geométrico
2013
eber nunes ferreira
desenho geométrico
1-INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
1.1 - INTRODUÇÃO
A Geometria é a ciência que tem por objetivo o estudo rigoroso do espaço e das figuras que nele
podem conceber. Baseia-se em:
-conceitos primitivos: aqueles que não se definem, mediante os quais podem ser definidos todos os
outros. Ex.: o ponto
-postulados: proposições admitidas sem demonstrações. Ex.: há infinitos pontos em uma reta.
-teoremas: proposições que necessitam de demomonstrações. Ex: a soma do quadrado dos catetos
é igual ao quadrado da hipotenusa (Terema de Pitágoras).
1.2 -ELEMENTOS FUNDAMENTAIS
Ponto
O ponto resulta da interseção de duas linhas, sendo indicado com letras maiúsculas ou números: A, B,
C, ... 1, 2, 3, ... e representados da seguinte forma:
A
1
Linha
Conceituação: a linha pode ser comparada a uma série de pontos que se sucedem no espaço, tão
próximos que se confundem num traço contíguo, unidimensional. Assim, podemos concebê-la como
o conjunto das posições de um ponto móvel, podendo se apresentar com a forma:
linha poligonal
linha reta
linha mista
linha curva
Linha Reta
Quando um ponto se desloca no espaço sem nunca mudar de direção, ele dá origem a uma linha reta,
sendo esta, infinita e ilimitada nos dois sentidos.
A
r
reta
B
P
segmento de reta
r
semi-reta
As retas podem ser classificadas conforme a posição absoluta em que se encontra, e quanto às
posições relativas.
Posição Absoluta
Posições Relativas (retas coplanares)
a b
b
COINCIDENTES
a
horizontal
PARALELAS
vertical
a
b
b
a
inclinada
CONCORRENTES
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PERPENDICULARES
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Plano
O plano pode ser considerado como o conjunto das posições de uma linha reta móvel, que se desloca
paralelamente a si mêsma em uma única direção. É designado por letras minúsculas do alfabeto grego.
É representado da seguinte forma.
 = alfa
 = beta
 = gama
2 - LUGARES GEOMÉTRICOS
Conceito:
Lugar Geométrico de pontos é o lugar do plano onde todos os pontos nele situados gozam de uma
mesma propriedade.
Existem vários lugares geométricos, no entanto, cinco são considerados os mais importantes. São
eles: circunferência, mediatriz, bissetriz, paralela e arco-capaz.
2.1 - Circunferência: é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado.
…
…
3
3
2
2
1
1
O
O
2.2 - Mediatriz: é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois pontos dados.
1
1
2
2
…
…
A
A
B
P
A1=1B
B
AP=PB
P
2.3 - Paralela: é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de uma reta dada.
1
2
3
4
5
y
1
2
3
4
5
y
d
A
B
C
D
E
x
1
2
3
4
5
y
d
A
B
C
D
E
x
A
B
C
D
E
x
d
d= distância
y'
1'
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2'
3'
4'
5'
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2.4 - Bissetriz: é o lugar gemétrico dos pontos eqüidistantes de duas retas concorrentes, ou o lugar
geométrico dos pontos eqüidistantes dos lados de um ângulo dado.
3
3
2
1
A
O
1
d
y
B
x
A
O
2'
B
x
d
1'
d
y
C
BISSETRIZ
2
C
y
BISSETRIZ
BISSETRIZ
d
1'
2'
3'
x
3'
2.5 - Arco-capaz: é o lugar gemétrico dos pontos de onde segmentos dados, são vistos segundo
ângulos dados.
P'
P"
P
Esta é uma propriedade observada entre a circunferência e sua corda.
(Corda é o segmento que une dois pontos distintos da circunferência)
O
B
DA
COR
A
P'
P"
P
O
O
O
B
C OR
B
B
DA
C OR
DA
A
DA
C OR
A
A
P'
O
O
O
B
180º
B
DA
C OR
D
CO R
A
A
B
DA
C OR
A
A
Q'
Q'
Q
Lembre-se que a maior corda de uma circunferência é o seu diâmetro. O valor do arco-capaz quando
a corda passa pelo centro é de 90º e neste caso, os ângulos  e  são congruentes (iguais).
Q
O
A
180º
B
A
O
B
90º
Q
CORDA = DIÂMETRO
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2.6 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.
Os exercícios que se seguem de 01 a 09 são apresentados já resolvidos e acompanhados do método
construtivo. O aluno deverá repetir cada exercício assimilando e raciocinando os procedimentos
utilizados. Os exercícios de 10 a 17 são apresentados apenas com o enunciado e o aluno deverá
valer-se dos conhecimentos adquiridos. (Os exercícos resolvidos nem sempre se apresentam com as
medidas reais).
ER01 - Determine a mediatriz dos pontos A e B . Lembre-se : a mediatriz determina o ponto médio do
segmento definido pelos pontos A e B.
Construção: Centro em A, com abertura qualquer do compasso maior que a metade de AB, descreve-se um arco acima e outro abaixo do
segmento dado. Centro em B, com a mesma abertura repete-se a operação anterior. Os arcos se cruzarãos aos pares determinando os
pontos 1 e 2, que ligados determinarão a mediatriz pedida.
Obs.: a abertura maior que a metade, pode ser maior que o próprio segmento. Vale salientar que quanto mais distantes ficarem os pontos 1 e
2, maior será a precisão.
1
A
B
A
B
2
ER02 - Levantar uma perpendicular ao meio do segmento AB (mediatriz AB) situado sobre a reta x.
Construção: Determinar a mediatriz de AB.
1
A
B
x
A
B
2
ER03 - Por um ponto P situado fora da reta x, levantar a reta y perpendicular à x.
PROCESSO I - Construção: Centro em P, abertura qualquer, descreve-se um arco determinando os pontos 1 e 2 sobre x (prolongue-o se
necessário). Agora determine a mediatriz de 12 e obtenha y.
P
P
y
x
1
x
2
2
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PROCESSO II - Construção: Determina-se arbitrariamente o ponto 1 sobre a reta x. Centro em 1, abertura 1P, descreve-se um arco
determinando o ponto 2 sobre 1x. Centro em 2, abertura 2P descreve-se outro arco que interceptará o primeiro no ponto 3. Uni-se 3 a P e
obtém-se a perpendicular pedida.
P
P
y
1
2
x
x
3
ER04 - Por um ponto P, situado na reta x, levantar a reta y perpendicular à x.
Construção: Centro em P, abertura qualquer, descreve-se um arco determinando os pontos 1 e 2 sobre x. Obtenha y determinando a
mediatriz de 12.
P
1
x
P
x
2
y
ER05 - Pelo ponto P, situado na extremidade da reta x, levantar a reta y perpendicular à x. (Nos
processos referentes a este exercício, não é previsto o prolongamento da reta
PROCESSO I - Construção: Tomando como extremidade o ponto P, abertura qualquer, descreve-se um arco (maior que 120º)
determinando o ponto 1 sobre x. Com mesma abertura, centro em 1, determina-se 2, em seguida, centro em 2 e determina-se 3, ambos
sobre o arco inicial. Agora, basta encontrar a mediatriz dos pontos 2 e 3 e teremos solucionado o exercício. Pelo fato do ponto P, pertencer à
mediatriz, basta determinar o ponto 4. Obs.: a abertura inicial é qualquer, mas depois de estabelecida, não poderá ser alterada dentro do
exercício.
y
4
2
3
P
x
P
x
1
PROCESSO II - Construção: Tomando como extremidade o ponto P, abertura qualquer, descreve-se um arco (maior que 60º)
determinando o ponto 1 sobre x. Com mesma abertura, centro em 1, determina-se 2 sobre o arco. Une-se 1 a 2 prolongando-o,
determinando assim a reta auxiliar a . Com a mesma abertura, à partir de 2 determina-se 3 sobre a. O ponto 3 ligado ao ponto P
determinará a perpendicular y pedida.
a
y
3
2
P
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1
x
P
x
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PROCESSO III - Construção: De um ponto O qualquer, fora da reta dada, com abertura PO, descreve-se um arco (maior que 180°)
determinando o ponto 1 sobre x. Une-se 1 a O prolongando-o, Determina-se assim, a reta auxiliar a que encontrará o ponto 2 sobre o arco. O
ponto 2 ligado ao ponto P determinará a perpendicular y pedida.
y
a
2
O
P
x
P
x
1
PROCESSO IV - Construção: Este processo baseia-se no fato de que todo triângulo de lados 3u, 4u e 5u, é um triângulo retângulo. Sobre
uma reta auxiliar e com o auxílio do compasso ou com o uso da régua graduada, marca-se 5 módulos quaisquer, mas que sejamiguais entre
si . Centro em P, abertura igual a 3 módulos, descreve-se um arco determinando o ponco 1 sobre x. Centro novamente em P, abertura igual
a 4 módulos e descreve-se um segundo arco. Centro em 1, abertura igual a 5 módulos e descreve-se um arco que interceptará o anterior
determinando o ponto 2. Une-se P a 2 e obtém-se a perpendicular y desejada.
y
2
5u
4u
1
u
P
x
x
3u
P
u
u
u
u
ER06 - Por um ponto P, situado fora da reta x, traçar uma reta y paralela a x.
PROCESSO I - Construção: Por P, passe uma reta a qualquer, que corte x no ponto A . Centro em A, abertura AP e determina-se sobre a
o ponto 1. Pelo ponto 1, passe uma reta b qualquer, que corte x no ponto B. Centro em B abertura B1 e determina-se sobre b o ponto P’.
Com a união dos pontos P e P’, obtém-se a reta y pedida.
P
P
P'
a
y
b
x
x
A
B
A1 = AP
BP' = B1
1
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PROCESSO II - Construção: Centro em P, abertura qualquer, descreve-se um arco determinando 1 em x. Centro em 1, mesma abertura e
determina-se sobre x o ponto 2 (arco P2). Centro em 1, abertura 2P, determina-se sobre o primeiro arco o ponto 3. Com a união dos pontos
3 e P, obtém-se a reta y pedida.
P
P
y
3
1P = 12
13 = 2P
x
x
2
1
ER07 - Traçar uma reta y paralela à reta dada x.
Construção: Centro em P (ponto qualquer sobre x), abertura qualquer, descreve-se uma semi-circunferência determinando A e B sobre
x. Centro em A, com a mesma abertura, determina-se sobre o arco, o ponto 1. Centro em B, mesma abertura, determina-se sobre o arco o
ponto 2. Com a união dos pontos 1 e 2, obtém-se a reta y pedida.
1
2
y
x
A
x
B
P
P
ER08 - Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes do ângulo dado (bissetriz).
Construção: Centro em O, abertura qualquer, determina-se sobre os lados do ângulo, os pontos 1 e 2. Centro em 1, abertura qualquer,
traça-se um arco de circunferência. Centro em 2, mesma abertura, e traça-se um outro arco que concorrerá com o anterior, determinando o
ponto 3. Unindo os pontos O e 3, obtém-se a bissetriz pedida.
2
O
3
O
1
O
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ER09 - Determine a bissetriz do ângulo dado, sem recorrer ao vértice.
Construção: Traçe uma reta auxiliar qualquer cortando os lados do ângulo dado, obtendo os ângulos auxiliares A, B, C e D. Encontre o
ponto 1 com o cruzamento das bissetrizes dos ângulos A e B, e o ponto 2 com as bissetrizes dos ângulos C e D. Com a união dos pontos 1 e
2, obtém-se a bissetriz pedida.
D
2
A
1
C
B
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
EP01 - Dados os pontos 1,2,3 e 4, encontre o ponto P que seja equidistante dos pontos 1 e 2 e dos
pontos 3 e 4.
2
3
4
1
EP02 - Construa uma circunferência cujo centro pertença a reta x e que contenha os pontos R e S.
S
R
x
EP03 - Construa uma circunferência de raio = 2cm e que contenha os pontos R e S.
S
R
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EP04 - Encontre sobre a reta x os pontos 1 e 2 distantes 2 cm da reta y.
y
x
EP05 - Encontre o ponto K sabendo-se que o mesmo encontra-se equidistante dos lados não
paralelos do trapézio ABCD e distante 2,5 cm da base maior. Quantos pontos solucionam este
exercício ?
D
C
A
B
EP06 - Construa uma circunferência que tangencie os lados em cada triângulo ABC dado.
B
C
A
EP07 - Construa o triângulo ABC sabendo que o lado BC = 4 cm, é paralelo a reta x.
x
B
A
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3 - DIVISÃO DE SEGMENTOS
TEOREMA DE TALES
Um feixe de retas paralelas determina em duas ou mais transversais quaisquer, segmentos
proporcionais.
s
t
t
s
v
x
a
a
b
x
c
a
b
y
y
a
w
d
b
b
a
b
z
z
Considerando o feixe de retas paralelas equidistantes (v, x, y, w e z),
cortado pelas retas transversais s e t, temos na reta s, segmentos iguais de
medida a, e na reta t, segmentos iguais de medida b.
3.1- DIVISÃO DE SEGMENTOS
Exemplo de divisão do segmento AB em n partes iguais. Considerar n = 4.
s'
0
1
2
3
A
4
0
B
1
s//s'
2
3
4
s
PROCESSO: Contrução: Por A passe um reta
auxiliar s determinando um ângulo qualquer com o
segmento AB. Transporte este ângulo para o ponto B
determinando a reta s' paralela a reta s.
Com o uso do compasso ou de uma régua graduada,
marque sobre s e s', n módulos iguais. Ao unirmos os
pontos dos módulos, formando retas paralelas, o
segmento AB é dividido em n partes iguais.
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3.2- DIVISÃO SIMULTÂNEA DE SEGMENTOS
Dividir os segmentos AB, CD e EF em n partes iguasis. Considerar n= 5
P
A
B
C
D
60º
Contrução: Sobre uma reta auxiliar qualquer ,
com o uso do compasso ou de uma régua
graduada, marque n módulos iguais.
- Contrua um triângulo equilátero tendo por lado
um dos segmentos a serem diivididos,
preferencialmente o maior.
F
E
0
1
2
3
4
5
60º
E
60º
F
Centro em P com abertura AB, transporta-se o
segmento para o triângulo. Repete-se esta
operação para todos os demais segmentos a
serem divididos incluisve o segmento formado
pelos módulos.
PRIMEIRO PASSO
P
P
A
A
B
D
C
0
1
2
3
4
D
C
F
E
Ao unirmos os pontos dos módulos ao ponto P
todos os segmentos são divididos em n partes
iguais simultaneamente.
B
F
E
5
0
SEGUNDO PASSO
1
2
3
4
5
TERCEIROPASSO
3.3- DIVISÃO DE SEGMENTOS EM PARTES PROPORCIONAIS
ER10 - Dividir os segmentos AB proporcional aos lados do Triângulo XYZ.
Z
x
y
X
Y
z
y'
A
A
B
z'
x'
B
y
s'
z
x
PROCESSO I : Contrução: Por A, passe uma
reta auxiliar r formando um ângulo qualquer com
o segmento dado. Sobre r, a partir de A,
transporte os lados y, z e x com o uso do
compasso. Una o ponto B a extremidade do lado
x determinando a reta s. Pelas extremidades de
cada segmento transportado, passe uma reta
paralela a s. O encontro de cada reta paralela
com o AB, divide o segmento em partes
proporcionais a y, z e x.
PROCESSO II : Aplicar o mesmo raciocínio
utilizado o segundo processo de divisão em
partes iguais.
OBSERVAÇÃO: Com a divisão do segmento AB em partes proporcionais aos lados x, y e z, do
triângulo, podemos construir um outro triângulo de lados x ', y' e z' proporcional a ao primeiro e
cujo perímetro é igual ao segmento AB. Assim sendo, podemos contruir várias figuras
proporcionais as outras conhecendo-se o seu perímetro.
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desenho geométrico
4 - ÂNGULOS
Considere, inicialmente três pontos A, B e C distintos não-colineares sobre uma superfície plana. Ao
definirmos duas semi retas AB e AC, também definiremos duas regiões que elas limitam no plano. A
reunião das semi-retas com qualquer uma das duas regiões por elas limitadas no plano é denominada
ÂNGULO.
B
A
C
B
B
ângulo A
A
C
ângulo
C
Portanto, ângulo é a reunião das semi-retas com a região por eles delimitada. Quando os lados do
ângulo forem coincidentes, teremos a formação dos ângulos: de volta inteira e nulo.
lados coincidentes
A
lados coincidentes
A
ÂNGULO DE VOLTA INTEIRA
ÂNGULO NULO
Quando os lados do ângulo forem semi-retas opostas,ou seja, os pontos A, B e C forem distintos
colineares, a reunião das duas, resulta em uma única reta. Assim teremos a formação dos ângulos
denominados de rasos ou de meia volta.
A
lados opostos
lados opostos
A
ÂNGULO RASO OU
DE MEIA VOLTA
ÂNGULO RASO OU
DE MEIA VOLTA
Uma figura é denominada convexa se, para quaisquer dois pontos distintos a ela pertencentes, todos
os pontos do segmento a ela também pertencerem.
lado
lado
A
A
lado
lado
ÂNGULO CONVEXO
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ÂNGULO CÔNCAVO
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desenho geométrico
4.1 - ELEMENTOS DE UM ÂNGULO
Vértice do Ângulo : é o ponto comum às semi-retas.
Lados : são as próprias semi-retas.
Abertura Angular : é a unidade de medida do ângulo.
Região Angular : é a porção compreendida ou delimitada pelos lados.
lado
Região Angular
A
Abertura Angular
Vértice
lado
4.2- MEDIDAS DA ABERTURA ANGULAR
A abertura angular pode ser expressa em graus, grados e radianos, onde o maior ângulo que se
obtém ao nível do desenho geométrico é o de 360° , 400 gr ou 2prd, ou seja, um ângulo de volta inteira.
No entanto utilizaremos durante o curso, o grau, como unidade de medida.
rd
270°
300gr
360°
0°
180°
rd
200gr
400gr
0gr
rd
rd
100gr
90°
rd
NOTAÇÃO : Para indicarmos que um ângulo, tem uma determinada abertura, escrevemos das
seguintes maneiras:
BÂC = 45°
ou
 = 45°
Atente para o fato de que dois ou mais ângulos que possuem medidas iguais são chamados ângulos
congruentes.
Â
Â
0°
ÂNGULO NULO
Â
Â
90°
ÂNGULO RETO
180°
360°
ÂNGULO RASO
ÂNGULO DE VOLTA INTEIRA
4.3 - REGIÃO INTERNA E PONTO INTERIOR (PONTO INTERNO)
Excluíndo os lados de um ângulo, obtemos as seguintes regiões:
- região interna do ângulo convexo
- e a região interna do ângulo côncavo.
Um ponto é considerado ponto interior, quando pertecer à região interna do ângulo.
A
A
A
P
A
P
ÂNGULO CONVEXO
EBER NUNES FERREIRA
ÂNGULO CÔNCAVO
P PONTO INTERIOR
eber nunes ferreira
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desenho geométrico
4.4 - ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um mesmo lado comum.
A
ângulos consecutivos
B
O'
O
O
O
C
AÔB e BÔC são ângulos consecutivos
AÔB e AÔC são ângulos consecutivos
ângulos não consecutivos
4.5 - ÂNGULOS ADJACENTES
Dois ângulos consecutivos são adjacentes quando não possuem ponto interior comum
B
A
A
A
P
B
P
B
C
P
O
O
O
C
C
AÔB e BÔC são ângulos consecutivos
adjacentes, pois não possuem ponto interior
comum, ou seja, o ponto P quando pertence a
região interna de AÔB, não pertence a região
interna de BÔC e vice-versa.
D
Se consideramos os ângulos AÔC e BÔC,eles
serão classificados como ângulos consecutivos
não adjacentes, pois possuem ponto (P) interior
comum, ou seja o ponto P pertence a região
interna dos dois ângulos.
Se consideramos os ângulos AÔC e BÔD, eles
serão classificados como ângulos não
consecutivos,(possuem mesmo vértice, porém
não possuem lado comum), e não adjacentes,
pois possuem um ponto (P) interior comum (o
ponto P pertence a região interna dos dois
ângulos).
4.6 - ÂNGULOS COMPLEMENTARES E SUPLEMENTARES
Dois ângulos são complementares, quando a soma de suas aberturas angulares é igual a um ângulo
reto (90°).
A
A
B

B

C


C
O
O
 +  = 90º
O'
D
 +  = 90º
Dois ângulos são suplementares, quando a soma de suas aberturas angulares (medidas) é igual a
um ângulo raso (180°).
B

A


O
 +  = 180º
EBER NUNES FERREIRA
C
B
C
A

O
O
D
 +  = 180º
eber nunes ferreira
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desenho geométrico
Analise os ângulos abaixo e classifique-os conforme o exemplo.
A
B
BÔC
AÔB
AÔC
AÔB
C
e
e
e
e
AÔC ângulos consecutivos não adjacentes complemtares
AÔC ............................................................
BÔD ............................................................
CÔD ............................................................
30° 3
0°
30
°
D
O
4.7 - TRANSPORTE GEOMÉTRICO DE ÂNGULOS
Os ângulos obtidos com o auxílio do compasso necessitam que o mesmo seja apontado
corretamente, para a obtenção de contruções geométricas com uma precisão adequada.
0°
14
0°
15
30º
°
160
75º
170°
180°
Exemplo de construções Técnicas
ER11 - Dado um âgulo
 , pede-se transportá-lo geometricamente para a semi-reta Or.
2'
2
2'

V
1
COM ABERTURA QUALQUER E
CENTRO EM V DESCREVE-SE
UM ARCO QUE CORTA OS LADOS
DO ÂNGULO DADO EM 1 E 2.

O
COM A MESMA ABERTURA E
CENTRO EM O DESCREVE-SE
UM ARCO QUE CORTA A
SEMI-RETA EM 1'.

V
EBER NUNES FERREIRA
O
1'
O
1'
COM A ABERTURA 12 E
A PARTIR DE 1' MARCA-SE 2'
O
1'
COM A UNIÃO DE O2'
OBTÉM-SE O ÂNGULO
DESEJADO.
r
eber nunes ferreira
16
desenho geométrico
Utilizando o transporte de ângulos podemos aplicar este conhecimento para adição e subtração
geométrica de ângulos.
4.8 - ADIÇÃO DE ÂNGULOS
ER12 - Dados os âgulos
 e , pede-se somá-los geometricamente tendo como vértice o ponto V.


O
O
V
3
2


O
O
1
V
2

3'
3'
2'
2'
2'

V
1'

V
1'
1'

V
1'
4.9 - SUBTRAÇÃO DE ÂNGULOS
ER13 - Dados os âgulos
 e , pede-se subtraí-los geometricamente tendo como vértice o ponto V.


O
O
V
3
2


O
O
1
V
2
3'
1'
3'
 

2'
2'
2'

V
1'
Com a abertura 12 e centro em 1'
determina-se o ponto 2'.
EBER NUNES FERREIRA

V
1'
Com a abertura 23 e centro
novamente em 1'' determina-se o
ponto 3'.

V
1'
O ângulo procurado é a diferença
entre  e. Portanto basta tornar
os ângulos  e  em ângulos
consecutivos não adjacentes
eber nunes ferreira
17
desenho geométrico
EXERCÍCIOS
EP06 - Efetue graficamente as operações com os ângulos abaixo.


O

O

O

O
V

O
O
V
4.10 - CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS
ER14 - Construção do ângulo de 45º através da divisão do ângulo de 90º
3
2
3
2
3
45º
O
1
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1 e 3.
O
1
Com a mesma abertura centros
em 1 e 3 e determina-se 2.
O
1
O2 divide o ângulo de 90º em 2
ângulos de 45º.
ER15 - Construção do ângulo de 30º através da divisão do ângulo de 90º em 3 partes iguais.
4
4
4
3
30º
3
30º
2
2
30º
O
1
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1 e 4.
O
1
Com igual abertura, centros
em 1 e 4 e determina-se 2 e 3.
O
1
O2 e 03 dividem o ângulo de
90º em 3 ângulos de 30º.
Observe ao dividir um ângulo reto em 3 partes iguais obtém-se também um ângulo de 30º e outro de 60º
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
18
desenho geométrico
ER16 - Construção do ângulo de 60º
2
2
60º
O
O
1
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1.
O
1
Com igual abertura, centro em 1
determina-se 2.
1
O2 define o ângulo 1O2 de 60º
ER17 - Construção do ângulo de 30º
1
1
1
2
2
30º
O
O
O
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1.
Com igual abertura, centro em 1
determina-se 2.
O2 define o ângulo de 30º
ER18 - Construção do ângulo de 15º
1
1
1
2
2
2
30º
O
O
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1.
15º
O
Com igual abertura, centro em 1
determina-se 2. O2 define o
ângulo de 30º
Construa a bissetriz d o ângulo
de 30º e obtenha um ângulo de
15º.
ER19 - Construção do ângulo de 75º
15º
30º
2
15º
2
2
75º
75º
60º
O
1
Repita a operação do exercício 3.
EBER NUNES FERREIRA
O
1
Construa a bissetriz d o ângulo
de 30º e obtenha um ângulo de
15º.
O
1
A somatória de 60º e 15º produz
o ângulo desejado.
eber nunes ferreira
19
desenho geométrico
ER20 - Construção do ângulo de 120º
2
3
2
3
120º
60º
60º
O
O
1
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1.
O
1
Com igual abertura, centro em 1
determina-se 2. Centro em 2
com mesma abertura e obtemse o ponto 3
1
O ângulo 1O3 mede 120º.
ER21 - Dividir um ângulo dado em um número par de partes iguais.
O
1
Determina-se a bissetriz do
ângulo dado.
O
O
1
Assim ele foi dividido em duas
vezes.
1
Em seguida traçam-se
sucessivas bissetrizes.
ER22 - Dividir um ângulo dado não reto em três iguais.
- Com centro em O, traça-se uma circunferência
auxiliar de raio qualquer, determinando os pontos A e B.
- Traça-se a mediatriz do ângulo AÔB determinando o
ponto 1 sobre a circunferência.
A
3
- A partir do ponto 1, transporta-se com o auxílio do
compasso, a medida do raio determinando o ponto 2
sobre a bissetriz.
1/3
5
r
- Prolonga-se os lados do ângulo dado, determinando
os ponto 3 e 4 sobre a circunferência.
1
r
2
1/3
O
6
- Unindo os pontos 3 e 2 e também os pontos 4 e 2
obtem-se os pontos 5 e 6 respectivamente.
1/3
4
- Unindo os pontos O5 e O6, dividimos o ângulo dado
em 3 partes iguais.
B
O
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
20
desenho geométrico
5 - CONSTRUÇÃO DE ARCO-CAPAZ CONHECENDO-SE A CORDA
Qualquer segmento cujas extremidades forem tocadas por uma circunferència, torna-se uma corda
da circunferência, e passa a definir dois arcos de circunferência distintos .
P
P
O
A
B
CORDA
A
O
B
A
CORDA
O
CORDA
A
B
B
Lembre-se que esta é uma propriedade observada entre a circunferência e sua corda.
(Corda é o segmento que une dois pontos distintos da circunferência)
Qualquer ponto P sobre um dos arcos, quando unido as extremidades da corda, determinará um
ângulo  constante. Esta propriedade comum destes pontos, define o lugar geométrico
denominado, arco-capaz. (ver pág. 3)
Vejamos a seguir os procedimentos para obtenção do arco-capaz quando nos é fornecido a corda e o
ângulo  desejado. Lembre-se que toda mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência.
Obtenção geométrica do ângulo auxiliar.
Pelo vértice do ângulo dado, levante uma perpendicular em relação a um dos lados. Em ambos os
casos, o ângulo auxiliar é a diferença entre o ângulo dado e o ângulo reto. (o maior menos o menor)
90º
PARA ÂNGULOS AGUDOS
PARA ÂNGULOS OBTUSOS
A
B
r
O
O
r
A
EBER NUNES FERREIRA
B
eber nunes ferreira
21
desenho geométrico
6 - POLÍGONOS
A. Conceitos
D
C
E
F
G
A
B
D
E
B
F
A
A - Linha Poligonal: é a linha formada
pela sucessão de segmentos
consecutivos não colineares.
C
B - Polígono: é a região do plano
limitada por uma linha poligonal
fechada.
2. Elementos
D
E
D
Diagonal
D
E
E
Lado
A
B
Vértice
C
A
C
Apótema
C
A
B
B
Ângulos Internos
Ângulos Externos
O segmento que une o centro do
polígono regular ao ponto médio
de um dos lados é denominado
de apótema, e corresponde ao
raio da circunferência inscrita no
polígono.
3. Classificação
Quando uma parte de um
segmento unindo dois
pontos internos situa-se
fora da área poligonal.
Côncavo
Regular
Convexo
a) Conforme a posição dos dados:
Irregular
b) Conforme a dimensão dos lados:
c) Quanto ao número de lados:
N° de lados
3
4
5
6
7
8
Polígono
N° de lados
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
9
10
11
12
13
14
EBER NUNES FERREIRA
Polígono
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Tridecágono
Tetradecágono
N° de lados
15
16
17
18
19
20
Polígono
Pentadecágono
Hexadecágono
Heptadecágono
Octodocágono
Eneadecágono
Icoságono
eber nunes ferreira
22
desenho geométrico
7 -TRIÂNGULO
7.1 - Conceito:
O Triângulo é o polígono convexo de três lados e três ângulos.
7.2 - Classificação:
a - Conforme a dimensão dos lados:
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Possui os lados iguais
Possui dois lados iguais
Possui os lados desiguais
b - Conforme a natureza de seus ângulos internos:
Retângulo
Acutângulo
Obtusângulo
Possui um ângulo reto
Possui ângulos agudos
Possui um ângulo obtuso
7.3 - Elementos :
Lados : Segmentos de retas ou curvas que
formam o triângulo.
Vértices : são os pontos de cruzamento dos
lados.
Ângulos : são formados pelos lados do
triângulo.
A
ângulo
lado
7.4 - Cevianas Notáveis
Definição de Ceviana : é todo segmento que
tem uma extremidade num vértice qualquer de
um triângulo e a outra num ponto qualquer da
reta suporte do lado oposto a esse vértice
(denominado pé da ceviana).
Reta suporte de um segmento, ou,
simplesmente, suporte de um segmento, é a
reta na qual esse segmento está contido.
São três as cevianas notáveis: altura, bissetriz
interna e mediana.
O nome ceviana foi dado a esses segmentos
como uma homenagem ao matemático italiano
Giovanni Ceva.
EBER NUNES FERREIRA
vértice
m
s
h
x
B
P1 P2
P3
C
P4
eber nunes ferreira
23
desenho geométrico
Altura: é a perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento. Esta é a
única ceviana que pode ser externa (no triângulo obtusângulo), ou mesmo coincidir com um lado (no
triângulo retângulo).
A
Hc
Hc
Hb
hb
A
Hb
A
hb
hc
hc
hb
ha
ha
ha
Ha
B
Ha
B
C
C
hc
B
C
Mediana : é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. (Ceviana que tem uma
extremidade no ponto médio de um lado).
A
A
A
Mc
mc
Mb
ma
mb
B
B
C
Ma
B
C
C
Bissetriz Interna : é toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e
congruentes.
A
Â/
A
A
Sc
Sb
Â/2
2
sc
sb
sa
B
B
C
Sa
B
C
C
7.5 - Centros Geométricos (Pontos Notáveis)
Ortocentro (H) : é o ponto de encontro das alturas de um triângulo ou das retas suportes das
A
alturas.
Hc
hb
A
Hc
Hb
Hb
A
hb
hc
hc
ha
ha
B
hb
ha
Ha
C
Ha
B
C
B
hc
A
Utlilize o Arco-capaz de 90º (semicircunferência) para determinar os pés
de duas alturas, o que é suficiente para
encontrar o Ortocentro.
Hc
Hb
hb
C
hc
ha
B
EBER NUNES FERREIRA
Ma Ha
C
eber nunes ferreira
24
desenho geométrico
Baricentro (G) : é o ponto de encontro das três medianas de um triângulo sendo o seu Centro de
Gravidade.
A
ma
Mc
Mb
mb
G
B
mc
C
Ma
Incentro (I) : é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo, o qual equidista
dos lados e é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Observe que para determinar o raio da
circunferência inscrita, faz-se necessário a determinação de um ponto de tangência, que é obtido
traçando-se uma perpendicular pelo incentro em direção a um dos lados.
A
A
sa
Sc
sb
B
T3
Sb
I
I
T2
sc
B
C
Sa
T1
C
Ex-incentro (E) : é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos externos do triângulo. Observe
que para determinar o raio da circunferência ex-inscrita, faz-se necessário a determinação de um
ponto de tangência, que é obtido traçando-se uma perpendicular pelo ex-incentro em direção ao
prolongamento de um dos lados .
E1
A
E1
A
E2
E2
sa
sb
I
B
B
C
sc
C
E3
T1
A
E2
E3
T2
B
EBER NUNES FERREIRA
C
T3
eber nunes ferreira
25
desenho geométrico
Circuncentro (O) : é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo, o qual equidista
dos três vértices e é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
A
A
B
O
B
rc
A
C
rc
O
B
C
O
rc
C
No triângulo Acutângulo o
Circuncentro é um ponto
interno.
No triângulo Obtusângulo o
Circuncentro sempre é um
ponto externo.
No triângulo Retângulo o
Circuncentro sempre será o
ponto médio da hipotenusa.
7.6 - NOMENCLATURA
A
a , b e c - medidas dos lados BC, AC e AB,
respectivamente.
 (alfa) ,  (beta) e  (gama) - medidas dos ângulos Â,
B e C.
ri - raio da circunferência inscrita.
rc - raio da circunferência circunscrita.
b
c
B
ri
a
rc
C
A
ha, hb e hc - medidas
das alturas traçadas dos
vértices A , B e C respectivamente.
Ha, Hb e Hc - pés das alturas ha, hb e hc.
Hc
Hb
hb
hc
ha
ma, mb e mc - medidas das medianas traçadas dos
vertices A , B e C respectivamente.
Ma, Mb e Mc - pés das medianas ma, mb e mc
Ha
B
C
A
ma
Mc
Mb
mc
mb
sa, sb e sc - medidas das bissetrizes traçadas dos
vertices A , B e C respectivamente.
Sa, Sb e Sc - pés das bissetrizes traçadas dos vertices A
, B e C respectivamente.
B
C
Ma
A
sa
Sc
Sb
sb
B
EBER NUNES FERREIRA
sc
Sa
eber nunes ferreira
C
26
desenho geométrico
7.7- PROPRIEDADES DAS MEDIANAS E BARICENTRO
O segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo e de medida igual a
metade do terceiro lado.
A
A
ma
ma
Mc
B
G
mc
C
B
Mc
Mb
mb
Ma
ma
Mc
Mb
mb
A
G
mc
Mb
mb
C
Ma
B
G
Paralelogramo
(lado paralelo 2 A 2)
mc
C
Ma
Ma Mb é paralelo ao lado AB. Ma Mb = AB/2
Ma Mc é paralelo ao lado AC. Ma Mc = AC/2
Mb Mc é paralelo ao lado BC. Mb Mc = BC/2
O triângulo MaMb Mc é semelhante ao triângulo ABC .
O Baricentro (centro de gravidade do triângulo) divide cada mediana em dois segmentos, onde
o segmento que contém o vértice é o dobro do outro.
7.8- RELATIVAS ÀS BISSETRIZES
E1
O triângulo ABC tem três bissetrizes internas e seis
bissetrizes externas.As noves bissetrizes encontram-se,
de três em três,em quatro pontos: E1 ,E2 e E3 . O ponto
"I" é denominado INCENTRO.
- Os pontos E1 ,E2 e E3 são EX-ICENTROS; são os
centros das três circunferências ex-inscritas.
- Duas bissetrizes, uma interna e outra externa, com
origens no mesmo vértice são perpendiculares entre si.
- O triângulo ABC é órtico do triângulo E1 E2 E3 .
- A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina
sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos
outros dois lados.
A
E2
90º
sa
sb
90º
B
m
sc
I
n
90º
C
E3
7.9 - RELATIVA AS ALTURAS
O triângulo Ha Hb Hc é denominado triângulo órtico.
As bissetrizes do triângulo órtico são alturas do triângulo ABC .
A
Hc
ha
Hb
hb
hc
B
EBER NUNES FERREIRA
Ha
C
eber nunes ferreira
27
desenho geométrico
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ER23 - Construir um triângulo equilátero XYZ conhecendo-se o lado.
Z
x=y=z
CONSTRUÇÃO
- Sobre uma reta suporte r, traça-se XY .
- Com abertura igual ao lado do triângulo, centro
em X, descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em Y, com a mesma abertura, descrevese outro arco que interceptará o primeiro em Z.
- A união dos pontos X, Y e Z determina o
triângulo desejado.
y
x
r
X
Y
z
ER24. Construir um triângulo escaleno ABC conhecendo-se os três lados.
a
b
C
c
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB
sobre ela.
- Centro em A, raio AC, descreve-se um arco
auxiliar.
- Centro em B, raio BC, descreve-se outro arco,
interceptando o primeiro em C.
- A união dos pontos A, B e C determina o
triângulo desejado.
a
b
r
c
A
B
ER25. Construir um triângulo ABC conhecendo-se o lado c e os ângulos A e B.
c
C
A = 45º B = 60º
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB
sobre ela.
- Em A constroi-se um ângulo de 45º
- Em B constroi-se um ângulo de 60º
- O prolongamento dos lados dos ângulos
determinam o ponto C.
- A união dos pontos A, B e C determina o
triângulo desejado.
45º
A
EBER NUNES FERREIRA
a
b
60º
c
B
eber nunes ferreira
28
desenho geométrico
ER26 - Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e o ângulo entre eles.
C
b
c
a
b
c
A
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB
sobre - Em A constroi-se o ângulo dado
- Sobre o prolongamento do lado deste ângulo
transporta-se AC.
- A união dos pontos A, B e C determina o
triângulo desejado.
B
ER27 - Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e a altura relativa a um deles.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB
(lado c) sobre ela.
- Traça-se r’// r. distantes a medida de hc. (Após
marcar sobre uma perpendicular auxiliar, a
altura hn, utilize um processo geométrico para
traçar r’// r ).
- Centro em A, com abertura igual ao lado btraçase um arco que interceptará r' em C e C'.
-- A união dos pontos A, B e C determina o
triângulo desejado. (ABC' também é resposta ao
exercício)
b
c
hc
C'
C
b'
r'
a
a'
b
hc
hc
r
c
A
B
ER28 - Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e a mediana relativa a um deles.
mc
C
b
c
mc
a
b
r
A
EBER NUNES FERREIRA
c/2
Mc
c/2
B
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB
sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AB determinando Mc.
- Centro em Mc, raio mc, descreve-se um arco
auxiliar.
- Centro em A, raio AC (lado b), descreve-se outro
arco que interceptará o primeiro no ponto C.
- A união dos pontos A, B e C determina o
triângulo desejado.
eber nunes ferreira
29
desenho geométrico
ER29 - Construir um triângulo isósceles ABC, conhecendo-se a base e o raio da circunferência inscrita.
C
O
T
A
1
B
2
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AB, determinando T.
- Sobre a mediatriz, transporta-se o raio TO.
- Centro em O, descreve-se a cirncunferência inscrita.
- Centro em A, raio AT e determina-se o ponto 1 na
cirncunferência inscrita.
- Centro em B, raio AT e determina-se o ponto 2 na
cirncunferência inscrita.
- O prolongamento do segmento A1 e B2, encontram-se no
ponto C.
- A união dos pontos A, B e C determina o triângulo desejado.
O
r
A
B
T
ER30 - Construir um triângulo isósceles ABC, conhecendo-se a base e o ângulo oposto a ela.
C
triz
se
Bis
do
c
me
ple
Su
nto
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Por uma das extremidades da base constroi-se o ângulo C
dado.
- Dividi-se o suplemento do ângulo ao meio (bissetriz) obtendo o
ângulo da base
-Transporta-se este ângulo para a outra extremidade que
interceptará a bissetriz no ponto C .
- A união dos pontos A, B e C determina o triângulo desejado.
de
r
A
B
ER31 - Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se um lado, a altura a ele relativa e o raio da
circunferência circunscrita.
hc
raio
ra
io
A
C'
C
O
1
r'
hc
r
A
EBER NUNES FERREIRA
B
B
CONSTRUÇÃO
- Com o raio dado traça-se a circunferência.
- Sobre a circunferência, marca-se o ponto A arbitrariamente.
- Centro em A, com abertura AB, transporta-se a base AB.
- Prolonga-se AB determinando a reta auxiliar r.
- Por um ponto qualquer de r levanta-se uma perpendicular
marcando sobre a mesma o valor de hc determinando o ponto 1.
- Pelo ponto 1 traça-se r'// r, determinando os pontos C e C'.
- A união dos pontos A, B e C determina o triângulo desejado.
eber nunes ferreira
30
desenho geométrico
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Observando a notação abaixo, construa os triângulos pedidos de acordo com as informações
fornecidas. É de fundamental importância, fazer um esboço de um triângulo genérico para cada
exercíco, pois somente assim é que você conseguirá a indentificação dos lugares geométricos a
serem utilizados na construção dos mesmos.
A
A
 ALFA
b
c
rc
I
sb
mc
Sb
sc
ha
C
B
C
Ha
EP08
B
Ma
C
B
- a, b e ha
EP09
- a, b e alfa
a
a
b
b
b
c
ha
EP11
C
Sa
a
- a, b e gama
EP10
sa
Sc
Mb
G
hc
mb
GAMA
a
- a, b e c
EP07
Mc
hb
A
ma
Hb
H

BETA
B
Hc
ri

A

- a, b e ma
EP12
- a, ha e ma
a
a
a
b
b
ha
ma
ma

EP13
- a, ha e beta
- a, ha e alfa
a
a
ha
ha

EP16
EP14
- a, ma e alfa
EP15 a
ma


EP17
a, ma e beta
- a, beta e gama
a
EP18
a
- a, beta e alfa
a
ma



EP19
- a, b e mb
EP20


- b, alfa e mb
EP21
a
b
a
b
mb
mb
- a, mb e mc
mc
mb

EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
31
desenho geométrico
EP22
- a, ma e mb
EP23
- a, hb e beta
EP24
- a, hb e b
a
a
a
ma
hb
hb
b
mb

EP25
- a, hb e c
EP26
- a, hb e alfa
EP27
- a, hb e ma
a
a
a
hb
hb
hb
ma
c

EP28
- a, hb e ha
EP29
- a, hb e hc
EP30
- a, hb e mb
a
a
a
hb
hb
hb
ha
hc
mb
EP31 - Determine o Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro dos triângulos 1,2,3 e 4
respectivamente.
C
1
2
B
C
A
A
B
C
C
B
A
B
3
A
EBER NUNES FERREIRA
4
eber nunes ferreira
32
desenho geométrico
8 - QUADRILÁTERO
8.1 - Conceitos
Quadrilátero é todo polígono de quatro lados. Todo quadrilátero tem: quatro ângulos internos, oito
ângulos externos, quatro vértices e duas diagonais.
Os quadriláteros são designados por letras maiúsculas ou números, colocados nos vértices, em
qualquer sentido, obedecendo a ordem dada. Desta forma os vértices consecutivos limitam os lados e
os não consecutivos, as diagonais.
C
C
C
D
D
Diagonais
D
Lado
A
A
A
B
B
Vértice
B
4 Ângulos Internos
8 Ângulos Externos
látero
adrí
Qu
8.2 -Classificação
s
Trap
ézi
os
Os quadriláteros se classificam em:
Parale logramos
TRAPÉZIOS - Todo Quadrilátero que possui dois
lados paralelos.
PARALELOGRAMOS - Todo Quadrilátero que
possui lados paralelos dois a dois.
RETÂNGULO - Todo Quadrilátero que possui
quatro ângulos retos.
LOSANGO - Todo Quadrilátero que possui quatro
lados iguais
QUADRADO - É o conjunto interseção entre o
conjunto dos retângulos e o cojunto dos losangos.
(possuem quatro ângulos retos e quatro lados
iguais).
Losangos
Quadrados
Retângulos
TRAPÉZIOS - Os trapézios propriamente ditos, possuem dois lados paralelos (bases) e dois
lados não paralelos. A distância entre as bases é chamada de altura do trapézio . Podem ser
classificados quanto a natureza de seus ângulos da seguinte forma:
TRAPÉZIO RETÂNGULO
TRAPÉZIO ISÓSCELES
TRAPÉZIO ESCALENO
Possui um lado não paralelo perpendicular às bases
Os lados não paralelos são congruentes
Possui os lados e os ângulos desiguais
- Possui dois ângulos retos, um agudo e um obtuso.
- Possui os ângulos das bases com os lados iguais entre si.
Base Menor
Base Menor
Base Maior
Base Menor
Base Maior
Base Maior
Os lados não paralelos dos trapézios, quando prolongados geram triângulos de mesmo nome. (retângulo, isósceles e escaleno)
triângulo
retângulo
EBER NUNES FERREIRA
triângulo
isósceles
triângulo
escaleno
eber nunes ferreira
33
desenho geométrico
PARALELOGRAMO
Propriamente dito
C
D
A
C
D
B
A
Os lados opostos são iguais e
paralelos dois a dois.
B
C
D
A
As diagonais são diferentes,
oblíquas entre si e se cortam ao
meio.
B
Os ângulos opostos são iguais,
e os ângulo consecutivos são
suplementares.
RETÂNGULO
C
D
A
C
D
B
A
Os lados opostos são iguais e
paralelos dois a dois.
C
D
B
As diagonais são iguais,
oblíquas entre si e se cortam ao
meio.
90º
90º
90º
90º
A
B
Os quatro ângulos são retos.
LOSANGO
D
D
C
A
A
D
90º
90º
90º
90º
C
C
A
B
B
B
Os quatro lados são iguais e
paralelos dois a dois.
As diagonais são diferentes,
perpendiculares entre si e se
cortam ao meio.
Os ângulos internos opostos são
iguais, e os ângulo consecutivos
são suplementares
QUADRADO
C
C
D
90º
90º
A
B
A
Os quatro lados são iguais e
paralelos dois a dois Os quatro
ângulos são retos.
EBER NUNES FERREIRA
C
D
C
D
90º
90º
90º
APÓTEMA
D
90º
B
A
90º
90º
B
O apótema corresponde a
metade do lado e é o raio da
circunferência inscrita.
A
B
As diagonais são iguais,
perpendiculares entre si e se
cortam ao meio.
eber nunes ferreira
34
desenho geométrico
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ER32 - Construir um quadrado ABCD, sabendo-se que o lado mede 38 mm.
C
D
CONSTRUÇÃO
- Traçam-se a retas auxiliares r e s perpendiculares entre si, no ponto A.
- Centro em A, com abertura igual ao lado, e determinam-se os pontos B e D
sobre as perpendiculares.
- Com a mesma abertura, centro em B e descreve-se um arco.
- Repete-se a operação com centro em D e o cruzamento dos arcos
determinam o ponto C.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
r
A
B
s
ER33 - Construir um retângulo ABCD sabendo-se que os lados medem respectivamente 4,5 e 2,1 cm.
D
C
r
A
B
CONSTRUÇÃO
- Traçam-se a retas auxiliares r e s perpendiculares entre si, no ponto A.
- Centro em A, com abertura igual ao lado maior, e determina-se o ponto B
sobre r.
- Centro em A, com abertura igual ao lado menor, e determina-se o ponto D
sobre s.
-Centro em B, abertura AD, descreve-se um arco.
- Centro em D, abertura AB, descreve-se outro arco que interceptará o arco
anterior no ponto C.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
s
ER34 - Construir um retângulo ABCD conhecendo-se o lado AB = 6,3 cm e sua semi-diagonal que
mede 4,0 cm.
C
D
CONSTRUÇÃO
- Traça-se uma circunferência de centro O, com raio igual a semi-diagonal.
- Determina-se arbitrariamente o ponto A sobre a circunfência.
- Centro em A, abertura AB, determina-se o ponto B sobre a ciecunferência.
- O prolongamento de AO detemina o ponto C na circunferência.
- O prolongamento de BO detemina o ponto D na circunferência.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
O
B
A
ER35 - Construir um losango ABCD sabendo-se que o lado mede 2,8 cm e a sua diagonal AC = 5,2 cm.
D
A
C
r
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e sobre ela transporta-se a diagonal AC.
- Centro em A, abertura igual ao lado, descreve-se um arco
- Repete-se a mesma operção com centro em C e os cruzamentos dos arcos
determinam os pontos B e D.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
B
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
35
desenho geométrico
ER36 - Construir um losango ABCD conhecendo-se suas diagonais. Dados: AC = 55 mm ; BD = 30
mm.
D
O
A
r
C
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta auxiliar r e transporta-se a diagonal AC sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AC determinando o ponto O.
- Centro em O, com abertura igual a metade da diagonal BD, e
determinam-se os pontos B e D sobre a mediatriz.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
Obs. demonstre geometricamente a divisão do segmento BD.
B
ER37 - Construir um paralelogramo ABCD conhecendo-se base AB, o ângulo  e a altura. Dados: AB =
45 mm; h = 27 mm ; Â = 75° (No paralelogramo o ângulo interno de um vértice é igual ao ângulo
externo do vértice consecutivo)
C
D
r'
h
75°
75°
r
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Em A constrói-se o ângulo dado.
- Em B constrói-se o mesmo ângulo paralelo ao primeiro.
- Constroi-se r // r' distantes 27mm. (Levante uma perpendicular
auxiliar para esta operação)
- A interseção de r' com os ângulos construídos determinam os
pontos C e D.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o paralelogramo desejado.
B
A
ER38 - Construir um trapézio isósceles ABCD conhecendo-se as duas bases e a altura. Dados: AB = 7
cm ; CD = 3,4 cm ; h = 2,8 cm.
D
C
O
r'
h
r
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AB e sobre ela transporta-se h
determinando O.
- Por O traça-se r’// r.
- Centro em O, abertura igual a metade de CD, determina-se C e D
sobre r’.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o trapézio desejado..
B
A
ER39 - Construir um trapézio retângulo ABCD conhecendo-se a base maior, um lado e uma diagonal
cujos valores são respectivamente: AB = 4,8 cm ; BC = 3,2 cm ; AC =2,5 cm.
Arco-capaz de 90°
D
C
O
r
A
EBER NUNES FERREIRA
B
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e sobre ela transporta-se AB.
- Centro em A raio AC descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em B, raio BC descreve-se outro arco que interceptará o
primeiro no ponto C.
- Levanta-se uma perpendicular a r pelo ponto A.
- Traça-se o arco-capaz de 90° (semi-circunferência) tomando AC
por diâmetro.
- A intereção do arco com a perpendicular que passa em A,
determina o ponto D.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o trapézio desejado.
eber nunes ferreira
36
desenho geométrico
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
EP32 - Construir um quadrilátero ABCD conhecendo-se: AB = 47 mm; BC = 26 mm; B = 120° ; CD = 49 mm; AD =
31 mm.
EP33 - Determine o segmento de reta AB concorrente em r e s respectivamente de tal forma que o ponto M seja
o Ponto Médio do segmento.
r
M
s
EP34 - Construa um trapézio MNOP retângulo sabendo-se que MN = 6,4 cm, MO = 4,0 cm e NO = 3,4 cm.
EP35 - Construir um paralelogramo ABCD conhecendo-se: AB = 5 cm, diagonal AC = 5/3 de AB e  = 60°.
EP36 -. Pede-se um losango ABCD conhecendo-se o lado AB = 2,5 cm e a semidiagonal AE = 1,5 cm.
EP37 - Num trapézio, as bases medem 70 mm e 35 mm, um lado não paralelo, 40 mm, e o ângulo formado pela
base maior e o lado não paralelo é 60°.Pede-se o quadrilátero.
EP38 - Construir um trapézio conhecendo-se as duas bases e as duas diagonais. Dados: bases AD = 3,0 e BC =
4,0, diagonais AC = 5,6 e BD = 5,3 (ud cm).
EP39 - Construa um retângulo ABCD, cuja diagonal mede 5,0 cm, e forma um ângulo de 30° com o lado.
EP40 - Construa um quadrado cuja semi-diagonal mede 28 mm.
EP41 - Construir um paralelogramo KLMN sendo dadas as suas diagonais KM = 7,3 cm e LN = 3,2 cm e o ângulo
formado por elas é de 75°.
EP42 - Construir um quadrado cujo perímetro é igual ao do triângulo dado.
A
B
C
EP43 - Construir um quadrilátero ABCD sabendo que AB mede 6 cm e a diagonal BD que mede 6,7 cm, forma
com o lado AD 60°. O lado BC mede 3 cm e forma com CD ângulo de 45°.
EP44 - Construir um losango conhecendo-se o seu lado e um de seus ângulos. AB = 4cm; Â = 45°.
EP45 - Construir um paralelogramo conhecendo-se dois lados e a altura. AB = 60mm; BC = 29mm e h = 18mm.
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
37
desenho geométrico
9 - CIRCUNFERÊNCIA E CIRCULO
9.1 - Conceito:
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano, equidistantes de um ponto
dado, denominado centro, situado no mesmo plano.
A porção deste plano limitada pela circunferência denomina-se CÍRCULO. Daí podemos
concluir que a circunferência é o contorno do círculo, sendo aquela uma linha e este uma
superfície plana, uma área.
f
C
9.2 - Elementos:
D
s
d
O
r
B
n
t
A
ARCO - A intersecção da circunferência com um ângulo central qualquer (de vértice O), é
denominado arco da circunferência.(AB)
CORDA - É segmento que une dois pontos distintos de uma circunferência.(CD)
DIÂMETRO - É toda corda que passa pelo centro. Um diâmetro é equivalentea dois raios, um
situado no prolongamento do outro. (d)
FLECHA - É o segmento do raio que une o ponto médio da corda a um ponto da circunferência (f)
NORMAL - É a perpendicular à tangente em um ponto da circunferência. (n)
RAIO - Qualquer segmento com uma extremidade na circunferência e outra em seu centro. (r)
SECANTE - É a reta que possui dois pontos comuns à circunferência. (s)
TANGENTE - É a reta que possui um só ponto comum à circunferência. (t)
9.3 - Ângulos da circunferência
A circunferência pode apresentar os seguintes ângulos principais; ângulo central, ângulo
inscrito; ângulo circunscrito e ângulo segmento.
Ângulo
Circunscrito
Ângulo
Central
o
Tem o vértice no centro da
circunferência e os lados são
raios
EBER NUNES FERREIRA
Ângulo
Segmento
Ângulo
Inscrito
o
Te m o v é r t i c e s o b r e a
circunferência e os lados são
cordas.
o
Te m o v é r t i c e f o r a d a
circunferência e os lados são
tangentes.
o
Um dos lados é uma corda e
o outro é uma tangente.
eber nunes ferreira
38
desenho geométrico
9.4 - Elementos do Círculo
O círculo é uma porção do plano limitada por uma circunferência. O círculo pode ser dividido
em porções.
Semicírculo
Setor
Coroa Circular
É a superfície limitada por uma
semicircunferência.
É a superfície compreendida entre o arco
e os dois raios que formam um ângulo
central.
É a porção do círculo compreendida
entre duas circunferências concentricas.
Segmento Circular
Zona Circular
Trapézio Circular
É a superfície limitada por uma corda e
seu arco correspondente.
É a superfície compreendida entre duas
cordas paralelas.
É a porção da coroa circular
compreendida por dois raios.
FAÇA OS EXERCÍCIOS A SEGUIR.
EP46 - Construir uma coroa circular
sabendo-se que o diâmetro maior mede
3.5cm e o diâmetro menor mede 3/5 do
maior.
EBER NUNES FERREIRA
EP47 - Construir um setor circular de uma
circunferência cujo ângulo central é igual a
40º.
eber nunes ferreira
39
desenho geométrico
EP48 - Construir uma zona circular
sabendo-se que sua maior corda é também
a maior corda da circunferência e cuja
medida é igual a 4,5 cm. A corda menor é
igual a 3/4 da maior.
EP49 - Contruir um segmento circular
conhecendo-se a flecha = 1cm. Raio da
circunferência é igual a 27mm.
A
B
EP50 - Dado o ângulo segmento abaixo pede-se determinar a circunferência e evidenciar o arco
correspodente.
9.5 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA
Atenção: Todos os processos a seguir, necessitam da localização exata do Centro da
Circunferência. Quando a circunferência for apresentada sem o centro, você deverá determiná-lo.
1
2
o
3
EBER NUNES FERREIRA
Lembre-se que a mediatriz de uma corda da Circunferência
passa obrigatoriamente pelo centro da mesma, portanto,
basta determinar duas cordas distintas e suas respectivas
mediatrizes. O centro será o cruzamento das mediatrizes.
eber nunes ferreira
40
desenho geométrico
ER40 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 2, 4, 8, ...
ER41 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 3, 6, 12, ...
2
L6 = r
3
1
L3
r
OU
4
6
5
ER42 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 5, 10, ...
1
1
L5
A
C
M
B
A
1
5x
2
C L 10
B
M
1
2
5
L5
A
C
9
3
B
M
10
L 10
A
C
B
M
8
4
3
4
7
5
6
10x
ER43 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 7, 14, 28, ...
1
L7
C
1
7
2
L7
A
M
B
A
B
3
6
4
EBER NUNES FERREIRA
5
eber nunes ferreira
41
desenho geométrico
ER44 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 9, 18, 36, ...
1
O1
2
9
L9
L9
O3
3
8
7
4
5
O2
6
ER45 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 11, 22, 44, ...
1
11
L 11
M
A
1
2
L 11
C
B
3
10
4
9
5
8
6
7
ER46 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 13, 26, 52, ...
1 L 13
2
13
3
L 13
¼
12
4
11
10
5
9
6
8
7
ER47 - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 15, 30, ...
1
2
3
L 15
15
L 15
14
4
13
5
12
11
6
7
EBER NUNES FERREIRA
8
9
10
eber nunes ferreira
42
desenho geométrico
PROCESSOS GERAIS PARA DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
ER48 - Dividir uma circunferência em um número n qualquer de partes iguais pelo método geral devido a
BION.
- Em uma circunferência de centro conhecido, dividi-se o diâmetro em n partes (quantas se deseja dividir a
circunferência). Por exemplo em 7. Com a abertura igual ao diâmetro e com centro nas extremidades do
próprio diâmetro, traçam-se dois arcos que se cruzam em P.
- O prolongamento do segmento P2 determina o ponto A na própria circunferência.
- 0A é aproximadamente igual a uma das n partes em que se quer dividir a circunferência.
- Com o auxílio do compasso transporta-se o arco 0A dividindo assim a circunferência em n partes.
0
1
L7
A
2
3
P
4
5
6
7
ER49 - Dividir uma circunferência em um número n qualquer de partes iguais pelo método geral devido a
RINALDINI.
Em uma circunferência de centro conhecido, dividi-se o diâmetro em n partes (quantas se deseja dividir a
circunferência). Por exemplo em 7. Com a abertura igual ao diâmetro e com centro nas extremidades do
próprio diâmetro, traçam-se dois arcos que se cruzam em P e P’.
- Os prolongamentos dos segmentos P2, P4 e P6 concorrem com a semi-circunferência, do lado contrário
ao ponto P, em pontos que dividem-na em partes aproximadamente iguais.
- Os prolongamentos dos segmentos P’2, P’4 e P’6 concorrem com a semi-circunferência, do lado contrário
ao ponto P’, em pontos que dividem-na em partes aproximadamente iguais.
Você também pode optar por ligar somente os pontos P e P’ aos números ímpares.
1
1
7
2
2
3
P
P'
4
3
6
5
6
Polígonos - Exercícios
EP51EP52EP53EP54EP55-
4
7
5
Construir um quadrado conhecendo-se seu apótema, OM = 20mm.
Construir um pentágono regular sabendo-se que o raio da circunferência inscrita mede 2,5 cm.
Construir um hexágono regular conhecendo-se seu apótema, OM = 18mm.
Construir um dudecágono inscrito em uma circunferência de raio = 4cm.
Construir um hexágono sabendo-se que o valor do lado mede 1,4cm.
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
43
desenho geométrico
POLIGONAL DE DELAISTRE
Este processo permite a construção de polígonos conhecendo-se o lado.
ER50 - Construir um eneágono, cujo lado AB mede 25mm (portanto, N = 9)
CONSTRUÇÃO:
- Sobre a reta suporte r, transporta-se AB.
- Com abertura do compasso igual a AB, traça-se a mediatriz de AB, determinando o ponto 6. (AB6 é um triângulo equilátero)
- Divide-se AB em seis partes iguais. (utilize preferencialmente, um segmento auxiliar congruente a AB, para não congestionar o
exercício)
- Sobre a mediatriz, à partir do ponto 6, transfere-se 1/6 de AB para baixo determinando-se os pontos 5, 4 e 3.
- Sobre a mediatriz, à partir do ponto 6, transfere-se 1/6 de AB para cima determinando-se os pontos 7, 8, 9, ... e assim
sucessivamente até alcançar o número desejado que corresponda ao valor de N.
- Neste momento você tem construída a escala poligonal de Delaistre.
- Centro em N (neste exemplo N = 9), raio NA, traça-se a circunferência pedida.
- Sobre a circunferência, à partir de A e/ou B, transfere-se AB, obtendo-se os vértices do polígono desejado.
A
B
Para qualquer valor de N, o lado do
polígono deverá ser dividido em 6 partes
F
E
G
12
12
1/6
1/6
1/6
1/6
11
1/6
H
10
1/6
9
D
11
10
9
1/6
1/6
8
8
1/6
1/6
7
7
1/6
1/6
RAIO
6
5
4
6
5
C
I
r
A
EBER NUNES FERREIRA
B
r
A
B
eber nunes ferreira
44
desenho geométrico
9.6 - RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Consiste em determinar um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento
de uma circunferência dada.
ER51 - PROCESSO 1 (Não é muito preciso)
Dada circunferência, inscrever na mesma um triângulo equilátero e um quadrado. O comprimento da circunferência será a somatória
de duas vezes o lado do quadrado mais duas vezes o lado do triângulo. C = 2 .(AB + DE)
A
B
O
D
E
ER52 - PROCESSO 2
1 - Traçamos a circunferência de diâmetro AB e levantamos por B uma perpendicular.
2 - Com centro em B e raio BO traçamos o arco OC.
3 - Traçamos a mediatriz de BC e obtemos o ponto D sobre a perpendicular.
4 - Marcamos DE = 3 vezes o raio
5 - Unimos E a A e tomamos AE como metade do comprimento da circunferência. Portanto, 2. (EA) é igual ao comprimento da mesma.
A
O
C
M
B
E
D
ER53 - PROCESSO 3
1 - Traçamos a circunferência de diâmetro AB e levantamos
2 - Divide-se AB em 7 partes iguais.
3 - O comprimento da circunferência será o segmento cuja medida é 3 vezes o diâmetro mais 1/7 do diâmetro.
AB
O
A
AB
AB/7
AB
B
Comprimento da Circunferência = 3AB + AB/7
9.7 - RETIFICAÇÃO DE ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
Consiste em determinar um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento
do arco de uma circunferência dada.
ER54 - PROCESSO PARA ARCOS MENORES OU IGUAL A 90º
E
E
B
B
A
O
EBER NUNES FERREIRA
C
D
1- Traçamos o diâmetro AC e tomamos CD =
3/4 do raio da circunferência.
2 - Levantamos por A umaperpendicular ao
diâmetro.
3 - Unimos D ao ponto B e obtemos E na
perpendicular traçada. AE é aproximadamente
o comprimento do arco dado.
A
O
C
eber nunes ferreira
D
45
desenho geométrico
10 - TANGÊNCIA
10.1 - Conceito:
Diz-se que uma reta é tangente a uma circunferência quando tem um só ponto comum com esta
circunferência ou seja, quando sua distância ao centro da mesma é igual ao raio. Assim, teremos
sempre a tangente perpendicular ao raio no seu ponto de tangência.
TANGÊNCIA: operação que nos permite traçar tangentes. Eassim podemos traçar:
a - Retas tangentes a circunferências dadas.
b - Circunferências tangentes a retas dadas.
c - Circunferências tangentes entre si.
10.2 - Traçados:
ER55 - Traçar uma tangente a uma circunferência dada, passando por um ponto T nela situado.
t
T
O
T
O
- Traça-se a circunferência de centro O, marcando nela um ponto qualquer T.
- Une-se O a T, prolongando-o por T.
- Traça-se t perpendicular a OT, que será a tangente pedida.
ER56 - De um ponto P situado fora de uma circunferência dada, traçar duas tangentes a ela. Dados: r
= 2 cm , OP = 5,4 cm.
T'
P
M
O
P
O
T
- Una o ponto P ao ponto O e determine o ponto médio M do segmento PO.
- Centro em M e raio MO traça-se um arco auxiliar que cortará a circunferência em T e T’, pontos de tangência.
- Une-se P a T’, e P a T prolongando-os, e temos as tangentes pedidas.
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
46
desenho geométrico
ER57 - Traçar tangentes exteriores e comuns a duas circunferências sabendo-se que seus centros,
(OO’) distam 6,0 cm, e possuem os respectivos raios: r = 2,5 cm, r’ = 1,2 cm.
A
r
1
C
r
M
O
x
O'
r'
r''
2
r - r' = r''
r'
D
B
- Sobre uma reta auxiliar x, derterminam-se os centros O e O’ distantes 6cm.
- Traçam-se as respectivas circunferências de raios r e r’.
- Com centro em O traça-se uma circunferência auxiliar de raio r’’ = r - r’ (obtido graficamente),
- Centro em M, ponto médio de OO’, traça-se um arco que irá cortar a circunferência auxiliar em 1 e 2.
- Une-se O a 1 e O a 2, prolongando-os e determinando A e B (pontos de tangência na circunferência O).
- Por O’ traça-se uma paralela a OA e a OB, determinando C e D (pontos de Tangência na circunferência O’).
- Unindo A a C, e B a D tem-se as tangentes pedidas.
ER58 - Traçar tangentes interiores e comuns a duas circunferências de raios diferentes.
Dados: r = 2,8
r’ = 1,5
OO’ = 6,0 (centímetros).
1
A
C
r
M
O
O'
r'
r''
r
r'
r + r' = r''
D
B
2
- A construção é idêntica à anterior, mudando apenas o raio da circunferência auxiliar
EBER NUNES FERREIRA
r” = r + r’ .
O’C // O2 e O’D // OA.
eber nunes ferreira
47
desenho geométrico
ER59 - Traçar uma circunferência de raio r= 15mm tangente aos lados de um ângulo dado.
x
x'
x
T'
y'
O
r
T
y
y
- Traça-se x’ // x e y’ // y na distância r (raio dado), determinando no cruzamento de x’ com y’ o ponto O.
- Traça-se OT perpendicular y e OT’ perpendicular x
- Centro em O e raio r, traça-se a circunferência pedida.
- T e T’ são os pontos de tangência.
ER60 - Traçar uma circunferência que passe por um ponto P e que seja tangente a uma reta no ponto
M. P situa-se fora da reta.
y
O
P
P
M
M
x
- Pelo ponto M levanta-se y, perpendicular a reta dada.
- Traça-se x, mediatriz de MP, determinando o ponto O na perpendicular.
- Centro em O e raio OM, traça-se a circunferência pedida.
ER61 - Traçar uma circunferência de raio r = 1,5 cm, que seja tangente simultaneamente a uma reta r
e uma outra circunferência dada, de tal forma que o ponto P, seja o ponto de tangência entre as
circunferências.
A
O
O
P
P
O'
r
r
B
- Une-se O a P, prolongando-o.
- Pelo ponto O levanta-se um perpendicular a reta r, determinando o ponto A sobre a circunferência.
- Une-se A a P, prolongando-o até determinar B sobre r.
- Traça-se a mediatriz de PB que irá cruzar com o prolongamento de AP determinando O’.
- Centro em O’ e raio O’P, traça-se a circunferência pedida.
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
48
desenho geométrico
ER62 - Traçar duas circunferências de raio = 1 cm, que sejam tangente interior e exterior
respectivamente a uma circunferência , em um ponto P dado.
r
O'
P
O
O''
P
O
- Prolonga-se a união dos pontos O e P, determinando a reta r.
- Centro em P, abertura igual a 1cm, determina-se os potos O’ e O” sobre r.
- Centro O’, raio = 1 cm, traça-se a circunferência interna pedida.
- Centro O”, mesma abertura, traça-se a circunferência externa pedida.
ER63 - Traçar três circunferências tangentes entre si cujos raios são respectivamente: a = 2,3 cm, b =
1,3 cm c = 1,5 cm.
a
X
Y
b
b
a
- Construa um triângulo XYZ, cujos lados sejam iguais à soma dos
raios dados dois a dois, ou seja: XY = a + b; YZ = b + c e XZ = a + c.
- Os vértices X, Y e Z do triângulo são os centros das circunferências
tangentes entre si.
c
c
a
b
a
c
b
Z
c
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
49
desenho geométrico
11 - CONCORDÂNCIA
11.1 - Conceito.
Concordar duas linhas, de mesma espécie ou de espécies diferentes, é reunilas de tal
forma, que se possa passar de uma para a outra, sem ângulo, inflexão nem solução de
continuidade. Exemplos:
O
O'
O
11.2 - Princípios.
Como veremos nos problemas que se seguirão, a concordância entre arcos de círculo e
retas, e entre arcos e arcos, se baseiam em dois princípios fundamentais:
 a - Para que uma reta e um arco estejam
em concordância é necessário que:
b - Para que dois arcos estejam em
concordância é necessário que:

1º - O centro do arco e o ponto de
concordância entre eles estejam sobre uma
mesma perpendicular.

2º - A reta seja tangente ao arco no ponto
de concordância. Exemplo:
1º - Seus centros e o ponto de
concordância estejam sobre uma mesma linha
reta.
2º - Sejam tangentes entre si no ponto de
concordância. Exemplo:
S
O
O'
C
O
r
D
E
r
R
11.3 - Traçados.
ER64 - Concordar um segmento de reta AB, em B, com um arco de círcunferência de raio r = 20 mm.
s
O
A
A
B
B
- Levanta-se uma reta s perpendicular pelo ponto B.
- Sobre s, a partir de B, transporta-se o raio dado, determinando o centro O.
-Centro em O e raio OB = r, traça-se o arco pedido.
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
50
desenho geométrico
ER65 - Concorde um arco de circunferência com a semi-reta Ax no ponto A, de tal forma que ele contenha um
ponto B qualquer, não pertencente a semi-reta.
O
B
B
x
x
A
A
- Por A levanta-se uma reta r perpendicular a Ax.
- Traça-se a mediatriz de AB, determinando O em r.
- Centro em O e raio OA, traça-se o arco pedido.
ER66 - Concordar um arco de circunferência de raio = 15 mm com duas retas perpendiculares entre si.
y
y
O
F
F
x
x
G
G
- Com raio r, e centro no ponto de concorrência das perpendiculares, traça-se um arco auxiliar que determinará 1 em x e 2 em y.
- Centro em 1 e 2, mesmo raio, determina-se O.
- Centro em O, mesmo raio, traça-se o arco 12, fazendo a concordância pedida.
ER67 - Concordar um arco de circunferência de raio dado r = 1,5 cm, com duas retas que se cruzam a
120º.
r
x'
O
y'
x
r
- Traçam-se as retas x e y, formando um ângulo de 120°.
- Traçam-se x’ // x e y’ // y na distância r (raio dado), as quais
se cruzam em O.
- Por O traçam-se perpendiculares às retas dadas,
determinando C e C’, que serão os pontos de
concordância.
- Centro em O, raio OC, descreve-se o arco CC’, fazendo a
concordância pedida
C
C'
EBER NUNES FERREIRA
y
eber nunes ferreira
51
desenho geométrico
ER68 - Concordar duas semi-retas //, de origens diferentes e sentidos contrários, por meio de dois
arcos iguais. Sabendo-se que os pontos de concordância entre as semi-retas e os arcos não se
encontram no mesmo alinhamento.
A
x
A
x
O'
r
M
s
O
y
B
y
B
- Por A e B tiram-se perpendiculares, r e s.
- Une-se A a B e determina-se M, ponto médio de AB
- Determina-se mediatriz de AM que cortará r em O’.
- Determina-se mediatriz de MB que cortará sr em O.
- Cento em O e O’, raio OA descreve-se os arcos das curvas pedidas
OBSERVAÇÃO:
- A união dos centros O e O’ passa obrigatoriamente pelo
ponto de concordância dos arcos, ponto M.
ER69 - Concordar dois segmentos paralelos de medidas diferentes por meio de duas curvas
concordantes e de mesmo sentido. (Também conhecido como arco aviajado).
B
B
1
O
O'
A
A
- Pelos pontos A e B, traçam-se perpendiculares aos segmentos.
- Traçam-se as bissetrizes dos ângulos retos A e B, que se cruzarão no ponto 1.
- Por 1, traça-se uma reta paralela aos segmentos , determinando O e O’ sobre as perpendiculares.
- Centro em O, raio OB = O1, traça-se o arco B1.
- Centro em O’, raio O’A = O’1, e traça-se o arco A1.
ER70 - Concordar duas retas convergentes/divergente por meio de dois arcos de circunferência
concordantes entre si e de mesmo sentido. Dados: Pontos de concordância: Ponto A sobre a reta x
Ponto C sobre a reta y.
R
x
x
A
A
x
A
O'
O
C
s
r
1
B
y
B
y
y
B
S
- Pelas extremidades A e B de x e y, levantam-se as perpendiculares r e s .
- Centro em A, raio qualquer, determina-se o ponto O sobre r.
- Centro em B, mesma abertura, determina-se o ponto 1 em s.
- Traça-se a mediatriz de O1, que cortará a reta s em O’.
- Une-se O’ a O prolongando-se.
- Centro em O’, raio O’B, descreve-se um arco que encontrará o
prolongamento de OO’ no ponto C (ponto de concordância entre os arcos).
- Centro em O, raio OC = OA, completa-se a concordância com o arco CA.
EBER NUNES FERREIRA
OBSERVAÇÕES:
- Este mesmo processo é válido para as
extremidades divergentes (pontos R e S)
- Se no exercício anterior, a distância entre as
retas paralela for menor que a distância entre as
perpendiculares levantadas pelas extremidades
este processo também solucionará o exercício.
- Em todos estes casos, o primeiro centro
pertencerá a perpendicular levantada pela
extremidade mais avançada.
eber nunes ferreira
52
desenho geométrico
Traçar um arco de circunferência de raio r” dado, concordante com duas circunferências de raios r e r’,
conhecidos. Dados r” =5,3 cm, r = 2,0 cm, r’ = 1,0 cm e OO’ = 6,2 cm.
ER71 - Concordância externa
- Traçam-se as circunferências dadas com centros O e O’, distantes 6,2 cm.
- Centro em O, raio r”- r, descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em O’ e raio r”- r’, descreve-se outro arco que cortará o primeiro em O”.
- Une-se O” a O e O” a O’, prolongando-os até cortarem as circunferências em A e B.
- Centro em O”, e raio O”A = O”B, traça-se o arco AB, que é a concordância pedida.
A
r
B
r'
O'
O
r' - r''
r'' - r
r
O''
r'
O'
O
B
A
r'' + r
r' + r''
ER72 - Concordância interna.
- O processo de construção é idêntico ao caso anterior.
- Modificando-se apenas o seguinte: O ponto O” é determinado pelo cruzamento dos arcos
de centros O e O’ e raios r” + r e r” + r’.
A
O''
r
r'
O'
O
B
r' + r''
r'' - r
ER73 - Concordância interna e externa.
- O processo de construção é idêntico ao 1º caso, modificando-se
apenas o seguinte: O ponto O” é determinado pelo cruzamento dos
arcos de centros O e O’ e raios
r” - r e r” + r’.
O''
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
53
EBER NUNES FERREIRA
r
O
r'
O'
O
O
3
O
9
1
CONSIDERE OS PONTOS DADOS NA EXTREMIDADE DE CADA SEGMENTO
7
O
O
O
6
4
- Concorde os pontos 1 e 3 através de DOIS ARCOS IGUAIS E DE SENTIDOS CONTRÁRIOS
- Concorde os pontos 4 e 6 através de DOIS ARCOS DE MESMO SENTIDO sabendo-que o arco que nasce no ponto 6 tem 25 mm de raio.
- Concorde os pontos 7 e 9 através de DOIS ARCOS DE MESMO SENTIDO.
- Concorde UM ARCO com as circunferências dadas, determinando os pontos 10 e 11.
ATENÇÃO: OS PONTOS 2, 5 e 8 SÃO PONTOS DE CONCORDÂNCIA E DEVEM SER IDENTIFICADOS, BEM COMO OS CENTROS DOS ARCOS
ER74 - Exercício / Autódromo
desenho geométrico
eber nunes ferreira
54
EBER NUNES FERREIRA
11
r
r'
10
O
O'
r'' - r
r' - r''
O
O''
RESPOSTA DO EXERCÍCIO ANTERIOR
O
O
3
O
2
9
1
O'
8
O
O'
7
O
O
O
O
P
6
4
O
5
desenho geométrico
eber nunes ferreira
55
º 30
30
º 30º
D
C
C
D
C
º
30
30º 30º
B
B
B
9
5
11
7
B
8
4
6
C
3
12
10
D
A
1
2
Usar Curva Francesa
A
A
A
D
ER77 - Construir uma Elipse,
dados os eixos AB = 20 e CD = 14cm.
30º 30º
º
30
ER77 - Construir um Óvulo,
dado o eixo menor CD = 15cm.
º 30º
ER76 - Construir uma Oval,
dado o eixo menor CD = 16cm.
º 30
EBER NUNES FERREIRA
30
ER75 - Construir uma Oval,
dado o eixo maior AB = 20cm.
desenho geométrico
eber nunes ferreira
56
desenho geométrico
EP57 -
EP58 -
02
01
02
01
0102 = 7,5mm
EP59 -
EP60 03
03
02
01
02
01
010203 = Triângulo Equilátero de 10mm
EP61 -
EP62 04
03
03
04
01
02
02
01
01020304 = Quadrado de 10mm
D
D
C
4
11 10 9
8
7
6
5
4
3
2
1
G
6
x
G
0
11
10
EBER NUNES FERREIRA
H
3
4
5
6
7
8
9 10
11
11
L
x
12
10
9
I
I
J
A
2
8
9
K
1
7
H
8
EP63 -
2
1
6
0
7
L
3
5
5
2
1
A
B
4
3
12
F
F
B
C
E
E
Diâmetro = 15 cm
K
J
EP64 eber nunes ferreira
57
desenho geométrico
EP65 -
x
B
O'
O A
C
x
EP66 -
x
EBER NUNES FERREIRA
eber nunes ferreira
58