Matemática A – Intensivo – V. 1

GABARITO
Matemática A – Intensivo – V. 1
Exercícios
01)V – F – F – F – F – V – V – V
05)C
a)Verdadeiro. Zero é elemento do conjunto {0, 1, 2, 3, 4}.
b)Falso. Nesse caso temos {a} como subconjunto de {a, b},
logo a relação correta seria a} ⊂ {a, b}.
c)Falso. Temos dois possíveis casos.
1º: Se ∅ for visto como elemento, veremos que ∅ ∉ {0}.
1º: Se ∅ for visto como conjunto vazio, a relação correta
será ∅ ⊂ {0}.
d)Falso. Zero não é elemento do conjunto vazio.
e)Falso. {a} não é subconjunto do conjunto vazio. A relação
correta seria {a} ⊃ ∅.
f) Verdadeiro. A letra a é elemento do conjunto {a, {a}}.
g)Verdadeiro. {a} é subconjunto do conjunto {a, {a}}.
h)Verdadeiro. ∅, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer
conjunto.
i) Verdadeiro. Nesse caso temos ∅ como elemento, podendo verificar assim que ∅ pertence ao conjunto {∅, {a}}.
j) Falso. {a, b} é um conjunto, e não elemento.
Sabemos que:
A ∪ B são todos os elementos que estão em A ou
em B.
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
A – B são os elementos que estão em A e não
estão em B.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ?, ?}.
B – A são os elementos que estão em B e não
estão em A.
B = {4, 8, ?, ?}.
Note que da união o único elemento que não
aparece nas diferenças é o 5, então podemos
afirmar que ele está em A e em B.
A ∩ B = {5}.
06)E
02)D
Com as informações do enunciado temos a seguinte tabela:
Mulheres
Note que para relacionar elemento com conjunto usamos ∈
ou ∉, então:
• {b}, b, {a, b} ∈ M
• a ∉ M
E para relacionar conjunto com conjunto usamos ⊂, ⊄, ⊃,
ou ⊃, então {a} ⊄ M.
Com óculos
Homens
2
Total
5
4
Sem óculos
Total
5
03)D
Analisando as afirmações.
I. Verdadeiro. 3 é elemento de A.
II. Verdadeiro. Com os elementos de a é possível formar os
seguintes subconjuntos: {3}, {{3}}, ∅ e A. Logo {3} ⊂ A.
III.Verdadeiro. {3} é elemento de A.
04)
a)A ∪ B = {2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6}
b)A∩ B = {2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5, 6} = {3, 4}
c)A − B = {2, 3, 4} – {3, 4, 5, 6} = {2}
d)B − A = {3, 4, 5, 6} – {2, 3, 4} = {5, 6}
e)CSA = {1, 5, 6, 7}
f) Note que A e B são subconjuntos de S, então:
A
B
2
3
4
1
5
6
Completando a tabela, temos então:
Mulheres
Homens
Total
Com óculos
2
3
5
Sem óculos
3
4
7
Total
5
7
12
Então o total é 12.
07)99
n(A ∪ B) = 134
n(B) = x
n(A) = x 15
n(A ∩ B) 49
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
134 = x + 15 + x – 49
134 = 2x – 34
134 + 34 = 2x → 168 = 2x
x = 168 → x = 84
2
n(A) = x + 15 = 84 + 15 = 99
Matemática A
1
GABARITO
08)A
10)C
A
B
Sejam homens igual a x e mulheres igual a y. Então
com os dados fornecidos podemos montar a seguinte
tabela.
Sim
C
Não
Analisando a figura podemos tirar as seguintes relações:
Total
1ª relação:
n(A ∩ B) = n(A ∩ B – C) + n(A ∩ B ∩ C)
30 = n(A ∩ B – C) + 15
15 = n(A ∩ B – C)
 x 3 y
= 280 (−10)
 +
5
 2
⇒
 x 2y
= 220 (10)
 +
5
 2
Então, temos que:
n(A ∩ (B ∪ C)) = n(A ∩ B – C) + n(A ∩ C – B) +
+ n(A ∩ B ∩ C)
n(A ∩ (B ∪ C)) = 15 + 5 + 15 = 35
Primeiramente vamos construir o diagrama de
Venn-Euler.
• O conjunto A é de quem assina telefone.
• O conjunto B é de quem assina TV.
• O conjunto C é de quem assina internet.
• Não assinam nenhum serviço, 20.
23
0
101
25
62
31
C
Então:
01. Falso. 20 pessoas não assinam nenhum serviço.
02.Falso. 23 pessoas assinam só o serviço de telefonia.
04.Verdadeiro. Note que o valor que tem somente em
B é zero, logo todos os assinantes de TV assinam
também outro produto.
08.Falso. 23 pessoas assinam só telefone, 31 assinam
só internet e nenhuma assina TV, então 54 pessoas
assinam só um serviço.
16.Verdadeiro. Só verificar o diagrama.
32.Verdadeiro. 20 pessoas não assinam nenhum
serviço.
2
y
250
220
500
−5x − 6 y = 2800

 5x + 4 y = 2200

− 2y = −600
y = 300
Logo, o total de homens é de 200 e o de mulheres é
300. Então temos 100 mulheres a mais que os homens.
A – B = {a, b, c, d, e} – {c, d, e, f, g, h, i, j, k} = {a, b}
B ∩ C = {c, d, e, f, g, h, i, j, k} – {e, i, j, k, l} = {e, i, j, k}
(A – B) ∪ (B ∩ C) = {a, b} ∪ {e, i, j, k} = {a, b, e, i, j, k}
Note que no conjunto (A – B) ∪ (B ∩ C) temos 6 elementos.
Então a quantidade de subconjuntos é 2n, tal que n =
6. Logo: 2n = 26 = 64.
12)D
B
38
Total
11)64
09)52
A
x
Mulheres
3y
5
2y
5
60% =
Então podemos montar o seguinte sistema:
2ª relação:
n(A ∩ C) = n(A ∩ C – B) + n(A ∩ B ∩ C)
20 = n(A ∩ C – B) + 15
15 = n(A ∩ C – B)
Homens
50% = x
2
x
2
Matemática A
Temos que:
n(A ∪ B) = 8
n(A ∪ C) = 9
n(B ∪ C) = 10
n(A ∪ B ∪ C) = 11
n(A ∩ B ∩ C) = 2
n(a) + n(B) + n(c) = ?
Então podemos montar as seguintes relações:
1a relação:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
8 = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – 8
2a relação:
n(A ∪ C) = n(A) + n(C) – n(A ∩ C)
9 = n(A) + n(C) – n(A ∩ C)
n(A ∩ B) = n(A) + n(C) – 9
GABARITO
3a relação:
n(B ∪ C) = n(B) + n(C) – n(B ∩ C)
10 = n(B) + n(C) – n(B ∩ C)
n(B ∩ C) = n(B) + n(C) – 10
I. Falso. 660 pessoas leem pelo menos um dos
meios citados.
II. Verdadeiro. Conforme o diagrama podemos
afirmar que 40 = R ∩ L ∩ J.
III.Falso. Revistas e livros = total de pessoas;
somente jornais ⇒ R e L = 660 – 150 = 510.
Sabemos também que:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) –
– n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Substituindo os valores que encontramos nas relações e os
valores do enunciado, temos:
11 = n(A) + n(B) + n(C) – (n(A) + n(B) – 8) – (n(B) + n(C) –
– 10) – (n(A) + n(C) – 9) + 2
11 = n(A ) + n(B) + n(C) − n(A ) − n(B) + 8 − n(B) – n(C) +
+ 10 − n(A) − n(C) + 9 + 2
11 = 8 – n(B) + 10 – n(A) – n(C) + 9 + 2
11 = 29 – n(B) – n(A) – n(C)
n(A) + n(B) + n(C) = 29 – 11
n(A) + n(B) + n(C) = 18
Então somente a afirmativa II é verdadeira.
15)D
x
18%
y
0%
33%
Tv
Sejam A o conjunto das crianças que receberam vacina
contra sarampo e B o conjunto de crianças que receberam
as duas.
Para montar o diagrama Venn-Euler temos as
seguintes informações:
• 18% utilizam somente telefonia.
• 33% utilizam somente TV.
• A internet só pode estar com a telefonia, ou seja,
não é possível utilizar somente a internet ou a
internet e a TV.
• o pacote combo, tel ∩ tv ∩ net = 52% de 41% =
52 41
2132
.
=
= 21, 32% .
= 52% de 41% =
100 100 10 000
O percentual de assinantes de somente 2 serviços
é:
x + y = 100% –(33% + 18% + 21,32%)
x + y = 100% – 72,32%
x + y = 27,68%
Então:
32 – x + x + 60 – x + 12 = 98
104x = 98
104 – 98 = x → x = 6
A
B
32 –x
60 –x
x
Então temos que:
• 26 crianças receberam somente a vacina contra sarampo.
• 54 crianças receberam somente a vacina Sabin.
• 12 crianças não foram vacinadas.
0%
21,32%
13)C
Net
Tel
16)03
Logo: 26 + 54 + 12 = 92 não receberam exatamente 2 vacinas.
I. Falso. π é irracional.
II. Falso. x ∈ Q/x2 = 2 ⇒ x = ± 2, porém 2 é
irracional.
III.Verdadeiro. a > 0 → multiplicar a inequação
por –1 → –a < 0.
IV.Falso. 2 é primo e é par.
14)D
Primeireiramente vamos construir o diagrama de Venn-Euler.
L
R
100
40
40
10
17)C
300
20
3 64
81. 3
243
=
.x⇒x=
⇒x=
4 81
4 . 64
256
150
J
Matemática A
3
GABARITO
22)C
18)19
01. Verdadeiro. Sabemos que raiz de índice par não
pode ser negativa, ou seja, 0 < x < 1.
1
Suponha x = , então: 1 = 1 = 2 0, 7 > 0, 5.
2
2
2
2
02.Verdadeiro.
 7 − 1 1 + 1 =  7 − 2 1+ 2  = 5 . 3 = 15 .




2  4 2   2  4  2 4
8
a)Falso. Note que a definição de módulo é: |x| = x 2 .
b)Falso. Sabemos que módulo de um número real é a
distância do número até o zero. Note que quando o
número é positivo a distância é positiva, por exemplo:
|3| = 3. E quando o número é negativo a distância é
negativa, por exemplo: |–3| = –(–3) = 3. Logo, |x| não
será negativo.
c)Verdadeiro. Pela desigualdade, tr iangular
|a + b| ≤ |a + b|, porém para números de sinais iguais
|a + b| = |a| + |b|.
Por exemplo: |3| + 5| = 8 e |3| + |5| = 8.
d)Falso. Pela desigualdade, números de sinais diferentes |a + b| < |a| + |b|. Por exemplo:
|3 + (–2)| = |3 – 2 | = |1| = 1 e |3| + |–2| = 3 + 2 = 5.
e)Falso. Pela definição de módulo:
 x, se x ≥ 0
x = 
.
−x, se x < 0
04.Falso. 5 − 3 = 5 − 12 = −7 = 7 = 1, 75 < 2 .
4
4
4
4
08.Falso. 27 = 1, 8 < 1, 8080 ...
15
16.Verdadeiro. 2 − 2 ≅ 0, 765 > 0, 707 ≅
2
1
=
2
2
19)20
01. Falso. 3 – 2 ≠ 2 – 3.
1
02.Falso. = 0,333, que é uma dízima.
3
04.Verdadeiro. Por definição
 x, se x ≥ 0
x = 
−x, se x < 0
ou seja, o valor absoluto de x quando x é negativo
é o oposto dele.
08.Falso. 437 19
−38
57
−57
0
23)11
A
2
–2
Suponha x = 2, racional e y =
Traçando retas paralelas ao eixo y é possível afirmar
que os únicos gráficos que serão interceptados num
único ponto são os gráficos 2, 4 e 5.
25)E
21)B
Suponha x = 0,2 e y = 0,8, então xy = 0,2 . 0,8 = 0,16.
Note que 0 < 0,16 < 0,2, então é possível afirmar que
0 < xy < x.
4
3
24)C
2 irracional, então:
a)Falso. 2 . 2 = 2 2, que é irracional.
b)Falso. 2 . 2 = 2, que é racional.
c)Falso. 2 + 2 é irracional.
d)Falso. 2 – 2 + 2 = 2, que é racional.
e)Verdadeiro. 2 + 2 . 2 = 2 + 2 2, que é irracional.
1
01. Verdadeiro. A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B} = { }
02.Verdadeiro.
(A ∪ B) ∩ C = ([2, +∞) ∪ [–∞, –1]) ∪ [1, +∞)) ∪ [–2, 3)
(A ∪ B) ∩ C = ([−∞, –1) ∪ [1, +∞)) ∩ [–2, 3) =
= [–2, –1) ∪ [1, 3)
04.Falso. A ∪ B ∪ C = {x | x ∈ A ou x ∈ B ou x ∈ C} = R
08.Verdadeiro. CRB = {x | x ∈ R e x ∉ B} = [−1, 1)
16.Falso. A ∩ B ∩ C = {x | x ∈A e x ∈ B e x ∈ C} = [2, 3)
20)E
–1
C
23
16.Verdadeiro. Fatorando 75, temos que 75 = 5 3 ,
então: 75 − 5 3 = 5 3 − 5 3 = 0 , que é um número racional.
B
Matemática A
a)Verdadeiro. Do gráfico temos que: f(1) = 1, f(2) = 2
e f(3) = 3. Então: f(1) + f(2) = 1 + 2 = 3 = f(3).
b)Verdadeiro. Do gráfico podemos afirmar que:
f(2) = 2 = f(7).
c)Verdadeiro. Do gráfico temos que: f(1) = 1. Então
3f(1) = 3 . 1 = 3 = f(3).
d)Verdadeiro. Do gráfico temos que: f(4) = 4, f(3) = 3
e f(1) = 1. Então: f(4) – f(3) = 4 – 3 = 1 = f(1).
e)Falso. Do gráfico temos que: f(2) = 2, f(3) = 3 e f(5) = 4.
Então: f(2) + f(3) = 2 + 3 = 5 ≠ f(5) = 4.
GABARITO
28)29
26)13
01. Verdadeiro. Note que, apesar de a função estar
dividida em partes, ela não tem nenhuma restrição,
ou seja, o domínio é o conjunto dos números reais.
02.Falso. Quando x = 0 temos: f(x) = 2x → f(0) = 20 = 1.
Então o gráfico intercepta o eixo y.
04.Verdadeiro. f(f)f(–1))), resolvendo a função de
dentro para fora temos:
1
 1
1
f(–1) = 2–1 = ⇒ f(f(–1) = f   = 2 2 = 2 ⇒


2
2
  1
f(f(f(–1))) = f f   = f( 2) = x2 + 1 = ( 2)2 + 1 =
  2 
2 + 1 = 3
08.Verdadeiro. Sabemos que, para o eixo x ser interceptado, y = 0. Então, analisando cada parte da
função temos → 0 = 2x → não existe.
→ 0 = x2 + 1 ⇒ x2 = –1 ⇒ x = ± −1, não é definido no conjunto dos reais.
1
→ 0 = 3x + 1 ⇒ 3x = – 1 ⇒ x = – , porém esse
3
valor não é definido nessa função, já que f(x) =
1
3x + 1 se x > 3 e – < 3.
3
16.Falso. Da alternativa 08 notamos que y = 0 não
pertence ao conjunto imagem, e isso é o suficiente
para afirmar que Im(f) ≠ R.
29)40
25
52
= 102 –
= 99,5 kg
10
10
02
= 102 kg
02.Falso. m(0) = 102 –
10
04.Falso. Nos 10 primeiros meses:
100
102
= 102 – 10 = 92
= 102 –
m(10) = 102 –
10
10
Então nos 10 primeiros meses ele perdeu 30 kg.
Nos últimos 10 meses:
m(20) = − 3(20) + 122 = − 60 + 122 = 62
Então nos 10 últimos meses ele perdeu 30 kg.
08.Verdadeiro. Da alternativa anterior temos que nos
10 primeiros meses ele perdeu 10 kg e nos últimos
10 meses ele perdeu 30 kg, então ao total ele perdeu
40 kg.
16.Falso. Das alternativas anteriores podemos afirmar
que quanto maior o t, menor o m(t). Logo, a função
é descendente.
32.Verdadeiro. m(15) = –3 . (15) + 122 = –45 + 122 =
77 kg
01. Falso. m(5) = 102 –
27)10
f(x) = x2 – x + 2
2
f  1 =  1 + 2
   
2
2
 1 1 1

f   = – + 2
 2 4 2
 1
f   = 7
 2  4
g(x) = –6x + 3
5
3
g(–1) = –6(–1) +
5
3
g(–1) = 6 +
5
33
g(–1) =
5
f(x + 1) = 2f(x) – 15 ⇒ substituindo x = 0.
f(0 + 1) = 2f(0) – 15.
f(1) = 2f(0) – 15 ⇒ substituindo f(1) = 43.
43 = 2f(0) – 15 ⇒ somando 15 nos dois lados da
equação: 43 + 15= 2f(0) – 15 + 15.
58 = 2f(0) ⇒ dividindo por 2.
58
= f(0)
2
f(0) = 29
30)E
Sabemos que o conjunto imagem está relacionado ao
eixo y. Então, do gráfico podemos afirmar que o conjunto
imagem é igual a [–2, 3].
31)18
D1 = {x ∈ R | x > 2} = [2, +∞)
x–2>0⇒x>2
D2 = {x ∈ R | –1 < x  4} = (–1, 4]
x + 1 = 0 ⇒ x = –1 4 – x = 0 ⇒ x = 4
Então:
 1 5
7 5 33 7 33 40
= +
f   + . g(−1) = + .
=
= 10
 2 4
4 4 5
4
4
4
Matemática A
5
GABARITO
Analisando o somatório, temos:
y
6
01. Falso. [–1, 2] ⊄ D2, pois –1 não é elemento de D2.
02.Verdadeiro. 4 é elemento de D1.
04.Falso. [0,2[ ⊄ D1.
08.Falso. –2 não é elemento de D2.
16.Verdadeiro.
32.Falso.
–3
0
x
32)06
01. Falso. Pela definição de módulo
x 2 = |x|.
Base = 3
b .h 3 . 6 18
⇒A=
=
=
=9
Altura = 6
2
2
2
2
02.Verdadeiro. Pela definição de módulo x = |x|.
1
→ multiplicando numerador
04.Verdadeiro. g(x)
x
e denominador por x .
1. x
x
x
=
= x
=
2
x. x ( x )
x
x2
x
= f(x).
x
Caso x > 0, então
Caso x < 0, então
Então g(x) = f(x) é verdadeiro.
x
não existe, pois não existe
x
real de índice par para x < 0.
2
08.Falso. f(x) = ( x )2 = x = |x| ≠ g(x).
16.Falso. Note que Df = ]1, +∞) e Dg = ]–∞, 0] ∪ ]1, +∞[
33)16
01. Falso. Quando x = 0, então f(x) = 2x + 6
f(0) = 2 . 0 + 6
f(0) = 6
Logo, f intercepta o eixo das coordenadas no ponto
(0, 6).
02.Falso. Note que a > 0, então a função é crescente.
04.Falso. Sabemos que a raiz de uma função é o valor
de x quando y = 0. Então:
2
2x + 6 = 0 ⇒ 2x = –6 ⇒ x = – ⇒ x = –3
6
08.Falso. Vamos calcular separadamente f(–1) e f(4):
f(–1) = 2(–1) + 6 = –2 + 6 = 4
f(4) = 2 . 4 + 6 = 8 + 6 = 14
Então f(–1) + f(4) = 4 + 14 = 18
16.Verdadeiro. Como função não tem nenhuma restrição e o seu domínio está definido nas reais, então
podemos afirmar que o conjunto imagem é formado
pelo conjunto dos reais.
34)B
f(x) = ax + b ⇒ y = ax + b
Quando x = 4; y = 0, então: 4a + b = 0 (1).
Quando x = 1; y = − 3, então: a + b = − 3 (2).
Fazendo (1) − (2) temos: 3a = 3 ⇒ a = 1.
Substituindo a em (2) temos: 1 + b = − 3 ⇒ b = − 3 − 1
⇒ b = − 4.
35)D
f(x) = ax + b ⇒ y = ax + b
Quando x = 0; y = − 3, então: − 3 = b (1).
Quando x = 2; y = 0, então: 2a + b = 0 (2.
3
Substituindo (1) em (2) temos: 2a − 3 = 0 ⇒ a = .
2
Logo, a + b =
3
3
3
3−6
+ (− 3) = − 3 =
=− .
2
2
2
2
36)13
Primeiro vamos calcular os valores de a e b.
f(x) = ax + b ⇒ y = ax + b
Quando x = − 1; y = 4, então: − a + b = 4 (1).
Quando x = 2; y = 7, então: 2a + b = 7 (2).
Fazendo (1) − (2) temos: − 3a = − 3 ⇒ a = 1.
Substituindo a em (1) temos: − 1 + b = 4 ⇒ b = 4 + 1
⇒ b = 5.
6
Logo, f(x) = x − 4.
Matemática A
Logo, f(x) = x + 5, então f(8) = 8 + 5 = 13.
GABARITO
37)99
O triângulo formado é:
y
Primeiro vamos calcular os valores de m e n.
Quando x = 5; y = 0, então: 5m + n = 0 (1).
Quando x = − 2; y = − 63, então: − 2m + n = − 63 (2).
Fazendo (1) − (2) temos: 7m = 63 ⇒ m =
63
⇒ m = 9.
7
1/4
h
Substituindo m em (2) temos: 5 . 9 + n = 0 ⇒ 45 + n = 0 ⇒
n = − 45.
b
Logo f(x) = 9x − 4, então f(16) = 9 . 16 − 45 = 99.
38)C
Do gráfico podemos afirmar que está descrita é
f(x) = ax + b. Também temos que:
 Quando x = − 2; y = 0, então: − 2a + b = 0 (1).
 Quando x = 0; y = 3, então: b = 3 (2).
Substituindo b em (1) temos: − 2a + 3 = 0 ⇒ a =
3
= 1,5.
2
Logo, f(x) = 1,5x + 3.
Note que b > 0, ou seja, quando x = 0; y(+).
Também sabemos que a < 0 então f(x) = − ax + b, logo
b
quando y = 0 temos: − ax + b = 0, ⇒ b = ax ⇒ = x.
a
Então podemos afirmar que y = 0; x(+).
Com isso, os pontos que fazem parte do gráfico são (0,
y(+)) e (x(+), 0).
40)E
Primeiro precisamos calcular os pontos em que a reta
intercepta os eixos do sistema.
 Quando y = 0, então: 2x + 12 . 0 − 3 = 0
2x + 0 − 3 = 0
2x = 3
3
x =
2
 Quando x = 0, então: 2 . 0 + 12y − 3 = 0
0 + 12y − 3 = 0
12y = 3
3
y =
3
1
=
12
4
39)A
x
0
3/2
b.h
2
3 1
.
A= 2 4
2
3 1
A= .
8 2
3
A=
16
A=
41)C
Primeiro vamos encontrar a função que gerou o gráfico.
Quando x = 5; y = 105, então: 5a + b = 105 (1).
Quando x = 10; y = 190, então: 10a + b = 190 (2).
Fazendo (1) − (2) temos: − 5a = − 85 ⇒ a = 17.
Substituindo a em (1) temos: 5 . 17 + b = 105 ⇒
b = 105 − 85 ⇒ b = 20.
Então f(x) = 17x + 20.
Logo, analisando as alternativas temos:
a)Falso. Quando a empresa não produz x = 0, então: f(0) = 17 . 0 + 20 = 20. Logo, a empresa gasta
R$20,00.
b)Falso. Quando x = 3 então:
f(3) = 17 . 3 + 20 = 51 + 20 = 71.
Logo, a empresa gasta R$71,00.
c)Verdadeiro. Quando x = 2 então:
f(2) = 17 . 2 + 20 = 34 + 20 = 54.
Logo, a empresa gasta R$54,00.
d)Falso. Quando y = 170 então:
150
=x⇒
170 = 17x + 20 ⇒ 170 − 20 = 17x ⇒
17
x ≈ 8,82.
Logo, a empresa produz aproximadamente 8,82 litros.
e)Falso. Quando x = 3 então:
f(3) = 17 . 3 + 20 = 71.
Logo, a empresa gasta R$71,00.
Matemática A
7
GABARITO
Quando x = 5 então:
f(5) = 17 . 5 + 20 = 85 + 20 = 105.
Logo, a empresa gasta R$105,00.
Note que f(x) é crescente, então x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2),
como podemos comprovar com os cálculos feitos
anteriormente nesta alternativa.
44)29
01. Verdadeiro. Note que f(x) é uma função quadrática
com a = − 1, b = c = 0. Sabemos que:
−∆
−b
e
yv =
⇒ substituindo os
xv =
4a
2a
valores temos:
02 − 4 . (−1) . 0
0
=0
xv = −
= 0 e yv =
4(−1)
2(−1)
02.Falso. Sabemos que uma parábola não tem um
único comportamento (crescente ou decrescente).
04.Verdadeiro. Como vimos na alternativa 01 Δ = 0,
logo teremos duas raízes reais e iguais.
08.Verdadeiro. Sabemos que f(x) é uma parábola com
a concavidade virada para baixo, e que tem vértice
na origem do plano cartesiano, então podemos
afirmar que (− ∞, 0] é crescente e de [0, + ∞) é
decrescente.
16.Verdadeira. Sabemos que a imagem está relacionada ao eixo y. Então, do gráfico abaixo temos:
42)D
Primeiro vamos encontrar as funções que geram os
gráficos de g e f.
• g(x) = ax + b ⇒ g(x) = 60x
Para x = 0; y = 0, então b = 0.
a
1
Para x = 0,5 = ; y = 30, então = 30 ⇒ a = 60.
2
2
• f(x) = cx + d ⇒ f(x) = 90x − 45
c
1
(1)
Para x = 0,5 = ; y = 0, então + d = 0.
2
2
5c
5
Para x = 2,5 = ; y = 180, então
+ d = 180. (2)
2
2
4c
Fazendo (2) − (1) temos
= 180 ⇒ 2c = 180 ⇒
2
180
= 90.
c=
2
90
Substituindo c em (1) temos:
+ d = 0 ⇒ d = − 45.
2
Para encontrar o ponto de encontro basta igualar as
duas funções, então:
f(x) = g(x)
90x − 45 = 60x
90x − 60x = 45
30x = 45
x=
45
30
x=
3
= 1,5
2
15
Logo, podemos afirmar que Im = {y ∈ R| y ≤ 0}.
32.Falso. O eixo de simetria da função quadrática está
relacionado ao eixo y.
Então os veículos se encontram depois de 1,5 h e
percorreram 90 km.
* Como a < 0 então a concavidade da parábola é voltada
para baixo;
* Como b > 0 então o vértice está à direita do eixo y;
* Como c = 0 então a parábola corta a origem.
8
Do gráfico podemos afirmar que:
*Como a concavidade da parábola está virada para
cima podemos afirmar que a > 0.
* Como a parábola corta o eixo y em y < 0 podemos
afirmar que c < 0.
+b
−(−b)
* Do vértice temos que b < 0, pois xv =
=
2 . (+a) +2a
b
= , ou seja, o xv > 0.
2a
46)27
43)A
x
45)E
Substituindo x em g(x) temos:
3
3
g  =6 60 . = 30 . 3 = 90
 2 
2
y
Matemática A
Primeiro vamos calcular os zeros da função f(x) = − x² + 6x.
Então:
− x² + 6x = 0
x(− x + 6) = 0
x' = 0
− x + 6 = 0 ⇒ x'' = 6
GABARITO
Agora vamos encontrar o ponto do vértice:
−6
−b
−6
=
=
=3
xv =
2a 2(−1) −2
Substituindo o valor de xv na função, temos:
f(xv) = − (3)² + 6 . 3 = − 9 + 18 = 9 = yv
Calculando as raízes temos:
Então, com isso podemos construir o gráfico da função:
x=
−b ± b2 − 4ac
2a
x=
−30 ± 302 − 4(−1)(−200)
2(−1)
−30 ± 900 − 800
−2
−30 ± 100
x=
−2
−30 ± 10
x=
−2
−30 + 10
x' =
= 10
−2
−30 − 10
x'' =
= 20
−2
x=
9
h
Com isso podemos afirmar que, para o lucro ser no
mínimo 195, então 10 < x < 20.
48)30
0
b
3
6
altura ⇒ h = 9
base ⇒ b = 6
Logo a área é igual a: A =
A = 3 . 9 = 27.
Primeiro vamos analisar a função f(x ) =
9x 3x 2
.
−
4
8
* Seus zeros são:
9x 3x 2
= 0  multiplica toda equação por 8.
−
4
8
18x − 3x² = 0
x' = 0
ou
18 − 3x = 0
18 = 3x
18
=x
3
6 = x''
6 .9
b.h
⇒A=
⇒
2
2
47)a) 220
Para calcular o lucro máximo basta calcular o yv:
−∆
yv =
4a
−(b2 − 4ac)
yv =
4a
−(302 − 4 . (−1) . (−5))
yv =
4(−1)
−(900 − 20)
yv =
−4
−880
yv =
−4
yv = 220
b)10 ≤ x ≤ 20
Para isso basta igualar a função a 195, então:
− x² + 30x − 5 = 195
− x² + 30x − 5 − 195 = 0
− x² + 30x − 200 = 0
* Seu vértice é formado pelo ponto:
−∆
x ’+ x ’’
xv =
e yv =
4a
2
0+6
−(b2 − 4ac)
xv =
e yv =
2
4a
 9 2
 3  

−  − 4 −  . 0
 8  
 4 
xv = 3
e
yv =
 3 
4 − 
 8 
 81
− 
16 
yv =
12
−
8
1
27
81  8 
yv = −
. −

 12 4 
2 16


yv =
Matemática A
27 . 1
27
⇒ yv =
2.4
8
9
GABARITO
* Quando x = 2 temos y = 7. Logo
a(2)² + b(2) + c = 7
4a + 2b + c = 7  substituindo (I)
4a + 2(4 − a − c) + c = 7
4a + 8 − 2a − 2c + c = 7
2a − c = 7 − 8
2a − c = − 1  isolando c temos
2a + 1 = c. (II)
* Seu gráfico é:
27
6
0
3
6
Analisando as alternativas:
27
, x = 6 e f(x2) = 0,
8 2
então temos que x1 < x2 e f(x1) > f(x2). Portanto, para
o intervalo de x  3 a função é decrescente.
02.Verdadeiro. Do gráfico podemos afirmar que o eixo
de simetria é formado pela reta x = 3.
04.Verdadeiro. Dos cálculos feitos anteriormente po 27 
demos afirmar que V 3 ,
.

8 
08.Verdadeiro. Como a < 0 então a concavidade é
voltada para baixo.
16.Verdadeiro. Do gráfico podemos afirmar que quando
0 < x < 6 então y > 0.
01. Falso. Note que x1 = 3 e f(x1) =
* Quando x = − 1 temos y = 10. Logo
a(− 1)² + b(− 1) + c = 10
a − b + c = 10  substituindo (I)
a − (4 − a − c) + c = 10
a − 4 + a + c + c = 1
2a + 2c = 10 + 4  substituindo (II)
2a + 2(2a + 1) = 14
2a + 4a + 4 = 14
6a = 14 − 4
6a = 12
a = 2
*Substituindo a em II temos: 2 . 2 + 1 = c
4 + 1 = c
5=c
*Substituindo a e c em I temos b = 4 − 2 − 5 = 4 − 7 = − 3.
Logo a – 2a + 3c = 2 − 2(−3) + 3(5) = 2 + 6 + 15 = 23.
51)14
49)B
Para que a parábola tenha concavidade virada para
baixo, a < 0. Então:
2 − p < 0 ⇒ 2 < p ⇒ p > 2
(1)
Para que a parábola não intercepte o eixo x, Δ < 0:
b² − 4ac < 0
(−2)² − 4(2 − p)(−1) < 0
4 + 8 − 4p < 0
12 < 4p
12
<p
4
p > 3
(2)
De (1) e (2) temos que p > 2 e p > 3, então podemos
afirmar que p > 3.
50)23
Note que temos 3 equações para encontrar os valores
de a, b e c. Então:
* Quando x = 1 temos y = 4. Logo
a(1)² + b(1) + c = 4
a + b + c = 4  isolando b temos
b = 4 − a − c. (I)
10
01. Falso. Primeiro vamos calcular as raízes das funções
f(x) = 5x − x²
5x − x² = 0
x(5 − x) = 0
x' = 0 x'' = 5
g(x) = − x² + 11x − 10
−11± 121− 40
x=
2(−1)
−11± 81
−2
11∓ 9 x ’ = 1
x=

2 x ’’ = 10
x=
As raízes positivas, ordenadas de modo crescente,
são (1, 5, 10). Note que não existe q constante tal
que 1 . q = 5 e 5 . q = 10.
02.Verdadeiro. Igualando as duas funções temos que:
5x − x 2 = − x 2 + 11x − 10
10 = 11x − 5x
10 = 6x
x=
2
Matemática A
5
10
=
3
6
GABARITO
Note que a função encontrada é uma função afim
que gerou um único valor.
04.Verdadeiro. Calculando o x do vértice da função
−5 5
−b
−5
f(x), temos: xv =
=
=
= .
2a 2(−1) −2 2
08.Verdadeiro. Calculando f(x) + g(x) temos:
5x − x² + (− x² + 11x − 10) = 0
5x − x² − x² + 11x − 10 = 0
− 2x² +16x − 10 = 0
Calculando o yv temos:
−∆ −(162 − 4(−2)(−10)) −(176)
yv =
= 22
=
=
4a
4(−2)
−8
16.Falso. Calculando h(x) = f(x) − g(x) temos:
h(x) = (5x − x²) − (− x² + 11x − 10)
Primeiro vamos calcular a função quadrática que gerou
a parábola do gráfico:
 Quando x = 0 tem-se y = 3, então:
a(0)² + b(0) + c = 3 ⇒ c = 3
 Quando x = − 1 tem-se y = 0, então:
a(−1)² + b(−1) + c = 0 ⇒ a − b + c = 0
(I)
 Quando x = 3 tem-se y = 0, então:
a(3)² + b(3) + c = 0 ⇒ 9a + 3b + c = 0
(II)
Fazendo II + 3I e substituindo c, temos: a = −1 e b = 2.
Logo f(x) = − x² + 2x + 3. Calculando o vértice da função,
temos:
−2
−(4 + 12) −16
xv =
=4
= 1
yv =
=
−4
−2
−4
• Para f(x) = x + 3 temos:
 Quando x = 1: f(1) = 1 + 3 = 4.
 Quando x = 2: f(2) = 2 + 3 = 5.
 Quando x = 3: f(3) = 3 + 3 = 6.
Note que para cada elemento do domínio existe um único correspondente no contradomínio, porém o conjunto
imagem, Im(f) = {4, 5, 6}, é diferente do contradomínio.
Então f é injetora.
• Para g(x) = x² temos:
 Quando x = −1: g(−1) = (−1)² = 1.
 Quando x = 0: g(0) = 0² = 0.
 Quando x = 1: g(1) = 1² = 1.
Note que o conjunto imagem, Im(f) = {0,1}, é igual ao
contradomínio, e também temos elementos distintos do
contradomínio com a mesma imagem.
Então g é sobrejetora.
52)08
h(x) = 5x − x 2 + x 2 − 11x − 10
h(x) = − 6x − 10
Note que h(x) é uma função afim.
53)f é injetora, mas não é sobrejetora.
g é sobrejetora, mas não é injetora.
h é injetora e sobrejetora, portanto bijetora.
i não é injetora nem sobrejetora.
A reta r passa pelos pontos (−1, 0) e (1, 4), então para
encontrar r basta calcular o determinante:
• Para h(x) = x + 4 temos:
 Quando x = 1: h(1) = 1 + 4 = 5.
 Quando x = 2: h(2) = 2 + 4 = 6.
 Quando x = 3: h(3) = 3 + 4 = 7.
Note que para cada elemento do domínio existe um
único correspondente no contradomínio (injetora) e o
conjunto imagem, Im(f) = {5, 6, 7}, é igual ao contradomínio (sobrejetora).
Então h é bijetora.
• Para i(x) = x² − x temos:
 Quando x = 0: i(0) = 0² − 0 = 0.
 Quando x = 1: i(1) = 1² − 1 = 0.
 Quando x = 2: i(2) = 2² − 2 = 2.
Note que o conjunto imagem, Im(f) = {0, 2}, é distinto do
contradomínio e que existem dois elementos distintos
no domínio com a mesma imagem.
Então i(x) não é injetora nem sobrejetora.
54)A
x
y
1
x
y
–1
0
1
–1
0 =0
1
4
1
1
4
DP − DS = 0
(0 + y − 4) − (− y + 4x + 0) = 0
y − 4 + y − 4x = 0
2y − 4 − 4x = 0
4x + 4
y=
⇒ y = 2x + 2
2
1
x2
1
1
1
1
1
= = f(x)
f(−x) =
=
=
=
(−x )2 ((−1) . x )2 (−1)2 . x 2 1 . x 2 x 2
Logo essa função é par.
1
b)Falso. f(x) =
x
1
1
1
1
f(−x) =
=
= − = − f(x)
=
x
(−x ) (−1) . x −x
Logo essa função é ímpar.
a)Verdadeiro. f(x) =
Matemática A
11
GABARITO
c)Falso. f(x) = x
f(−x) = (−x) = (−1) . x = − x = − f(x)
Logo esssa função é ímpar.
d)Falso. f(x) = x5
f(−x) = (−x)5 = ((−1) . x)5 = (−1)5 . x5 =
= (−1) . x5 = − x5 = − f(x)
Logo essa função é ímpar.
e)Falso. f(x) = sen x
f(−x) = sen (−x) = − sen x = −f(x)
Logo essa função é ímpar.
58)24
01. Falso. Na função constante dois valores distintos de
x levam para o mesmo valor de y, ou seja, x1 ≠ x2
⇒ f(x1) = f(x2).
02.Falso. Uma função quadrática definida f:R  R não
é sobrejetora, pois a sua imagem será diferente do
contradomínio. Lembrando que a imagem pode ser
[yv, + ∞) − com a > 0 ou (− ∞, yv] − com a < 0.
04.Falso. Note que g(x) tem uma unidade a mais do
que f(x), logo o gráfico é deslocado para cima do
plano.
08.Verdadeiro. Toda função afim definida f: R  R terá
para cada x distinto um único correspondente em y
e sua imagem será igual ao contradomínio.
16.Verdadeiro. Note que o ciclo trigonomérico tem
raio = 1, logo no plano cartesiano ele é definido no
intervalo [−1, 1]. Então a função seno terá a imagem,
para todo x real, definida nesse mesmo intervalo.
55)D
0
(F)Se a > 0, isto é a(+), então yv =
−(b2 − 4ac )
⇒
4(a)
2
yv = −b .
4a
(F)Uma função quadrática só é sobrejetora quando
o contradomínio é restrito para que fique igual à
imagem, que pode ser:
Im(f) = [yv, + ∞) quando a > 0;
Im(f) = (− ∞, yv] quando a < 0.
(F) Note que da afirmativa anterior temos que f(x) não
é sobrejetora, ou seja, ela não será bijetora. E para
que a função seja inversível ela tem de ser bijetora.
56)17
Correção do enunciado:
"[...] 04. A função inversa de f(x) = x² − 4 é y = x + 4.
[...]".
Resolução
01. Verdadeiro. f(h + 2) = (h + 2)² − 4(h + 2) + 4
f(h + 2) = h² + 4h + 4 − 4h − 8 + 4 = h²
02.Falso. g(f(x)) = 2f(x) − 1
g(f(x)) = 2(3x² + 1) − 1
g(f(x)) = 6x² + 2 − 1 = 6x² + 1
04.Falso. Note que f(x) não é bijetora, logo não admite
inversa.
08.Falso. Isolando o y das equações dadas temos:
 x + y − 3 = 0  x − 2y = 0
x + y = 3
x = 2y
x
y = − x + 3
=y
2
decrescente (a < 0)
crescente (a > 0)
16.Verdadeiro. f(x) = 2x
f(−x) = 2(−x) = 2 (−1)(x) = − 2x = − f(x)
Logo a função é ímpar.
59)E
Para ser sobrejetora B = Im(f), então calculando a imagem de f(x) = x² − 6x + 5 temos:
 −∆
  −(36 − 20)

Im(f) = [yv, + ∞) = 
, + ∞ = 
, + ∞
 4a



4


 −16

Im(f) = 
, + ∞ = [−4, + ∞).
 4


f(x) = x² + 5
f(−x) = (−x)² + 5 = ((−1)(x))² + 5 = (−1)² . (x)² + 5 =
= 1 . x² + 5 = x² + 5 = f(x)
Logo f(x) é par.
12
Logo B = [−4, + ∞).
60)40
57)C
g(x) = − 4x
g(−x) = − 4(−x) = − 4((−1) . x) = − 4(−1) . x = 4x = − g(x)
Logo g(x) é ímpar.
Matemática A
01. Falso. O contradomínio é diferente da imagem.
−0 − 4(1)(1)
02.Falso. Im(f) = [yv, + ∞) ⇒ yv =
= 1 ⇒ Im(f)
4
= [1, + ∞)
04.Falso. Da alternativa 01 temos que f(x) não é sobrejetora, logo ela não será bijetora.
08.Verdadeira. Para x = 5 temos:
f( 5) = ( 5)² + 1 = 5 +1 = 6
16.Falso. O gráfico de uma função quadrática é uma
parábola.
32.Verdadeiro. f(x) = x² + 1
f(−x) = (−x)² + 1 = ((−1)(x))² + 1 = (−1)² . (x)² + 1 =
= 1 . x² + 1 = x² + 1 = f(x)
Logo f(x) é par.