Efeito Hall quântico anômalo.

MATERIAL PARA ESTUDO,
FAVOR NÃO DIVULGAR ONLINE, POIS FALTA
CITAR VÁRIOS AUTORES QUE FORAM
USADOS NA CONFECÇÃO DESSA
APRESENTAÇÃO.
Mini-Curso:Introdução aos Isolantes
Topológicos.
Leandro Oliveira do Nascimento
Prof Dr. Eduardo Cantera Marino
Prof Dr. Van Sérgio da Silva Alves
Profa Dra Cristiane de Morais Smith
Belém, 23-25 de março de 2015
INTRODUÇÃO
Sistemas em 2 dimensões exibem fenômenos quânticos não
observados em dimensões maiores, como o efeito Hall quântico.
1879 Edwin Herbert Hall (1855-1938) e o efeito Hall clássico.
INTRODUÇÃO
Em 1980, K. Von Klitzing (nobel de física, 1985) mostrou que na
presença de um campo magnético intenso a condutividade Hall é
quantizada.
INTRODUÇÃO
Algumas características do efeito Hall quântico:
1) Observado em temperaturas baixas e campos magnéticos intensos.
2) Condutividade é um valor quantizado de e²/h (constante de V.Klitzing).
3) O material possui comportamento diferente no centro e na borda; no
centro é isolante, enquanto na borda é metal.
4) A corrente na borda é quiral, ou seja, todos os elétrons se movem na
mesma direção.
5) O valor da condutividade Hall não depende de detalhes da amostra,
como tamanho, largura, desordem, perturbações locais...
6) A condutividade Hall é uma grandeza topologicamente protegida.
INTRODUÇÃO
A física do efeito Hall quântico pode ser entendida em termos dos
níveis de Landau e do número de Chern.
INTRODUÇÃO
O efeito Hall quântico inteiro de V. Klitzing pode ser entendido em
termos de uma teoria não interagente.
Existe também o efeito Hall quântico fracionário, cuja explicação
depende da teoria de férmions compostos, obtida através de um
modelos interagentes.
Os níveis de Landau são os níveis de energia dos elétrons quando
submetidos a um campo magnético ortogonal ao plano. São parecidos
aos níveis de energia de um oscilador harmônico unidimensional.
INTRODUÇÃO
Em 2004 surge o grafeno: Cones de Dirac;
INTRODUÇÃO
O efeito Hall quântico inteiro no grafeno:
1-Temperatura ambiente (300K);
2- Niveis de Landau relativísticos;
3- Efeito Hall quântico anômalo
(Nf=2 spin x 2 cones=4);
4- Nível n=0 é parcialmente
preenchido;
INTRODUÇÃO
graças ao grande interesse no grafeno cogitou-se a possibilidade do
efeito Hall quântico de spin (Kane e Mele, 2005) nesse sistema;
Lembrete: Em 1988 Haldane mostrou que NÃO era necessário ter
campo magnético externo para ocorrer efeito Hall quântico.
Efeito Hall quântico de Spin:
1-Gerado pela interação spin-órbita.
2-Corrente de spin transversa.
3-Preserva T para todo o sistema.
4-Não ocorre no grafeno!!
INTRODUÇÃO
Em 2007, Molenkamp mediu o efeito Hall quântico de spin, usando
um sistema 2-d formado por folhas de HgTe (Telureto de mércurio).
Modelo BHZ (2006).
O efeito Hall quântico inteiro e de spin são exemplos de isolantes
topológicos. Esse é um novo estado da matéria que não pode ser
explicado através da quebra espontânea de simetria ou pela presença
de um parâmetro de ordem local.
Isolantes topológicos são caracterizados pelo centro da amostra com
comportamento de isolantes, mas com estados de borda com
comportamento de metal. No caso do efeito Hall quântico inteiro, os
estados de borda são quirais, enquanto no efeito Hall quântico de spin,
os estados de borda são helicoidais.
PLANO GERAL
Dia-1- O Efeito Hall quântico
Teoria de Bandas.
Rede unidimensional Vs Poliacetileno.
Efeito Hall quântico.
Transporte Quântico.
PLANO GERAL
Dia-2-Isolantes Topológicos
Fase de Berry
Teorema adiabático quântico.
Condutividade Hall e a Fase de Berry.
Fórmula de Kubo.
Simetria de inversão temporal.
PLANO GERAL
Dia-3-Grafeno e supercondutores topológicos
O Grafeno.
Tight-Binding, paradoxo de Klein, deformação e interação.
Grafeno massivo e o número de Chern.
Efeito Hall quântico de Spin.
Supercondutores topologicos e férmions de Majorana.
Discussão sobre os exercícios.
TEORIA DE BANDA
Como classificar um material enquanto metal ou isolante??
Teoria de bandas de energia
Física do Estado Sólido:
Elétrons + potencial periódico
Precisamos obter as bandas (dispersão) dos elétrons;
Isolantes Gap de energia!!
PRELIMINARES: 2ª QUANTIZAÇÃO
1ª QUANTIZAÇÃO: Operadores.
2ª QUANTIZAÇÃO: Número de ocupação.
Radiação
Matéria
Fóton (bóson).
Elétron (férmion).
Espaço de Fock
Operadores de criação e destruição de
partículas.
Condição: Existe um vácuo (estado de mínima energia).
PRELIMINARES: 2ª QUANTIZAÇÃO
Bósons: Comutadores, spin inteiros, número de ocupação de 0 a infinito,
Função de onda simétrica
Férmions:Anticomutadores, spin semi-inteiros, número de ocupação
de 0 a 1 (principio da exclusão de Pauli), função de onda antisimétrica.
Operador número de partículas!
PRELIMINARES: 2ª QUANTIZAÇÃO
Qual o estado de mínima energia (mais provável) para Temperatura=0?
Férmions: Superfície de Fermi
Bósons: Condensação de Bose-Einstein
PRELIMINARES: 2ª QUANTIZAÇÃO
Como escrever operadores nesse formalismo?
Exemplo: Operador energia cinética de um elétron não-relativístico:
Espaço de momento.
Espaço real ou configuração.
***Modelo 1-d para um metal***
Rede unidimensional, o exemplo mais simples.
Modelo de isolante 1-d: O poliacetileno!
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Bandas de energia para o poliacetileno
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Invariante topológico do modelo SSH
Mostramos que o modelo SSH pode ser escrito como:
O número de vezes que o círculo encobre a origem é
o invariante topológico chamado “winding number”
Invariante topológico do modelo SSH
Lembrando que h(k) é periódico na zona de Brillouin...
Para termos um número real, devemos ter
Diferentes invariantes topológicos
Estados de energia zero na “borda” (Estado não trivial).
Versão continua do modelo SSH
Conhecemos a versão da rede:
Podemos obter o Hamiltoniano de Bloch 2x2....
Por conveniência podemos fazer:
Versão continua do modelo SSH
Assim...
Para baixos momentos:
Equação de Dirac em 1+1 D com massa efetiva.
Note que a única diferença é uma constante multiplicativa.
SISTEMA BIDIMENSIONAL: EFEITO HALL CLÁSSICO
EFEITO HALL CLÁSSICO
Força total nula, logo
Campo magnético na direção z e a Lei de Ohm, logo
Portanto a resistividade será (2d resistividade=resistência)
,
***EFEITO HALL QUÂNTICO: NIVEIS DE LANDAU***
Hamiltoniano
Niveis de energia ou Niveis de Landau são dados por
,
***TRANSPORTE QUÂNTICO***
Aspecto microscópico: Bandas de energia.
Propagação de ondas na rede atômica.
Aspecto macroscópico: Condutividade (local) Vs Condutância.
Resistividade (local) Vs Resistência.
Quantum de condutância:
Canais de transmissão
Teoria de resposta linear
Condutividade (Fórmula de Landauer)
Kubo Fórmula
,
O quantum de condutância
Qual a condutividade de uma onda plana???
Solução da Eq. Schrodinger:
,
O quantum de condutância
Corrente carregada pelo modo
Corrente total num certo intervalo de energia
,
O quantum de condutância
Condutividade
Valor universal
Pode ser medido com alta precisão
,
Fórmula de Landauer-Buttiker
T= coeficiente de transmissão.
R=coeficiente de reflexão. Para o IQHE, temos T=1 para cada n.
,
Condutância de um nível de Landau
Corrente elétrica supondo n niveis de Landau preenchidos:
,
Condutância de um nível de Landau
Condutividade quantizada
Nível de energia quantizado
,
RESUMINDO.....
,
RESUMO ATÉ AQUI:
•
Isolantes são materiais que possuem um gap de energia em sua
estrutura de banda.
•
Condutividade Hall é uma condutividade elétrica transversa ao campo
elétrico aplicado no material.
•
Para campos suficientemente intensos, essa condutividade é
quantizada devido aos níveis de Landau.
AMANHÃ:
•
Fase de Berry
Condutividade Hall
,
ISOLANTES TOPOLÓGICOS
,
Como classificar essas novas fases da matéria???
Quebra espontânea de
simetria!
Como explicar um mundo sem simetria, partindo de teorias totalmente
simétricas?
Em alguma escala essas teorias devem fornecer estados de mínima
energia (mais favoraveis) que violam essas simetrias.
Sendo assim....
Supercondutividade
Ferromagnetismo
Densidade de pares de Cooper.
Magnetização.
Condensado de Bose-Einstein
Densidade de partículas.
....
Efeito Hall quântico
???????
Não existe um parâmetro de ordem local??
A condutividade Hall não depende de detalhes do sistema. Ao contrário, é
uma quantidade que não é alterada facilmente!
É possível medir efeito Hall quântico inteiro em temperatura ambiente!
O efeito Hall quântico será classificado a partir de um invariante topológico.
***FASE DE BERRY***
A Fase de Berry é o termo independente de energia
A fase de Berry vem do fato de que os autovetores são diferentes em tempos
diferentes.
Então por que nunca estudamos a
fase Berry antes em mecânica
quântica??
Porque o vetor potencial de Berry é dependente de Gauge!
Função completamente arbitrária!
Então sempre é possível escolher um potencial vetor, tal que a fase de Berry
é sempre zero! Certo?? A resposta é NÂO!
A Fase de Berry é real:
A Fase de Berry depende de derivadas dos
autovetores e é dependente de Gauge,
como contornar esses problemas??
Buscando inspiração no eletromagnetismo...usando o teorema de Stokes:
Assim obtemos a curvatura de Berry (invariante de Gauge)
Um tipo de “campo magnético” no espaço de R.
Resolvido o problema de dependência de Gauge e as derivadas??
Sejam m e n autovetores do Hamiltoniano, então
Reescrevendo a Fase de Berry....
Parte Real!! Não contribui para a fase de Berry...
Assim chegamos na equação final para a fase de Berry:
Mas e se Em=En (niveis degenerados) no denominador da Eq. acima???
Vamos considerar um sistema de dois niveis de energia: “+” e “-”
Portanto:
Usando o fato de que a fase de Berry deve ser real:
Basta calcula a Fase de Berry para um dos
niveis de energia
Vamos fazer duas aplicações:
(i)
Dirac não massivo;
(ii)
Spin-S em um campo Magnético;
Fase de Berry para partícula não massiva de spin-1/2.
Gradiente do Hamiltoniano.
Os autovetores do Hamiltoniano:
Portanto
Para obter a fase de Berry basta calcular o fluxo desse vetor
Usando o teorema de Gauss temos:
Resultado válido apenas em 2d!
Fase de Berry para partícula de spin-S em um campo magnético
Assim
Para obter a fase de Berry basta calcular o fluxo desse vetor
Usando o teorema de Gauss temos:
Resultado válido apenas em 2d!
RESUMO ATÉ AQUI:
•
Isolantes Topológicos são um novo estado da matéria que não podem
ser descritos por quebra espontânea de simetria.
•
O estado Hall quântico é um estado Topológico, pois não é descrito
atrevés de um parâmetro local, como a Magnetização para o
ferromagnetismo.
•
A fase de Berry é um invariante topológico, pois depende apenas dos
autovetores da teoria. O número de Chern é a fase de Berry dividido
por 2 \pi.
RESTAM AS PERGUNTAS:
•
Como classificar o efeito Hall quântico através da fase de Berry???
•
O estado Hall quântico não quebra nenhuma simetria???
PARTE II SERÁ DEDICADA A RESPONDER ESSAS PERGUNTAS!
FASE DE BERRY E
CONDUTIVIDADE HALL
RESUMO ATÉ AQUI:
•
Isolantes Topológicos são um novo estado da matéria que não podem
ser descritos por quebra espontânea de simetria.
•
O estado Hall quântico é um estado Topológico, pois não é descrito
atrevés de um parâmetro local, como a magnetização para o
ferromagnetismo.
•
A fase de Berry é um invariante topológico, pois depende apenas dos
autovetores da teoria. O número de Chern é a fase de Berry dividido
por 2 \pi.
Vamos precisar discutir a evolução adiabática:
Eq. De Schrodinger:
...
3
2
1
0
Gap
Os coeficientes são dados por:
Os teorema adiabático em “ordem zero” é:
Quando os parâmetros variam adiabaticamente, os autovetores instantâneos
do Hamiltoniano não mudam! Não ocorrem transições de um estado n
para um estado m. Note que aqui supomos um gap de energia entre
esses estados!
Não queremos essa solução....
Em primeira ordem, temos
Isso implica para o autovetor...
Teoria de resposta linear
Usando o teorema adiabático quântico...
Obtemos as condutividades elétricas longitudinais e
transversais
Os resultados:
Como obter a condutividade Hall em uma descrição contínua??
Como obter a condutividade Hall em uma descrição contínua??
Condição de causalidade
Finalmente temos a famosa fórmula de Kubo para condutividade elétrica
O grande interesse é a condutividade elétrica d.c
Em um modelo com interação U(1), temos
...
Somente gráficos 1PI contribuem
RESTAM AS PERGUNTAS (E AS DE VOCÊS....)
Como classificar o efeito Hall quântico através da fase de Berry
A Condutividade Hall é a integral da curvatura de Berry, em toda a primeira
zona de Brillouin, de todas as bandas preenchidas.
ESSE VALOR É QUANTIZADO??
SIM, pois os autovetores admitem um único valor para cada ponto do
espaço dos parâmetros
•
O estado Hall quântico não quebra nenhuma simetria???
SIMETRIA DE INVERSÃO TEMPORAL T
As Leis físicas são invariantes sobre T.
Simetria discreta.
Não é facilmente quebrada.
Um campo magnético externo viola T.
Antes de 2005 acreditava-se que o efeito Hall quântico implicava
violação de T.
Efeito Hall quântico de spin NÂO VIOLA T. Mas, o efeito Hall quântico
inteiro quebra T.
SIMETRIA DE INVERSÃO TEMPORAL T: Partícula sem spin
Precisamos que a relação canônica de comutação seja invariante por T
Portanto
T
Conjugação complexa.
T
Operador antiunitário.
Simetria T: Partículas sem spin no cristal
O que ocorre com os operadores no espaço de posição e momento?
No Hamiltoniano de Bloch?
Simetria T: Partículas sem spin no cristal
Primeira consequência: Partículas sem /com spin e com invariância de T
não podem apresentar efeito Hall quântico!
F(k)+F(-k)=0!!
Simetria T: Partículas com spin
Rotação de pi em torno do eixo-y.
Spin semi-inteiro
Simetria T: Partículas com spin-1/2
Representação da simetria T para particula de spin-1/2:
Simetria T: O teorema de Kramer: spin ½.
Considere um Hamiltoniano invariante por T, logo
Seja
Um autoestado de H, então
com a mesma energia E.
Finalmente eles são ortogonais:
Também é autoestado de H.
Simetria T: Elétrons com spin na rede.
O Hamiltoniano genérico é
O operador T muda o spin:
Com base nessas relações é possível mostrar que
O operador T modifica o Hamiltoniano de Bloch k -k, esse operador atua
apenas nos orbitais de spin!
Simetria T: Elétrons com spin na rede.
Para os autoestados |u> do Hamiltoniano de Bloch
Existem pontos do espaço de momento onde o Hamiltoniano de
Bloch é invariante. Nesses podemos aplicar o teorema de
kramers, por exemplo os valleys do grafeno.
Conclusão: Não há dupla degenerescência,
pois k - k e h(k) é diferente de h(-k).
Exceto para um conjunto particular de
pontos G/2, no qual h(G/2)=h(-G/2), a
dupla degenerescência é preservada!.
,
RESUMO ATÉ AQUI:
•
A FASE DE BERRY é uma quantidade topológica, pois está codificada
nos autovetores da teoria.
•
Condutividade Hall é a soma das fases de Berry de todas as bandas
preenchidas dividido por 2 \pi o que é igual ao número de Chern.
•
A fórmula de Kubo é equivalente ao resultado obtido via teoria de
banda.
AMANHÃ:
•
Grafeno e Férmions de Majorana.
O GRAFENO
Descoberto experimentalmente em 2004 (A.Geim e K. Novoselov,
prêmio Nobel 2010).
Uma camada fina de átomos de carbono. Átomos de carbono
fortemente arranjados em uma rede hexagonal.
Material extremamente leve ~ 0.77 mg/m², melhor condutor elétrico e
térmico (T ambiente) conhecido pelo homem.
A. Bernevig, 2013. Livro sobre isolantes topológicos e teoria
do efeito Hall quântico de Spin (Modelo BHZ).
John Colapinto. The New Yorker. Dez/2014
Rede do grafeno
Elétrons livres no grafeno
Modelo tight-binding
Transformada de Fourier (desconsiderando o spin...)
Considerando apenas primeiros vizinhos
Elétrons livres no grafeno
Obtemos o Hamiltoniano de Bloch
Partículas de Dirac sem massa nas proximidades dos
pontos K e K’!
Efeito Hall quântico relativístico no grafeno
Novos níveis de energia de Landau
Nivel de Landau para n=0 é parcialmente preenchido!
Resultados importantes sobre o grafeno:
1- Paradoxo de Klein;
2-Efeito Hall quântico inteiro em T ambiente;
3- Efeito Hall quântico fracionário; Interação!
4- Renormalização da velocidade de Fermi; Interação!
5- Produção de pseudo campo magnético de 600 Tesla
através de tensão mecânica;
Geração de um gap de energia (massa) no ponto de
Dirac???
Paradoxo ou tunelamento de Klein
Partícula na presença de uma barreira
Solução para uma partícula clássica
Partícula atravessa a barreira.
Partícula é refletida pela barreira.
Paradoxo ou tunelamento de Klein
Partícula na presença de uma barreira
Solução para uma partícula quântica não relativística.
Situação especial: Tunelamento quântico
Paradoxo ou tunelamento de Klein
Para uma partícula de Dirac? Agora temos partículas com energia negativa.
A. Geim et al, Nat. Phys. (2006).
Renormalização da velocidade de Fermi
Relevância das interações no grafeno;
Invariância de Lorentz no limite de densidade zero;
A. Geim et al, Nat. Phys. (2011).
Pseudo campo magnético de 300 T no grafeno
Gerado por deformação mecânica (strain);
Acopla com sinal diferente em valleys diferentes;
Possibilidade de estudar elétrons em espaços curvos;
A. H. Castro Neto et al, Science. (2010).
Grafeno massivo: Modelo para um isolante topológico
Generalização:
Conexão de Berry
Diagonalizando o Hamiltoniano h:
Conexão de Berry
Podemos calcular a conexão de Berry diretamente
Conexão de Berry
Integrando a conexão de Berry sobre a superfície de Fermi...
Metal com a superfície de Fermi banda de condução em E+
Curvatura de Berry
Finalmente podemos obter a curvatura de Berry para o caso de um isolante
(tomamos as soluções para E-)
O número de Chern
A integral da curvatura de Berry
Anomalia de Paridade?
Portanto:
Efeito Hall quântico anômalo.
O Hamiltoniano mais geral em 2-d para descrever um sistema com duas
bandas é:
S. C. Zhang et al, PRB. 74, 085308 (2006).
Efeito Hall quântico anômalo.
Aplicando a fórmula de Kubo para a componente transversa:
Efeito Hall quântico anômalo.
A componente transversa é:
Podemos resolver a soma sobre as frequências de Matsubara:
Efeito Hall quântico anômalo.
Subtração do termo de frequência zero:
Portanto...
Abrindo a soma em s,t temos:
Efeito Hall quântico anômalo.
Substituindo a expressão para as correntes:
Os únicos termos que contribuem são os que tem 3 matrizes de Pauli.
Efeito Hall quântico anômalo.
Supondo que exista um gap de energia:
Potencial químico dentro do gap: banda
de valência preenchida e de
condução vazia.
Condutividade transversa Vs Número de Chern
Condutividade transversa para Dirac massivo:
Hamiltoniana de Dirac massivo:
Condutividade transversa para Dirac massivo:
A diferença entre as condutividades para massa positiva e negativa
fornecem uma condutividade Hall inteira!
Mas a condutividade Hall não é quantizada?
Existe um salto de condutividade ao fechar e abrir o gap (quando “m”
atravessa um valor negativo para um positivo, necessariamente existe
um ponto no qual m=0!). Isso é uma transição entre estados topológicos.
A teoria na rede captura a quantização melhor que a teoria contínua!?
Segundo A. Bernevig, devido a problema de regularização nenhuma
teoria contínua seria capaz de capturar a quantização exata na
condutividade Hall.
Em 1989 A. Coste and Luscher mostraram que ao impor LARGE GAUGE
TRANSFORMATION INVARIANCE na teoria de Dirac sem massa, nós
recuperamos a quantização exata no termo de Chern-Simons (o que
implica quantização da condutividade Hall). Em 2015, esse resultado foi
interpretado como o efeito Hall quântico de valley no grafeno.
Condutividade transversa para Dirac massivo:
Mas como abrir o gap no grafeno?
Potencial químico nas subredes A e B? Semenoff, 1984.
Fluxo alternado de campo magnético? Haldane PRL, 1989.
Influência de substratos (h-BN, hexagono com Boron e Nitrato)~53 meV.
Interação spin-órbita, elétron-elétron?
Teoria de Dirac na rede:
Sistema sem gap nesses pontos.
Somente nessas transições ocorre
mudança de topologia!
Teoria de Dirac na rede:
Em primeira ordem: Teoria de Dirac
Em segunda ordem: Versão do modelo BHZ (Efeito Hall quântico de Spin),
i.e, uma componente diagonal do modelo BHZ.
Efeito Hall quântico de spin
Isolante topológico que preserva a simetria T. Sem campo magnético
externo. Acumulo de corrente de spin nas bordas.
Primeiro foi idealizado por Kane e Mele (2005) para o grafeno, mas
como a interação spin-órbita não é grande (átomos de carbono são
leves), então em 2006 Bernevig, Hughes e Zhang (BHZ) propuseram um
novo modelo adequado para barreiras de HgTe. Em 2007 foi verificado
experimentalmente por Molenkamp et al.
O Estado de Borda e de Energia Zero
Embora falamos de correntes na borda, até agora tudo que fizemos foi
calcular quantidades no bulk (centro).
Equação De Dirac
Separação de variáveis e a solução em y
O Estado de Borda e de Energia Zero
Usando a Eq. de Dirac, temos
Procurando por soluções com E=0 (estados de borda).
Onda se propagando na direção x!
O Estado de Borda e de Energia Zero
Solução final:
Propriedades:
Localizado nas bordas:
Propaga-se na direção x. Estado quiral.
E=0, modo de energia zero, outra indicação que está na borda.
Correspondência bordaborda-centro.
centro
Correspondência bulk-edge (centro-borda)
Propriedades:
O número de Chern é a diferença entre o número de estados de borda
que se propagam para a direita e os que se propagam para a esquerda.
Esses estados devem cruzar a energia de Fermi.
O número de Chern não pode ser modificado por mudanças adiabáticas
no Hamiltoniano.
Essa quantidade depende de detalhes do Hamiltoniano, ou seja, é uma
informação “codificada” nos autovetores do bulk.
Supercondutores Topologicos
Férmions de Majorana:
Soluções reais para a Eq. De Dirac.
O férmion de Majorana é a sua própria anti-partícula.
Decomposição em férmions de Majorana sempre é possível.
Férmions de Majorana não são férmions!.
Física de partículas: Neutrino???
Matéria condensada:
Estados de borda de uma nanofita na proximidade de um supercondutor,
ex: cadeia de Kitaev.
Relevância para computação quântica. Estados topologicamente
protegidos podem formar qubits protegidos contra desordem e interação
com o ambiente. Estatística não abeliana.
Supercondutores Topológicos
Cadeia de Kitaev
Fio quântico em cima de um supercondutor 3-d;
Devido a presença do supercondutor a simetria U(1) deve ser quebrada;
mas vamos preservar a simetria Z2
É possível construir um modelo em 1-d com estados de borda?
Cadeia de Kitaev
Modelo 1-d; Elétron com um único spin!, vamos dizer s=+1/2.
Potencial químico.
Supercondutor tipo-p.
Momento angular não nulo.
Quebra U(1).
Parâmetro de salto
(energia cinética).
Cadeia de Kitaev
Usando a transformada de Fourier em 1-d.
Energia cinética deslocada,
devido ao potencial químico
Cadeia de Kitaev
O Hamiltoniano de Bloch é
Cadeia de Kitaev
Usando a propriedade conhecida:
Os autovalores da cadeia de Kitaev são
Gap?
Transição topológica? É possível fechar o gap? Sim!
Cadeia de Kitaev
Invariante topológico da cadeia de Kitaev:
Fase não trivial. Estados de borda, quais?
Fase trivial. Sem estados de borda
Fase trivial
Fase trivial
Fase de Majorana
Cadeia de Kitaev
Quem são os estados de borda? Escolhendo a fase não trivial
Versão com férmions de Majorana;
6. REFERÊNCIAS PRINCIPAIS
[1] 3 * 3
&
2 &
[2] <
<
1
B
9 < A
8)$
<
?>B
9
<
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E
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8)C
1
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B
8)C
[3] 7 D
8)C
[5] * A 7
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9
F
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* = 5
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I &J
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Agradecimentos