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TEORIA MATEMÁTICA BÁSICA
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que
permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são
chamadas de critérios de divisibilidade.
DIVISIBILIDADE POR 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou
seja, quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
DIVISIBILIDADE POR 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos
for divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é
divisível por 3, então 234 é divisível por 3.
DIVISIBILIDADE POR 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos
dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.
DIVISIBILIDADE POR 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
DIVISIBILIDADE POR 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).
DIVISIBILIDADE POR 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado
pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.
DIVISIBILIDADE POR 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos
for divisível por 9.
Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como
18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.
DIVISIBILIDADE POR 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
DIVISIBILIDADE POR 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos
dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas
de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de
zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a
subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.
DIVISIBILIDADE POR 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos
algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).
DIVISIBILIDADE POR 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).
DIVISIBILIDADE POR 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.
NÚMEROS PRIMOS
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores
diferentes: o 1 e ele mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele
mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números
primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de
zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:



não é par, portanto não é divisível por 2;

1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é
um número primo.
2) O número 113:




não é par, portanto não é divisível por 2;

1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor
(7).
por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11),
e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um
número primo.
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois
ou mais fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores
primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número
natural, maior
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo,
os passos para montar esse dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor
primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido
pelo menor divisor primo desse quociente e
assim sucessivamente até obter o quociente
1.
A figura ao lado mostra a fatoração do
número 630.
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.
DETERMINAÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO
...
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